CC BY
35
______ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XX VII 199 6 '
№1-2
УДК 532.529 532.526.2
ДВИЖЕНИЕ ДИСПЕРСНОЙ ПРИМЕСИ В ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА КЛИНЕ ПРИ НЕОДНОЗНАЧНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТИ ЧАСТИЦ
Е. С. Асмолов
В рамках метода [1, 2], основанного на асимптотическом различии масштабов релаксации продольной и поперечной скоростей частиц, рассмотрены особенности движения сферических частиц с учетом действия на них поперечной сипы (силы Сэфмана [3]) в ламинарном тираничном слое на клине с углом при вершине, меньшим прямого. Показано, что, в случае ковда продольное ускорение газа в пограничном слое является знакопеременной функцией, поперечная сипа также меняет знак. Вследствие перехода с одной ветви решения на другую в пограничном слое образуются области с пересекающимися траекториями частиц, а также области, куда дисперсная фаза не попадает. :
1. Постановка задачи. Рассмотрим течение запыленного газа в ламинарном пограничном слое над клином с углом при вершине яр, О < р < 1/2. Массовая платность дисперсной фазы, состоящей из
частиц одинакового радиуса а, предполагается малой по сравнению с плотностью газа р. Асимптотическими параметрами задачи будем считать величину отношения плотностей газа и вещества частиц г = р/р/ «1, а также число Рейнольдса Лес = р ис 1^/ц = Ьс/а »1,
1с=(ис/с?/т, ис = фа).
Здесь величины с и т = р/(2 - р) > О определяют значение скорости газа на внешней границе пограничного слоя У= схт. Будем также считать, что введенные асимптотические параметры связаны соотношением 11ес ~ х4/3. В этом случае в качестве характерного продольного масштаба течения дисперсной примеси, на котором действие силы Сэфмана приводит к конечному изменению поперечной скорости частиц можно принять величину Ьс. Этот масштаб асимптотически велик по сравнению с масштабом релаксации продольной скорости частиц Ц:
Ц. = в ;Хо » Хо> Б = 2/9х 1Ие~1 «1, 11ес ~ е-4,^ ~ в3,
Ц = (^о/, <0 = 2/9р;а2ц, / = (1 - /и)-1,
где /о — время релаксации скорости частиц под действием силы Стокса. Движение дисперсной фазы на масштабе Ьс в продольном направлении, динамика которого определяется только силой Стокса, является вмороженным в движение несущей фазы, т. е. в главном приближении по в продольные скорости фаз равны: и$ - и = 0(в). Поперечная скорость определяется из условия баланса действующих на частицу поперечных сил. В результате задача описания такого квази-равновесного движения может быть сведена к решению алгебраического уравнения, в которое в качестве параметров входят безразмерные значения поперечного градиента скорости газа и его продольного ускорения [2]:
х(«)
(ди 2 (
- уа V
+ 6тш = 0; (1.1)
ду)
(1-2)
х(а) = с(а)а, й = иди/сЬс + иди/ ду, у = 27 ятКе^4 = 0(1); (1.3)
с(а) = 6,46^1 + 0,581а2 - 0,439|а|3 + 0,203а40 <; |а| <; 3. (1.4)
Здесь координата х, отсчитываемая вдоль поверхности клина, обезразмерена на Ьс, у — на ЬсКе~^2, продольные Ку, и и поперечные
V скорости частицы и газа — соответственно на с и с Ке^2. Силе
Сэфмана в уравнении (1.1) и выражении (1.2) соответствуют члены, пропорциональные функции %(а), эмпирическая формула (1.3) с относительной точностью 2% описывает зависимость коэффициента поперечной силы с(а), полученную в [4,5] методом сращиваемых асимптотических разложений для случая обтекания одиночной частицы сдвиговым потоком. Отметим также, что знак поперечной силы определяется только знаком параметра а, так как с(а) >0 в диапазоне значений 0 5 |а| < 3.
В пограничном слое над клином автомодельное распределение скорости газа выражается через функцию Ф(^), % = аеух^'”-1^2,
ае = д/(»1 +1)/2 , являющуюся решением уравнения Фокнера—Скэн [6]. В результате уравнение (1.1) может быть переписано в виде
^(а, х, £) = х(ос) - у«хУ?(£) + = 0; (1.4)
q = {авФ")~^2, V = 3(1 -3/и)/4.
Наиболее важным свойством полученных уравнений (1.1), (1.4) является неединственность их решения, связанная с нелинейностью функции %(а) [7]. В зависимости от значений пространственных переменных х, % уравнение (1.4) может иметь одно или два устойчивых решения. Корень, знак которого совпадает со знаком функции х(^), определяемой выражением (1.5) и пропорциональной продольному ускорению газа ы, существует при всех значениях црОстранственных переменных. Другой корень, область существования которого ограничена, имеет противоположный знак.
