Достатні умови стійкості нечітких гібридних автоматів Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.91

О.С. БИЧКОВ

ДОСТАТНІ УМОВИ СТІЙКОСТІ НЕЧІТКИХ ГІБРИДНИХ АВТОМАТІВ

Анотація. У статті отримані умови стійкості лінійних гібридних автоматів з нечітким перемиканням. Динаміка в локальних станах описується диференціальними рівняннями за процесом нечіткого блукання. Дослідження стійкості проводиться за допомогою методу функцій Ляпунова.

Ключові слова: метод Ляпунова, стійкість, гібридні автомати, теорія можливостей.

Аннотация. В статье получены условия устойчивости линейных гибридных автоматов с нечетким переключением. Динамика в локальных состояниях описывается дифференциальными уравнениями по процессу нечеткого блуждания. Исследование устойчивости проводится с помощью метода функций Ляпунова.

Ключевые слова: метод Ляпунова, устойчивость, гибридные автоматы, теория возможностей.

Abstract. In this paper we obtain conditions for stability of linear hybrid automata with fuzzy switching. The dynamics of local conditions is described by differential equations on the process of fuzzy walk. Stability investigations are conducted by Lyapunov functions method.

Keywords: Lyapunov method, stability, hybrid automata, possibility theory.

1. Вступ

У запропонованій роботі метод функцій Ляпунова поширюється на нечіткі гібридні автомати з циклічним та довільним перемиканням станів. Будемо використовувати термін нечіткість, як пропонується в роботах [1-4]. Стійкість чітких гібридних автоматів вивчалась багатьма авторами [5-7]. В цих роботах для перевірки умов стійкості необхідно знаходити в явному вигляді розв’язок автомата, що суперечить основній ідеї використання методу Ляпунова. В [В] запропоновано інший підхід. Цей підхід розвинуто для дослідження стійкості нечітких гібридних автоматів.

2. Основні означення і попередні результати

Введемо такі позначення:

||-|| - евклідова норма у просторі Rd (позначення, однакове для всіх d );

vfV(Уо) = Vbo)f (Уо) , якщо V: Rd — R і f: Rd — Rd або f: Rd — Rdxl.

Означення 1. Нечітким гібридним автоматом з нечітким перемиканням (НГАНП) називається кортеж HA = (Q, Y, PS, g, w, h, Inv, Init, Jump) , в якому

- Q - скінченна множина дискретних станів;

- Y = Rd - множина неперервних станів;

- PS = (X ,2X, P) - простір можливостей з нормованою мірою можливості;

- w : R+x X+ —— Rl - процес нечіткого блукання на просторі PS ;

- g: Q x Rd — Rd, h: Q x Rd — Rdxl - частково визначені функції, за допомогою яких задається неперервна поведінка автомата під час перебування в дискретному стані; будемо позначати gq = y a g(q, у) і hq = y a h(q, y);

- Inv : Q — Y \ {0} - функція, яка задає множину незмінності дискретного стану;

- Init с Q xY - множина початкових станів;

- Зитр: Q х У х X ® 2ех7 - відображення, яке задає умову переходу між дискретними станами;

- виконується умова Іт>(д) с Domgq п для всіх q є Q .

Означення 2. Фазовою орбітою, яка допускається НГАНП НА, називається кортеж % = (т, q,7, х), в якому хє Х+, Т = (їг)і=0 є ИГ, q : (т) ® Q - відображення і у = (уі ).є^ -

індексоване сімейство неперервних відображень у’ : Іі ® У, таких, що:

1) у1 (і) є Іп\(д (і)) для всіх і є [тг ,т'), якщо і є (т) і, крім того, у1 (т') є Іп\(д (і)), якщо і = N(т) і т є и(т);

2) (q (і +1), уг+1 (г+1)) є Мтр(ц (і), уі (т'), х) для всіх і є (т) (т)};

3) функція уі локально абсолютно неперервна на Іі і задовольняє рівняння уі (і) = g(Ч(і), уі (і)) + И(ц(і), уі (і))Н(і, х) для майже всіх і є Іі;

4) ^(0), у 0(0)) є Іпіі. Зауважимо, що в п. 3 функції і а gq(і)(уі (і')) і

і а И (і)(уг (і')) є визначеними на Іі \{т'}, оскільки у1 (і) є Іп\(д (і)) для всіх і є [ті ,т') за п. 1.

