ДОСЛіДЖЕННЯ СТіЙКОСТі СИСТЕМ З НЕСТіЙКОЮ ПіДСИСТЕМОЮ (ЧАСТИНА 1) Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 007: 681.516.4

А. О. Лозинський д-р техн. наук, Л. І. Демків канд. фіз.-мат. наук Національний університет «Львівська політехніка»

Дослідження стійкості систем з нестійкою підсистемою (частина 1)

У першій частині даної роботі, на прикладі двомасовоїсистеми, розглянуто принцип побудови системи керування, що поєднує властивості двох підсистем керування за повним вектором стану. Досліджено стійкість загальної системи в залежності від стійкості кожної з підсистем, з яких вона складається.

стійкість, регулятор Такагі-Сугено, нечітка логіка, динамічна система, фазово-частотна характеристика

Вступ

Одним з найпоширеніших об’ єктів дослідження теорії автоматичного керування електродвигунами є двомасові електромеханічні системи. Синтезу таких систем присвячені, зокрема, роботи [1, 2].

Підвищення динамічних показників системи є одним з пріоритетних напрямків розвитку електропривода. Саме вирішенню цієї проблеми і присвячена дана стаття, що забезпечує її актуальність.

Як відомо, конструювання бази правил є одним із найважчих етапів проектування нечіткого регулятора.

І саме тут зосереджена значна частина критики систем керування, побудованих на основі нечіткої логіки. У більшості випадків необхідна для проектування регулятора інформація може бути отримана або у вигляді даних із вимірювальних пристроїв, або у вигляді знань експерта, представлених у лінгвістичній формі. На жаль, до цього часу не розроблені ефективні стандартні засоби проектування таких регуляторів.

Одними з широко вживаних підходів є описаний у [3] алгоритм формування бази правил на основі числових даних та використання шаблонної бази правил Mac Vicara - Whelana [4], отриманої в результаті формалізації ПІ- та ПД- регуляторів. Проте ці підходи не розв’язують задачі синтезу для всіх структур fuzzy-logic регулятора, зокрема, у випадку синтезу регулятора Та-кагі - Сугено з лінійним виходом, що відповідає формуванню керування за повним вектором стану. Громіздкість структури регулятора створює проблеми при його реалізації у системах керування, а також істотно впливає на швидкодію системи. Тому актуальним є створення та розробка нових алгоритмів побудови такого регулятора. Для застосування в системах керування електроприводом нами пропонується структуру регулятора Такагі - Сугено - Канга (4.1) змінити таким чином [5]:

яКщ° е є А^ тоді Y = f (u, X1k , X2k X„k ) ,

© А. О. Лозинський, Л. І. Демків 2010 р.

де е - абсолютна похибка між заданим і отриманим значеннями вихідної координати, або інший інформаційний параметр, достатній для визначення необхідної стратегії керування, Ак - сформовані області належності, X(ґ) = [х (ґ), Х2 (ґ) к хп (ґ), х (ґ) = х(ґ), х2 (ґ) = х'(ґ) й(ґ) - вектор керуючих впливів, У - вихідний сигнал системи.

Тобто при створенні таких регуляторів нами пропонується в умові лінгвістичного правила не використовувати змінні стану.

Такий підхід дає змогу поєднати переваги нечіткої логіки і математичну строгість класичної теорії керування.

1. Постановка задачі

Так само, як і в [і], розглянемо нелінійну систему, яку в загальному випадку можна описати за допомогою диференціального рівняння п -го порядку, яке можна звести до системи диференціальних рівнянь першого порядку

х’(ґ )= / (х (ґ ))+ Я (х (ґ ))й (ґ )+#(ґ ), (1)

де Е, (ґ) - зовнішні збурюючі впливи, / (х (ґ)) та

Я (х (ґ)) - нелінійні функції, описані в області робочих точок системи. Використовуючи техніку, описану, наприклад, в [6, 7], можемо перейти від системи (1) до лі-неаризованої системи і сформувати для всіх точок вектор керуючих впливів, який визначається повним вектором стану або за допомогою модального регулятора

ДЗ& (ґ) = А* Ах (ґ)+Б* Ай (ґ), де Ах(ґ) = х(ґ)-х0(ґ), Ай(ґ) = й(ґ)-й0(ґ), х0(ґ),

и0 (ґ) - вектори, в околі яких розкладаємо в ряд Тейло-

ра,

A* =(аг1) = f, B* =(b'j)

