CC BY
34
УДК 519.833.2 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 4
А. В. Мазалова
ДУОПОЛИЯ В СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЧЕРЕДЯМИ
Рассматривается бескоалиционная игра двух лиц с ненулевой суммой, связанная с функционированием системы массового обслуживания М/М/2. Есть два конкурирующих сервера (это игроки), которые обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени с параметрами ¡1 и ¡2 соответственно. Заявки на обслуживание образуют пуассоновский процесс с интенсивностью А. Предположим, что А < ¡1 + ¡2. Игроки назначают цену на обслуживание, и посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами. Подобный подход использовался в дуополии Хотеллинга [1-3] при определении равновесных цен на рынке. При этом затраты каждого покупателя вычислялись как цена на товар плюс транспортные расходы. В предлагаемой модели затраты рассчитываются как цена на обслуживание плюс потери на пребывание в очереди. Таким образом, входящий поток разбивается на два пуассоновских потока с интенсив-ностями А1 и А2, где А1 + А2 = А. Тогда выигрыши игроков можно записать как доход в единицу времени от обслуживания данного потока, который будет пропорционален назначенной цене на обслуживание. В качестве примера будут представлены две транспортные компании в городе, которые развозят пассажиров. Тогда г = 1, 2, зависят от количества транспортных единиц, которые они используют. Возникает проблема, какую плату за проезд и какую интенсивность обслуживания компаниям выгодно назначать. Подобным теоретико-игровым задачам, определенным на процессах с очередями, посвящены работы [4-8]. При этом игровые задачи исследовались методами как бескоалиционных игр, так и кооперативной теории игр.
1. Теоретико-игровая модель ценообразования. Рассмотрим следующую бескоалиционную игру двух лиц с ненулевой суммой. Игроки I и II обслуживают входящий поток, при этом их время обслуживания имеет экспоненциальный вид с интенсив-ностями ¡1 и ¡¡2. Игроки назначают цены на свои услуги С1 и С2 соответственно. Тогда посетители будут выбирать сервис с меньшими затратами, и входящий поток разобьется на два пуассоновских потока с интенсивностями А1 и А2, где А1 + А2 = А. При этом затраты посетителя, воспользовавшегося г-м сервисом, будут равны
с
Сг Н--Г", «=1,2,
¡г — Аг
здесь 1/— А) - ожидаемое время пребывания пользователя в системе обслуживания [9], с - его потери за единицу времени ожидания. Без ограничения общности положим с =1. Тогда интенсивности потоков А1 и А2 = А — А1 для соответствующих сервисов можно найти из условия
11
С1 +-Г = С2 +-Г- (*)
¡1 — А1 ¡2 — А2
Теперь можно записать выигрыши игроков
Д1(С1,С2) = А1С1, Я2(сьс2) = А2С2. Нас будет интересовать равновесие в данной игре.
Мазалова Анна Владимировна — аспирант, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected]. © А. В. Мазалова, 2013
2. Симметричная модель. Начнем рассмотрение задачи с симметричного случая, когда оба сервиса одинаковые, т. е. цх = ц2 = Ц. Уравнение (1) для интенсивности Лх примет вид
11
С1 +-Г = С2 +-пгг- (2)
М — Лх л — Л + Лх
Дифференцируя (2) по вх, находим
1 ¿Л-1 1 ¿Л-1
1 +
(л — Лх)2 ¿в! (л — Л + Лх)2 ¿в! ' откуда
( 1 1 у1 ш
¿01 — Х1)2 (/л — X + Х1)2 ] ■
Перейдем к нахождению равновесия по Нэшу. Для фиксированного в2 определим максимум Hl(вl,в2) по в\. Условие первого порядка для максимума
¿Нх (вх,в2) ¿Лх --- = А1 + 01—— = О,
¿вх ¿вх
отсюда
Из симметрии задачи очевидно, что в равновесии должно быть с\ = с^ и Ах = Л2 = Тогда из (3) вытекает, что
¿М (м-|)2
¿вх 2
Следовательно,
* = * = (4)
Несложно проверить, что условия второго порядка для существования максимума также выполняются. Действительно,
¿2Н1 _^Х1 сг2Л1
(¿С? ¿01 1 (¿С?