Розглянемо фіксований НГ АНП НА = ^, У, Р8, g, н, И, Іпу, Іпіі, Мтр).

Позначимо ОтЬ(НА) - множина фазових орбіт автомата НА, <рн - функція

розподілу процесу нечіткого блукання Н .

Зауважимо, що визначення нечіткого гібридного автомата з нечітким переключенням не накладає спеціальних умов на функції g, И і не гарантує існування фазових орбіт автомата.

Означення 3. Стаціонарним станом НА називається точка у* є У, така, що:

1) Мтр^,у*, х) с Qх{у*} для всіх qє Q і хє Х+;

2) для кожного % = (т,q,у,х)є ОгЬ , такого, що у0(т0) = у*, усі відображення у1, і є (V) є константними і приймають значення у*. Позначимо 8і(НА) - множину стаціонарних станів НА .

Означення 4. Стаціонарний стан у*є 8і(НА) називається стійким з рівнем а, де а: (0,+¥) ® [0,1) - функція, визначена в околі нуля, якщо для довільного числа є>0 існує число 5 > 0, таке, що для всіх фазових орбіт % = (т, q, у, х) є ОгЬ(НА), де у = (уі )іє^

і т = (Іі )іє^), таких, що ||у0(т0) - у*||< 5 і Р{х} > а(є), виконується умова ||уі (і) - у*|| < є для всіх і є (т) і і є Іі.

Будемо позначати 8і(НА) - множину стаціонарних станів НА .

Позначимо DF(^) - клас усіх частково визначених неперервних функцій які є неперервно диференційованими на внутрішності своєї області

визначення.

Для кожної частково визначеної функції / : Л ® Л позначимо ІпАпу(/) частково визначену функцію g : Л ® Л, що задана умовами:

• g (у) = іиГ{х є Л | / (х) < у}, якщо у є Л і множина {х є Л | / (х) < у} непорожня і обмежена зверху;

• g (у) не визначено в іншому випадку.

Визначимо НЬо(НА, у*) як множину кортежів (&,(^ )є ,(nq )є), в яких

а : (0,+¥) ® [0,1) - функція, визначена в околі нуля;

(V ) ^ - індексоване сімейство функцій класу DF(^ );

(у)qЄQ - індексоване сімейство визначених функцій : Л+® Л +, визначених в

околі нуля (включаючи нуль), і виконуються умови, в яких у = Іп/іпу(а):

Ьо1) {у*} ио, с DomVq для всіх qє Q, де о, - деяка відкрита надмножина Іп\^), і якщо (q2,у2)є Мтр^,у1,х) для деяких q1,q2 є Q, у1,у2 є У і хє Х+, то у1 є DomV і

у2є ^т^2;

Ьо2) (0) = 0 і (н) > 0 для всіх н є Domvq \{0} ;

Ьо3) Уч(у*) = 0 для всіх qє Q;

Ьо4), якщо V (у) < V (н) для деяких у є DomVq і н є Domvq, то ||у* -у|| < н ;

Ьо5) для всіх елементів q є Q, х є Х+ і у є Іт^), таких, що Р{х} є Domy і V, (у0 > Пд (у(Р{х})) , визначено виконується нерівність

де рн - функція розподілу процесу нечіткого блукання Н .

Зауважимо, що значення V е у, (у), V И Vg (у) визначені для всіх у є іш(,) , оскільки

^ ^ g

має місце умова Ьо1 і Іт^) с Domgq п DomИq.

Нехай а : (0,+¥) ® [0,1) - задана функція, визначена в околі нуля (яка задає рівень можливості), у = Іп/іт(а) і D = (0,1]пDomy .

Неформально, функції Vq, q є Q грають роль функцій Ляпунова локальних станів НГАНП, пристосованих до визначення стійкості з рівнем а , а функції п, q є Q мають допоміжний характер і оцінюють поверхню рівня функцій Vq, яка міститься в кулі заданого радіуса з центром у точці у* .