V',Jh,j=1 at. ,J',J=1

AgL Axj •

Модель системи можна побудувати, використовуючи стандартний регулятор типу Такагі - Сугено [8]

R' : IF x1 єM1 i x2 єM2 i... xn єMn THEN x (t) = A'X ()+ B'U (t),

IF x1 є N1 ix2 є N2 i к xn є N’n THEN u (t ) = K'X (t), i = 1, k,

де R' - i -те правило, MJ, NJ, i = 1, k, J = 1, n - області

розбиття, Ai, B', K' є Rnxn - матриці, що формують модель системи в околі певної робочої точки (локальна

модель), u (t) є Rn - вектор керуючих впливів.

Використовуючи дефазифікацію гравітаційним методом, отримаємо таку модель системи:

k ( k Л

x(t)= Уv'(x) Ai + вгУ rj(x)kj x(tX

i=1

J=1

де

= v (x )=

ПМ (Xj (' ))

J=1

m; (x, (t)),

г =1 j =1

ІІ Ni (Xj (t))

j =1

kn

У IlNi ( (t )

г=1 j=1

N'j (xj (t) - функції

належності х] (?) до відповідної області М] чи И],

к к

У, = 1, У М-і = 1. Тобто, модель і -тої системи мати-

1=1 1=1

ме вигляд

2. Результати дослідження. Випадок стійких підсистем

У цьому пункті проілюстровано ідеї статті [7] у випадку типової двомасової системи рис. 1.

Рис. 1. Кінематична схема з пружним валом: М - двигун, РО - робочий орган механізма, Р - редуктор

Використовуючи математичні викладки з [1], розглянемо двомасову систему, що складається з двох стійких підсистем з однаковими передавальними функціями (див. [1])

W (p ) =

С13 1TM1 H (p)

k11

H (p) = p> + p 2-^ +

+p

V TCTM 2 TCTM1 у

TM,

k12 + 11 + ( k11 + k13

VTCTM1TM2 у

де с13, Тм 1, Тм2, Тс - коефіцієнти, що характеризують систему та описані в [1]. к11, к12, к13- невідомі коефіцієнти модального регулятора. Розглянемо випадок системи, в якій реалізовано керування шляхом поєднання керуючих впливів з двох підсистем, в яких реалізовано налаштування на стандартну біноміальну форму (рис. 2)

нст (Р) = Р3 + 3РX + 3Р®0 + ®0.

Нехай для однієї з підсистем значення середньогео-метричного кореня є ю0 1 = 1, а для іншої <й0 2 = 4. Коефіцієнти к11_1, к!2_!, к!3_!, к„_2, к12 2 , к13_2 розраховано за формулами з [1]

х () = (а + б,к, )х().

Кожна з підсистем може формувати різні типи переходів з різними швидкостями. Можливим є формування різних траєкторій переходу до заданої точки простору вихідних сигналів системи, використовуючи регулювання, в якому відбувається перехід між керуючими впливами. Крім того, деякі підсистеми можуть бути нестійкими. У цій статті розглянуто двомасову систему, що складається з двох підсистем.

k11 i 3®G iTM 1,

k12 i

3®G i -

TT

1C1M 2 у

T T -1

1C1M1

k13 і = TCTM1TM 2®G i - 3TM 1®G i, ' = 1,2.

Дана система є стійкою оскільки для неї виконуються умови наслідку 1 з роботи [6], а саме, B1 = B2, а К1 та К 2 вибрано таким чином, що підсистеми стійкі. У функції MATLAB Function реалізовано функцію належності

1

+

1

Рис. 2. Модель системи в 8іши1іпк

(рис. 3)

(див.,

Рис. 3. Функція належності Г(и; а, в)

0, и < а

Г(и;а,в) = <( -а)/(3-а), а < и < в (

1, и > в напр., [9]).

Результати симуляції при а = 0,2, в = 0,8 в залежності від часу показано на рис. 4.

Рис. 4. Перехід між двома стійкими підсистемами з різними значеннями середньогеометричного кореня. Від меншого до більшого

а) та навпаки б)

При цьому вихідний сигнал кожного з трьох інтеграторів в залежності від часу подано нижче (рис. 5 та 6).

