Научная статья на тему 'Два класса частных решений уравнения влагопереноса'

Два класса частных решений уравнения влагопереноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
35
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ВЛАГОПЕРЕНОС / MOISTURE TRANSFER / ПОЧВА / SOIL / ПОЧВОГРУНТ / SOILS / ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / HYPERGEOMETRIC FUNCTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Урманбетов Рысбек Джолдошевич, Дыйканова Айнура Тынчыбековна

Исследование нелинейного одномерного уравнения влагопереноса проведено численными, приближенно аналитическими и аналитическими методами. Задачей является нахождение аналитических решений, определение распространения влаги в почвогрунте, с выявлением фронта смачивания и границы зон.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

TWO CLASSES OF PARTICULAR SOLUTION MOISTURE

Investigation of nonlinear one-dimensional equation of moisture transfer numerical, approximate analytical and analytical methods. The objective is to find analytical solutions, defining the spread of moisture in soils, the identification of the wetting front and the border areas.

Текст научной работы на тему «Два класса частных решений уравнения влагопереноса»

ДВА КЛАССА ЧАСТНЫХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ

ВЛАГОПЕРЕНОСА

Урманбетов Рысбек Джолдошевич

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей и прикладной математики Кыргызского Национального Аграрного Университета имени К.И. Скрябина, город Бишкек (Кыргызстан)

Дыйканова Айнура Тынчыбековна

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей и прикладной математики Кыргызского Национального Аграрного Университета имени К.И. Скрябина, город Бишкек (Кыргызстан)

TWO CLASSES OF PARTICULAR SOLUTION MOISTURE

Urmanbetov Rysbek Djoldoshevich

candidate of physico-matematicheskih Sciences, associate Professor of Kyrgyz National Agrarian University named after KI

Scriabin, Bishkek (Kyrgyz&an)

Dyikanova Ainura Tynchybekovna

candidate of physico-matematicheskih Sciences, associate Professor of Kyrgyz National Agrarian University named after KI

Scriabin, Bishkek (Kyrgyz&an)

АННОТАЦИЯ

Исследование нелинейного одномерного уравнения влагопереноса проведено численными, приближенно - аналитическими и аналитическими методами. Задачей является нахождение аналитических решений, определение распространения влаги в почвогрунте, с выявлением фронта смачивания и границы зон.

ABSTRACT

Inveftigation of nonlinear one-dimensional equation of moifture transfer numerical, approximate - analytical and analytical methods. The objective is to find analytical solutions, defining the spread of moifture in soils, the identification of the wetting front and the border areas.

Ключевые слова: влагоперенос; почва; почвогрунт; гипергеометрическая функция. Keywords: moi^ure transfer; soil; soils; hypergeometric function.

Известно, что движение влажности в глубь почвы происходит под действием самых разнообразных движущих сил, т.е. впитывание есть процесс поступление воды с поверхности почвы в ненасыщенную среду, причем она имеет неустановившийся характер. Наиболее полный характер исследования по одномерной инфильтрации имеется в классической работе Дж.Филиппа [1], в которой дается детальный анализ процесса горизонтального впитывания в однородный грунт, доказано существование решения уравнения влагопереноса с учетом капиллярных, сил с коэффициентами зависящими от влажности.

Исследование нелинейного одномерного уравнения вла-гопереноса проведено численными, приближенно - аналитическими и аналитическими методами. Нахождение аналитических решений, определение распространения влаги в почвогрунте, с выявлением фронта смачивания и границы зон раздела полного и неполного насыщения, является важной задачей.

Нами предлагаются простые оригинальные аналитические методы решения математических моделей движения влаги в почвах для одномерного потока. Нелинейное уравнение влагопереноса без учета гравитационных сил для одномерного случае записывается в виде

dW __д_ dt dx

dW D(W)—

ex

(1)

Для этого уравнения сформулируем следующую начально - краевую задачу:

при о ^р t = 0 W(x,<j> = А0 + А1х + А2х2 + ...,(2)

при о = р 1 ^ 0 W(xJ = В0 + В^ + В2г2 + ...,(3)

при о = е, г > о w(еJ = 0(4) Уравнения (1) с начально - краевыми условиями (2-4) описывает процесс впитывания влаги в почву, когда на поверхности поддерживается некоторой напор воды т.е. имеется избыток жидкости на поверхности почвы с неизвестной границей фронта увлажнения.

Так как уравнение (1) является нелинейным, то аппроксимируя коэффициент D(W) степенным рядом [1]

Б(Ш) = Б 0 + + Б 2 Ш2 + ...,(5) а само решение задачи искать в виде Ш = Ш0 + ^ ! + а2+ ...,(6)

то относительно основного нулевого приближения име-

Ш = Б Ш

ем уже линейное уравнения 4 0 0хх (7) Для него предложим решение в виде Wо(x,t)=fо(t)•f1© , £=ах2/1 (8) Определяя частные производные

£ =2ах/г, £=-ах2Л2, W W =£Х2ахЛ, W =Оа/

^х ' ^ ' ог 0 М 0 1 ' ох 0 1 ' охх 0

и подставляя в уравнение (7), получим

^[т+^Д'-вМаЦ-^О^) вырожденное гипергеометрическое уравнение Гаусса, решение которого имеет вид

1 22 ' 2 ' ' (10)

где ^ (() = , а = -1/4Б0 - функция Похгамме-ра или вырожденная гипергеометрическая функция, представленная с помощью ряда.

Другое частное решение уравнения (9) имеет вид

Г(I) = А^ -к 2 1) + А2х % -к +1,|; 1)

Ш = ехр| (11) т.е.

