CC BY
8
у(£ • ф)> последовательно дифференцируя первое уравнение (14).
Замечание 2. Теорема 1 и все следствия остаются верны для уравнения, зависящего от параметра
dx
А— = Вх-R(x, Л), R(0, Л) = О, Rx(0, 0) = 0, (16)
dt ' 1 J 1 4 i1 м
(Я еЛ, Л - некоторое банахово пространство) в малой окрестности Л = О, где, кчятс w ранее, Кестл(2?) ^ 0, т.е. Л = 0 не является точкой бифуркации.
Однако все функции w, zR и yR будут зависеть от малого параметра ¿г.
3. Рассмотрен также вариант теоремы Гробмана-Хартмана при зависимости R от малого параметра Л, а также простейший случай, когда <у\ (В) = 0,
но а°А(В) содержит конечное число 2л = 2я, +... + 2пе А -собственных значений ± as кратностей v,s = l9...9i,as= к sas,а * 0 с взаимно простыми к s > 0 и (или) нулевым собственным значением. Предположение об ограни-
ченности оператора А В в пространстве^, позволяет доказать вариант теоремы для отображений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д »I
1. Hale J. Introduction to dynamic bifurcation in Bifurcation Theory and Appli-cations. Lecture Notes in Mathematics, 1057 (1984), 106-151, Springer Verlag.
2. Iooss G., Adelmeyer M. Topics in Bifurcation Theory and Applications. Adv. ser. in Nonl. Dyn., vol. 3 (1998), World Sei. 186 p.
3. Вайнберг M. M., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 524 е.; Noordorf Int. Publ., Leyden, 1974.
4. Логинов Б. В., Русак Ю. В. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления //Прямая и обратная задачи для дифференциальных уравнепий в частных производных. Ташкент: Фан, АН УзССР, 1978. С.143-148.
5. Loginov В., Konopleva I. Symmetry of resolving systems for differential equations with
• ■ __
Fredholm operator at the derivative. Труды межд.конференции «Симметрия и ДУ», Сибирское отделение РАН, Красноярский ГУ, 24-28.8.2000, 42-46; Труды межд. конференции MOGRAN-2000, Уфа, УГАТУ, 25.09-3.10.2000 .
Коноплева Ирина Викторовна, старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончила физико-математический факультет Ульяновского государственного педагогического универси- • тета. Имеет публикации по функциональному анализу, дифференциальным уравнениям и
теории ветвления решений нелинейных уравнений.
4 * ^ •
9 1 *
%
УДК 519.8
В.И. ЛЕВИН
ДОПУСТИМЫЕ ПЛАНЫ ДЛЯ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ РАБОТ
Поставлена задача отыскания допустимых последовательностей выполнения заданного частично упорядоченного множества работ. Предложено ее решение, основанное на методах теории графов.
Во многих областях человеческой деятельности: в организационном управлении, управлении процессом обучения в различных образовательных системах, в управлении технологическими процессами на производстве и т.д., возникает необходимость составления временного плана выполнения имеющегося множества работ, исходя из заданной частичной упорядоченности этого множества, т.е. отношений предшествования во времени, заданных для некоторых или всех пар работ. Получаемый в результате план (упорядоченная последовательность) работ и есть тот порядок действий, который допустим для данной управляемой системы и, таким образом, может и должен быть реализован путем соответствующего управления системой.
Часто ставится задача об отыскании не оптимального, как это делается в исследовании операций [1], а лишь допустимого плана выполнения частично упорядоченного множества работ, причем с возможно меньшими затратами вычислений. В этом отношении данная задача аналогична рассмотренной ранее автором задаче о возможном времени проведения коллективных мероприятий [2]. Цель настоящей статьи - изложение нового простого метода отыскания допустимого плана выполнения частично упорядоченного множества работ, основанного на теории графов [3].
Имеется некоторое конечное множество из п работ А = {¿7,,...,аг}, на котором задано ациклическое антитранзитивное бинарное отношение предшествования Я. При этом условие а{Ка- для произвольной пары работ [а{,а
из А означает, что работа а{ должна непосредственно предшествовать работе а., а условие а ¡На.- - что указанные работы не являются непосредственно
предшествующими друг другу. Ацикличность отношения Я означает отсутствие циклов (повторных выполнений) работ, а его антитранзитивность означает,,что а^а Яак => а1-Лак для всех /,у,к. Известно максимальное число
работ К, которые могут выполняться одновременно.
Требуется построить временной план (упорядоченную последовательность) выполнения всех работ, удовлетворяющий ограничениям следующих двух видов: 1) ограничения, вытекающие из заданной попарной упорядоченности работ по отношению 2) ограничения, вытекающие из заданного
допустимого числа К одновременно выполняемых работ.
Для решения поставленной задачи используем ее модель в виде орграфа Г, изоморфно соответствующего заданному отношению Я на множестве работ А. При этом вершины орграфа Г соответствуют работам ап а наличие
дуги из вершины а1 в вершину а] (т.е. а{ а ) означает, что а[Яа], т.е. между работами я, и а} имеется отношение предшествования Я: работа а должна предшествовать работе а-. Использование графовой модели задачи
позволяет привлечь к ее решению некоторые простые и наглядные методы теории графов [3]. Эти методы дают возможность при решении задач большой размерности использовать хорошо разработанные алгоритмы действий с графами, а при решении задач малой размерности - получать хорошие результаты с помощью чисто визуальных приемов.
