Дуальная задача к задаче М. А. Гольдштика с произвольной завихренностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.25+532.51

Дуальная задача к задаче М.А.Гольдштика с произвольной завихренностью

Исаак И. Вайнштейн*

Институт космических и информационных технологий, Сибирский федеральный университет, Киренского, 26, Красноярск, 660074,

Россия

Получена 18.06.2010, окончательный вариант 25.07.2010, принята к печати 10.08.2010 В 'работе доказано существование решения дуальной задачи к задаче М.А.Гольдштика с произвольной завихренностью. На модельном примере установлен эффект неединственности решения.

Ключевые слова: вихревые и потенциальные течения, интегральное уравнение, функция Грина, уравнение Лиувилля.

В теории вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости известны две дуальные задачи: в ограниченной плоской области Б с границей Г требуется найти непрерывно дифференцируемые решения уравнений

ДФ = ] (1)

w, если Ф < 0,

0, если Ф > 0.

W, если Ф > 0,

0, если Ф <0

ДФ =4 (2)

при краевом условии

Ф|г = y>(s) > 0, ш = const > 0. (3)

Ф(ж, y) — функция тока [1—4].

Задача (1),(3) описывает схему отрывных течений М.А.Лаврентьева, согласно которой зона отрыва отделена от внешнего потока нулевой линией тока. Внутри зоны течение полагается вихревым с постоянной завихренностью ш и потенциальным вне зоны [1—4].

Задача (2),(3) описывает модель плоского течения идеальной жидкости в поле кориоли-совых сил [2-4]. Модель на расчетном примере, применительно к озеру Байкал, обосновала возможность существования в озере непроточной зоны, что может привести к его существенному загрязнению.

Гармоническая в области D функция Фо(х,у), удовлетворяющая условию (3), положительна в области D и является решением задачи (1),(3). Это решение назовем тривиальным.

В [1] доказано существование нетривиального (с областью отрицательности) решения задачи (1),(2) при достаточно большом значении величины ш. В [3,5] получено неравенство

4Ke

ш ^ "Ж, (4)

при котором существует нетривиальное решение задачи, где R — радиус наибольшего по площади круга, который можно вписать в область D, K = max y>(s).

* isvain@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

В задаче (2),(3) предполагается выполнение неравенства

ш > ШШ гг -А-, 7А , = Ь,

Ц ЧХ,У,£,П) «? «П

Б

где С — функция Грина задачи Дирихле оператора Лапласа для области Б. При выполнении неравенства ш > Ь область Б разбивается на две зоны: проточную, где Ф > 0 и непроточную, где жидкость покоится (Ф = 0). В случае ш < Ь непроточная зона отсутствует. Этот случай можно считать тривиальным. В [2] доказано существование и единственность решения задачи (2),(3).

Разницу в свойствах решений дуальных задач можно объяснить разным поведением правых частей уравнений (1),(2). В уравнении (1) правая часть не возрастает, а в (2) — не убывает по Ф.

В задаче (1),(3) предполагается, что завихренность ш постоянна. В общем случае вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости завихренность является произвольной функцией от функции тока ш = ^(Ф) [4].

Рассмотрим дуальные задачи для случая ш = ^(Ф) > 0.

^(Ф), если Ф < 0, ДФ =4 (5)

0, если Ф > 0.

^(Ф), если Ф > 0, ДФ =4 (6)

0, если Ф < 0.

Гармоническая функция Фо(х, у), так же как и для задачи (1),(3), является тривиальным решением задачи (5),(3). В [6],[7] получены условия существования нетривиального решения задачи (5),(3). Например, если функция ^(Ф) непрерывно дифференцируема по Ф и

0 < ш0 < ^(Ф) < М, (7)

то при условии

4Ке

шо > Ж, (8)

аналогичному (4), задача (6),(3) имеет отличное от тривиального решение [7].

