CC BY
29
Д\,1Л9,9)/(х) = /(9 1х9)- Еще две подгруппы, обозначим их <?1 и <?2, состоят соответственно из пар (д,е) и (е,^), д £ в. Введем на X орисферические координаты £,77:
7)-ьЬї(7)« «■
В этих координатах мы имеем
хд
(1)
(2)
Ьг(хд) ( I )(* 1}’
—!)•
1т(х~'д) 1-&\ 1 У '
Обозначим
Ф(£,«?) = Фл,Ле,ч) = (1
С помощью (1) и (2) мы получаем
(Лл.Ле, $)/)(£, т?) = ^{ТаЛя) ® 1)[/(€»*?Ж£.»Й]. (3)
(Яд.Лз.е)/)^) = ф^-^(1®Т<т,1/(д))[/(^7/)Ф(^77)], (4)
где А = 2ст. Перейдем в (3) и (4) от групп к универсальным обертывающим алгебрам Епу (и сохраним символы для представлений). Тогда зависимость от V исчезает и мы опускаем V. Возьмем в качестве / тождественную единицу /о. Тогда для X е Епу(д) получим
(Ях(0,Х)Ш,г1) = щ-^(Та(Х) ® 1)Ф(?,ч), (5)
(Да(^,0)/о)«,1?) = £(*))«(*,*). (6)
Правые части формул (5) и (6) - это ковариантный и контравариантный символы оператора Та(Х) из
полиномиального квантования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Molchanov V.F., Volotova N.B. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. In: Proc. Tambov Summer School-Seminar "Harmonic analysis on homogeneous spaces", Aug. 26-31, 1996 // Вестник Тамбовского ун-та, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.
2. Молчанов В.Ф. Канонические представления и надгруппы для однополостного гиперболоида // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 150-151.
ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА АЛГЕБРАХ ОБОБЩЕННЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
© В.Ф. Молчанов
Пусть А - алгебра С, А, © комплексных, дуальных, двойных чисел, соответственно (г = х + іу, х, у Є К, г2 = є, є = -1,0,+1). В данной заметке мы предлагаем единообразный подход к дробно-линейным преобразованиям алгебр А:
аг + 7 / а /3 \
0г +6' 9~ ( 7 <5 )’ (1)
где матрицы д берутся из группы С? = 8Ь(2, А) всех матриц над А с определителем единица. Преобразования (1), вообще говоря, определены не всюду на А. Поэтому возникает задача: дополнить А до расширенной алгебры А - так, чтобы преобразования (1) стали взаимно-однозначными преобразованиями множества А.
Реализуем пространство К4 как пространство "эрмитовых"матриц над А:
(XI + Х4 1X2 4- £з .
—1X2 + Хз XI — Х4
Возьмем следующее действие группы С7:
X !-► д'хд, (2)
штрих означает транспонирование. Это действие дает гомоморфизм группы (7 на группы: 80о(1,3) при е = —1, 80о(1,2) • К3 при £ = 0, 80о(2,2) при е = 1. Действие (2) сохраняет определитель с1е1 х = х2 4- ех\ — х§ — х2, следовательно, сохраняет конус с!е1 1 = 0. Этот конус имеет следующую структуру С7-орбит: если е = —1, то - две полы XI > 0 и XI < 0 и вершина конуса х = 0, если е = 0, то - две полы XI > 0 и XI < 0 и каждая точка на острие конуса, если е = 1, то конус без вершины и вершина.
Обозначим через С "большую"орбиту: XI > 0 для е = —1ие = 0их/0 для е = 1. Рассмотрим следующие сечения конуса С: X = {хг = 1}, V — {хх - х4 = 1}, П = {х2 + х\ 4- х§ 4- х2 = 1}.
Сечение X есть сфера 52, прямой круговой цилиндр, однополостный гиперболоид при е = -1,0,4-1, соответственно.
Сечение V есть двумерная плоскость в К4, состоящая из точек р = ((ф 4- 1)/2,р2,Рз. (О - 1)/2), где С} = р\- £р\. Сопоставим такой точке р точку г = р3 4- 1р2 из А. Это соответствие отождествляет V с А. В матричной реализации V состоит из матриц:
(?!)-(!)'»«• (3>
Сечение П для £ = -1 совпадает с X, для е = 0 топологически есть сфера Б2 без двух полюсов, для е = 1 есть тор х2 4- х\ — 1, х§ 4- х\ = 1.
Мы получим отображения этих сечений вдоль образующих конуса: V -> X, V -> П, X -> П, сопоставляя точке одного сечения точку другого сечения, лежащую на той же образующей. Последние два отображения двукратны при е = 1. Отображение V —> X есть стереографическая проекция.
Действие (2) порождает действия группы С на каждом из сечений X, ~Р, П: точке х отвечает точка на сечении, лежащая на одной образующей с точкой д'хд. Для V это в точности дробно-линейное действие (1) (для проверки этого надо использовать (3)). Для П это действие определено всюду. Поэтому многообразие П для е = -1и£ = 0и многообразие П/± для £ = 1 может быть взято в качестве А. Для е = — 1 и с = 0 сечения X и П диффеоморфны, поэтому в качестве А можно взять и X.
Возьмем в С подгруппу Ь "псевдоунитарных"матриц и диагональную подгруппу £> в Ь:
Однородное пространство Ь/Б назовем плоскостью Лобачевского над А. Для £ = -1 это - обычная плоскость Лобачевского. Группа £ сохраняет Х\ при действии (2). Пространство Ь/Б можно реализовать как сечение £ = {х4 = —1} конуса С. Подгруппа £> является стационарной подгруппой точки х° = (1,0,0,-1). Сечение С при £ = — 1 есть пола двуполостного гиперболоида, при е = 0 есть пола гиперболического цилиндра, при £ = 1 есть однополостный гиперболоид. При отображении £ —> V вдоль образующих получаем "модель Пуанкаре "плоскости Лобачевского: круг гг < 1, полоса гг < 1, плоскость без гиперболы гг = 1, в последнем случай некоторые точки теряются. С другой стороны, проектируя С на касательную плоскость С в точке х°, получим "модель Клейна", ср. [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Кольцова С.В. Модели Бельтрами-Клейна и Пуанкаре аналогов плоскости Лобачевского, связанных с алгебрами // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 145-146.
