CC BY
145
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2018. № 4
ФИЛОСОФИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ
А.А. Печенкин*
ДВА ПОНЯТИЯ ВЕРОЯТНОСТИ В НАУКЕ ХХ ВЕКА
Рассматриваются два конкурировавших друг с другом в науке ХХ в. понятия вероятности: частотное (его также называют эмпирическим), выдвинутое австрийским ученым и философом Р. фон Мизесом, и аксиоматическое, сформулированное советским математиком А.Н. Колмогоровым. Описаны дискуссии между сторонниками этих двух концепций, имеющие характер философских размышлений. Показано, что в ходе математического обоснования квантовой механики частотное понятие вероятности было вытеснено аксиоматическим, обобщающим аксиоматику А.Н. Колмогорова.
Ключевые слова: статистическая физика, математическая теория, элементарное событие, случайное событие, информация, иррегулярность, решетка.
A.A. P e c h e n k i n. Two concepts of probability in the XXth century science
Two competive concepts of probability are taken under consideration: R. von Mises' frequency (empirical) concept and .the axiomatic concept which has been formulated by Andrey Kolmogorov. The philosophical discussions beween the proponents of these concepts followed the mathematical discussions. It is shown that classical statistical physics tended to treat probability by basing on von Mises' conception. Von Neumann in his "Mathematical foundations of quantum mechanics" also applied von Mises' probability. However, the development of logico-algebraic approach to the foundations of quantum mechanics turned out to be connected with Kolmogorov's axiomatic approach.
Key words: mathematics, statistical physics, mathematical foundations, elementary events, information, irregularity, algebra, lattice.
Возникновение двух концепций вероятности
В принципе, существует не две концепции, а ряд концепций вероятности. В философской литературе упоминается вероятность как степень следования, вероятность как степень рациональной веры, вероятность как предрасположенность (диспозиция) и т.д. (см.: [Г. Кайберг, 1978; Закон..., 1967; Г.И. Рузавин, 1967; D. Gilles, 2000; M.C. Galavotti, 2005; D.H. Mellor, 2005]). В данной статье нас, однако, интересуют те понятия вероятности, которые выдвигаются
* Печенкин Александр Александрович — доктор философских наук, профессор, профессор кафедры философии и методологии науки философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: 8 (495) 939-24-09; e-mail: [email protected]
в естественных науках и математике. Эти понятия лежат в основе математических и физических теорий — теории вероятностей, статистической механики, квантовой механики. Исходя из этих понятий решаются фундаментальные теоретические проблемы и вводятся представления, которые используются при постановке прикладных вопросов и при поиске ответов на них.
В 1919 г. австрийский математик и философ Р. фон Мизес выдвинул понятие вероятности как относительной частоты (частотное или, как его еще называют, эмпирическое понятие вероятности), при помощи которого он изложил основы теории вероятностей, понимаемой как раздел прикладной математики.
Согласно фон Мизесу, вероятность события — это предел последовательности частот его появления, предел, возникающий, когда число испытаний стремится к бесконечности. При этом фон Мизес оговорил два условия: отсутствие системы игры — испытания должны проводиться случайным образом без подгонки к какой-либо тенденции, касающейся результата этих испытаний; последовательность результатов испытаний должна быть сходящейся, т.е. постепенно стабилизироваться вокруг того значения, которое будет пределом этой последовательности при гипотетическом продолжении числа испытаний до бесконечности.
Р. фон Мизес популярно осветил свое представление о понятии вероятности в небольшой философской книжке (1928), изданной на русском языке в 1930 г. Строгое изложение теории вероятности дано им в [Л. von Mises, 1931].
Однако в 1929 г. советский математик А.Н. Колмогоров опубликовал статью, в которой предложил использовать аксиоматическое понятие вероятности. В 1933 г. им была написана небольшая книга, в которой были изложены доказанные на базе этого понятия основные теоремы теории вероятностей (книга была издана на немецком языке, в 1936 г. появилась ее русская версия).
