ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЗОНЫ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №2. 2023

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/87

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.928 https://doi.org/10.33619/2414-2948/87/01

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЗОНЫ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

©Омаралиева Г. А., ORCID: 0000-0003-1862-2142, SPIN-код: 4741-5012, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызстан, [email protected]

SUFFICIENT CONDITION FOR THE EXISTENCE OF AN ADDITIONAL ZONE IN SINGULARLY PERTURBATED SECOND-ORDER BOUNDARY PROBLEM

©Omaralieva G., ORCID: 0000-0003-1862-2142, SPIN-code: 4741-5012, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, [email protected]

Аннотация. Исследуются краевые задачи Дирихле, Немана и Робена для сингулярно возмущенного линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Рассматриваемые краевые задачи имеет три особенности: сингулярное присутствие малого параметра; решение соответствующего невозмущенного уравнения имеет полюс k-го порядка, и дополнительный пограничный слой. Сингулярное присутствие малого параметра порождает классический пограничный слой, а особая точка соответствующего невозмущенного уравнения порождает второй пограничный слой. В результате у нас получится двойной пограничный слой. Найдено достаточное условие существование дополнительного пограничного слоя.

Abstract. Studies the Dirichlet, Neman and Robin boundary value problems for a singularly perturbed linear inhomogeneous second order ordinary differential equation. The considered boundary value problems have three features: the singular presence of a small parameter; the solution of the corresponding unperturbed equation has a k order pole and an additional boundary layer. The singular presence of a small parameter generates the classical boundary layer, and the singular point of the corresponding unperturbed equation generates the second boundary layer. As a result, we get a double boundary layer. A sufficient condition for the existence of an additional boundary layer is found.

Ключевые слова: двойной пограничный слои, краевая задача, особая точка, сингулярное возмущение, дополнительная зона, обыкновенное дифференциальное уравнение.

Keywords: double boundary layer, boundary value problem, singular point, singular perturbation, additional zone, ordinary differential equation.

Постановка задачи. Рассмотрим двухточечные краевые задачи, порожденные линейным неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с малым параметром при старшей производной:

£nys"(х) + хкр(х)уе'(х) + (xkq(x) - smr(x))y£(x) = f(x),x е (0,1), (1)

и одним из граничных условий вида:

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №2. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/87

Уе(0) = a,ye(1) = b, У'е(0) = a,y'e(1) = b, У£(0) - ay'E(0) = a,ye(1) + py'e(1) = b,

(2)

(3)

(4)

где а, Ь — известные постоянные числа, р,ц,г,[ Е Сда[0,1],/(0) Ф 0 , 0<р(0), 0<^(0), 0<г(0), п>т, 1 <k, (п, k, т<^Щ, а у£(х) — искомая функция, зависящая от малого параметра 8.

Обычно краевую задачу (1), (2) называют задачей Дирихле; краевую задачу (1), (3) называют задачей Неймана; а задачу (1), (4) называют краевой задачей Робена [1-14].

В задаче Неймана (1), (3) предположим, что #(1)^0 и г(1)^0, а в задаче Робена (1), (4) потребуем выполнения условий: р(1) — Рц(1) Ф 0 и г(1)^0.

Требуется найти достаточное условие при каких соотношения параметров пит появляется дополнительный пограничный слой в краевых задач Дирихле (1), (2); Неймана (1), (3) и Робена (1), (4) на отрезке [0,1], когда малый параметр в стремится к нулю.

Особенности краевых задач Дирихле, Неймана и Робена. Заметим, что малый параметр в присутствует в дифференциальном уравнении (1) при старшей производной. Поэтому, если в возмущенном дифференциальном уравнении второго порядка (1) формально считать, что £ = 0 (т. е. убрать возмущение), то порядок дифференциального уравнения понижается и соответствующее невозмущенное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка:

xkp(x)y'o(x) +xkq(x)yo(x) = f(x).