Чтобы определить, какое из указанных решений реализуется при движении дисперсной примеси, необходимо рассмотрение начальной стадии движения частиц. Решение нестационарных уравнений движения частицы на характерном масштабе времени *0 показывает [7], что в тех областях поля течения, где решение уравнения (1.4) не единственно, то или иное из квазиравновесных решений достигается при ф0 ->оо в зависимости от знака начальной скорости обтекания частицы и — Иу.
В задачах обтекания различных тел потоком дисперсной среды начальное значение скорости частицы и направление действия силы Сэфмана следует, очевидно, определять из условия сращивания с решением во внешней невязкой области течения. Решение (1.4) в ней единственно, так как на внешней границе пограничного слоя для функции Ф", пропорциональной поперечному градиенту скорости газа ди/ду, имеем Ф"(£ -> оо) = 0. Поэтому член, который соответствует силе
Сэфмана в уравнениях (1.1), (1.4) и является причиной неединственности решения, мал по сравнению с остальными членами. В результате знак решения (1.4) во внешней области определяется только знаком й, т. е. движение частиц начинается на положительной ветви а+ для ускоряющихся течений газа и на отрицательной а- — для замедляющихся.
При последующем движении частицы в пограничном слое значение параметра а будет соответствовать той же ветви решения, что и в начальный момент времени. Таким образом, в случае если ветвь, на которой начинается движение частиц в невязкой области, существует во всем поле течения, распределение скорости дисперсной фазы соответствует этой же ветви во всем пограничном слое. Указанное условие выполняется для течений несущей фазы, знак продольного ускорения которых одинаков во всем поле течения. Характер движения дисперсной примеси для этого класса течений рассматривался на примере обтекания плоской пластины [1] и клина с углом при вершине больше прямого (р > 1/2, т > 1/3) [2]. Распределения параметра а и скорости vs
в этих случаях описываются соответственно отрицательной и положительной ветвями квазиравновесного решения.
Иная ситуация имеет место, когда ускорение несущей фазы является знакопеременной функцией и возможен переход с одной устойчивой ветви на другую. Так, для рассматриваемой здесь задачи об обтекании клина с углом при вершине меньше прямого (р < 1/2, т < 1/3) в верхней части пограничного слоя ускорение газа положительно, а для значений \ < ^о(т) отрицательно, 5 < 0. В результате ветви решения а+
и а" имеют ограниченные области существования (ниже будем обозначать области, в которых решение единственно, соответственно и <?“, а область существования обеих ветвей 2)-).
Движение дисперсной фазы на внешней границе пограничного слоя в рассматриваемом случае начинается, как и для р > 1/2, с положительной ветви а+. Однако, если траектория, соответствующая данной ветви, пересечет границу области ее существования, должен произойти переход на ветвь а-. Перестройка решения с одной квазирав-новесной ветви на другую происходит в двух областях с характерными линейными масштабами е1//3 и е, расположенных вблизи границы пере-
Из сказанного следует, что задача построения траекторий частиц, в случае когда функция ${£,) знакопеременна, т. е. при т <1/3, требует
определения границ областей Сг~ и О.
2. Области существования положительной и отрицательной ветвей.
Границы существования ветвей а+ и а- соответствуют экстремумам функции #(а, х, £) по а [7], т. е. положение границы хг(^) определяется из решения системы уравнений:
Для приведения (2.1) к форме, удобной для разрешения относительно аг и хг, выразим переменную хТ через аг и \\
В результате, исключая в (2.1) хг, можно получить уравнение, левая часть которого зависит только от аг, правая — от
Задавая значение функций Ді7 и разрешая численно уравнения
хода [7].
£(<*>•> хг, £) = 0,
да
= Х'(аг) - = °-
(2-1)
Н( аг) =*■(§),
Н{а.г) = А,
(2.3)
Р(\) = А (2.4)
относительно аг и можно получить параметрические зависимости (аг (А), £,(А)), которые затем с учетом (2.2) позволяют определить *>(§)•
Характерные особенности нечетной функции Н(аг) и зависимости -Г(^) одинаковы для всех т < 1/3. Их графики для значений т = 0,25 приведены на рис. 1 и 2. Кривые 1, 2 на рис. 2 соответствуют значениям у = 4; 2. Поскольку второй член во втором уравнении (2.1) положителен при любых возможные значения параметра аг лежат на отрезке [—атах, атах], где %' > 0. Здесь атят = 1,377 — значение а, при котором %(а) достигает максимума.
