CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVII Т9 8 6
№ 5
УДК 533.532.58
ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ В КАНАЛЕ СО СМЕШАННЫМИ СТРУЙНЫМИ И ПЕРФОРИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ
А. В. Пилюгин
В рамках линейной дозвуковой теории исследовано обтекание тонкого профиля в канале со смешанными струйными и перфорированными границами. Профиль расположен вблизи начала струйной границы, несимметрично относительно оси канала и имеет срывную зону, моделируемую схемой Кирхгофа. Задача решалась в связи с определением величины торможения потока на оси канала перед профилем, что является составной частью проблемы о взаимодействии модели и поддерживающего устройства в аэродинамической трубе.
1. Наличие различных поддерживающих устройств приводит к искажению поля течения в рабочей части аэродинамических труб. Например, применение поворотных жестких стоек ведет к появлению нежелательного положительного градиента давления (подпора) и скоса потока в зоне расположения модели. Чтобы ослабить влияние стойки на иоле течения в зоне расположения модели, поворотную жесткую стойку выносят из рабочей части вниз по потоку в район створок диффузора.
Через уступ между створками диффузора и стыками рабочей части происходит эжектирование низконапорного газа из камеры давления. Влияние тонкой струи может значительно изменить картину течения в рабочей части, что необходимо учитывать в аэродинамическом эксперименте. В данной работе исследуется интерференция между боковыми стенками перфорированной рабочей части, низконапорной пристеночной струей, эжектируемой из камеры давления через створки диффузора, и жесткой поворотной стойкой при разных углах скольжения (рис. 1). Случаи а и б соответствуют нулевому и ненулевому углу скольжения. При увеличении угла скольжения поперечное сечение поворотной стойки смещается относительно оси симметрии канала пропорционально тангенсу угла скольжения, при этом центр модели будет все время находиться на оси симметрии канала.
Перфорированный участок
иа ос=0
^ки.
17777777777\ СЛеИ
Перфорированный участок ______..
/’777/777/777/777/777/777/777/777///Л— Пристенная СШРЦЯ
С/777777/77777777777777777777777
'////////////////////////// ////////////////////////////////////у////)?/ Пристенная струя Перфорированный участок
О кФО
Р°.
Перфорированный участок 77777777777777777777777777777777777777777777777
ТЩшптт^стпоя~ ^777777777777777777777^7777
Рис. 1
Задача сводится к отысканию потенциала течения около тонкого профиля под углом атаки а, расположенного в общем случае необязательно симметрично относительно оси канала в смешанных струйно-перфорированных (при открытых створках диффузора) и жестко-перфорированных (при закрытых створках диффузора) границах. Геометрическая схематизация плоского течения представлена на рис. 2, а. Ширина струи много меньше ширины канала, поэтому контуры перфорированной рабочей части и грани-
'I)
х&Ю хС2 ©
г=х+1у
хс ч.хН
хР1
х&1
х6Н1
77777
©
11&Н1 ц£1 1 ft.Fl у.С 0 1 \iG-2 \iGH2
Рис. 2
цы пристеночной струи заменены сплошной линией, но с соответствующими им граничными условиями. Контуры профиля и граница развитого следа за стойкой заменены полубесконечным разрезом с соответствующими им граничными условиями на верхнем и нижнем краях разреза.
В качестве граничного условия на перфорации используется соотношение Дарси, которое для нижней и верхней границ течения с учетом знака нормали перепишем следующим образом:
/?, и - = 0; у = — А; хвН1 <л;<л:Ш, (1.1)
R2u-\-v = 0\ у = Н\ хОН2'л<С х < хй2, (1.2)
где /?! и /?2 — коэффициенты проницаемости, устанавливаемые в общем случае эмпирически, и и V — продольная и поперечная возмущенные скорости течения соответственно, /г — ордината нижней стенки канала, Я—ордината верхней стенки канала, хвН1 и хОН2 — абсциссы начала перфорированного участка верхней и нижней оценок канала соответственно, хв! и хв2 — абсциссы конца перфорированного участка верхней и нижней стенок канала соответственно.
