Дуополия Хотеллинга на плоскости в метрике Манхеттена Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.833.2 А. В. Мазалова

ДУОПОЛИЯ ХОТЕЛЛИНГА НА ПЛОСКОСТИ В МЕТРИКЕ МАНХЕТТЕНА

Введение. Дуополия Хотеллинга [1] занимает центральное место в экономических моделях ценообразования. В отличие от моделей Курно и Бертрана здесь принимается во внимание расстояние от покупателя до фирмы, где планируется купить товар. Причем сам покупатель является «рациональным» и руководствуется в своем выборе затратами, которые равны сумме цены на продукт и транспортных расходов. Модель Хотеллинга относится к линейному рынку, что ограничивает ее применение. Салоп [2] распространил модель Хотеллинга на плоскость, представив модель «кругового» города, в которой фирмы располагаются вдоль окружности на одинаковом расстоянии друг от друга. В модели Хотеллинга основной проблемой является нахождение равновесных цен. Однако важна и сама задача оптимального расположения фирм на рынке.

Обзор моделей и методов, используемых в задачах размещения, можно найти в [3]. В статьях [4, 5] были исследованы проблемы оптимального расположения в условиях конкуренции на плоскости и на графе соответственно. В работе [6] было найдено равновесие в задаче размещения двух фирм в городе, который был представлен в виде круга на плоскости.

В данной работе будет найдено равновесие в дуополии Хотеллинга на плоскости как в задаче ценообразования, так и в задаче о размещении. При этом город представлен в виде единичного квадрата, что очень удобно для моделирования такой задачи с использованием метрики Манхеттена. Расстояние по Манхеттену возникает в задачах, когда для передвижения по городу используются улицы. В качестве критерия предпочтения фирм выбрана сумма цены товара и расстояния до фирмы.

На единичном квадрате располагаются две фирмы, которые назначают цену на свой товар. Квадрат разбивается равномерной сеткой, и по ней происходит движение покупателей. Решается задача о ценообразовании и размещении на произвольной сетке. Исследуется асимптотика решения. Проведено сравнение решений в задаче о размещении для евклидовой и манхеттенской метрик.

1. Равновесие в модели Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену. Рассмотрим город, где размещаются две фирмы. Каждая из них задает свою цену на производимый товар, который один и тот же для обеих фирм. Пусть цены будут ci и С2 соответственно. Город разбит на улицы, которые проходят параллельно осям x и y и формируют равномерную сетку. Покупатели в городе располагаются равномерно вдоль улиц

Мазалова Анна Владимировна — аспирант кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Л. А. Петросян. Количество опубликованных работ: 3. Научное направление: теория игр. E-mail: [email protected].

© А. В. Мазалова, 2012

и двигаются по ним, причем расстояние, пройденное покупателем из точки х = (¿1 ,31) в точку у = (¿2,32), определяется как расстояние Манхеттена

р(х,у) = \п - ¿2 \ + |з*1 - 32 Покупатель сравнивает затраты от посещения каждой из фирм, причем затраты складываются из цены на товар плюс транспортные расходы, т. е. Ь = с^ + р(х, у), ¿ = 1, 2. Возникает вопрос, как изменится равновесие при различном расположении фирм?

Начнем с конкретной ситуации. Рассмотрим город, представленный в виде единичного квадрата, разбитый улицами, вдоль которых равномерно располагаются покупатели. Для начала разобьем каждую сторону квадрата на п = 3 части. Предположим, что фирмы размещаются в точках (0, 1) и (1, 0), а дороги, как на рис. 1.