В работах М.Г.Красносельского, А.В.Покровского, В.Н.Павленко, М.Г.Лепчинского и др. строится теория краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с разрывной нелинейностью относительно решения в правой части уравнения [8]. Важным моментом в этих работах является аппроксимация краевой задачи с разрывной нелинейностью, последовательностью краевых задач с "гладкими" правыми частями. Далее устанавливается сходимость последовательности решений аппроксимирующих краевых задач к решению исходной краевой задачи. Впервые идея такой аппроксимации была рассмотрена в [2-5].

Задачи существования течения по схеме М.А.Лаврентьева в неограниченной области при произвольной завихренности рассматривались в [9-11].

Одной из нерешенных проблем в задаче (1),(3), даже в случае постоянной завихренности, является количество нетривиальных решений.

Рассмотрим задачу (6), (3). Для доказательства существования ее решения рассмотрим последовательность задач

ДФ„ = Ш(Ф„п) ^(Ф„), (9)

Фп|г = (10)

Граница Г достаточно гладкая.

Пусть ^(Ф) непрерывно дифференцируема и ^(Ф) ^ М. При каждом п решение задачи (9),(10) существует [12]. Ее решение не может быть отрицательным ни в одной точке. Если в некоторой точке ФП < 0, то найдется подобласть П' С П, содержащая эту точку, на границе которой ФП = 0, а внутри ФП ^ 0. Учитывая еще, что ДФП ^ 0 в П', заключаем, что ФП = 0 в П'.

Функции ФП удовлетворяют интегральному уравнению

Фп = Фо - Л ^(Ф„п) ^ (ф„) с(х, у, е, п) ¿е (11)

в

Из представления (11) и из свойств интеграла типа потенциала вытекает, что последовательность ФП компактна в пространстве С 1(П). Пусть подпоследовательность ФПк сходится к непрерывно дифференцируемой функции Ф, Ф ^ 0.

Следуя [2],[4], покажем, что открытое множество точек В, в которых Ф > 0, является областью, если множество точек 7 границы Г, в которых у>(в) > 0 связно. Предельная функция Ф непрерывна вплоть до границы. Следовательно, в окрестности дуги 7 найдется область в С В. Предположим, что имеется точка то С В, которую нельзя соединить с точками области в. Возьмем компоненту М С В, содержащую точку то. Покажем, что во всех точках ее границы Ф = 0. Если в некоторой ее точке т Ф > 0, то т € Г, ибо в противном случае т € М. И тогда точка то может быть соединена с областью в С В через окрестность точки т. Функция Ф, как равномерный предел субгармонических функций ДФПк = Ш(ФПкпк) ^(ФПкпк) ^ 0, субгармонична в области М. В силу принципа максимума Ф = 0, что противоречит определению М.

Докажем, что предельная функция Ф является решением уравнения ДФ = ^(Ф) в области В. Возьмем произвольно точку то С В и круговую окрестность Ве С В точки то, в которой, начиная с некоторого номера, ФПк > 0. В Ве рассмотрим последовательность задач

ДКк = Ш(Ф

Пк

Пк (Ф

Пк

), (12) Упк |гВе =Фпк |гВе > 0. (13)

За УПк возьмем ФПк. УПк ^ Ф > 0. В замкнутой области Ве: Ш(ФПкпк) ^(ФПк) ^ ^(Ф) равномерно, и в уравнении (12) можно перейти к пределу при пк ^ те. После чего получаем ДФ = ^(Ф) в Ве.

Получим условие, при котором предельная функция Ф обращается в ноль в области Б. Предположим, что Ф > 0 во всех точках области Б. В соответствии с (6)

Ф = Фо - // р(Ф) с(х, у, е, п) ¿е ¿п. (14)

в

Пусть

Из (14), (15) Отсюда при

^(Ф) > ^о > 0 для всех Ф > 0. (15)

Ф ^ Фо - 2По // С(х,у,е,п) ¿е^П. (16)

> шт

Ц у е, п) ¿п в

в области Б найдутся точки, в которых Ф < 0.