(5)

Понижение порядка уравнения, при е = 0 , — первая особенность рассматриваемых краевых задач Дирихле (1), (2); Неймана (1), (3) и Робена (1), (4).

Вторая особенность краевых задач (1), (2); (1), (3) и (1), (4) — дифференциальное уравнение (5) имеет особую точку при х=0. Решение уравнения (5) не является гладкой функцией на отрезке [0,1], которое свойственно бисингулярным задачам по терминологии А.М. Ильина [1-14].

Ниже мы докажем, что при выполнении условия т < в окрестности особой точки

х=0 появляется еще один пограничный слой, кроме классического пограничного слоя — третья особенность краевых задач Дирихле (1), (2); Неймана (1), (3) и Робена (1), (4).

Краевые задачи (1), (2); (1), (3) и (1), (4) с вышеперечисленными особенностями назовем бисингулярно возмущенные задачи с двойным пограничным слоем. Докажем теорему

п(к—1)

Теорема. Если т < , то в задачах Дирихле (1), (2); Неймана (1), (3) и Робена (1), (4)

в окрестности левой граничной точки х=0 существует еще один пограничный слой, кроме классического пограничного слоя.

Доказательство. Для доказательства теоремы покажем, что в пограничном слое имеется два характерных предела, кроме внешнего, которые будут включать в себя два внутренних разложения.

Начнем с построения внешнего решения y (x) = иЕ (x) краевых задач (1), (2), (1), (3) и (1), (4), которых будем искать в виде:

и

.(х) =^£JUj(x),

(6)

j=0

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №2. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/87

где и](х) — пока неизвестные функций. Формально подставляя ряд (6) в уравнение (1), получаем:

ю ю ю

^ Еп+]и"(х) + Хк ^ £]'(р(х)и(X) + Ц(х)и](х)) — Г(х) ^ £т+]'и](х) = /(х), ] = 0 ] = 0 ] = 0 приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получаем рекуррентные соотношения:

хкр(х)и'0(х) + xkq(x)u0(x) = f(x),x е (0,1]; xkp(x)u'j(x) + xkq(x)uj(x) = r(x)uj-m(x) — u'j-n(x),j е N,us(x)

(7)

(8)

0,s <0.

Лемма 1. Уравнение (7) с соответствующим краевым условием

а)и0(1) = Ь,Ь)и'0(1) = Ь,с)и0(1) + ри'0(1) = Ъ

имеет единственное решение представимое в виде:

Гх /(з)

и0(х) = сЕ(х) + Е(х) I к г лЕ-1(з)йз,

(9)

skp(s)

-¡"яю^

где Е(х) = е 1р(!;) , произвольная постоянная с примет соответствующее значение в зависимости от краевых условий:

а) с=Ь; Ь) с = с) с =

4(1)

p(1)-Pq(1) •

При _Д0)=/0^0 имеем:

1

и0(х) 1<к е Ы, х^-0.

Доказательство. Уравнение (7) запишем в виде:

Ч(х) /(х)

и'оМ + ^)иоЮ=х^хГу

Полученное равенство умножаем на интегрирующий множитель е 1 р^ :

J^s , Ч(х)

u'0(x)eJlP(s) +^^-u0(x)eJlP(s) =

р(х)

хкр(х)

ds

Нетрудно заметить, что

u0(x)eJlP(s)

fixq%ds Y_ f(x) лр§

xkp(x)

ds

Интегрируя последнее равенство, получаем общее решение:

u0(x) = e JlP(s)

fiqq7s)ds f „fiiq7s)(

[

ikp(0

___- fxqisl^

eJlP(s)dsd$+ ce ]lP(s)ds,

d

где с — произвольная постоянная.

Введем обозначение Е(х) = е , тогда полученное общее решение можно

записать в виде

u0(x) = Е(х)

С

х f(0 $кр(0

E-1(Q df + сЕ(х).