Форма искомых областей б* и Сг~ определяется в первую очередь наличием экстремумов у функций Ніл. Р. минимумов Нтіп, Ртіп и максимума Нтях. От их величины зависит интервал возможных значений правых частей (2.3) и (2.4):
ИМх(-^ШІП) -Нтіп) < А < Лцщ. (2.5)
Определим сначала границы области существования отрицательной ветви а-. Этой ветви соответствуют положительные значения А\ < Нтяг, для каждого из которых, как можно видеть на рис. 1, 2, уравнение (2.3) имеет два отрицательных корня, (2.4) — один. По этой причине в интервале значений |0 < \ < \ті> где їжі — решение (2.4) при А1 = НТпяу, система (2.2) имеет два корня хг{^). Найденные в результате границы области существования а" построены (штриховые кривые /0 для значений т = 0,25 на рис. 3 (у = 3) и рис. 4, а (у = 2,8).
Границы области & находятся из решения (2.3), (2.4) при отрицательных значениях А, удовлетворяющих (2.5). Как можно видеть на
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 4
Рис. 3
рис. 1, 2, оба уравнения при этом имеют два корня. При этом, однако, формы областей и связанные с ними особенности движения частиц существенным образом различаются в зависимости от соотношения минимумов Нт{п и которое определяется значением параметра у: при у > у. (у, = 2,93 для т = 0,25) имеем Нтт > 7^, а при у < у. — обратное соотношение минимумов. В первом из указанных случаев, которому соответствует кривая 1 на рис. 2, для каждого значения А2 > Нтт корни (2.3) существуют во всем интервале значений параметра аг, в то время как возможные значения корней (2.4) ограничены: 0 < \ < %т2 или £т3 < % < 5о (рис. 1, 2). Здесь %т2 и £т3 — решения
(2.4) при А2 = £[„„„. Противоположная ситуация имеет место, когда Нт1П < Гтт. В этом случае решение (2.4) существует для всех значений %<£,(), а для корней (2.3) имеем 0 < а < ат1 или ат2 < а < атах, где атЪ ат2 — решения (2.4) при = ^Ишп-
Соответствующие двум описанным ситуациям границы областей существования положительной ветви квазиравновесного решения а+ построены (штриховые кривые /2, /3) для двух значений параметров у = 3; 2,8 на рис. 3; 4, а. В обоих случаях имеется точка ЛГ, в которой
сходятся границы, соответствующие двум ветвям. В ее окрестности ос+ и а- близки к 0. При у > у* (рис. 3) в пограничном слое образуются две области -и 1>2, где существуют обе ветви решения (1.4), и по одной области — <7+, <7~, в которых возможна только одна ветвь — соответственно положительная а+ или отрицательная а". Особенностью другого случая у < у» (рис. 4,а) является наличие двух областей существования единственной ветви а“ - (?[ и и одной области существования обеих ветвей, которая при этом имеет характерное «горло». Последнее обстоятельство является причиной качественного различия течений дисперсной фазы для двух диапазонов значений у: у > у* и у <у„.
3. Траектории частиц. Рассмотрим особенности движения частиц в пограничном слое на клине для двух указанных случаев. Как указывалось выше, течение дисперсной фазы в области (?+ описывается решением а+, Попадая в область существования обеих ветвей (1\ при у > у* и X) при у < у»), частицы продолжают движение, соответствующее той же ветви, до тех пор пока не достигнут границы существования а+. При у >у* переход на отрицательную ветвь (траектории 1, 2 на рис. 3) происходит при пересечении нижней границы области 1\ (кривая /г). При последующем движении частиц, в том числе и в области В2, имеем а(|) = а-.
Вследствие изменения поперечной скорости с на траектории 1 и 2 имеют излом. Следует, однако, заметить, что в рассматриваемой области значений х < 10~2, % > 0,8 отношение безразмерной силы Сэфмана к поперечной силе Стокса для обеих ветвей мало:
х(а)хФ"
6*1 Ф + ^—^Ф'
т + 1
<3-10~2.
По этой причине и мало отличаются от поперечной скорости газа V, и изменения наклона траекторий практически незаметно (рис. 3). Вдоль траектории 3, не пересекающей кривую 12, изменение поперечной скорости происходит непрерывно. Таким образом, для указанных значений у всюду вблизи поверхности клина распределение соответствует отрицательной ветви квазиравновесного решения
хГ5, и качественная картина движения дисперсной фазы та же, что и при обтекании плоской пластины [1]. Вблизи поверхности тела поперечная скорость vs конечна и отрицательна при х <х0> а при х>
\ -» 0 имеем ~ |2.