Пусть К — радиус наибольшего по площади круга Сд, который можно вписать в область Б (можно считать, что его центр находится в начале координат), и Од — функция Грина оператора Лапласа для круга Сд задачи Дирихле. Рассмотрим функцию

Ш = 20 И О(х, У, п) ¿п - Ц Од(х, у, е, П) ^ ¿п.

О Он

АШ = 0 внутри круга Сд. На его границе Ш ^ 0. Из принципа экстремума для гармонических функций следует, что W>0 внутри Сд. Таким образом, в Сд

Ц О(х У, е п) ¿е ¿п> Ц Од(х У, е п) ¿е ¿п.

О Он

Из (16) в Сд

Ф < К - Л Од(х,у,е,п) ¿е ¿п, К = тах у>(в). (17)

Он

Введем функцию

и = К - // Од(х,у,е,п) ¿е^п, Ф < и. (18)

Он

Функция и в круге Сд удовлетворяет уравнению Пуассона Аи = 2о и на его границе равняется константе К > 0. Это дает возможность выписать ее в явном виде:

и = К + 20 (г2 - К2), г2 = х2 + у2.

Если

4К ( 4К

К2--> 0, 2о

20 V К2

то и < 0 в Сд1, К1 = У К2 - . Отсюда и из (18) (Ф < и) следует, что Ф < 0 в Сд1. А это противоречит предположению, что Ф строго больше нуля в Сд. Таким образом, доказана

Теорема. Если функция ^(Ф) непрерывно дифференцируема и

0 < ^(Ф) < М, (19)

то задача (6),(3) имеет 'решение, причем при выполнении неравенств

4К

0 <20 < ^(Ф) при Ф > 0, 20 > , (20)

К2

решение обращается в ноль в точках области Б.

Рассмотрим модельную задачу: 2 = ^(Ф) = елф, Б — круг радиуса К и у(в) = К > 0. Условия теоремы не выполняются. Имеем

гх'ф, если Ф > 0, АФ = (21)

0, если Ф < 0,

Ф|г=д = К > 0. (22)

Ищем решение задачи, зависящее только от г. В этом случае задачу (21), (22) можно переписать в виде

{0, если 0 ^ г < а,

(23)

елф, если а < г < Д,

Ф(Д) = К, Ф(а) = 0, |г=а = 0. (24)

аг

Ищем значение величины а.

Для эллиптического уравнения Лиувилля ДФ = елф известны формулы представления решений: при Л > 0

1 2(«2 + «2) 1 , 2(«2 + V?) т 1 , 2(«2 + V?)

- -Ц-, Ф=-1п—^-, Ф=-1п—-у—,

Л Л«2(ж,у) Л Л эИ2 «(ж, у) Л Л эт2 «(ж, у)

при Л < 0

1 , |Л| сИ2 «(ж, у) . .

Ф = ТТГ Ь 2( 2 + 2), (26)

|Л| 2(+« 2)

«(ж, у) — произвольная гармоническая функция [13].

Рассмотрим случай Л < 0. В этом случае правая часть уравнения ДФ = ^(Ф) не гарантирует единственность решения задачи Дирихл^^ < о).Перейдем к Л1 = Л1 >0.

Решение задачи ищем в виде

0, если 0 ^ г ^ а,

Ф(Г) = < 1 . Л1 г2 сИ2(с1 1пг + С2) 0 (27)

— 1п-2-, а < г < Д.

Л1 2с1

Здесь взяли формулу (26) и за гармоническую функцию «(г) = С11пг + с2. Удовлетворяем условиям (24):

2 2 2 2

Л1Д2 сИ2(с11п Д + с2) Л к Л1а2 сИ (с11п а + с2)

-2с1-= е 1, -2с1-= 1, 1 + с1 ^Ь(с11па + с2)=0. (28)

Из второго и третьего уравнения (28)

с11п а + с2 = агеШ ( - — ) = 1 1п —-1, |с11 > 1, (29)

с1 2 с1 + 1

Л1а2 сИ2(11п21-1) Л1а- ,

1 С1+ =1, „Л1" =1, с1 = \/1 + (30)

,2 сЬ2( 1 1п )

2с? 2(с2 - 1) ^ V " ' 2

Взяли с1 со знаком плюс, так как изменение знака на минус не изменяет соотношения (27), (28),(30).