Учитывая краевые условия (9) найдем соответствующие значения произвольной постоянной с:

В случае а)и0(1) = Ъ:

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №2. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/87

Щ(1) = Е(1)

I

1 f(0

E—1(t) df + сЕ(1) ^ и0(1) = с^с = Ь;

в случае Ь)и'0(1) = Ъ (сначала вычислим производную):

и'0(х) = Е

= Е'(Х) I

f(0 fkp(0

E—1(Odf +

f(x)

f(1) 4(1) ^

u0(1) = --ТТТС ^ с =

p(1) p(1)

xkp(x) f(1)-bp(1)

4(1)

+ cE'(x) ^

в случае с) u0(1) + pu'0(1) = b:

с +

f(1) 4(1)

) =

b ^ с =

bp(1)-(if(1)

кр(1) р(1) ) р(1)—рЧ(1)

Лемма доказана.

Применяя лемму 1 последовательно к уравнениям (8) с соответствующими краевыми условиями:

а)и](1) = 0,Ъ)и)(1) = 0,с)и](1) + 0и)(1) = 0.) Е N. получим единственные решения представимые в виде:

и-(х) = 0,1 < } <т;

Г Л ПГ Л , иг Л ГхГ(!;)и1-т(:;)-и"-п(:;) Т?-1, л, ^ ■ ^ М

и](х) = с]Е(х)+Е(х)}1--Е 1(!5)^,т<} Е N,

где произвольная постоянная с примет соответствующее значение в зависимости от краевых условий:

, м _ r(1)Uj-m(1)—Uj-n(1)^ _ _ P(r(1)Uj-m(1)—Uj-n(1))

а) с 0; b) Cj= q(1) ;С) Cj= p{1)—pq{1) .

пРи m(l + ^)<

п имеем:

u1(x) ^

x2(k-i)

Следовательно, ряд (6) можно представить в виде:

,1<к EN, х^-0.

иЕ(х)

1 ( £т ( £т V \

(10)

где ц Е С^[0,1],] = 0,1,...

Ряд (10) является асимптотическим относительно малого параметра в на интервале х Е (к \1 £т, 1], а на отрезке х Е [0,к У£т] нарушается свойство асимптотичности.

Проведем детальное исследование в окрестности особой точки х=0. Для этого в окрестности этой точки сделаем растяжение координат (преобразование) х=8а^, а>0, тогда dx=8adt и dx2=82аdt2 и уравнение (1) перепишется в виде:

+ £(k—1)atkp(£at)-

+ £katkq(£at)ye(t)

dt2 ГК~ dt — £тг(£а^уе^) = ¡(£аг)Л Е [0,£-а\

Из левой части последнего равенства выделим главную часть, так как £ка < £(к-1)а, поэтому главная часть примет вид:

£п-2а ^^^ + £(к-1)а1-кр(еа1)^У1(1 — етг(еа£)у£(£).

Уравнивая порядков поведения слагаемых по малому параметру двух любых членов, имеем соответствующие характерные пределы, возможны следующие три случаи:

1

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №2. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/87

1) n — 2a = (k — 1)a ^ a = ; 2) n — 2a = m^a = 3) (k — 1)a = m ^ a =

k-l

В первом случае, если a = j-, то получим:

Ok+ld^t) , „Щ-^Л dye(t)

£ k+i

dt2

+ £ k+i tk

d

emyE(t).

Пусть smye(t) = 4s(t), тогда имеем выражение:

n(k-1) - (d2ipe(t)

£ k+l

d 2

п(к-1) _

по условию --т > 0, поэтому при 8^-0 главной частью является ^(г) и здесь

отсутствует производная функций ^ (г) . Поэтому случай а = не будем рассматривать.

Во втором случае, если a

d2^E(t)

' S

n-m

и £myE(t) = 4s(t), то получим

(k-1)(n-m) __ ,_dlp£(t)

d 2

— 4>s(t)+£ 2

- m k

d

й2ф£^) .