Введемо такі позначення (де g1, д2 є Q, и є (0,1]):

Відношення Е задає можливі перемикання між дискретними станами автомата. Будемо казати, що НГАНП НА має циклічне перемикання, якщо орієнтований граф (0,Е\{(д,д)|дє Q}) є орієнтованим циклом.

Теорема 1. (Про стійкість стаціонарних станів циклічних НГАНП). Нехай НА -НГАНП з циклічним перемиканням дискретних станів д ® д2 ®... ® дп ® д1. Нехай для стаціонарного стану у* є 8і(НА) існує кортеж

J д ^, м) = {(у!, У2) | $х є X: Р{х}> и а а ^ У2) є Мтр^ y1, x)}, Е = {(д1, д2) є 0х0|3хє X: Р{х} > 0а а $( Уі, У2) :(д, У2) є ^тр(д, Уl, х)}.

НІ = («,((',)„о,(Уд)„е)є НІа(НА,У.)

Припустимо, що виконуються умови:

1) для кожної пари ^,q2)є Е існує число 5^ >0 і відображення ^4^2 : [0,5^ ] ® Л+, таке, що (0+) = (0) = 0 і для всіх елементів и є D і пар

(у1, у2) є J(q1, g2, и) виконуються нерівності:

2) 1(^?1^?2 . ^?„-1^?„^?1) <SD 1(^gl), тобто має місце $' - умова.

Тоді стаціонарний стан у* автомата НА стійкий з рівнем а .

3. Стійкість стаціонарних станів циклічних нечітких гібридних автоматів з нечітким перемиканням

Нехай задано неімпульсний НГАНП НА з циклічним перемиканням дискретних станів ql ® q2 ® ... ® ® ,1, а у* є його стаціонарним станом. Нехай а : (0,+¥ ® [0,1) -

функція, що визначена в околі нуля (яка задає рівень можливості в залежності від радіуса околу стаціонарної точки), у = Іп/іт(ш) і D = (0,1]пDomy .

Позначимо DF0° , у* ) - клас усіх локально обмежених частково визначених

неперервних і неперервно диференційовних на внутрішності своєї області визначеності функцій / : ® Л+, таких, що у* є Domf, /(у*) = 0 і /(у) > 0 при у Ф у*.

Позначимо DF' ¥ (Лй ,у*) - клас усіх функцій з DF0oo(Лй,у*), які можуть бути продовжені до радіально необмежених тотальних функцій.

Теорема 2. (Про стійкість стаціонарних станів циклічних НГАНП). Нехай (Уч )gЄQ -

сімейство функцій Ляпунова класу DF0oo(Лй,у*), таких, що О сDomVq для кожного q є Q, де О - деяка відкрита надмножина Іт^), і для всіх q1, q2 є Q, у1, у2 є У, х є Х+, таких, що ^2,у2)є 3итр^,у1, х), виконується у1 є DomV^ і у2 є DomVq^ .

Нехай (у,)gєQ - сімейство функцій vq : Л +® Л+, таких, що vq (0) = 0 і 0< Vg (н) < Vq (у) для всіх н >0 і у є DomVq, таких, що ||у* -у|| > н .

Припустимо, що для всіх q є Q, х є Х+ і у є Іт^), таких, що Р{х}є Domy і Vq (у1) > у, (у(Р{х})), виконується нерівність

Припустимо, що для кожної пари (,1, q2) є Е, рівня и є D і (у1, у2) є 3(,1, q2, и), таких, що V (у1) < v^ (у(и)), виконується V (у2) < v (у(и)) . Припустимо також, що

значення йі (и, v) є Л+, і = 1, п визначені для всіх (и, v) є Dх[0, vmax] і нерівність йп(и,v) < тах{у (у(и)),v} виконується для всіх (и, v)є Dх[0,vmax], де

• ^2 (у2) < Vg2 (У(и)) , якщо Vg1 (у1) < Vg1 (У(и)) ,

• ^2 (у2 ) < ^ V (у1 )) , якщо Vg1 (у ) є [0, 5^ ] і Vg1 (у1 ) > Vg1 (У(и)) ;