т.е. решением уравнения (7) будет

А

= ехр| -

^ > (12)

Далее усложним решение (8), т.е. Wо (х,> = Го (1) • А (/)[а + а/], / = б 2* Здесь, также определяя

(13)

= № ■ [в - »', ]-ВД'■ '' <« - »5 ) - Г0Г1 (-

= МЛ

уравнений, причем к=-5/2 , а - произвольная величина, Ь=4а, с=4а/3 .

Таким образом, еще одним точным решением уравнения (7) будет

Аналогично, можно найти еще одно решение методом индукции

= А'1

3 х

(21)

2D.it 4Ю 02!2 ШО?!3

Если продолжить этот процесс, то можно записать целый класс частных решений в виде

ТЙГц(х,1) = 1,(1) 'А + »аЕ5 + (22)

где Г0(О = А!-17-1^, Г](^) = екр(-х2/4ВС11) -' .-I .....аь - определяются яз

подстановка (22) а исследуемое уравнение (7).

где Г0(1)=А1-к-1/2, Г1(^)=ехр(-х2/4Б01) а,,а2,...,ап - определяются из подстановки (22) в исследуемое уравнение (7).

Второй класс частных решений предлагаем находить в форме

и подставляя в исследуемое уравнение, имеем при р =

о и = ^

Тй/„ (х, 1) = А -1

1 [. 115 =']

(16)

(х, Ц = - ^ ) - [а -Ь В^ + 2 | Е. = рз2А

(17)

4рО „5 (а + н + с? *){{+ [2рБ „(а + 5|Ц + 9с ^ ) + (а + в? -+ с? а)("[' + +- [зро п (в 4- 6с $ ) 4- (вЕ; -+ 2с1,1) - к(а -4- 4-с^)]^ = 0

(18)

Вначале, определим частные производные

Это уравнение также имеет одно из частных решений

АС/) = ехР/ (15)

при этом имеем систему алгебраических уравнений, из которых находим к=-3/2 , 2в=а , поэтому

- + г Т 0 12 х2 4Б012 '

2х ■ Ш'2

4Б01

х2

А затем подставляя в уравнение (7), после некоторых математических преобразований, имеем

Полученное решение, также является точным решением уравнения (7).

Если же решение (7) есть

В полученном уравнении разделение переменных не произошло. Но если взять Г2(£)=х, Г0(1)=1к, то оно записывается в форме вырожденного гипергеометрического уравнения

то, определяя частные производные и подставляя в рассматриваемое уравнение, после несложных выкладок имеем

а его два решения, имеют вид I,(0 = А^-к, |,О + ■ И(-к ■ ±О

(26)

^ =ё,

при этом предположили, что ' а при р=

1/4Б„ имеем

(а+вЕ. + -7сЕ.2

(^ +ка) + (в — Зс — кв)^ + (2с- кс)^2

С,=0

(19)

Уравнение (25) имеет также одно экспоненциальное решение Г1(^)=ехр^ , при к=-3/2 . Таким образом, одним из важных решений уравнения (7) будет

1У0 (х, 0 = А ■ I "^хехр (- х2 /4Б 01) (27)

Полученное решение можно усложнить, если искать решение исследуемого уравнения (7) в виде

Это уравнение имеет одно частное решение =ехр^, а коэффициенты определяются из системы алгебраических

wl

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

рх"

Г 1 г

(х^^ф-х^аЦа+в^ где Е. = —

(28)

х

+ 2р ; [а + ЕЕ

f f ' J-n-1!

M

Определяя частные производные

= [а + Эв ^ ]+ Н 0£,'[а + = 2рх /X {[з(а + ЕЕ ) + 4рв Е - Зв1"

^о! = (а + в?) + ^-(а + в? - ^ и подставляя в уравнение (7), при р=-1АШ f0(t)=tk, имеем

ИГ-[в

7 3

Ца + В5)ГГ-1 bî ' + (а - уВХ - -

■м

-1 (1 - - (на + -в) |rL = О

(29)

Отсюда, с учетом (2.7.28) имеем еще одно точное решение при к=-5/2 ,а - произвол, в=2а/3 ,

( X2 X2 1

___.

1 4D0tJ _ 6D„t

(30)

W0 (х, t) = А ■ t ^хехр

3D0t 60D„2t2

(32)

Мы заметили, что следующим решением для уравнения (7) будет

Таким образом, уравнение (7) имеет еще один класс част-

'И'о (I. я) = А - ^жхр [ - | ■

1 x'J -х' 1 X*

ÎD„I 20D02t 810 D0V

Полученное решение (30) подталкивает на мысль, что последнее произведение можно представить в виде полинома, например второй и.т.д. степени.

Пусть решение (7) имеет форму

Здесь, так же определяя искомые частные производные и подставляя в (7), после несложных математических выкладок, имеем

^[а + в^ + tf1 ]- + в? + Ч2]-f](вt + ici2) =

D

= D D [2p(Зв + 6cE +4ctI)f1 + 2pl3i + 7в i + llci ::)f'+ ilpli +■ BE + CE 2 P 5 f

Последнее уравнение имеет одно частное решение в виде

(33)

ных решений, общий вид которого записывается как

где f0(t)=At-k-1/2, fj(£)=exp(-x2/4D0t) в1 в2,...,вп- определяются подстановкой (34) в исследуемое уравнение (7).

Итак, нами найдены два класса точных аналитических решений уравнения (7). Зная, что полученные два класса решения удовлетворяют определенным функциональным преобразованиям [2], можно получить другие классы новых решений, а постоянные интегрирования определятся из начально- краевых условий (2- 4).

Список литературы:

1. Филипп Дж.Р. Теория инфильтрации « Изотермические передвижение влаги в зоне аэрации.-Л.: Гидрометео-издат.1972.-168 с.

2. Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Физика почвы. М., «Наука», 1967-583с

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.