А.Н. Колмогоров не был первым, кто выдвинул аксиоматическую трактовку теории вероятностей. В 1917 г. российский математик С.Н. Бернштейн опубликовал свой «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей». А.Н. Колмогоров, однако, в отличие от своих прешественников, построил теорию вероятностей в стиле математики ХХ в. — на базе теории множеств и теории меры: задается множество элементарных событий Q, множество подмножеств этого множества называется множеством случайных событий. Пустое множество 0 символизирует невозможное событие. Мера множества подчиняется трем естественным аксиомам: P(Q) = 1, P(0) = 0, P(AUB) = P(A) + P(B), если А и B не пересекаются.
В основных учебниках по теории вероятностей [Е.С. Ветцель, 1964; Е.С. Вентцель, Л.А.Овчаров, 2000; Б.В. Гнеденко, 1969] эта теория излагается на базе аксиоматики А.Н. Колмогорова. При этом изложение доводится до прикладных вопросов: случайных процессов, теории надежности и т.д.
В современной математике теория вероятностей погружается в контекст представлений об абстрактных многомерных и бесконечномерных функциональных пространствах. Однако сохраняются основные представления теории Колмогорова. «В основе всякой теоретико-вероятностной схемы, — пишут Ю.В. Прохоров и Ю.А. Розанов, — лежит так называемое пространство элементарных событий (О, II, Р) — измеримое пространство элементов ю, называемых элементарными событиями или элементарными исходами с заданной на о- алгебре и вероятностной мерой Р = Р(А):
Р (О) = 1.
Множества пространства О называются событиями; мера Р (А) множества А € и называется вероятностью события А» [Ю.В. Прохоров, Ю.А. Розанов, 1973, с. 132].
В простейшем опыте с подбрасыванием монеты элементарными исходами будут О и Р, II составят события О, Р и О или Р, а вероятностная мера будет Р(О) = /, Р(Р) = /, Р (О или Р) = 1. Однако понятие вероятности может быть соотнесено и с абстрактным многомерным и даже бесконечномерным математическим пространством, например с гильбертовым пространством.
Пусть, например, О = {ю1, ю2, ...} — счетное множество, а II — совокупность всех подмножеств множества О. Все возможные поля вероятностей получаются следующим образом: берется последовательность неотрицательных чисел {рп} при условиир1 + р2 + ... = 1 и для каждого произвольного подмножества О (обозначается А) вводится следующее равенство:
Р (А) = £ Рп,
п
причем суммирование распространяется на все те индексы п, для которых юп принадлежит А.
Б.В. Гнеденко в своей книге по теории вероятностей не только исходит из того определения, которое дал А.Н. Колмогоров, он критикует определение Р. фон Мизеса. Он отмечает, что то требование иррегулярности (отсутствия стратегии игры), из которого исходит фон Мизес, противоречит второму требованию — требованию сходимости последовательности результатов испытаний. «Построение математической теории, основанной на выполнении
обоих этих требований, наталкивается на непреодолимые математические трудности. Дело в том, что требование иррегулярности оказывается несовместимым с требованием существования предела» [Б.В. Гнеденко, 1969, с. 47].
Понятие вероятности в статистической физике
Если в математике ХХ в. победило понятие вероятности, выдвинутое А.Н. Колмогоровым, то по-другому складывалась ситуация в классической статистической физике. В лекциях по статистической физике, которые М.А. Леонтович читал на физическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова в 1935—1936 гг.1, он исходил из частотного понятия вероятности, выдвинутого Р. фон Мизесом.
М.А. Леонтович воспроизводит определение, данное А.Н. Колмогоровым, и некоторые основные теоремы, доказанные на базе этого определения. Он, однако, отмечает следующее: «Комплекс этих положений и их обобщений на случайные величины, принимающие бесконечное число дискретных значений в пространстве любого числа измерений, и всех теорем, которые при этом выводятся, мы будем называть "формальной теорией вероятностей"» [М.А. Леонтович, 1944, с. 23—24]. Чтобы эта теория была применена в вопросах физики (а также любой другой конкретной науки, например биологии), нужно сделать еще один важный шаг — осмыслить понятие вероятности. Дело в том, что во всех приложениях понятие вероятности события отождествляется с относительной частотой его пояления при тех или иных условиях. В формальной же теории вероятностей конкретный смысл понятия вероятности остается произвольным.