в)

Рис. 5. Вихідний сигнал інтеграторів у випадку, що відповідає рис. 4, а)

а) перший б) другий в) третій інтегратор відповідно

У першому випадку відбувається плавний перехід від системи з малою швидкодією до системи з більшою швидкодією. У другому ж випадку - навпаки, і тому спостерігається перерегулювання. Надалі будемо розглядати лише другий випадок.

В залежності від параметрів а та в швидкість наростання сигналу та рівень перерегулювання можуть змінюватись (рис. 7).

Така система дає змогу покращити інтегральні показники якості І1 = | и2 ()ї; І2 = | їи2 (ї ;

І3 = І |и(; І4 =| ї|и ((рис. 8-рис. 11).

Якщо розглядати класичну систему, налаштовану на біноміальну форму з га0 = 4, то в цьому випадку

а)

V'

в)

Рис. 6. Вихідний сигнал інтеграторів у випадку, що відповідає рис. 4, б)

а) перший б) другий в) третій інтегратор відповідно

лежності від значення параметрів а та в запропонована система забезпечує виграш в півтора-два рази. Крім того, значний виграш отримується у часі першого досягнення усталеного значення (1,662 с в найгіршому випадку проти 4 с в класичній системі) та входження в 5 % зону (2,3722 с в найгіршому випадку проти 4 с в класичній системі). Оптимальними з точки зору швидкодії та величини перерегулювання є такі значення параметрів функції належності: а = 0,7, в = 1,0.

3. Випадок нестійкої підсистеми з двома коренями в правій півплощині

Розглянемо тепер випадок, коли одна з двох підсистем системи керування приводить до передавальної функції системи з характеристичним поліномом виду

I1 = G,5216,12 = G,1758,13 = G,7885,14 = G,4653. У за-

H (p) = (p 2 )((p I a)2 I b 2), a 2 I b“ =^

G2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0,5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Alpha

Рис. 7. Залежність максимального перерегулювання від параметрів а та Р

0 0.1 0-2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Alpha

Рис. 8. Значення її для різних значень а та Р

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Alpha

Рис. 9. Значення І2 для різних значень а та Р

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Alpha

Рис.10. Значення І3 для різних значень а та в

Аірпа

Рис. 11. Значення /4 для різних значень (X та Р

де значення середньогеометричного кореня ®0_2 “ 4 дорівнює значенню середньогеометричного кореня для стійкої підсистеми, а, Ь = 1-параметри, що задають трає-кторію руху кореня. Коефіцієнти ки 1,кп І5 ки обчислюються так само, яку попередньому пункті, а коефіцієнти нестійкої підсистеми

кп 2 - ТмДюо г +2а),

ТсТмі

(2)

ки 2 - ((»0_2а + (О02Ь )гСТМ\Тм2 ^Мі(С00_2 + 2я).

Результати симуляції при а = 0,2, (3 = 0,8 подано на рис. 12.

0.5 1

3,5 4

Рис. 12. Результат симуляції системи з коефіцієнтами (2)

При цьому вихідний сигнал кожного з трьох інтеграторів подано нижче (рис. 13).

6)

Рис. 13. Вихідний сигнал інтеграторів у випадку двох коренів в правій півплощині а) перший; б) другий; в) третій інтегратор відповідно

На рисунку нижня лінія - це вихідний сигнал стійкої системи, що розглядається в [1] (аналог стійкої підсистеми в цій статті), а верхня лінія - вихідний сигнал системи, що розглядається в даному підпункті. Перерегулю-вання виникає через те, що перший інтегратор з рис. 13 встигає наінтегрувати завеликий рівень сигналу, а потім у зв’язку зі зміною сигналу, який надходить на перший

суматор, та зміною значення параметра ц(е(/)),

e(t )= У зад - Увих

(t), який є результатом MATLAB Function, відбувається розінтегровування. Наведемо залежність максимального перерегулювання від значення параметрів а та в (рис. 14).

Нижче наведено залежність вихідного сигналу та інтегральних показників якості від параметрів а та в (рис. 15-рис. 18).

Рис. 14. Залежність максимального перерегулювання від значення параметрів а та в

Рис. 15. Значення I1 для різних значень а та в

Враховуючи, що в системі, що досліджується в цій

статті, крім стандартних Ке(^) та Іш(т) існує ще й третій

параметр д(е(/)), доцільно при дослідженні такої системи використовувати не дво-, а тривимірний годограф.