Пусть фирма II определила цену на товар с2 ^ с1, тогда в нее пойдет больше покупателей, чем в фирму I, на рисунке это заштрихованная область. Для покупателей из точек (1,т), где % = 1,2,3,

^п'п/' V п' п Л ^ 111

3 =0,1, 2, затраты от посещения фирм I и II равны, причем I характеризует долю покупателей, предпочитающих ту фирму, которая определила меньшую цену на товар, т. е. фирму II:

С1 + 1 - I = С2 + 1+1,

откуда

I =

с1 - с2

Рис. 1. Дуополия в метрике Манхеттена, п = 3

1

Я1(сь с2) = -С1(4 + 61) = -С1(4 + 3с2 - ЗС1),

Под функцией выигрыша игрока будем понимать произведение цены на товар на долю покупателей, выбравших данную фирму. Тогда функции выигрыша для игроков I и II имеют вид

1

Н2(сис2) = |с2(8 - 4 - 6/) = ^с2(4-3с2 + 3с1).

о о

Это вогнутые функции. Теперь можно найти равновесие по Нэшу из условий

дН 1

^ = -(4-6с1+3С2) = 0, дН2 1,

_ = -(4 + 3С1-6с2) = 0.

Отсюда следует, что с\ = с^ =

Теперь перейдем к анализу общего случая. Предположим, что единичный квадрат разбит равномерной сеткой улиц на п2 частей. Фирмы располагаются в точках (х1, у1) =

(¿1 /п,Л1/п) и (х2,у2) = (г2/п,Л2/п) соответственно, где 0 ^ ¿к,Лк ^ п, к = 1, 2. Без ограничения общности будем считать, что г1 ^ г2 и j1 ^ Л2.

Для заданных цен с1, с2 покупатели разобьются на два множества. Множество покупателей Б1, предпочитающих фирму I, на рис. 2 затемнено. Чтобы найти функцию выигрыша игрока I, нужно вычислить число покупателей, из множества Б1, или в контексте задачи, длину улиц, принадлежащих множеству Б1.

Рис. 2. Дуополия в метрике Манхеттена, общий случай

Для удобства предположим, что (г2 — г1) + — j1) - нечетное число, иначе: сдвинем одну из фирм в соседнюю клетку. Вначале рассмотрим случай

У2 — У1 > Х2 — Х1.

Предположим, что с1 = с2. Тогда единичный квадрат разобьется на два множества Б0 и Б0 с границей 5, на которой расстояния до фирм I и II одинаковы (см. рис. 2, а). Вычислим число покупателей из множества Б0, находящихся на улицах, которые не пересекаются с границей 5. На рис. 2, а это затемненная область под границей 5. Она состоит из двух множеств - прямоугольника Бц и трапеции $12. Число покупателей в множестве Б11 равно

511 = (п +1)

А I (32-jl)-(i2-il)-l Л "Г О

+ Л +

{32 -¿1) ~ (¿2 - ч) + 1

2

где первое слагаемое представляет общую длину вертикальных улиц в множестве Б11, а второе - длину горизонтальных улиц. Число покупателей в множестве Б12 равно

512 = ( (н + 1)—-— + (¿2 - ч)~ ) + — (г2 - п)(г2 -Ч - 1).

\ п п) п

Теперь рассмотрим общий случай с1 = с2. Для определенности пусть с2 > с1. Тогда граница 5 между соответствующими множествами Б1 и Б2 сдвинется ближе к фирме II (см. рис. 2, б) на величину I, которая находится из равенства затрат:

с2 - Сг + ±

п

Теперь, чтобы вычислить число покупателей в множестве $1, нужно сложить число покупателей в множестве й10 с числом покупателей в полосе между границей множества й10 и границей 3:

813 = (п + 1)1 + (¿2 - ¿1)/ + [п1}П~г2 + г\

п

где первое слагаемое представляет общую длину всех вертикальных улиц, а второе -длину горизонтальных улиц, [п1] - целая часть числа п1.

Общая длина всех улиц на данной сетке равна 2(п + 1). Таким образом, доля покупателей из множества й равна

_ 311 + 312 + а 13 51 ~ 2(п+1) '

После упрощений находим

= 2(^ТТ) {{п + г1" *2)(1 + " ^ + ^ +

+ (п + г2-г1 + 1)г+НП~г2+г1У (1)

п

Перейдем к пределу в выражении (1):

в! = Ит в!(п) = ^ (г/2 + У\ + XI - х2 + х\ - х\ + 21) , (2)

и^ж 2

где I = (с2 — С1)/2.