При решении этого вопроса в приложениях можно идти двумя путями. Можно при каждом применении определить смысл ряда понятий: вероятности, условной вероятности и статистической независимости. Такой путь мыслим в статистической физике для ограниченного круга вопросов.Однако гораздо более общее и плодотворное решение вопроса получается на другом пути. Этот путь, систематически проведенный Мизесом, состоит в том, что уже в рамках математической теории понятие вероятности события связывется с относительной частотой появления данного события в целой их последовательности. Хотя при проведении этой идеи встречаются серьезные математически трудности, однако, по-видимому, они могут быть преодолены. Основным понятием является «коллектив». Коллективом называется бесконечная последователь-
1 В ГПБ (бывшая Ленинская библиотека) есть экземпляр рукописной записи этих лекций [М.А. Леонтович, 1937].
ность значений одной переменной, обладающей следующими двумя свойствами.
Пусть среди первых элементов последовательности n (x) — элементов, которым соответствует значение переменной х, существует предел
W( x) = lim ^, n
это называется вероятностью значения х.
При любом выборе подпоследовательности n1 элементов, являющихся частью последовательности n, существует предел:
W'( x) = lim n1(X), пП
W1 (x) = W (x1) W1 (x) = W (x2)'
Это второе свойство может быть названо произвольностью выбора. Таким образом, при этом подходе вероятность всегда характеризует определенный коллектив и каждой операции над вероятностью соответствует построение по определенному закону нового коллектива» [М.А. Леонтович, 1937, с. 23—24].
М.А. Леонтович, стало быть, не считает существенным то замечание по поводу иррегулярности, которое делает Б.В. Гнеденко (см. выше).
Приведенное опредеделение вероятности воспроизводится во втором издании курса статистической физики М.А. Леонтовича [М.А. Леонтович, 1944] и в последующих изданиях (1987, 2008 и др.).
Близкое определение вероятности содержится в «Статистической физике» Л.Д. Ландау и М.Е. Лифшица (т. 5). Правда, эти авторы на фон Мизеса не ссылаются. «Обозначим посредством ApAq некоторый малый участок объема фазового пространства подсистемы, соответствующий значению ее координат qi и импульсов pi, лежащим в некоторых малых интервалах Aqt и Ap, пишут Ландау и Лифшиц. Можно утверждать, что в течение достаточно большого промежутка времени Т чрезвычайно запутанная фазовая траектория много раз пройдет через всякий такой участок фазового пространства. Пусть At есть та часть полного времени Т в течение которого подсистема находилась в данном участке фазового пространства ApAq. При неограниченном увеличении полного времени Т отношение At/Т будет стремиться к некоторому пределу:
г At w = lim—.
T
Этот предел можно будет рассматривать как вероятность того, что при наблюдении подсистемы в некоторый произвольный момент времени мы обнаружим ее находящейся в данном участке, подсистема будет находиться в данном участке ApAq фазового пространства» [Л.Д. Ландау, М.Е. Лифшиц, 1957, с. 15—16].
В некоторых книгах по статистической физике понятие вероятности вообще не определяется, оно считается известным по курсам теории вероятностей. Так, например, в книге Ю.Б. Румера и М.Ш. Рывкина раздел «Статистическая физика и элементы кинетики» начинается с параграфа «Статистические закономерности. Распределения, наиболее вероятное распределение». На уровне интуиции в нем присутствует идея относительной частоты (речь идет о распределении молекул газа по скоростям): «Такое распределение, которое мы будем называть наиболее вероятным, реализуется чаще всего, и в состоянии с таким распределением газ проводит подавляющую долю времени» [Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин, 1972, с. 129]. Но идея относительной частоты в этом курсе не эксплицирована.
Дискуссии в Советском Союзе
Столкновение позиций фон Мизеса и А.Н. Колмогорова было прослежено немецким историком науки Ганалорой Бернхард [H. Bernhardt, 1985]. Этот же вопрос затрагивается в двух книгах Л.Е. Майстрова, посвященных истории теории вероятностей [Л.Е. Майстров, 1967; Он же, 1980]. В настоящей статье нас будет интересовать философский контекст этих дискуссий.