Дану систему також можна інтерпретувати як класичну систему з параметром. Покажемо залежність фазово-частотної характеристики від функції належності

д(е(/)) на рис. 19.

Рис. 18. Значення 14 для різних значень а та Р

Рис. 19. Залежність фазово-частотної характеристики від часу для системи з коефіцієнтами (2)

Звідси бачимо, що при збільшенні значення функції належності система переходить від нестійкого стану до стійкого. В залежності від значення параметрів а та Р запропонована в цьому пункті система забезпечує виграш до двох з половиною разів. Найбільш оптимально система працює при значенні параметрів а = 0,8, Р = 1,0. При цьому час входження в п’ятивідсоткову зону дорівнює 1,415с, а час першого досягнення усталеного значення - 0,706 с.

Висновки

З усього вищевикладеного випливає, що запропонована система дає суттєвий виграш за основними показниками якості та швидкості функціонування. Друга частина статті буце присвячена дослідженню системи з нестійкою підсистемою, що має один корінь в правій півплощині, та роботі системи при дії зовнішніх збурень.

На жаль, авторам ще не вдалось повного мірою сформулювати просторовий параметричний критерій стійкості систем, але це буце предметом подальшого дослідження.

Список літератури

1. Марущак Я. Ю. Синтез електромеханічних систем з послідовним кроком та паралельним коригуванням / Марущак Я. Ю. - Львів : Видав. НУ «Львівська політехніка», 2005. -208 с.

2. Башарин А. В. Управление електроприводами / Башарин А. В.. Новиков В. А., Соколовский Г. Г. // Ленинград: «Энергоиздат», 1982.-391 с.

3. Wang L. X., Mendel J. M. Generating fuzzy rules by learning from examples // IEEE Trans, on System, Man and Cybernetics. - 1992. - Vol. 22, No 6. - P. 1414— 1427.

4. Yager R., F ilev R. Podstawy modelowania і sterowania rozmytego. - WNT : Warszawa, 1995 -388 st.

5. Лозинський А. О. Застосування fuzzy logic регулятора в системах керування за повнім вектором стану// Вісник ХДПУ «Проблемы автоматизированного электропривода. Теория и практика». Спец. вип,-Харків, 1998.-С. 388-389.

6. Лозинський А. О. Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено / А. О. Лозинський, Л. I. Дем-ків // Донецьк : ІПШІ МОН і НАН України «Наука і освіта», - 2008. - № 4. - С. 545-549.

7. Лозинський А. О. Дослідження стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено-Кангі / А. О. Лозинський, Л. І. Демків//Харків : ВісникНТУ «ХШ»«Проблемы автоматизированного электропровода». -2008. -Вип. 30.-С. 89-90.

8. Takagi Т. Fuzzy identificationof systems and its application to modeling and control / T. Takagi, M. Sugeno //IEEE Trans, ono Syst. -1985. -Том SMC-15, №1. -C. 116-132.

9. D. Driankov Wprowadzenie do sterowania rozmytego / D. Driankov, H. Hellendoorn, M. ReinГгапк // Варшава «WydawnictwaNaukowo-Techniczne», 1996. -320 c.

Поступила в редакцию 28.09.09 г.

После доработки 14.12.09 г.

Лозинский А. О., Демкив Л. И. Исследование устойчивости систем с неустойчивой подсистемой. Часть 1.

В первой части статьи на примере двухмассовой системы рассмотрен принцип построения системы регулирования, которая сочетает свойства двух подсистем управления по полному вектору состояния. Исследована устойчивость всей системы в зависимости от устойчивости каждой из подсистем, из которых она состоит.

устойчивоть, регулятор Такаги-Сугено, нечеткая логика, динамическая система, фазово-час-тотная характеристика

LozynskyA, Demkiv L. Stability investigation of systems with unstable subsystem. Part 1.

In the first part of the paper, taking as an example the two mass system, authors considered the principle of construction of control system which combines properties of two control subsystems by the full state vector. Also stability of the whole system according to stability of each it’s subsystem was investigated.

stability, Takagi-Sugeno control, fuzzy logics, dynamic system, phase-frequency characteristic