Скоростной напор струи много меньше скоростного напора потока, поэтому в качестве граничного условия на тонкой пристеночной струе можно взять соотношение
и = 0. (1.3)
Физически это означает, что пристеночная низконапорная струя эквивалентна свободной границе. Нетрудно также видеть, что пристеночная высоконапорная струя эквивалентна жесткой стенке с граничным условием
г> = 0. (1.4)
Для классификации предельных случаев введем параметр I. Пусть /, = 1 соответствует открытым створкам диффузора как на нижней, так и на верхней стенке, Ь — 2 соответствует полностью закрытым створкам' диффузора на нижней и верхней стенке, Ь = 3 соответствует открытым створкам диффузора на нижней стенке и закрытым створкам на верхней, и, наконец, £ = 4 соответствует закрытым створкам на нижней стенке и открытым на верхней. В соответствии с этим условия (1.3) и (1.4) конкретизируются следующим образом:
и — 0; у = — /г; хв1 < х;
и — 0; х02 < х \
V = 0; у = — !г; х01 < х\
V = 0; У — Н\ хй2<С.х;
и = 0; У —— к', хв!
V = 0; У = И; хв2 < х\
1 = 4:
V = 0; у =— /г; хв1 <^х\
и = 0; у = Н\ хв2 < х;
Граничные условия на профиле ставятся из условия совпадения наклона граничных линий тока с местным наклоном контура профиля при заданном угле атаки. С учетом разного знака нормали на верхнем и нижнем краях разреза граничное условие на тонком профиле можно записать в виде:
где 02(-*) — угол местного наклона верхней границы профиля, 0! (х) — угол местного наклона нижней границы профиля, отсчитываемые от его хорды.
Для описания следа за профилем принята модель Кирхгофа: давление в следе постоянно и равно невозмущенному давлению на бесконечности. В силу этого условия возмущенное давление на верхнем и нижнем берегу разреза равно нулю, а следовательно в линейной постановке равна нулю и продольная компонента возмущенной скорости. Таким образом, граничные условия в следе запишутся следующим образом:
Отметим, что вопросы вязкого размывания следа и пристеночных струй в рамках принятой модели обсуждаться не будут. Кроме того, необходимо оговорить, как в рамках принятой модели задаются точки схода свободной границы на теле. В случае гладкого контура координаты точек схода свободной границы являются дополнительным параметром задачи, который не может быть определен в рамках невязкой модели. Так как к настоящему времени не существует достаточно точной и эффективной теории по данному вопросу, то в общем случае этот параметр приходится определять из эксперимента. Однако в случае контура с изломом ситуация существенно упрощается, так как известно, что точкой схода свободной границы является точка, в которой производная терпит разрыв, т. е. точка излома. Исходя из реальной геометрии аэродинамических стоек, их можно моделировать клиновидным профилем, который имеет пять точек излома. С кинематической точки зрения они все эквивалентны, но с динамической точки зрения предпочтение отдается тем двум точкам, которые лежат на стыке аэродинамической тени профиля и основного потока, так как свободная граница „не держит11 лобовой составляющей скоростного напора и сносится им вниз по потоку. Размеры аэродинамической тени в данном случае равны размерам геометрической тени и определяются как максимальный поперечный размер при заданном угле атаки.
2. Если ввести параметрическое представление границы односвязной области, изображенной на рис. 2, а, то, пользуясь им, все
V = 62 (х) — а; хС < X < хР2\ у = 0 + 0;
V = — 0! (л) — а; хС<Сх<СхР1; у = 0 — 0;
(1-5)
и = 0; хР2 < х; у = 0 4- 0,
и = 0; хР1 < х; у = 0 — 0.
(1.6)
выписанные граничные условия (1.1) —(1.6) можно привести к одному универсальному виду:
а (5) и (5) + Ъ (в) V (в) = с (в), (2.1)
где а (я), &($), с(«) являются разрывными функциями от аргумента 5. Таким образом, исходная задача может быть приведена к краевой задаче Гильберта с разрывными коэффициентами, которую будем решать методом Векуа [1, 2].
Совершим конформное отображение исходной области 2 (рис.
2, а) на параметрическую полуплоскость / с помощью соотношения
2 = - 1п(г2 — 1) + — 1п £±4 — — 1п ^ + — 1п(1 - £2) 4- хС +
ГО ' ' ГО I - 1 ГО 1 + Е 5С 4 ' ‘ 1
+ г(1+е). (2.2)
Соответствие точек указано на рис. 2, б. Отображенная аналитическая функция = — ко* и исходная аналитическая функция — IV связаны соотношением:
йт . а\т сИ . ч/ го \ А — 1 /п оч
-=«-*® = -5Г-*г=(и*-*®.) -Т 7ХГ- (2-3)
йг йЬ йг - * *' \ 2} Ь в
Соответственно граничное условие (2.1) перепишем в следующем виде:
а 00 и, + Ь (ц) \ ^ с (2-4)
где — оо < р. < -)- оо; 7 = 0; р. = Ие {^}; у = 1т{£}.