В Советском Союзе в 20-30-х гг. ХХ в. столкнулись две научные идеологии (картины мира, парадигмы) — идеология абстрактной математики и математической физики и идеология теоретической физики, ориентированная на эмпиризм и, далее, на позитивизм. Почему именно в СССР? Дискуссии по основаниям теории вероятностей шли и в других странах — в Германии, США. В Советском Союзе, однако, в них участвовали «первые лица» — А.Н. Колмогоров, воплотивший на бумаге аксиоматический подход к теории вероятности, его ближайшие коллеги (А.Я. Хинчин, С.Н. Бернштейн), с одной стороны, и физики-теоретики, принадлежащие к школе Л.И. Мандельштама и через него общавшиеся с Р. фон Мизесом — с другой.
Как отмечалось выше, еще до А.Н. Колмогорова аксиоматическое изложение теории вероятностей было предложено С.Н. Берн-штейном. Это изложение не стало каноническим. Как отметил А.Н. Колмогоров, «существуют также другие системы аксиоматического построения вероятностей, в которых понятие вероятности
не относится к числу основных понятий, а само выражается через другие понятия» [А.Н. Колмогоров, 1936, с. 9]. Ближе к замыслу Колмогорова подошел А.Я. Хинчин в своей книге 1927 г. Хотя он не предлагал собственной системы аксиом, однако настаивал на том, что «теория вероятностей имеет целостный метод, глубоко связанный с методами современной теории функций» [А.Я. Хинчин, 1927, с. 3]. Впоследствии Колмогоров включил результаты Хинчина в число теорем своей теории вероятностей.
Кто же критиковал систему А.Н. Колмогорова? Выше были приведены цитаты из «Статистической физики» М.А. Леонтовича. М.А. Леонтович был аспирантом Л.И. Мандельштама, так же как и А.А. Андронов, А.А. Витт и С.Э. Хайкин. Это было первое поколение аспирантов Л.И. Мандельштама. Сам Мандельштам в своих опубликованных работах не высказывался по поводу оснований теории вероятностей. Однако известно, что в свой страсбургский период (до 1914 г., когда Мандельштам, будучи гражданином России, был вынужден уехать из Германии) он встретился с Р. фон Ми-зесом и обсуждал с ним не только математические и технические проблемы, но и философские основания физики [А.А. Pechenkin, 2014]. Находясь в России, Мандельштам до 1937 г. переписывался с фон Мизесом. Известно, что Мандельштам приложил усилия к публикации на русском языке его книги «Вероятность, статистика и истина» (в русском переводе «Вероятность и статистика»). Русский перевод этой книги [Р. Фон Мизес, 1930] вышел значительно раньше английского (1939).
В предисловии к русскому изданию книги Р. фон Мизеса говорится, что его точка зрения «является наиболее приемлемой... Широким кругам советских читателей она дает исключительно много. Замена устаревших и грубо неверных формулировок новыми, научно действенными и предметно оправданными — вот основная заслуга Мизеса перед наукой» [там же, с. VI—VII].
Здесь концепция фон Мизеса противопоставляется классическим концепциям, чреватым субъективизмом: вероятность как отношение числа благоприятных исходов к равновозможным. Кроме того, имеются в виду те концепции (типа геометрической вероятности), которые приводят к парадоксам.
Что же писал Колмогоров по поводу частотной (эмпирической) концепции фон Мизеса? «Допущение о вероятностном характере испытаний, т.е. о тенденции частот группироваться вокруг постоянного значения, само по себе бывает верно. лишь при сохранении некоторых условий, которые не могут сохраняться неограниченно долго и с неограниченной точностью. Поэтому точный переход к пределу ц/n^-p не может иметь реального значения. Формули-
ровка принципа устойчивости частот при обращении к такому предельному переходу требует определения допустимых способов отыскания бесконечных последовательностей испытаний, которое тоже может быть лишь математической фикцией» [А.Н. Колмогоров, 1936, С. 274-275].
Во втором издании Большой советской энциклопедии Колмогоров писал следующее: «Мизес сделал попытку обоснования теории вероятностей, идентифицируя вероятность с пределом частот в бесконечной последовательности испытаний. Мизес выступал против субъективистского истолкования вероятности как меры субъективной уверенности в наступлении события. Однако будучи махистом, Мизес не видит за фактом устойчивости частот появления события А при многократном повторении совокупности условий S объективной зависимости наступления события А от осуществления условий S. Саму постановку вопроса об объяснении причин устойчивости частот Мизес считает бессмысленной; по мнению Мизеса, можно говорить о вероятности P (A/S) только после того, как устойчивость частот наблюдена» [А.Н. Колмогоров, 1954, с. 414].