Более сложная картина течения дисперсной фазы имеет место при у < у*. В этом случае в части области существования обеих ветвей квазиравновесного решения, расположенной ниже «горла» области 2), могут реализовываться обе ветви и Для траекторий, пересекающих левую границу существования положительной ветви решения (кривая І2 на рис. 4, а), характер течения тот же, что и в рассмотренном выше случае у > у*: на верхней части 12 происходит переход с а+
на а", ив дальнейшем частицы приближаются к поверхности клина с конечной скоростью (траектория 1). На траекториях, расположенных правее и не пересекающих 12, всюду вплоть до поверхности тела сохраняется значение поперечной скорости, описываемое распределением і$(|). Характер движения частиц, соответствующего положительной ветви, вблизи поверхности излучался в [2] для клина с углом при вер-
шине, большим прямого 0 > 1/2. Для рассматриваемого здесь случая (3 < 1/2 распределение о£(£) имеет сходные особенности с той разницей, что Оу конечна и положительна при £ -> 0 слева от точки До, а не справа от нее, как это имеет место для 0 > 1/2. Указанное различие связано с тем, что показатель степени V во втором члене в уравнении
(1.4) имеет разный знак для двух случаев: V положителен при р < 1/2 и отрицателен при р > 1/2. Как и в рассмотренном в [2] случае, следствием конечности поперечной скорости вблизи поверхности является то, что траектории, соответствующие положительной ветви, отходят от поверхности клина.
На двух близких траекториях, одна из которых пересекает, а другая не пересекает левую границу области 2) (траектории 1, 2), скорости частиц близки вплоть до точки О касания линий тока дисперсной фазы с 12. Ниже нее поперечные скорости соответствуют разным ветвям и
и поэтому различаются на конечную величину. Как следствие, указанные траектории также расходятся на конечное расстояние. Таким образом, в точке О имеет место нарушение неразрывности течения дисперсной фазы. В результате в пограничном слое образуется область чистого газа, куда частицы не могут попасть ни при каких начальных условиях (заштрихованная область на рис. 4, а).
Другая особенность течения дисперсной фазы при у < у» связана с возможностью возникновения еще одной точки, в которой имеет место нарушение неразрывности поля скорости частиц — точки Р касания траекторий частиц и правой границы области существования решения (кривая 1з на рис. 4, а). Эта возможность реализуется в
случае, когда траектория 2, проходящая через левую точку касания О и соответствующая положительной ветви решения (в дальнейшем будем называть ее предельной траекторией), пересекает кривую /3. Последнее условие выполняется для значений у** < у < у* (при р = 1/3 у** = 0,49). В этом случае траектории, проходящие через «горло» области Д не выходят из нее, так как при пересечении /3 происходит переход на отрицательную ветвь квазиравновесного решения и частицы начинают двигаться к поверхности клина (траектории 2, 4 на рис. 4, а). Более подробно картина течения дисперсной фазы в этой части пограничного слоя представлена на рис. 4, б. Как можно видеть, следствием разрывности течения в точке Р является образование не области чистого газа, а, напротив, области, где пересекаются линии тока, соответствующие двум ветвям, »£ и (область РОКУ на рис. 4, б).
Течение для у = у** характеризуется тем, что предельная траектория проходит через точку ЛУ, в которой сходятся границы существования двух ветвей. При значениях у <: у»* все траектории, соответствующие положительной ветви, выходят из области Д не пересекая кривую /3, а проходя выше нее. В результате поперечная скорость меняется
вдоль них непрерывным образом.
Картина движения частиц в этом случае сходна с рассмотренным ранее случаем р > 1/2 [2] и построена для значений т = 0,25, у = у** = 0,49 на рис. 5. Отличие заключается в том, что предельная траектория, являющаяся границей области отрыва дисперсной фазы, имеет не только минимум в пространстве переменных (х, |), но и максимум. В результате
область отрыва не простирается до бесконечности, как это имело место для углов при вершине клина, больших прямого, а оканчивается на его поверхности при х <Хд. Это связано с уменьшением отношения силы Сэфмана к поперечной силе Стокса при р < 1/2, х со.
ЛИТЕРАТУРА
1. А с м о л о в Е. С. О движении дисперсной примеси в ламинарном пограничном слое на плоской пластине // Изв. РАН, МЖГ.—1992, N° 1.
2. А с м о л о в Е. С. О движении дисперсной примеси в ламинарном пограничном слое при обтекании клина // Изв. РАН, МЖГ.—1993, № 6.
3. Saffman P. G. The lift on a small sphere in a slow shear flow // J. Fluid Mech.—1965, vol. 22, pt. 2. Corrigendum: J. Fluid Mech.—1968, vol. 31, pt. 3.
4. А с м о л о в Е. С. О динамике сферической частицы в ламинарном пограничном слое // Изв. АН СССР, МЖГ.—1990, № 6.
5. McLaughlin J. В. Inertial migration of a small sphere in linear shear flows // J. Fluid Mech.—1991, vol. 224.
6. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука,—
1978.
7. А с м о л о в Е. С. Движение частиц в ламинарном пограничном слое на масштабе релаксации поперечной скорости // Изв. РАН, МЖГ.— 1993, № 1.
Рукопись поступила 13/VIII1994 г.