Пусть Ф(/) = ^, тогда граничное условие Гильберта (2.4) методом Векуа легко трансформировать в граничное условие Рима-на
Ф+(11) = 0([,)Ф-([А) + ^(и), (2.5)
п, ч —а ([*) 4- гй([А) , , ( го ) ^2 _ ] с
где в (|х) _ а ([х) + ,ь ([х) ; ЙГ(Н-) а (!*) + «((*)
При постановке исходной задачи необходимо потребовать, чтобы возмущенные параметры набегающего потока затухали при х-*—оо. В преобразованной параметрической плоскости это условие будет соответствовать условию Ф (£) 0 при Ьоо. Отыс-
кание затухающей на бесконечности аналитической функции Ф(0 по граничному условию (2.5) составляет предмет задачи Римана.
При этом необходимо сделать следующее замечание. Известно, что в случае жестких стенок требование затухания возмущений в набегающем потоке в сочетании с аналогичным требованием в каверне за телом переопределяют задачу, поэтому условие (1.6) должно содержать свободный параметр, который обязан самосо-гласовываться с общим решением задачи Римана. Если на время
отказаться от требования Пт тг- = 0, то по заданным граничным
X -*■ — 00
условиям задача Римана допускает однозначное решени'е в виде интеграла типа Коши, затухающее при х -> + 00 (£ ± 1), но при
этом предел Нш ~ — С = А + 1В не обязательно равен нулю. Од-
((-*-со) аг X “»■ —00
нако, сдвинув полученное решение на величину С, мы всегда можем получить решение, затухающее при л: —со {Ь оо). В этом
случае возмущенное давление в каверне равно р = —й=Л=соп8^ т. е. оно и является тем заранее неизвестным параметром, который самосогласуется с общим решением задачи.
Окончательное решение с учетом (2.3) и (2.4) имеет вид:
N °°
Лио __(*2 — 1) гг (< — (х*)7* Г с(ц)([А + в) Л »х ,
йг ~ (г + Е) / N ([*— О
4 = 1 / [а(Ю + »(!х)](^_ 1)П(^-^)Т*
~оо
(2.6)
N + °°
п *) П (^й)7* Г сМ(^ + £) Ф .
Д™ (*+£)" - / " 'о*-')’
/ [«М + 1Ь(р)] О*2— 1) П (р- — ы7*
*=1
где — точки разрыва в граничных условиях,
Агй б {\>.к - 0) - в (,цд. 4- 0)
Т к
2я
АгёО((х)= 2агс£^ + 2*л (я = 0, ± 1, +2, ±3...).
Для определенности выберем нулевую ветвь аргумента. Анализ изменения А^О([а) вдоль всей границы приведен в следующей таблице:
У X V- Аг£ б (|х)
— к — 00<л:< д-пт — со <[ (х <; (лОЯ 1 0
— Л хон1<х<ха1 [айя; < [х < н-О/ — 2 аг<^
— Л хй1 < X < 4- оо 0/<|»<-1 0 (/. = 2,4); — я (£ = 1,3)
0-0 Хр1 < X < оо — 1 < (X < [х/?У я
0 — 0 хС < х < хР1 [х/=7 < [X < — г 0
0 + 0 хС<х<хР2 - г < р < [х^2 0
0 + 0 хР2 < х < + оо < [х < 1 — я
я л: 02 •< л: < + оо 1<,х<(х02 0(£ =2,3); я (1 = 1,4)
я хОН2 <С <С х02 (х(32 [х < (хОЯ2 2 аг<^ Я2
я — оо < х < хОН2 [хОЯ2 < |х < + 00 0
Вычислим с помощью таблицы все скачки аргумента и подставим в (2.6):
Здесь /. = 1, 2, 3, 4 —параметр, классифицирующий граничные условия,
/(0, а) — символическая запись граничного условия (1.5). Возмущенное давление в какой-либо точке физической плоскости определяется через возмущенную продольную компоненту скорости как
Взаимооднозначное соответствие между плоскостями і и г определяется формулой (2.2)
С помощью преобразования Прандтля — Глауэрта легко обобщить данное решение на класс сжимаемых течений. Как известно, метрика сжимаемых течений отличается от метрики несжимаемых течений сжатием в (5 раз вдоль оси х или же растяжением в р раз вдоль оси у, где р = ]/1—М3 . С учетом этого формула (2.2) преобразуется в следующую:
А(\)=У{і— і*Ш)({і.02 — і); а (1) =
А (2) =У(У+ 1)(1-*);
а (3) = -т=====- ;
V (м- — н-0/) (і — (а)
аг^ /?і.