и здесь главной частью является выражение: ——--^е(^)

в которой присутствует производная второго порядка. Поэтому этот случай а будем исследовать.

И

последний случай, если a = j- и smys(t) = 4s(t), то получим выражение:

n-m-2^d2^£(t) , k dVe(t)

k-i ;?ч f d 2

d

— 4г(0,

главной частью которого является выражение: ^ ——--^е(^).

Этот случай тоже будем исследовать, так как и здесь в главной части присутствует производная первого порядка.

В результате в пограничном слое мы получили два характерных предела, это во втором и

п(к-1)

в третьем случаях. Нетрудно заметить, что если выполняется равенство т = к+1 , то все эти

три случая совпадут, т. е. будут одинаковыми.

п-т т „„г „ „„

I ак как —— > поэтому второй случай будет описывать левый пограничный слой, а

третий случай будет описывать промежуточный пограничный слой между левым пограничным слоем и внешним решением. Ряд (10) тоже подсказывает каким должна быть внутренняя переменная в соседнем пограничном слое, который пересекается с внешним решением, т. е. х = к \[£т1.

Список литературы:

1. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.

2. Алымкулов К., Турсунов Д. А. Об одном методе построения асимптотических разложений решений бисингулярно возмущенных задач // Известия высших учебных заведений. Математика. 2016. №12. С. 3-11. https://doi.org/10.3103/S1066369X1612001X

3. Турсунов Д. А. Асимптотическое разложение решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с тремя точками поворота // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22. №1. С. 271-281.

4. Tursunov D. A. The asymptotic solution of the three-band bisingularly problem // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. V. 38. №3. P. 542-546. https://doi.org/10.1134/S1995080217030258

m

2

n- m

2

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №2. 2023

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/87

5. Турсунов Д. А. Асимптотическое решение линейных бисингулярных задач с дополнительным пограничным слоем // Известия высших учебных заведений. Математика. 2018. №3. С. 70-78. https://doi.org/10.3103/S1066369X18030088

6. Кожобеков К. Г., Турсунов Д. А. Асимптотика решения краевой задачи, когда предельное уравнение имеет нерегулярную особую точку // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т. 29. №3. С. 332-340. https://doi.org/10.20537/vm190304

7. Tursunov D. A., Kozhobekov K. G., Ybadylla B. Asymptotics of solutions of boundary value problems for the equation syM+xp(x)y'-q(x)y=f // Eurasian Mathematical Journal. 2022. V. 13. №3. P. 82-91. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2022-13-3-82-91

8. Турсунов Д. А., Омаралиева Г. А. Промежуточный пограничный слой в сингулярно возмущенных уравнениях первого порядка // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2022. V. 28. №2. P. 193-200. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-2-193-200

9. Турсунов Д. А., Омаралиева Г. А. Асимптотика решения двухзонной двухточечной краевой задачи // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. 2021. Т. 13. №2. С. 46-52. https://doi.org/10.14529/mmph210207

10. Турсунов Д. А., Омаралиева Г. А., Маматбуваева М. И., Раманкулова Ш. А. Сингулярно возмущенная задача с двойным пограничным слоем // Вестник Ошского государственного университета. 2021. Т. 1. №1. С. 102-109. https://doi.org/10.52754/16947452_2021_1_1_102

11. Турсунов Д. А. Асимптотическое решение бисингулярной задачи Робена // Сибирские электронные математические известия. 2017. Т. 14. №0. С. 10-21. https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.002

12. Tursunov D. A., Bekmurza uulu Y. Asymptotic Solution of the Robin Problem with a Regularly Singular Point // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. V. 42. №3. P. 613-620. https://doi.org/10.1134/S1995080221030185

13. Tursunov D. A., Orozov M. O. Asymptotics of the solution to the Roben problem for a ring with regularly singular boundary // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. V. 41. №1. P. 89-95. https://doi.org/10.1134/S1995080220010126