Дифференцируя (3) по в1, находим
¿2 Л1 ¿Л
¿в21 ¿в1
\1
— Лх)3 (л — Л + Лх)3]
В равновесии Ах = А/2, откуда вытекает, что -щ- = 0. Следовательно
¿2Н1{о\,О*2) =^1Х1 = / _Ах2 ¿о2 ¿01 V 2
Таким образом, если один из игроков использует стратегию (4), максимум выигрыша другого игрока достигается при той же самой стратегии. Это означает равновесие данного набора стратегий.
Л
1
2
2
3. Несимметричная модель. Предположим теперь, что сервисы неодинаковы, т. е. ¡1 = ¡2, пусть для определенности ¡1 > ¡2. Кроме того, считаем, что выполняются условия
А — ¡¡2 < ¡1 < А + ¡¡2. (5)
Определим равновесие в задаче ценообразования в этом случае. Зафиксируем с2 и найдем наилучший ответ первого игрока. Так же, как и в симметричном случае,
3,И1 (с1,с2) ¿А1
---= А1 + С\ — = О,
ас1 ас1
откуда
Л1
аА1/ас1
Продифференцировав равенство (1), с одной стороны, находим
1 1
Аналогично для второго игрока имеем
С^Л2((М1-А1)2 + (М2-А + Л1)2)- (7)
Из (6), (7) следует, что
* *
С1 _ с2 А1 А2
т. е. в равновесии интенсивности пропорциональны установленным ценам. Отсюда
Л1 = Л * } * > Л2 = Л"
^ I ^ / ^ ^ I ^
с1 + с2 с1 + с2
Подставив эти выражения в (6), (7), приходим к уравнению
с? + с*2 = А I -К-+-К- I . (8)
С другой стороны, из (1) получаем
с1 с2 =
(9)
Из системы уравнений (8), (9) можно определить равновесные цены с\ и с2. Покажем, что решение этой системы, такое что с\ ^ 0 и с2 ^ 0, существует. Для упрощения выкладок предположим, что Л = 1, и сделаем замену х = * ■ Поскольку для ш > «2 с\ > с2 , то х € [0;0, 5]. Систему (8), (9) можно переписать в виде
+ ' V (ю)
1 — х У (¡1 — 1+ х)2 (¡2 — х)
1
1
с*1(1-2х)= 1___
1 — X ¡2 — X ¡1 — 1+ х
Существование решения системы (10), (11) на интервале [0,1/2] следует из того, что значение правой части в (10) при х = 0 строго положительно, а правой части (11), в силу условия (5), неположительно. Кроме того, при х =1/2 значение правой части (10) равно нулю, а правой части (11) положительно. Таким образом, найдется такое х, при котором значения правых частей (10) и (11) совпадут.
Находя производную по х правой части уравнения (10), получаем
2 ((М2 - х)2 + (М1 - 1 + х)2 ) + ^ 2Ж') ((М2 - х)3 (/XI - 1 + х)3 ) ^
х € [0, 1/2 — (ц — ц)/2],
а из (11)
Отсюда следует, что х, при котором правые части (10) и (11) совпадают, лежит в интервале х € [1/2 — (¡1 — ¡2)/2,1/2]. Значения равновесных цен для параметров Л =10 и различных ¡1 и ¡2 представлены в табл. 1.