ТГ *
агс^_/?2
а скос, как и возмущенная нормальная скорость
+ — 1п(1-в») + (2.8)
+ -^ + г(1 +е).
Соответственно из граничных условий (1.1) и (1.2) вытекает,
что
arctg^1
/те;
arctg
/*;
формула для возмущенного давления примет вид
-и=-----0“ Re
( dw "і
[чту
а формула для скоса при таком преобразовании останется прежней.
Заметим, что для удобства расчета уравнение (2.8) выгоднее разрешить относительно переменного £ итерационным методом. Для итерационного процесса уравнение (2.8) удобнее представить в виде:
t = Yl + exp|s|n|^ — 6ln|qp-J + ln(l -s2) — v[x *c +i(i+e—y) }.
3. Расчеты проводились для симметричного клиновидного профиля (см. рис. 1), относительной длиной 0,44 толщиной 0,045 и углом заострения 53°. (Все геометрические размеры отнесены к полуширине канала Н*). Относительная длина перфорированного участка составляла 4,62. Коэффициент проницаемости перфорации задавался эмпирической формулой
Ri. 2 = 0,03, F\,2, где F — степень перфорации в %.
Геометрия в соответствии с конструктивными особенностями исследуемого объекта задавалась следующим образом: координата створок диффузора:
xGl=xG2 = 1,73 - cos а (0,22 + 2,21 DL); смещение профиля от оси симметрии
S = sin а (0,22 + 2,21 DL)\
где
DL —
2,812 [
1-
0,103
V1 + 7,Ь45 ^ а—угол атаки профиля,
2+0,321
р = >/ 1 — М2 —параметр сжимаемости потока.
Результаты расчета приведены на рис. 3 и 4. Вдоль оси ординат отложено изменение продольной возмущенной компоненты скорости
М-0,5 ;к=0; Fl=0 %; Fz =0%
M=0,S; ос =0 \ F, =18 %; F2 =18 %
на оси канала, вдоль оси абсцисс — расстояние от заданной точки до носика профиля.
Поведению решений обтекания профиля при различных границах можно дать следующее физическое толкование. Обтекание профиля с каверной, моделирующей след, можно представить как обтекание полубесконечного тела. При обтекании такого тела в канале со струйными границами произойдет как бы эффективное расширение поперечного сечения канала в районе расположения тела, что будет способствовать торможению потока перед телом. В случае жестких границ эффективного расширения канала не происходит, поэтому они не способствуют торможению потока перед телом. Поведение решений в этих случаях (/. = 1 и 2) представлено на рис. 3 (М = 0,5; а = 0; Р1 = 0%; Р2 = 0%).
Наличие перфорированного участка границы потока приводит к тому, что часть жидкости выдавливается через перфорацию из рабочей части в камеру давления. Интегрируя возмущенную нормальную компоненту скорости вдоль перфорированных участков, найдем расход:
Таким образом, расход жидкости, текущей в продольном направлении вдоль оси х, уменьшается на величину С? (жидкость только вытекает из рабочей части), в то время как поперечное сечение канала остается неизменным. В силу этого обстоятельства наличие перфорированного участка ведет к дополнительному торможению жидкости перед телом по сравнению с закрытой перфорацией. Попутно заметим, что возрастает и сила сопротивления профиля на величину потерянного импульса, равную
Сравнение распределения нормальной возмущенной компоненты скорости в случае смешанных струйных и перфорированных и жестких и перфорированных границ (рис. 5, Ь = 1 и 2) показывает, что присутствие низконапорной струи уменьшает величину расхода жидкости через перфорацию по сравнению с жесткими границами, следовательно струя в сочетании с перфорацией более оптимальная граница, чем жесткая стенка с перфорацией. Действительно,
сг = ро и* Я*
Рис. 5
из (2.7) следует, что поскольку 8; и §2 всегда меньше 1/2, то неблагоприятная особенность, приводящая к резкому торможению потока в области стыка смешанных границ, существует в случае Ь = 2 (перфорация — жесткая стенка), но отсутствует в случае Ь — 1 (перфорация — свободная граница).
Таким образом, наличие перфорации в рабочей части делает выгодным присутствие низконапорной струи. Но в случае сплошных стенок рабочей части наличие такой струи становится невыгодным.
В заключение автор выражает благодарность В. Я. Нейланду за обсуждение проблемы, сформировавшей у автора четкую физическую постановку задачи, а также В. М. Нейланд, высказавшей ряд ценных критических замечаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. МусхелишвилиН. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.
2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Наука, 1977.
Рукопись поступила 31,1 V 1985 г.