14. Tursunov D. A. Asymptotics of the Cauchy problem solution in the case of instability of a stationary point in the plane of "rapid motions" // Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika i Mekhanika. 2018. №54. P. 46-57. https://doi.org/10.17223/19988621/54/4

References:

1. Il'in, A. M. (1989). Soglasovanie asimptoticheskikh razlozhenii kraevykh zadach. Moscow. (in Russian).

2. Alymkulova, K., & Tursunovb D. A. (2016). On a method of construction of asymptotic decompositions of bisingular perturbed problems. Russian Mathematics, (12), 3-11. https://doi.org/10.3103/S1066369X1612001X

3. Tursunov, D. А. (2016). Asymptotic expansion for a solution of an ordinary second-order differential equation with three turning points. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 22(1), 271-281.

4. Tursunov, D. A. (2017). The asymptotic solution of the three-band bisingularly problem. Lobachevskii Journal of Mathematics, 38(3), 542-546. https://doi.org/10.1134/S1995080217030258

5. Tursunov, D. A. (2018). Asymptotic solving linear bisingular problems with additional boundary layer. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 3, 70-78. https://doi.org/10.3103/S1066369X18030088

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №2. 2023

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/87

6. Kozhobekova, K. G. & Tursunovba, D. A. (2019). Asymptotics of the solution to the boundary-value problem when the limit equation has an irregular singular point. Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 29(3), 332-340. https://doi.org/10.20537/vm190304

7. Tursunov, D. A., Kozhobekov, K. G., & Ybadylla, B. U. (2022). Asymptotics of solutions of boundary value problems for the equation syM+xp(x)y'-q(x)y=f. Eurasian Mathematical Journal, 13(3), 82-91. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2022-13-3-82-91

8. Tursunov, D. A., & Omaralieva, G. A. (2022). An intermediate boundary layer in singularly perturbed first-order equations. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 28(2), 193-200. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-2-193-200

9. Tursunov, D. A., & Omaralieva, G. A. (2021). Asymptotics of the solution to a two-band two-point boundary value problem. Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics, 13(2), 46-52. https://doi.org/10.14529/mmph210207

10. Tursunov, D. A., Omaralieva, G .A., Mamatbuvaeva, M. I., Ramankulova, Sh. A. (2021). Singularly perturbed problem with double boundary layer. Bulletin of Osh State University, 1(1), 102109. https://doi.org/10.52754/16947452_2021_1_1_102

11. Tursunov, D. A. (2017). The asymptotic solution of the bisingular Robin problem. Sibirskie Elektronnye Matematicheskie Izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports], 14(0), 10-21. https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.002

12. Tursunov, D. A., & Bekmurza uulu, Y. (2021). Asymptotic Solution of the Robin Problem with a Regularly Singular Point. Lobachevskii Journal of Mathematics, 42(3), 613-620. https://doi.org/10.1134/S1995080221030185

13. Tursunov, D. A., & Orozov, M. O. (2020). Asymptotics of the solution to the Roben problem for a ring with regularly singular boundary. Lobachevskii Journal of Mathematics, 41(1), 89-95. https://doi.org/10.1134/S1995080220010126

14. Tursunov, D. A. (2018). Asymptotics of the Cauchy problem solution in the case of instability of a stationary point in the plane of' rapid motions". Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika i Mekhanika, (54), 46-57. https://doi.org/10.17223/19988621/54Z4

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 19.01.2023 г. 26.01.2023 г.

Ссылка для цитирования:

Омаралиева Г. А. Достаточное условие существования дополнительной зоны в сингулярно возмущенных краевых задачах второго порядка // Бюллетень науки и практики. 2023. Т. 9. №2. С. 10-16. https://doi.org/10.33619/2414-2948/87/01

Cite as (APA):

Omaralieva, G. (2023). Sufficient Condition for the Existence of an Additional Zone in Singularly Perturbated Second-Order Boundary Problem. Bulletin of Science and Practice, 9(2), 1016. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/87/01