Тогда функция выигрыша для игрока I с учетом (2) равна

Й1(с1,с2) = с1в1 = (У2 +У1 +х\ -х2 +х1 -х\ + с2 -сл). Соответственно функция выигрыша для игрока II

#2(с1,с2) = с2(! ~ в1) = (2 - У2 ~ У1 ~ XI +х2 - х\ +х\ - с2 + сл).

Такой вид функции выигрыша имеют в случае у2 — У1 > X — XI.

Если же у2 — У1 < Х2 — XI, то поменяем аргументы местами. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что тогда функции выигрыша фирм можно записать следующим образом:

Я!(сь с2) = С1в1 = (х2 + XI + г/1 - у2 +у1 - у\ + с2 - сх). Соответственно функция выигрыша для игрока II равна

#2(с1, с2) = с2(1 - в1) = (2 - х2 - хл - г/1 +у2 - г/2 + У? ~ с2 + С1).

Наконец, самый простой случай, когда у2 — У1 = Х2 — Х1. Тогда множества и $2 разбиваются прямой, параллельной прямой у = —х и проходящей через середину отрезка, соединяющего точки (х1,у1) и (х2,У2). Несложно видеть, что функции выигрыша игроков принимают вид

Я1(с1,с2) = С1в1 = ((ж1 +у2)2 - у? +с2 - С1),

#2(С1,С2) = с2(! ~ в1) = 7)с2 (2 - (Х1 + У2)2 - С2 + С1).

Равновесие по Нэшу найдем из условий

дН1 дН2 -- = 0, -- = 0.

дв\ ' дс2

Получаем, что для случая у2 — у\ > ж2 — Х1 цены в равновесии составят величину

4 = + + у2 + Ж1 - ж2 + х\ - х\),

с2 = ^ (4 - (у! +У2+х 1 -ж2 +ж2 - ж2)), и оптимальные значения выигрышей примут вид

1 2

Н1{с\,с*2) = — (2 +г/1 +у2 +Х1 -ж2 +^2 -ж2) , (3)

18

1 2 = — (4-(у1+у2+ж1-ж2+ж1-ж?)) . (4)

Если же имеет место условие у2 — У1 < Х2 — Х1, то равновесные цены равны

С1 = о(2 + Ж 1 +Ж2 + 2/1 ~У2 + у1 - у{),

с*2 = ^ (4 - (Ж1 +ж2 +у1 -У2 +у1 - у\)), соответственно выигрыши игроков в равновесии -

иЛс*ъс1) = у^ (2 + Ж1 +ж2 +у1 -у2 +у1 -у\)2 , (5)

1 2

Н2(С*1,С*2) =— (4-(Х1+Х2+У1-У2+У1-У1)) ■ (6)

Отметим, что найденные равновесные цены являются необходимыми, но не достаточными условиями равновесия по Нэшу, поскольку, в частности, как показано Хо-теллингом [1] и д'Аспремонтом с соавторами [7], в описанной модели нет равновесия в смысле Нэша при слишком близком расположении игроков, кроме единственного тривиального равновесия с нулевыми ценами.

2. Оптимальное расположение фирм. Из (3)-(6) видно, что функции выигрыша игроков зависят от положения фирм в городе, поэтому представим их в виде функций Нъ(х1,х2; у1,у2), г = 1, 2. Следующей за задачей равновесных цен возникает задача оптимального расположения фирм на единичном квадрате. Выражения (3)-(6) определяют доходы фирм при равновесных ценах на рынке. Кроме этого, важным является само расположение фирм, например рядом с железной дорогой или со складом товаров. Можно ввести затраты фирм на размещение в данной точке и включить их в доходы от продажи товара.