Таблица 1. Значения (с\,С) при Л = 10
А» 2
6 7 8 9 10
6 (10;10)
7 (5.38;5.05) (2.5 2.5)
8 (3.94;3.53) (1.75 1.64) (1.11;1.11)
9 (3.26;2.81) (1.38 1.22) (0.87;0.81) (0.625;0.625)
10 (2.86;2.39) (1.18 0.98) (0.73;0.64) (0.52;0.49) (0.4;0.4)
4. Конкурентные потоки и общественный транспорт. Рассмотрим случай трех игроков. Игроки I и II обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени с параметрами ¡1 и ¡2 соответственно, игрок О (общественный транспорт) обслуживает заявки с параметром ¡о. Игроки назначают цену на обслуживание е\ и С2 соответственно, а со - это фиксированная цена общественного транспорта. Посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами. Таким образом, входящий поток разбивается на три пуассоновских потока с интенсивностями Ло, Л1 и Л2, где Ло + Л1+ Л2 = Л. Определим равновесные цены.
Симметричный случай. Пусть два сервиса одинаковые, т. е. ¡1 = ¡2 = ¡. Тогда интенсивности потоков Ло, Л1 и Л2 для соответствующих сервисов можно получить из системы
1 1 1
со Н--т- = сН--т- = с2 Н--—,
¡о — Ло ¡ — Л1 ¡ — Л2
Ло + Л1 + Л2 = Л. (12)
С одной стороны, дифференцируя (12) по с\ и решая относительно и находим
¿Лх (¡ — Л1)2((ц — Л2)2 + (цо — Л + Л1 + Л2 )2)
д,сЛ (р — Л2)2 + (¡¡4 — Л1)2 + (¡¡4 — Л + Л1 + Л2)2 '
Аналогичным образом получаем откуда с* и с2
= Л1 ((М-А2)2 + (М0-А + Л1+Л2)2 + (м-АО2) ' (13)
°2 = Л2 ((М-А1)2 + (М0-А + Л1 + Л2)2 + (М-А2)2) ' (14)
Из симметрии задачи очевидно, что в равновесии должно быть с1 = с2 и А1 = А2 = Тогда из (13), (14) следует
с* = = (-1-+-. (15)
С другой стороны, из (12)
со + —Ц- = с; +-(16)
Мо - А0 ¡л - ^^
Системой уравнений (15), (16) определяются равновесные цены с* и с2.
Несимметричный случай. Пусть сервисы неодинаковы и для определенности ¡1 > ¡2. Тогда
ан1 (с1,с2) аА1
--- = А1 + С1—- = О,
ас1 ас1
¿Н (с1,с2) а,А2 ---= Л2 + с2 —— = О,
ас2 ас2
откуда
Л,: г = 1,2.
г ¿А,/с1сн' Уравнения для интенсивностей А1 и А2
11
со Н--= с И--—,
¡0 — Ао ¡1 — А1
С1 +-Ц- = с2 +-Ц-, (17)
¡1 — А1 ¡2 — А2
Ао + А1 + А2 = А.
Дифференцируя (17) по с\ и решая относительно и получим аА1 (¡1 — А1)2((М2 — А2)2 + (¡0 — А + А1 + А2)2)
¿сЛ (¡2 — А2)2 + (¡1 — А1)2 + (¡0 — А + А1 + А2)2' Аналогичным образом определяем Затем находим с* и с2
* , (_1_ , 1
С1 = ЛЧ 777"-л _ \2 , л--л . л л N2 +
(¡2 — А2)2 + (¡0 — А + А1 + А2)2 (¡1 — А1)2
* , , _1_ , 1
с2 = А2 т-, , .-—--—-7Т +
>1 — А1)2 + (¡0 — А + А1 + А2 )2 (¡2 — А2)2 36
и приходим к системе уравнений
С1 Л1 1.(М2-А2)2 + (мо-А0)2 + (М1-А1)2
Л2
1
+
1
2с1 — с2 = со +
(¡1 — Л1)2 + (¡о — Ло)2 (¡2 — Л2)2 112
+
¡о — Ло ¡2 — Л2 ¡1 — Л1
Ло + Л1 + Л2
Л.
Системой уравнений (18) определяются равновесные цены с1 и с2. Их значения для параметров Л = 10, со = 1, ¡о = 3 представлены в табл. 2. Из нее видно, что с ростом интенсивностей обслуживания ¡1 и ¡2 каждой из конкурирующих фирм интенсивность потока пассажиров, использующих общественный транспорт, убывает.
