DreiDGeo - ПРОГРАММА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Мешкова Татьяна Николаевна

БгеШОео -

ПРОГРАММА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

От редакции: в этом номере журнала помещена новая статья Г. Шумана, который исследует возможности различные пакетов динамической геометрии для преподавания математики. Статья эта посвящена оригинальной оболочке ОгеЮОео, позволяющей средствами аналитической геометрии строить стеореометрические чертежи. Оболочка ОгеЮОео может заинтересовать читателя по двум признакам. Во-первы1х, как инструментальное средство, реализующее и визуализирующее основные операции аналитической геометрии, которую начинают изучать в старших классах школы1 и продолжают на первом курсе вузов. Во-вторы1х, как средство построения стереометрических конструкций, например, сечений многогранников. Оболочка ОгеЮОео распространяется свободно и размещена на диске к журналу. К сожалению, язык оболочки - немецкий, поэтому редакция сочла целесообразным сопроводить ее методической разработкой, вытолненной Т.Н. Мешковой и посвященной изучению основные возможностей ОгеЮОео. В приведенной ниже выдержке из этой разработки продемонстрированы1 оба направления использования оболочки. Полностью разработка помещена на диске к журналу: она состоит из ИТЫЬ-рекомендаций и файлов, созданные в среде ОгеЮОео и посвященныа задачам на построение сечений.

ОгеЮОео - программа для изучения стереометрии, а точнее, аналитической трехмерной геометрии. У нее довольно много возможностей, однако для решения школь-

J Г ■ . InJ ^ M IM

; J - * ^ ПЕшвЬва m

Рисунок 1.

иых задач необходимы лишь некоторые ее функции. Эти функции подробно разобраны в электронной версии рекомендаций (см. приложение на диске).

В статье мы рассмотрим, как выполняются в этой среде три базовые стереометрические операции - построение точки, построение прямой по двум точкам, построение плоскости по трем точкам, а также пример одной задачи на построение сечения.

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ

При щелчке правой кнопкой мыши по окну построений на экране появится меню, в котором следует выбрать первый пункт «Punkt durch Neueingabe festlegen...» (рисунок 1).

После этого появится меню для построения точки (рисунок 2), ее можно построить, например, по трем координатам. После ввода координат в соответствующие поля для x, y, z следует щелкнуть по кнопке «OK».

Теперь точка P1 отображается на правой панели для объектов. Доступ к ней осуществляется двойным щелчком мыши по соответствующей записи на панели (рисунок 3).

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Сначала следует выделить две точки, по которым будет построена прямая. Затем щелчком правой кнопкой мыши вызвать меню, в котором следует выбрать первый пункт второй части меню «Gerade durch markierte Objekte festlegen...» (рисунок 4).

После этого на чертеже отобразится построенная прямая (рисунок 5).

DreiDGeo - программа аналитическая, так что для работы в ней надо использовать различные способы задания и свойства геометрических объектов.

1. У параллельных прямых в параметрическом задании коэффициенты при одноименных параметрах совпадают.

2. Чтобы прямая проходила через данную точку, необходимо и достаточно, чтобы координаты точки были свободными членами (взятыми в соответствующем порядке) в параметрическом задании прямой.

Выбрав в меню построений второй пункт «Gerade durch Neueingabe festlegen...», получим форму для заполнения.

Коффициенты при первой степени у прямых g1 (исходной) и g2 (требуемой) должны совпадать (рисунок 6).

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Рисунок 6.

Рисунок 5.

' ""1И Ь1 ^рт1

-ШЛтНЧш.1

ОГт

Рисунок 7.

Параметрическую форму прямой g1 можно увидеть, вызвав меню для этой прямой и выбрав в нем «Parameterform».

Координаты точки можем получить, вызвав меню для соответствующей точки (рисунок 7).

Итак, получили параметрическое задание требуемой прямой.

Прямая g2 параллельна прямой g1 и проходит через точку P2 (рисунок 8).

ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПО ТРЕМ ТОЧКАМ

Чтобы получить плоскость, содержащую три данные точки, следует выделить эти три точки и выбрать в меню пункт «Ebene durch markierte Objekte festlegen» (рисунок 9).

После этого получим требуемую плоскость (рисунок 10).

Можно изменить ее свойства, например, прозрачность и цвет. Для этого в окне

Рисунок 12.

Рисунок 11.

Рисунок 10.

Рисунок 9.

ГГЯТГ1

■■■

Рисунок 13.

Рисунок 14.

свойств следует выбрать вкладку «Eigenschaften» и в меню «Transparenz» увеличить значение соответствующего поля на единицу (рисунок 11).

Чтобы изменить цвет, следует щелкнуть по меню «Farbe» - появится панель цветов (рисунок 12).

Теперь плоскость выглядит так (рисунок 13).

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ

Условие задачи показано на чертеже (рисунок 14).

Надо построить сечение четырехугольной пирамиды, проходящее через две точки на противоположных сторонах основания и одну - на боковом ребре.

Очевидно, что две стороны сечения мы получим, как только соединим отрезками соответствующие точки, лежащие на гранях пирамиды (рисунок 15).

Теперь нужно получить вторую точку в плоскости ASD, для чего построим след. Чтобы получить точку следа (точку Px), пересечем прямые QR (gj) и AD (g2).

P принадлежит плоскости сечения, так как лежит на прямой плоскости сечения QR, а также плоскости ASD, так как принадлежит прямой AD (рисунок 16).

Построим след (прямую g3) по точкам р и P. Пересечем его с ребром SD -получим точку сечения P2 (рисунок 17).

Уберем дополнительные построения и, соединив точку P2 отрезками с точками

Рисунок 15.

Рисунок 16.

Рисунок 17.

Рисунок 18.

Рисунок 19.

Я и Р, получим недостающие стороны сечения (рисунок 18).

Теперь можем сопоставить построенное сечение с плоскостью Ер построенной по трем точкам Р, Я, Q с помощью одного

из элементарных построений Dreidgeo. Построенное сечение лежит в плоскости Е1, в чем можно убедиться, открыв файл task3.ddd и вращая систему координат (рисунок 19).

© Наши авторы, 2003. ОигаШюгз, 2003.

Мешкова Татьяна Николаевна, студентка 3 курса математико-механического факультета СПбГУ.