Предположим, что для одной из фирм важно находиться рядом с началом координат, а для другой - недалеко от правой верхней вершины квадрата. Рассмотрим симметричный случай, когда функции выигрыша игроков зависят от некоторого параметра 7 и имеют вид

Н1(Х1,У1]Х2,У2) = Н1(Х1,У1]Х2,У2) ~ + У\)2,

Н2(х1,У1]Х2,У2) = Н2(х1,у1]х2,у2) - ^-(2-х2 - у2)2,

18

т. е. для фирмы I невыгодно отклоняться от точки (0, 0), а для фирмы II - от точки (1,1). Симметрия задачи позволяет предположить, что равновесное расположение фирм находится на главной диагонали квадрата.

Предположим, что фирма II размещается на диагонали квадрата х2 = у2 = к ^ 1/2. Будем считать, что фирма I также находится на диагонали квадрата Х1 = у1 = Ь ^ 1/2 и первый игрок отклонился так, что х1 < у1. Тогда его выигрыш в данной точке имеет вид (5), т. е.

1

Н^хиуц к, к) = ^ (2 + У1 + Х1 - х2 + к2)2 - + У1)2.

Найдем наилучший ответ первого игрока по х1. Для этого вычислим дН 1

—^ = - ((2 + У1 + X! - х2 + к2)( 1 - 2X1) - 7(Х1 + 2/1))•

Предположим, что в силу симметрии задачи производная (7) равна нулю в точке х1 = у1 = Ь = 1 — к. Подставляя в (7) и упрощая, для к получим выражение

(7)

к=

27 + 3 27 + 6'

(8)

Несложно показать, что при таком к наилучший ответ первого игрока действительно достигается при х1 = 1 — к, у1 = 1 — к. Тогда равновесным размещением фирм является расположение х1 = у1 = 1 — к, х2 = у2 = к, где к определено в (8). Заметим, что при изменении 7 от 0 до го к меняется от 1/2 до 1. Таким образом, при отсутствии предпочтения к определенному месту на квадрате, так же как в классической модели Хотеллинга, фирмы стремятся расположиться к центру квадрата.

3. Равновесные цены в дуополии на квадрате с евклидовой метрикой.

В работе [5] были найдены равновесные цены и решена задача о размещении в задаче на плоскости с евклидовой метрикой для случая, когда город был представлен в виде круга. Рассмотрим эту задачу для рассматриваемого здесь случая, когда город представлен как единичный квадрат с равномерным распределением покупателей по его площади. При этом для удобства повернем квадрат на п/4 и сдвинем его в начало координат (рис. 3).

В этом городе располагаются две фирмы в точках (—к, 0) и (к, 0). Каждая из них задает свою цену на производимый товар, который один и тот же для обеих фирм. Пусть цены будут с1 и с2 соответственно. Без ограничения общности будем считать, что с1 ^ с2. Покупатель из точки (х, у) сравнивает затраты от посещения каждой из фирм. Расстояние до каждой из фирм обозначим р\{х,у) = л/(х + к)2 + у2 и р2(х,у) = л/(х — к)2 + у2 соответственно. Затраты складываются из цены на товар плюс транспортные расходы, т. е. Ь = с^ + р^(х,у), г = 1, 2.

^\ У

/ 4

/

.■&>гк 0 2 X к/

\ ->1

Рис. 3. Дуополия в евклидовой метрике

Тогда множество всех покупателей разделится на два подмножества и , с границей, определяемой уравнением

с 1 + л/{х + к)2 + у2 = с2 + л/(х - к)2 + у2, или, после упрощений,

2 2 _ _ У! = 1

а2 Ъ2 ~ '

где а = °22С1; Ъ = л/к2 - а2.

Граница между областями $1 и $2 является гиперболой. Выигрыши игроков имеют вид

Н (СЬС2) = С1$1, Н2 (С1,С2) = С2^2. Так как $1 + $2 = 1, достаточно найти $2

VI «Ч/^ ^

Б2 = — — 2 ! ^У J <И,х — 2 J (1у J д,х =

0 0 У1 о

VI

ъ

= л/~2у\ -у\- 2аЪ ! л/\ + ¿2сЙ,

0

где у1 есть точка пересечения границы областей $1 и и стороной квадрата, т. е. определяется из системы

22 _ У_ =

а2 Ъ2 ' л/2

х + у = -.