Таблица 2. Значения (с1 ,с2) при Л = 10, Со = 1, ^о = 3
с
№ №
6 7 8 9
6 (с\-,с*2) (Ао; Ах; Аг) (0.3;0.3) (5.33;2.34;2.34)
7 (сх;сг) (Ао; Ах; Лг) (0.29;0.25) (5.08;2.68;2.23) (0.24;0.24) (4.87;2.56;2.56)
8 (сх;сг) (Ао; Ах; Аг) (0.28;0.22) (4.9;2.96;2.13) (0.23;0.2) (4.72;2.84;2.44) (0.19;0.19) (4.6;2.7;2.7)
9 (с*;с*) (Ао; Ах; Аг) (0.26;0.18) (4.8;3.19;2.03) (0.21;0.17) (4.61;3.07;2.32) (0.17;0.15) (4.5;2.93;2.56) (0.14;0.14) (4.43;2.78;2.78)
10 (сх;сг) (Ао; Ах; Аг) (0.25;0.16) (4.68;3.39;1.93) (0.2;0.14) (4.54;3.27;2.2) (0.16;0.13) (4.44;3.13;2.42) (0.13;0.12) (4.38;2.99;2.64)
5. Кооперативное поведение. Рассмотрим модель конкурентных потоков и общественного транспорта, которая описывалась в п. 4. Предположим, что игроки I и II могут организовать коалицию, которая обслуживает заявки с экспоненциальным распределением времени с параметром ¡12 = ¡1 + ¡2. Игрок О (общественный транспорт), как и раньше, обслуживает заявки с параметром ¡о.
Коалиция назначает цену на обслуживание С12, а общественный транспорт - со. Как и раньше, посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами. Таким образом, входящий поток разбивается на два пуассоновских потока с интенсивностями Ло, Л12, где Ло + Л12 = Л. Эти интенсивности можно найти из условия
со +-- т = с12 -Ц—. (19)
¡о — Ло ¡12 — Л12
С одной стороны, дифференцируя (19) по с\2 и решая относительно получим
¿Л12 (¡12 — Л12)2(мо — Л + Л12 )2
¿С12 (¡12 — Л12 )2 + (мо — Л + Л12 )2
откуда
=Ь = Ли1. + (20)
С другой стороны, из (19) находим
со +-Ц- = +-(21)
Мо - А0 ¡ли - ^^
Системой уравнений (20), (21) определяется оптимальная цена с*2- В кооперативной игре игроки должны разделить общий доход. В качестве правила дележа можно использовать вектор Шепли. Для игры двух лиц этот дележ имеет вид
Ф2(у) = \У(2) + ±(У(12)-У(1)),
где V - характеристическая функция в кооперативной игре.
Рассмотрим случай, когда стоимость проезда на общественном транспорте фиксирована и равна со = 1, а интенсивность обслуживания цо = 3. Посчитаем выигрыши игроков в двух случаях: в условиях конкуренции и кооперации. Результаты приведены в табл. 3. В ней v(i) = Н^(с1, с2) = Ас*, г = 0,1, 2; с*, с2 - решение системы (18) и кооперативный выигрыш v(12) = Н12(с*2) = А12с*2, где с*2 - решение системы (20), (21).
Таблица 3. Значения и(0),и(1),и(2),и(12) при Л = 10, с0 = 1, ^о = 3
V №
6 7 8 9 10
"(0) 5.33
6 41) "(2) «(12) 0.7 0.7 2.15
ь(0) 5.08 4.87
7 41) 0.78 0.61
42) «(12) 0.56 2.22 0.61 2.28
v(0) 4.9 4.72 4.6
8 41) 0.28 0.65 0.51
42) 0.47 0.49 0.51
412) 2.28 2.31 2.34
v(0) 4.8 4.61 4.5 4.43
9 41) 0.829 0.645 0.498 0.3892
42) 0.37 0.39 0.38 0.3892
412) 2.31 2.34 2.37 2.4
v(0) 4.68 4.54 4.44 4.38 4.33
10 41) 0.85 0.654 0.5 0.3887 0.31
42) 0.31 0.31 0.31 0.31 0.31
412) 2.34 2.37 2.4 2.42 2.43
Из табл. 3 видно, что V супераддитивная. Воспользуемся вектором Шепли, чтобы разделить выигрыш. При параметрах ^12 = 19 или = 10, а ^2 = 9 получим
= 1) +±(«(12)-«(2)) = 1.24,
Таким образом, игрокам I и II выгодно сформировать коалицию, при этом кооперативный выигрыш им следует разделить в данной пропорции.