Н

й1(и v) = ^Р^ (у2)| (y1, у2) є 3(^/1, ^ и) л Vql (у) < (у(и)), v}};

й2(u, v) = sup{Vqз (у3)| (у^ у3) є З^ ^,и) л ^(у2) < (у(и)),v)}};

йз(u, v) = sup|Vq4 (у4) | (Уз,у4) є 3^ ^^4,и) л (у3) < тах{У3 (У(и))й2(u, v)}|;

йп(и v) = suPlVq1(Уl) | (у„, уі) є 3(,п, и) л \ (уп) < тах{Уп (У(и))йn-\(u, v)}|.

Тоді стаціонарний стан у* автомата НА стійкий з рівнем а .

Доведення. Перевіримо виконання умов теореми (1). Доведемо, що (а,(^) ^,(у,)gєQ)є Н^(НА,у*). З умови теореми випливає, що умови Ьо1, Ьо3, Ьо5

виконуються. Умова Ьо2 виконується, оскільки vq (н) > 0 при н >0 і vq (0) = 0. Умова Ьо4

виконується, бо за умовою теореми, якщо ||у* - у|| > н , то Vq (у) > У, (н) .

З умови теореми випливає виконання першої нерівності умови 1 теореми(1). Перевіримо виконання другої нерівності умови 1 теореми (1). Покладемо

5,^ = У^ (0) > 0 і визначимо відображення 3, : [0,5,^ ] ® Л + рівністю

^ (^ = SUP{Vg2 (у) | у є ^т Vg1 п ^т^2 Л ^,1 (у) < <

Зауважимо, що це значення визначено, бо у* є DomV^ пDomVq^, і скінченне,

оскільки при V (у) < У (0) виконується ||у* - у|| < 1, а функція V (у) локально обмежена. Оскільки V^ (у) > 0 при у Ф у*, тоді 3^ (0) = 0 . Оскільки 3, монотонна, тоді значення

3, (0+) визначено. Перевіримо, що 3 , (0+) = 0 . Дійсно, ^ 3 (У (Є)) = 0, оскільки

,^2 ,^2 є>0 ,1,2 ,1

функція V неперервна на своїй області визначення і V (у*) = 0 . Але якщо 3, (0+) Ф 0, то Jg1q2 (0+) > 0 і тоді іп£ ^ (У,1 (є)) > 0 , бо \ (є) > 0 при є > °. Отже, (0+) = 0.

Якщо (у1, у2) є 3(^, ,2, и) для деякого и є D і V^ (у1) < 5' , , то у1 = у2, бо автомат не імпульсний, і уі є п. Тому Vg2 (у2) < (Vgl (уі)) за визначенням 3^ .

Перевіримо виконання умови 2 теореми (1). Оскільки значення йі (и, v) є Л+, і = 1, п визначені для всіх (и, v) є D х[0, у^], то для всіх дуг (,1, ,2),

(с (,і) • с (gl, g2))(u, v) = шр s((gl, g2),u, с (gl)(u, у)) = й, ^ v), де ^ - відображення з означення розмітки 1. Тоді

йп (^ v) = (c(^/і) • с,2) • сШ с(,2, ,3) •.. • . , ч •

„ ЧЧ/, ч , , , , . для всіх (и,v)є Dх[0,VI. Звідси маємо

с (,п) • с (,п, V) < max{ygy(u)), v} А 4 7 1 ’ тах-1 А

тах{у^ (у(и)),йп(и, V)} < max{y^ (у(и)),V}, а, отже,

с (<?і )(и, йп (и, V)) < с (<?і )(и, V) , звідки для всіх (и, V) є D х[0, vmx] виконується

1(qlq2..qn-lqnql)(u, v) < 1(ql)(u, v).

Тоді за визначенням відношення <ж виконується 1(<?1<?2. <?п-1<?п<?1) <ж 1(^1).

Отже, умови теореми (1) виконуються, тому стаціонарний стан у* автомата НА стійкий з рівнем а .