У 2

Решением этой системы, удовлетворяющим условию х > 0, является точка

л/2 Ъ2 - 2Ьал/ъ2 + а2

Ш =-Щ^)-' (9)

Равновесие по Нэшу (с* ,с2) найдем из условий

дН1{със2) дв2

---= 1-й2-С1-—=0, (10)

дс1 дс1

дН2{сис2) дв2

---= Ь2 + с2-—= 0. (И)

дс2 дс2

Для $2 имеем

ь2 -а2 [ Г—— а2У1у/иЧ1% ^ = --^— +

н- I л/2 — 22/1 —

1 дух а дух

2 да 26 <96

Так как = и = — приходим к соотношению

^2(1 + —) = 1,

С2

которое свидетельствует о том, что если решение системы (10), (11) существует, то это может быть лишь при е\ = С2.

Тогда ¿>1 = Б2 = \ и а = 0, Ъ = к. При таких значениях а и Ъ из (9) получаем, что = ^ и

У1 =

1

л/2 к

дс1 .]

Из системы (10), (11) находим, что равновесные цены имеют вид

-1

с*1 = = 0.5

/г J \/1 -\-Ь2сИ

(12)

\

Равновесные цены при к = —0.5 равны

0.5562.

При этом оптимальные выигрыши игроков составят ИЦ = И2 = 0.2781.

4. Задача о размещении на квадрате. В случае рационального поведения покупателей в модели Хотеллинга существуют равновесные цены, которые зависят от расположения фирм в городе. Возникает вопрос, существует ли равновесное расположение фирм. Введем также затраты фирм на размещение, и включим их в доходы от продажи товара. Пусть фирмы располагаются в точках (к1, 0) и (к2, 0), где к1 ^ 0 ^ к2. Предположим также, что С1 ^ С2. Очевидно, что в данной задаче стратегии игроков заключаются только в выборе координат, а не в выборе цены на товар, как в п. 3. Тогда множество всех покупателей разделится на два подмножества й и 52, с границей, определяемой уравнением

С1

+ \/{х - кх)2 + у2 = с2 + \/(х - /г2)2 + у2,

или, после упрощений,

где

(х — /г)2 у2 ^ Ь2

с2 - С1 Г~2 Г т к2 + Ь к2-кг а=---, о = у кд — а2, к=---, к0 =---.

Таким образом, граница между областями й и 52 является гиперболой.

Ь

2

С

С

Предположим, что затраты игроков имеют такой же вид, как в модели с расстоянием по Манхеттену. Игроки заинтересованы располагаться ближе к крайним точкам главной диагонали, и затраты зависят от некоторого параметра 7:

Н1(с1,с2) = - ~ к1)2, Н2(с1,с2) = с2Б2 - - к2)2.

Будем менять положение к\ и к2 этих фирм, каждый раз находя равновесные цены о\, е2. Они будут удовлетворять условиям

дН1{с1,с2) дБ,

-5- = 1 - ¿>2 + С1—— = О,

дс1 дс1

дН2(сьс2) дБ2

-5- = Ь2- с2-— = 0.

дс2 002

Так как ^ = то Ц- = -Ц и Ц- = Ц-. Тогда систему можно представить

в виде

дН\(с1, с2) дв2

-5-= 1-£>2+С1-—= °> (13)

дс1 дс2

дН2(сис2) дв2

---= Ь2 + с2-—= 0. (14)

802 дс2

Равновесие, определяемое условиями (13), (14), обусловливается положением фирм кг, г = 1, 2. Таким образом, функции выигрыша игроков также зависят от расположения фирм. Запишем это в виде

Нг(к1 ,к2) = Иг(сл(кик2),с2(кик2),к), г = 1, 2.

Перейдем к нахождению равновесия, т. е. координат (к*,к2), для которых выполняется условие

Н1(к1 ,к*2) < Н1(к*1,к22), Н2(К,к2) < Н2(к1,к*2).