Дискуссия по вопросу оснований теории вероятностей проходила в СССР в обстановке диктатуры пролетариата. Это значит, что высшим основанием политических и философских научных исследований считалась философия марксизма, или, как ее вскоре стали именовать, философия марксизма-ленинизма. Однако в 1920-е гг. эта философия трактовалась достаточно широко и не была помехой для философских дискуссий. Кроме того, это было время романтики и энтузиазма. Молодые люди шли в науку не ради денег и карьеры, а ради науки самой по себе, ради истины, которую они сознательно или стихийно соотносили с марксизмом.
В 20-е гг. возникают такие организации, как Коммунистическая академия и Институт красной профессуры. Однако при всей их политической ангажированности они создавали новые возможности для исследования. Например, первая статья А.Н. Колмогорова, в которой он предложил аксиоматическую трактовку вероятности, была опубликована в сборнике трудов секции точных наук Коммунистической академии [А.Н. Колмогоров, 1929].
Дискуссии о понятии вероятности шли при секции точных наук Коммунистической академии. По свидетельству С.М. Рытова, бывшего аспиранта Л.И. Мандельштама, такие дискуссии проходили и на семинарах, которые Мандельштам и его ученики проводили в МГУ (A.A. Pechenkin, 2014, p. 100). Что происходило на этих заседаниях, кто высказывался и в пользу какой концепции, так и осталось за кадром. Известно только решение, принятое кафедрой
истории и философии науки физфака МГУ (1 марта 1929 г.): «.протестовать против несправедливого выступления Хинчина на заседании физ-матов». Речь шла о секции физико-математических наук Коммунистической академии. Там выступил А.Я. Хин-чин, который, по-видимому, критиковал частотную концепцию вероятности, выдвинутую Р. фон Мизесом. Ученики Л.И. Мандельштама не принимали эту критику.
Дебаты по вопросу обоснования теории вероятностей не могут быть описаны, если не будут упомянуты статьи еще одного ученика Л.И. Мандельштама — философа-марксиста Б.М. Гессена (в 2015 г. вышла первая книга на русском языке о Б.М. Гессене (см.: [Борис Михайлович Гессен, 1893—1936, 2015]), автор настоящей статьи написал на нее рецензию (см.: [А.А. Печенкин, 2017])).
Б.М. Гессен был аспирантом института Красной профессуры, а его научным руководителем был Л.И. Мандельштам. Диссертация Гессена была посвящена философскому обоснованию теории вероятностей. Он интерпретировал позицию фон Мизеса с точки зрения диалектического материализма. Для Гессена решающим фактом было то, что этот ученый выступал против субъективистских концепций вероятности. Вероятностные законы физики — не результат нашей неспособности провести точку зрения необходимости, это фундаментальный факт, причинные законы могут иметь форму статистических законов [Б.М. Гессен, 1930а].
«Если, как это делает Мизес, поставить во главу угла объективную трактовку вероятности, то обоснование и построение теории вероятностей должно начинаться не с определения вероятностей, а с характеристики тех объектов, своеобразие и структура которых приведет нас к установлению понятия вероятности» [Б.М. Гессен, 1930б, с. 35].
Б.М. Гессен, таким образом, считает то построение теории вероятности, которое предпринял Мизес, более перспективным, чем аксиоматическая концепция Колмогорова. В настоящей статье нас, однако, интересует не развитие философии марксизма-ленинизма в конце 1920-х гг. и в 1930 г., а эволюция научных идей. Вернемся в этой связи к упомянутой выше статье Ганалоры Бернхард. Она обратила внимание на то, что спустя много лет, а именно в 1963 г. А.Н. Колмогоров возвращается к своей дискуссии с Р. фон Мизесом и высказывается в пользу частотной концепции, которую он в 1920— 1930-х гг. жестко критиковал. В 1963 г. Колмогоров писал, что «в основе применения расчетов теории вероятностей к реальным случайным явлениям должна лежать некоторая версия частотной концепции вероятности, вроде той, которая была высказана в интуитивной форме фон Мизесом» [А.Ж Kolmogorov, 1963, р. 369].