6. Конкуренция п игроков. Рассмотренную в п. 5 модель конкуренции двух серверов можно распространить на случай п игроков. Представим, что есть п конкурентных серверов, которые обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени соответственно с параметрами ¡*, ¡2, ..., ¡п. Игроки назначают цены на свои услуги С1, С2, ..., сп. Тогда посетители будут выбирать сервис с меньшими затратами и входящий поток разобьется на п пуассоновских потока с интенсивностями А1, Л2,..., Ап, где А1 + А2 + .. + Ап = А. При этом затраты посетителя, воспользовавшегося г-м сервисом, будут равны
Сг Л--—, ¿ = 1,2,..., п.
¡г — Аг
Тогда интенсивности потоков А1, А2, ..., Ап для соответствующих сервисов можно найти из условия
с 1 +
1
= с2 + ■
1
= ... = с„ + ■
1
¡1 — А1 ¡2 — А2 ¡п — Ап
Как и раньше, введем в рассмотрение особого игрока, который интерпретируется в модели как общественный транспорт. В случае, когда число игроков равно п, интенсивности Аг, г = 1,...,п, определяются уравнениями
со +
1
= с ! + ■
1
С +
¡о — Ао 1 ¡1 — А1 1
¡г — Аг
Сг+1 +
¡г+1 — Аг+1
1, ..., п 1,
(22)
Ао + Аг = А.
г=1
Дифференцируя (22) по и решая относительно г = 1 ,...,п, по-
лучим
¿X
¿сг
(¡г — Аг)2 (Е П=о,^=г — А0)2)
En=о(¡г — Аг)2
г =1, ..., п.
Приходим к системе уравнений
с, +
С*г = Аг 1
1
+ '
ЕП=0.,'=г (¡j — А0 )2 ' (¡г — Аг)2 )
¡г — Аг
-1]=о.]=г\ ¡о Ао >
1
Сг+1 + л :
¡г+1 — Аг+1
г = 0, ..., п — 1,
(23)
Ао + Аг = А.
г=1
Системой уравнений (23) определяются равновесные цены С*,..., сП.
Как и для случая двух игроков, можно предложить кооперативную схему объединения всех игроков в одну коалицию с последующим дележом общего дохода для всех участников, используя вектор Шепли. Рассмотрим, например, трех игроков, которые обслуживают заявки с экспоненциальным временем с параметрами ¡* = 4, ¡2 = 6,
1
1
= 9 соответственно. Игроки могут организовать коалицию, причем она обслуживает заявки с интенсивностью ^ ¡лг, где Б - размер коалиции. Игрок О, как и раньше,
я
обслуживает заявки с параметром ^о = 3.
Чтобы определить характеристическую функцию в кооперативной игре, нужно рассчитать ее значения для каждой коалиции Б. Это можно сделать двумя способами. Первый, традиционный, когда оставшиеся игроки объединяются в коалицию и играют против Б. В этом случае для коалиции N \ Б собственный выигрыш не важен, ее задача минимизировать выигрыш коалиции Б. Тогда коалиция N \ Б в качестве своей стратегии может использовать сN= 0, увеличивая тем самым свой поток , но получая выигрыш, равный нулю. Выигрыш коалиции Б в данном случае уменьшится. В настоящей работе применяется другой подход, при котором характеристическая функция строится следующим образом. Предположим, что в игроков решили сформировать коалицию Б. Она играет как один игрок, а остальные п — в игроков находятся в равновесии с ней, т. е. в качестве стратегий используются равновесные цены. Эти цены являются равновесием по Нэшу в игре п — в + 1 лиц и находятся из системы (23) при количестве игроков п — в + 1. Тогда значение характеристической функции есть выигрыш рассматриваемого игрока или коалиции в ситуации равновесия по Нэшу. Вычисления представлены в табл. 4.