Теорему доведено.

4. Лінійні гібридні автомати зі скалярним процесом нечіткого блукання з нечітким циклічним перемиканням

Нехай заданий гібридний автомат НА з множиною дискретних станів Q = {1,2,...,п} і нечітким циклічним перемиканням 1 ® 2 ® 3 ®... ® п ® 1. Рівняння в локальних станах мають вигляд у(ї, х) = Аіу(ї, х) + Ьн(ї, х), і = 1,2,...,п, де Аі є Лйхй, Ьі є для і = 1,2,...,п, н - скалярний процес нечіткого блукання зі строго монотонною функцією розподілу (р .

Припустимо, що множина перемикання і ® і +1 для кожного індексу і і рівня можливості и є [0,1] визначаються як 3(і,і © 1,и) = {(у,у)є х| -X (и ) < іТу <Х (»)}

(пари однакових значень (у, у) вказують на те, що автомат не імпульсний), де і © 1 = і +1, якщо і < п й і © 1 = 1, якщо і = п, Іі - вектор (нормалі), X (и) - функція, що монотонно спадає, обмежена в околі нуля, така, що X(1) = 0. Таким чином, перемикання може відбуватися на деякій відстані від чіткої площини перемикання.

Наведемо достатні умови стійкості нульової траєкторії автомата НА із заданим рівнем а : Р ® [0,1] . Нехай у = Іп/іт(ш) і В - область визначення у.

Будемо позначати А > 0 - додатно визначена симетрична матриця, А > 0 - додатно напіввизначена симетрична матриця.

Теорема 3. (Стійкість рівноваги лінійних нечітких циклічних ГА з нечітким перемиканням). Припустимо, що для і = 1,2,...,п існують матриці Ні і числа Єі >0, такі,

де 1тіП(Ні) - найменше власне число матриці Ні, і існує роз'язок системи зазначених нижче нерівностей (1)-(5) щодо скалярних параметрів {1і }г”=1,{Д- }гп=1,{А }г”=1,к, такий, що

іп от к-+ т X2 (и))+т Х2(и))+ +т3Х2(и)...)+А!Х2(и) <к;

(1) у2(и)Н1 - К > 0;

Тоді нульова траєкторія автомата НА стійка з рівнем а .

Доведення. Скористаємося теоремою (2). Визначимо функції Ляпунова Уі для кожного локального стану автомата рівностями Уі (у) = уТНіу, і = 1,2,...,п, а функції Уі -рівностями пі(^) = 1тіп(Ні)м>2 для всіх w > 0, і = 1,2,...,п . Легко бачити, що функції пі задовольняють вимогам теореми (2), тому перевіримо, що їм задовольняють функції Уі. Достатньо перевірити, що для всіх і = 1,2,..., п, и є Б й у є ^, таких, що Уі (у) >пі (у(и)) ,

що Ні > 0 і - АТНі -НіАі -2єіНі > 0, і = 1,2,...,п .

Припустимо, що для кожного и є Б виконується нерівність

(2) ліні +т11Т - нш > о,

(3) рі -Лу2(и)ні > о,

(4) у2 (и)ні01 - тії (и)і- рі >0,

(5) 1 > 0, ті > 0,Рі > 0,

і = 1,2,...,п ; і = 1,2,...,п; і = 1,2,...,п; і = 1,2,...,п.

виконується VgV, (у) £ \j j 1 (u) | VhV, (у)|, де g, (у) = Агу, h, (у) = Ьг - відповідно чітка

частина і коефіцієнт при нечіткій частині рівняння в локальному стані і.

Нехай u є D , у є Rd й V, (у)>п, (y(u)). Тоді yTHiy > 1тах(Нг )y2(u), звідки

y2(u) < уТНгуІХтЯх(Нг ) . Оскільки - Аі Н, - НгАг - 2є,Н, > 0, тОДі

V gVt (у) = ут (АТНг + Ні Аг) у £ -2єіуТНіу.

За умовами теореми, (u) £ єг21тіп (Ні) У u . Крім того,

b НгЬг

| Vh V (у) |= 2 | b. Н ,у |= 2 | ЛТт/НТ4Н,у |£ 2,Щ1Н~Ь, ^уТН,у.