В настоящей статье мы, однако, проследим иную линию в дискуссиях о вероятности. В квантовой механике первоначально использовалась частотная интерпретация вероятности, интерпретация в духе идей фон Мизеса. Однако развитие математического аппарата этой теории привело к интерпретации вероятности в духе идей А.Н. Колмогорова.
Вероятность при логико-алгебраическом изложении
оснований квантовой механики
Каноническим изложением математических оснований квантовой механики стала книга И. фон Неймана (1932), в которой квантовая механика погружена в контекст аппарата гильбертова пространства (русский перевод был опубликован в 1964 г. [И. фон Нейман, 1964]).
В работе 1932 г. фон Нейман исходил из частотной теории вероятности фон Мизеса: вероятность трактовалась как предел последовательности относительных частот. Позиция фон Неймана здесь была традиционной. Как известно, в 1936 г. М. Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции (еще раньше вероятностные представления были введены в старую квантовую теорию Бора-Зоммерфельда и в матричную механику). Первоначально логические и философские трудности, связанные со статистической интерпретацией, казались менее важными, чем экспериментальные факты, свидетельствующие в ее пользу. Лишь открытие соотношения неопределенностей заставило с интересом отнестись к ним. Однако первые рефлексии по поводу теоретико-вероятностных представлений носили лишь интуитивный характер. Физики еще не ставили задачу синтеза вероятностных идей и математического аппарата квантовой механики. Они молчаливо принимали, что в квантовой механике используется классическая теория вероятностей, и пытались осмыслить возникающие при этом аномалии из примеров и интерпретаций. Так, В. Гейзенберг связывал вероятность, возникающую в квантовой механике, с тенденцией (потенцией в смысле аристотелевской философии) и, в отличие от вероятности в классической физике, считал квантовую вероятность полностью объективной.
В 1932 г. фон Нейман сформулировал статистический алгоритм, соотносящий математический формализм и результаты измерений, который включал все статистические утверждения, делавшиеся раньше. Этот алгоритм состоял из двух положений: 1) вероятность того, что наблюдаемая Я в состоянии ф принимает значение из интервала I, равна |Е (I) ф |2, где Е (I) — разложение единицы, принад-
лежащее наблюдаемой R; 2) математическое ожидание R в состоянии ф равно скалярному произведению (Rq, ф).
Однако у фон Неймана понятие вероятности оставалось внешним по отношению к основной математической схеме квантовой механики — теории самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. У него еще нет обобщенной теории вероятностей, преодолевающей ограниченности той трактовки, которая была выдвинута фон Мизесом.
По мнению венгерского философа М. Редеи, принятая фон Нейманом в 1932 г. интерпретация вероятности как относительной частоты вела к концептуальным трудностям. Одна из этих трудностей — понятие ансамбля и понятие отбора субансамбля путем квантового измерения. В 1932 г. фон Нейман еще полагает, что можно сохранить ансамблевую интерпретацию, оставляя в стороне проблему квантового возмущения этого ансамбля в ходе измерения.
Фон Нейман писал следующее: «Даже если две или более величины R, S не могут быть одновременно измеряемы, по отношению к единичной системе, их вероятностные распределения в данном ансамбле [S1, S2, ..., SN] могут быть получены с произвольной точностью, если N достаточно велико. Действительно, в случае ансамбля из N элементов достаточно собрать статистические показания о распределении значений величины R не со всех N элементов S1, S2, ..., SN , а лишь с некоторой подсистемы из Мэлементов, где М меньше N, скажем, S1, S2, ..., SM, если только М и N достаточно велики, причем М можно сделать совсем малым по сравнению с N. Тогда при измерении будет подвергнута изменению только M/N я часть ансамбля, сколь угодно малая. Чтобы измерить одновременно две величины, скажем, R, S, нам потребуются две подсистемы, скажем, [S1, S2, ..., S^ и [SM+1, ..., S^], так что первая будет применена для снимка статистики R, а вторая — для снимка статистики S. Тогда оба измерения не помешают одно другому — хотя и производятся на одном и том же ансамбле — и даже изменят этот ансамбль на произвольно малую величину» [И. фон Нейман, 1964, с. 254].