Подставляя с1, с2 из (30),(29) в первое уравнение (28), получаем уравнение для определения величины а.

Л1Д2 сИ2 \/1 + ^ 1п £ + агеШ - 1

_!_а_У -11-)) = ел1 к (31)

2(1 + ^) ' ' ;

Введем функцию

AiR2 ch2 I yT+^if^2 ln RR + arcth I --

y (a) =

2(1 + ^If2)

0 < a < R.

Имеем

AiR2 ch2

i + Ч2 in RR + 1 ln

/1+^-i

Hm y(a) = Hm

a^O a^U

/1+^+i

= lim

a^O

2(1 + Ajf) . AiR2 ch^I ln R^ + 2 ln A^) (R2Ai

2

+ 1 > i, y(R) = 1.

Пусть M = maxy(a), доопределив y(0) что при выполнении неравенства

R2 A

(32)

(33)

)2

■ + 11 . Из вида уравнения (31) следует,

„Ai к

^ M

(34)

оно имеет решение, и тем самым модельная задача (21),(22) при А < 0 имеет решение с двумя различными зонами течения. В одной из них жидкость покоится.

Не проводя тщательного анализа, на конкретных примерах можно увидеть, что задача может иметь несколько решений. Например, при Я = 6, Ах =2 график функции у(а) имеет вид, как на рис. 1. Прямая у = вХгк может пересечь кривую у(а) уже в двух точках.

i

2

8

8

Рис. 1. График функции y(a), R = 6, A = 2

Список литературы

[1] М.А Гольдштик, Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости, Докл. АН СССР, 8(1962), №6, 1310-1313.

[2] И.И.Вайнштейн, М.А. Гольдштик, О движении идеальной жидкости в поле кориоли-совых сил, Докл. АН СССР, 6(1967), №6, 1277-1230.

[3] И.И.Вайнштейн, О движении идеальной жидкости с завихренными зонами, Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Новосибирск, 1972, 12 с.

[4] М.А Гольдштик, Вихревые потоки, Новосибирск, Наука, 1961.

[5] И.И.Вайнштейн, В.К.Юровский, Об одной задаче сопряжения вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости, Ж. прикл. мех. и техн. физ., (1976), №6, 98-100.

[6] И.И.Вайнштейн, П.С.Литвинов, Модель М.А.Лаврентьева о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости, Вестник СибГАУ, 24(2009), №3, 7-9.

[7] П.С.Литвинов, Математическое моделирование двухслойных потоков в подшипниках скольжения, сепараторах и течениях по схеме М.А.Лаврентьева, Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Красноярск, 2009, 24 с.

[8] М.Г.Лепчинский, Существование и устойчивость краевых задач с разрывными нели-нейностями, Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Екатеринбург, 2008, 24 с.

[9] А.Б.Шабат, О двух задачах на склеивание, Докл. АН СССР, 150(1963), №6, 1242-1245.

[10] С.Н.Антонцев, В.Д.Лелюх, Динамика сплошной среды, (1969), №1, 131-153.

[11] П.И.Плотников, О разрешимости одного класса задач на склеивание вихревых и потенциальных течений, Динамика сплошной среды, (1969), №3, 61-69

[12] Р.Курант, Уравнения с частными производными, М., Наука,1964.

[13] Э.И.Семенов, О новых точных решениях неавтономного уравнения Лиувилля, Сиб. матем. журн, 49(2008), №1, 207-216.

The Dual Problem to M.A.Goldshtik Problem with Arbitrary Vorticity

Isaak I. Vainshtein

The existence of solutions of the dual problem to M.A.Goldshtik problem with arbitrary vorticity was

proved in this paper. The effect of non-uniqueness of the solution was determined on a model example.

Keywords: vortex and potential flows, integral equation, Green function, Liouville equation.