Звідси випливає, що

Vj_1(u) | V h V (у) |£ 2Є л/1тіп(Нг )y(u W уТН,у .

Зважаючи, що y2(u) < уТНг.уІ1тах (Н,) , одержуємо

j_1(u) | VhV (у) |£ 2ЄуТНгу.

Таким чином,

V g.V (у) £-2є,уТНіу £ - j_1(u) | Vh V (у)|. Отже, функції V, задовольняють

вимогам теореми (2).

Визначимо для кожного переходу г ® г © 1 число d,© й відображення

J,,©1 : [0, d,i©1 ] ® R+ рівностями di,г©1 = 1 , J,i©1 (u) = ^ ^ u .

1тт(Нг )

Тоді г5,,і©1 (0) = J,,©1 (0+) = 0 .

Зафіксуємо u є D . Нехай {1г }”=1,{Д- }”=1,ІА }г”=1,^ - розв’язок нерівностей (1)-(5) для даного u такий, що

1, (...1з(І2 (1 + thX («)) + VlX («)) +

+тз42(«)...)+m„x„2(u)£^.

Припустимо, що індекс г є {1,2,...,п} і значення (у1,у2)є J(i,г ©1,u) такі, що

V,(у1)£n(/(u)). Позначимо j = i© 1 й покажемо, що Vj(у2)£Vj(y(u)). З нерівності (3)

випливає, що для кожного z є Rd , 1y2(u)z1 Н tz £ pizTz . Звідси

Д/'ИЛтіпСН ) £Г.

Аналогічно з нерівності (4) випливає, що (r+mXi'(u))zTz £y2(u)zTНjz для всіх z є Rd , звідки

Pi+mgW £ /2 (u)1min (Н j ).

Таким чином,

1/2(")1»п (Н , ) + mX (u) £/2(u)1mn( Н, ).

З нерівності (2) випливає, що 1гуіИгу1 + У\ - Уі Иі®1Яу1 > 0. Звідси

У (У 2) = У 2 Иг®1 У 2 = Уі ^ И® КгУі <ЛгУі ИіУі + МгУіУЇ Уі =

= IV (Уі) + м (ІТУі)2 < ІУ> (У(и)) + мХ (и) = І¥2(м)1тіп (Иг) + МгХ2 (и) < £У2(и)1т1п(Иг®1)=П' (У(и)).

Таким чином, нерівність V] (у2) <п] (у(и)) доведена.

Припустимо, що г є{1,2,...,п} й (у1,у2)є 3(г,г ®1,и) такі, що V(у1)є[0ДіФ1] й Уг (Уі) > П (У(и)) . Покажем^ що У®1 (У2 ) < ^,г®1 (Уг (Уі )) . ДІЙCH0,

У®1(У 2) = УТ И і®1 У 2 = У1ЯТИг®1 КгУі < ЛпахС^ Иг®1 Кг )УІ У і <

< 1т,х( Д'Иг®,Лг) = 4г®,(У’(у,)).

1тп(Иг)

Перевіримо умови, що залишилися, теореми (2).

Для кожного і = 1,2,...,п й V > 0 визначимо:

(и v) = зир{уг®1 (г2) |(гі,Іг2)є 3(г,г ® l,и)у(гі) < тах{П(у(и)),й-і(u, v)}} =

= Эир{гТЯТИг®і^ггі 1 -Х (и) < ІТгі < Х (иX гТИггі < тах{П (У(и)), йг-1 (и ^}Ь

де покладаємо й0(и, v) = V. Помітимо, що значення йі (и, V) є визначеними й скінченними, оскільки множини, за яких береться точна верхня грань, не порожні (містять нуль-вектор) і обмежені.

Зафіксуємо V й доведемо, що йп (и, V) < тах{у1(у(и)), V}.