Как отмечает М. Редеи, в основе приведенного рассуждения просматривается допущение, что субансамбли представляют собой большой ансамбль в том смысле, что исходя из них мы получаем ту же вероятность, что и на базе первоначального ансамбля. Это нетривиальное допущение, известное как требование иррегулярности, принимается в отношении ансамблей, применяемых при расчете вероятности как относительной частоты (см. выше). Данное допущение, пишет Редеи, уже критиковалось при изложении вероятности по фон Мизесу [M. Redei, 2001, p. 156].
В 1937 г., как констатирует Редеи, фон Нейман в статье «Квантовая логика: строгая и вероятностная логика» отказался от безусловной поддержки частотного понятия вероятности, выдвинутого фон Мизесом [ibid., p. 166].
Однако следующий существенный шаг был сделан не фон Нейманом, а Э. Глисоном (1957), который доказал теорему, показывающую, что вероятностная интерпретация волновой функции — это не просто интерпретация, а логическое следствие из математического аппарата квантовой механики. Он доказал большее: он доказал, что то обобщение вероятностной интерпретации М. Борна, к которому пришел фон Нейман, используя матрицу плотности (этот «каталог вероятностей», по словам Вайцзекера), тоже следует из математического аппарата квантовой механики. Теорема Глисона предполагала доработку математического аппарата квантовой механики. Она стимулировала исследование алгебраических свойств математических представлений, лежащих в основе квантовой механики (см.: [C.A. Hooker, 1975, vol. 1; Idem, 1979, vol. 2; В.Л. Васюков, 2006]). При этом пришлось вернуться к статье Биркгофа и фон Неймана, опубликованной в 1936 г. (см.: [C.A. Hooker, 1975, vol. 1]). В этой статье были эксплицированы неклассические свойства математического аппарата квантовой механики, имеющегося у фон Неймана. Было показано, что упорядоченные посредством теоретико-множественного включения замкнутые подпространства гильбертова пространства H образуют особый алгебраический объект — полную решетку (или структуру — этот термин ранее употреблялся в русской литературе), в которой конъюнкция (наибольшая нижняя грань) множества подпространств есть их пересечение, тогда как дизъюнкция (наименьшая верхняя грань) есть их замкнутое объединение.
Решетка Биркгофа и фон Неймана была, однако, небулевой, в ней не выполнялся закон дистрибутивности. У Колмогорова же вероятностная мера определялась на сигма-алгебре множеств, которая была дистрибутивна. Дистрибутивность играет существенную роль при том оперировании элементарными событиями, которое предполагает колмогоровская теория вероятностей.
Однако недистрибутивность в решетке Биркгофа—фон Неймана была слабой: эта решетка обладала свойством ортомодулярности. Это значит, что недистрибутивная решетка содержит множество подрешеток, которые являются дистрибутивными и на которых может быть определена вероятностная мера в смысле колмогоров-ской теории вероятностей.
Математический аппарат такой обобщенной теории вероятностей описан в статье [A. Wilce, 2017]. Квантовая механика может
быть построена как теория вероятностей в духе аксиоматики Колмогорова, но это будет все же неклассическая теория вероятностей, поскольку для одной и той же квантовой системы вводится множество вероятностных мер.
Заключение
Выше были рассмотрены две концепции вероятности: частотая (эмпирическая) Р. фон Мизеса и аксиоматическуая А.Н. Колмогорова, которые конкурировали друг с другом в ходе развития математики и физики (отсюда не следует, что мы считаем несущественными другие концепции вероятности, возникшие в физико-математическом знании). Мы продемонстрировали, что конкуренция этих концепций вела к творческому развитию аппарата физико-математического знания. Мы также подчеркнули, что эта конкуренция имела мировоззренческое значение и отразилась в философских дискуссиях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бернштейн С.Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей// Записки харьковского математического общества. Харьков, 1917. С. 209-274.
Борис Михайлович Гессен, 1893-1936 / Сост. С.Н. Корсаков, А.В. Ко-зенко, Г.Г. Грачева; Авт. вступ. ст. С.Н. Корсаков, А.В. Козенко (Мат-лы к биобиблиографии ученых: Философия. Вып. 15). М., 2015.
Васюков В.Л. Квантовая логика. М., 2005.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1964.
Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М., 2000.
Гессен Б.М. Предисловие // Гааз. А. Волны материи и квантовая механика. М., 1930а. С. 1-ХХХ111.