Таблица 4■ Значения у(Я) при Л = 10, с0 = 1, ^о = 3
"(0) 4.559 со 1 Ао 4.559 МО 3
«(1) 0.039 С1 0.064 Ах 0.608 М1 4
«(2) 0.213 с2 0.126 Л2 1.694 М2 6
«(3) 0.590 с.з 0.188 Аз 3.139 МЗ 9
"(0) 4.38 со 1 Ао 4.38 МО 3
«(12) 0.389 с*2 0.13 А12 2.99 М12 10
«(0) 4.507 с0 1 Ао 4.507 МО 3
«(13) 0.872 С13 0.227 А13 3.842 М13 13
«(0) 4.861 со 1 Ао 4.861 МО 3
«(23) 1.525 С9Я 0.371 Агз 4.11 М23 15
«(0) 5.569 С*п 1 Ао 5.769 МО 3
«(123) 2.416 С123 0.571 А123 4.231 М123 19
В кооперации игроки могут получить совместный доход, равный 2.416. После этого они могут его разделить. В качестве правила дележа можно использовать вектор Шепли. Для игры трех лиц этот дележ имеет вид
ФМ = ±«(1) + ±М12) - «(2)) + ±(«(13) - «(3)) + ±(«(123) - «(23)),
ф2(у) = ±«(2) + ±(«(12) - «(1)) + ±(«(23) - «(3)) + ±(«(123) - «(13)),
ф3(ь) = ±«(3) + ±(«(13) - «(1)) + ±(«(23) - «(2)) + ±(«(123) - «(12)),
где V - характеристическая функция в кооперативной игре. Из табл. 4 видно, что V супераддитивная. Для данной игры вектор Шепли
фIV = 0.386,
ф2^) = 0.799,
ф3(у) = 1.229,
причем плата за проезд будет общая для всех транспортных компаний и равна е*23 = 0.571. Таким образом, частным компаниям выгодно сформировать коалицию. Из табл. 4 видно, что увеличение конкуренции приводит к возрастанию потока пассажиров, которые предпочитают использовать конкурирующий транспорт, а не общественный.
Автор благодарит рецензента за полезные замечания. Литература
1. Hotelling H. Stability in Competition // Economic Journal. 1929. Vol. 39. P. 41—57.
2. D'Aspremont C., Gabszewicz J., Thisse J.-F. On Hotelling's "Stability in Competition" // Eco-nometrica. 1979. Vol. 47, N 5. P. 1145-1150.
3. Мазалова А. В. Дуополия Хотеллинга на плоскости в метрике Манхеттена // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 2. C. 33-43.
4. Altman E., Shimkin N. Individual equilibrium and learning in processor sharing systems // Operations Research. 1998. Vol. 46, N 6. P. 776-784.
5. Hassin R., Haviv M. To Queue or Not to Queue / Equilibrium Behavior in Queueing Systems. New York: Springer, 2003. 171 p.
6. Корягин М. Е. Конкуренция транспортных потоков // Автоматика и телемеханика. 2006. № 3. С. 143-151.
7. Luski I. On partial equilibrium in a queueing system with two services // The Review of Economic Studies. 1976. Vol. 43, N 3. P. 519-525.
8. Levhari D., Luski I. Duopoly pricing and waiting lines // European Economic Review. 1978. N 11. P. 17-35.
9. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. Изд. 2-е / пер. с англ. Е. Г. Коваленко; под ред. И. Н. Коваленко. М.: Сов. радио, 1971. 520 с.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 30 мая 2013 г.