Як було показано вище, якщо (у1, у2) є 3(і, і ®1, и) й Уг (у1) <п (у(и)), то Уі®1(у2) <п®1(у(и)). Тому, якщо йі (и, V) <п+1(у(и)) для якогось і = 0,1,..., п -1, то нерівність й](и, V) < тах{п+1(у(и)), V} виконується для всіх ] = і,і +1,..., п і, таким чином,

йп (u, V) < тах{^і(у(и )Х v}.

Тому розглянемо випадок, коли йі (и, V) > пг+1(у(и)) для всіх і = 0,1,..., п -1.

З нерівності (2) випливає, що для всіх і = 1,2,...,п й г„г2, таких, що

(г„ г2) є 3(і, і ® 1, и),у (г1) < тах{п (у(и)), йг-1(и, V)},

виконується нерівність

У®1( г 2 ) = гТ^гИг®1 Кг21 < Л^г^і + МіА І,ІІ гі <

< И г гі + МгХг (и) < 1 тах{П (У(u)), йг-1 (u, V)} + (и).

Таким чином,

йг (U, V) < 1 тах{П (У(и)), йг-1 (и, V)} + М#2 (и) .

Як було припущено вище, йг-1 (и, V) > П (у(и)) , тому

йг ^ v) < М-і ^ v) + М#2 (и) для всіх і = 1,2,...,п . У такий спосіб одержуємо нерівності:

d1(u, v) s 11v+m1X12(u);

d2 (u, v) <12(1iv + mlXl (u)) + m2X2(u);

d„ (u, v) й Д(..Д (Д2 (Д v+m^2 (u))+m^2 (u))+m3X32 (u)...)+m„X„2 (u).

З нерівності (1) випливає, що /2(u)zTH1 z >kztz для всіх z, тому У2 (u)1min(H1) >k. Оскільки d0(u, v) = v >v1(/(u)) = 1min( H1)/2(u), тоді v >k. Тому dn(u, k) йк. З того, що t ® dn(u,t) - афінна функція вигляду at + b, a,b > 0, одержуємо, що dn (u, v) й v.

Таким чином, з теореми 2 випливає, що нульова траєкторія HA стійка з рівнем а . Теорема доведена.

5. Висновки

У статті досліджуються властивості нечітких гібридних автоматів. Для моделювання нечіткості використовується підхід, що базується на теорії можливостей. Розглянуті питання про стійкість та стійкість розв’язків нечітких гібридних автоматів з циклічною зміною локальних станів. Зміна станів відбувається при досягненні траєкторії певної множини. Доведено відповідні теореми.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Бичков О С. Про один підхід до моделювання нечіткої динаміки / О.С. Бичков // Доповіді НАН України. - 2006. - № 10. - С. 14 - 19.

2. Бычков А.С. Об одном развитии теории возможностей / А.С. Бычков // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 5. - С. 67 - 72.

3. Bychkov A.S. Modelling and studying fuzzy dynamical systems / A.S. Bychkov // Journal of Mathematical Sciences, Springer New York. - 2009. - Vol. 157, N 3. - Р. 466 - 479.

4. Бычков А.С. Дифференциальные уравнения - теоретико-возможностный подход / А.С. Бычков // 7-я междунар. математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения», (Алушта, 111S сентября 2004 г.). - Алушта, 2004. - С. 33.

5. Branicky M. Stability of switched and hybrid systems / М. Branicky // Proc. 33-rd Conf. Decision and Control, Lake Buena Vista, FL. - 1994. - Dec. - Р. 349S - 3503.

6. Daafouz J. Stability Analysis and Control Synthesis for Switched Systems: A switched Lyapunov function approach / J. Daafouz, Р. Riedinger, С. Iung // IEEE transactions on automatic control. - 2002. -Vol. 47, N 11. - P. 1SS3 - 1SS7.

7. Lin H. Stability and Stabilizability of Switched Linear Systems: A Survey of Recent Results / Н. Lin, P.J. Antsaklis // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2009. - Vol. 54, N 2. - P. 30S - 322.

S. Бичков О. Дослідження стійкості тривіальних фазових орбіт гібридних автоматів / О. Бичков // Вісник Київського університету. - (Серія «Кібернетика»). - 2005. - № 6. - С. 4 - S.

Стаття надійшла до редакції 02.04.2012