Гессен Б.М. Статистический метод в физике и обоснование теории вероятностей // Естествознание и марксизм. 1930б.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 1969.
Закон. Необходимость. Вероятность / Пер. с польск. М., 1967.
КайбергГ. Вероятность и индуктивная логика. М.,1978.
Колмогоров А.Н. Общая теория меры и теория вероятностей // Сб. трудов секции точных наук коммунистической академии. Т. 1. 1929. С. 8-21.
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М., 1936.
Колмогоров А.Н. Мизес Рихард // Большая советская энциклопедия. 2-е изд. 1954. Т. 22. С. 414.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика// Ландау Л.Д., Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: В 10 т. М., 1975. Т. 5 .
Леонтович М. Введение в статистическую физику. Ч. 1. Статистические теории термодинамических равновесных состояний: Конспект лекций, прочитанных на физическом факультете МГУ (1936 г.). М., 1937.
Леонтович М.А. Статистическая физика. М.; Л., 1944.
Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М., 1983.
Майстров Л.Е. Теория вероятностей: Исторический очерк. М., 1967.
Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. М., 1980.
МизесЛ. Вероятность и статистика / Пер. с нем.; Под ред. А.Я. Хинчина. М., 1930.
Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. М., 1964.
Печенкин А.А. Математическое обоснование квантовой механики и квантовая логика // Метафизика. 2017. № 1. C. 92—104.
Печенкин А.А. Борис Михайлович Гессен. Рецензия. Книга Корсакова и др. // Человек. 2017. № 3. С 182-185.
Печенкин А.А. Квантовая логика и теория вероятностей // Логические исследования. 2017. Т. 23. № 2. С. 122-138.
Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М., 1973.
Рузавин Г.И. Логическая вероятность и индуктивный вывод // Вопросы философии. 1967. № 4.
Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика. Статистическая физика и кинетика. М., 1972.
Хинчин А.Я. Основные законы теории вероятностей / Исследовательский институт математики и механики при МГУ. М., 1927.
Bernhardt H. Zum Vergleich der wahrscheinlichkeitstheoretischen Konzepte von R. v. Mises und A. N. Kolmogorov // Perspektiven interkultureller Wechselwirkung für den wissenschaftlichen Fortschritt. Beiträge von Wiss.-Historikern der DDR zum XVIII. Internationalen Kongress für Geschichte der Wissenschaften in Berkley (USA), Akademie der Wissenschaften der DDR, Institut für Geschichte und Organisation der Wissenschaften. Koloquienheft 43. B., 1985. S. 205-209.
Hooker C.A. (ed.) The logico-algebraic approach to quantum mechanics. Historical evaluation. Dordrecht, etc. Reidel, 1975. Vol. 1.
Hooker C.A. (ed.) The logico-algebraic approach to quantum mechanics. Contemporary consolidation. Dordrecht, etc. Reidel, 1979. Vol. 2.
Galavotti M.C. Philosophical introduction to probabilities. Stanford, 2005.
Gillies D. Philosophical theories of probability. L., 2000.
Frank P., Mises R. Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik als 7. Aufgabe von Riemann-Webers Partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik herausgegeben. Verlag von Frieder Vieweg & Sonns. Braunschweig, 1927.
Kolmogorov A.N. On tables of random numbers// Sankhya. Indian Journal of Statistics. Seria (1961-2002). 1963. Vol. 25. N, 4. P. 369.
Mellor D.H. Probability: A philosophical introduction. L., 2005.
Mises R. von. Fundamentalsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mathematische Z. Bd.5. 1919. S. 1-97.
Mises R. von. Wahrscheilichkeit, Statistik und Wahrheit // Schriften z. Wissenschaften Weltauffassung. 1928. Bd. 3.
Mises R. von. Vorlesungen aus dem Gebiete der angewandten Mathematik. Bd. 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Statistik und theoretischen Physik. Leipzig, 1931.
Pechenkin A.A. Leonid Isaakovich Mandelstam: Research, teaching, life. Heidelberg, 2014.
Redei M. Von Neumann's concept of quantum logic and quantum probability // John von Neumann and the Foundations of Quantum Physics. Kluwer Academic. 2001. P. 15-172.
Wilce A. Quantum logic and probability theory// Stanford Encyclopedia of Philosophy. Spring. 2017.