Симметрия задачи позволяет упростить построение равновесия. Зафиксируем положение фирмы I к1, и будем менять положение фирмы II, каждый раз находя равновесные цены с1, с2, которые будут зависеть от к2:

Н2(к2) = Н2(с1(к2 ),с2(к2),к2).

Найдем максимальный выигрыш фирмы II. Если он будет достигаться в точке к2, симметричной относительно начала координат от точки к1 , этого будет достаточно для того, чтобы точка (-к, к) была равновесием по Нэшу в задаче о размещении. Перейдем к построению равновесия.

Функция Н2(к2) в данном случае имеет вид Н2 = с2Б2 — — к2)2. Здесь Б2

может быть представлена как

VI У VI

л/2 г /-, , У2

Б2 = 2 I ¿у I ¿х = 2 I ( —--у - к - ау1 + \ ¿у,

о

где у\ есть точка пересечения границы областей и Б2 и стороной квадрата, т. е. определяется из системы

О - к)2 _ = 1

а2 Ъ2 " '

-и ^

Решением системы при условии х > 0 является точка

1 Ъ2{л/2 - 2к) - аЪ^Щк - у/2) + 4(б2 - а2) + 2

2/1=9

2 у- —

Максимум выигрыша достигается в точке, для которой выполняется условие ^гр- = 0. Тогда условие максимума примет вид

1_

18

2-2 к2)-с2

) \ дс2 дк2 дк2)

(15)

Получая выражения для производных щ-, и в равновесии, несложно показать, что условие (15) для оптимальной стратегии к2 = к можно представить следующим образом: /

С2

^2 3

V

7 I 18

Р^с. График зависимости к от 7

(16)

Система из условий (12) и (16) для равновесных цен задает условие для равновесного расположения фирм. На графике зависимости к от 7 (рис. 4) видно, что при изменении 7 от 0 до оо к меняется от 0.309 до При отсутствии предпочтения к определенному месту на квадрате фирмы стремятся расположиться в точках к2 = —кI = 0.309.

Заключение. Итак, равновесие в задаче о размещении найдено в случае, когда расстояние представлено в евклидовой метрике и метрике Манхеттена, когда выигрыши фирм включают в себя затраты на размещение. Проведем сравнение полученных результатов.

Пусть, например, параметр 7 = 1. В модели города с расстоянием по Манхеттену, рассмотренной в п. 3, установлено, что фирмы должны располагаться в точках (/с, к) и (1 — /с, 1 — /с), где к = 3/8 = 0.375, или на расстоянии \/2(1/2 — 3/8) ~ 0.176 от центра квадрата. Во второй модели из системы (12), (16) находим, что к & 0.342, т. е. фирмы должны располагаться на расстоянии 0.342 от центра квадрата, или примерно в 2 раза дальше, чем в модели с расстоянием по Манхеттену.

Автор благодарит А. М. Ковшова за полезные замечания.

Литература

1. Hotelling H. Stability in Competition // Economic Journal. 1929. Vol. 39. P. 41—57.

2. Salop S. Monopolitic Competition with Outside Goods // Bell Journal of Econom. 1979. Vol. 10. P. 141-156.

3. Nickel S., Puerto J. Location Theory: A Unified Approach. Berlin: Springer. 2005. 437 p.

4. Dresner Z. Competitive location strategies for two facilities // Regional Science and Urban Economics. 1982. Vol. 12. P. 485-493.

5. Hakimi S. L. On locating new facilities in a competitive environment // European Journal of Operational Research. 1983. Vol. 12. P. 29-35.

6. Мазалов В. В., Щипцова А. В., Токарева Ю. С. Дуополия Хотеллинга и задача о размещении на плоскости // Экономика и математические методы. 2010. Т. 46, вып. 4. С. 91-100.

7. D'Aspremont C., Gabszewicz J., Thisse J.-F. On Hotelling's "Stability in Competition" // Eco-nometrica. 1979. Vol. 47, N 5. P. 1145-1150.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 28 февраля 2012 г.