Рассмотрим орграф Г, моделирующий поставленную задачу. Этот граф, как и порождающее его бинарное отношение Я, ациклический, т.е. не содержит циклов, и антитранзитивный, т.е. удовлетворяет условию [а! аj ->ак)=>а1 4>ак для всех а{ьа^ак. Благодаря этому орграф Г обладает некоторыми специальным свойствами, главное из которых - обязательное присутствие двух классов вершин - начальных и конечных. Вершина ав произвольном орграфе Г называется начальной, если она содержит
только исходящие дуги; конечной, если она содержит только входящие дуги; промежуточной, если она содержит как исходящие, так и входящие дуги.
Теорема 1. Любой конечный ациклический орграф Г имеет, по крайней мере, одну начальную и одну конечную вершины.
Доказательство. Предположим противное. Тогда возможны три различных случая: 1) граф Г содержит только промежуточные вершины; 2) граф Г содержит только начальные и промежуточные вершины; 3) граф Г содержит только конечные и промежуточные вершины.
Случай 1 означает, что граф Г - бесконечный либо состоит из одного или нескольких циклов, а это невозможно, поскольку граф Г - конечный ациклический. Случай 2 означает, что любой ориентированный путь вдоль дуг графа Г, выходящий из его начальной вершины, является бесконечным, а это невозможно, так как граф Г - конечный. Случай 3 означает, что любой ориентированный путь вдоль дуг графа Г, заканчивающийся его конечной вершиной, является бесконечным, а это невозможно ввиду конечности графа Г. Таким образом, все три названных случая невозможны, поэтому сделанное предположение неверно. Теорема доказана.
Теорема 2. Любой конечный ациклический и антитранзитивный орграф Г может быть представлен в виде ориентированного дерева или объединения нескольких ориентированных деревьев.
Доказательство. Выделим в орграфе Г некоторую начальную вершину
а?; согласно теореме 1 такая вершина всегда существует. Примем вершину
а? за нулевой уровень строящегося графа Г(а/°). Далее выделим в графе Г все вершины в которые входят дуги из вершин нулевого уровня
а,0, и отнесем их к первому уровню строящегося графа ). Аналогично выделим в Г все вершины в которые входят дуги из вершин
первого уровня а)ь...уа\, и отнесем их ко второму уровню и т.д. В результате
после конечного числа шагов получим граф Г(а?) в виде иерархической
структуры, в которой имеется конечное число уровней вершин, причем (в силу антитранзитивности и ацикличности исходного орграфа Г) вершина любого /'-го уровня имеет исходящие дуги только в вершины (/ + 1)-го уровня, а вершины последнего уровня все конечные. Таким образом, граф Г(а;°) есть ориентированное дерево, изоморфно отображающее ту часть исходного орграфа Г, которая связана с начальной вершиной а? - корнем дерева. Выделив в орграфе Г другие его начальные вершины аналогично изложенному построим ориентированные деревья Г(яу ),...,изоморфно отображающие те части исходного орграфа Г, которые связаны соответственно с начальными вершинами я- корнями построенных деревьев. Объединение всех построенных ориентированных деревьев
),...,Г(а°) изоморфно отображает весь исходный ациклический и
антитранзитивный орграф Г, что и требовалось доказать.
Заметим, что ориентированные деревья, объединением которых согласно доказанному может быть представлен любой конечный ациклический и антитранзитивный орграф, в общем случае могут пересекаться, т.е. иметь общие вершины и дуги.
В соответствии с теоремами 1 и 2 отыскание допустимого плана выполнения частично упорядоченного множества работ можно осуществить с помощью излагаемого ниже алгоритма.
Искомый допустимый план выполнения работ будем искать в виде объединения ориентированных деревьев, построенного в теореме 2. Это объединение, как следует из доказательства теоремы 2, является изоморфным отображением орграфа Г - модели заданного частично упорядоченного множества работ, т.е. само является моделью этого множества. Однако эта новая модель представляет имеющееся множество работ в виде явно упорядоченной последовательности всех работ, т.е. допустимого плана выполнения работ, который может быть реализован.
■
Случай 1: максимальное число работ, которые могут выполняться одновременно, неограничено (К = оо).
Шаг 1. Построение по заданному отношению предшествования Я на множестве работ А изоморфного ему орграфа Г, принимаемого за модель
имеющегося частично упорядоченного множества работ А.
Шаг 2. Построение по модели - орграфу Г всех ориентированных деревьев Г(а/°), изоморфно отображающих те части орграфа Г, которые связа-
• да г
ны с его различными начальными вершинами а. Для этого выделяем в Г некоторую начальную вершину (нулевой уровень), затем - все вершины
1 л в ^
а. с входящей дугой из а{ (первый уровень), далее - все вершины ак с входящими дугами из вершин а\ (второй уровень) и т.д. В результате получаем
ориентированное дерево Г(я), изоморфно отображающее часть орграфа Г, связанную с его начальной вершиной я?. Выделяя в Г другие начальные вершины а*? получим аналогично предыдущему все остальные ориен-
тированные деревья Г(а°),...,Г(а£), изоморфно отображающие остальные части орграфа Г, связанные с его начальными вершинами ¿^
I
Шаг 3. Производим теоретико-множественное объединение ориентированных деревьев Т(а-),...,Г(я£), построенных на шаге 2. Для этого
Л | - • * •
строим сначала объединение их вершин, а затем - объединение их дуг. Полученный в результате орграф Г7 имеет в общем случае вид ориентированного мультидерева (нескольких «сросшихся» между собой деревьев
Г(я,°),..., Г(я£ ) с различными корнями а в частном случае - ориен-
тированного леса (нескольких изолированных деревьев Г(а,°),...,Г(я£)) или даже отдельного ориентированного дерева Г (я?). Построенный орграф-
мул ьти дерево Г7 согласно теореме 2 изоморфно отображает исходный орг-раф Г - модель заданного множества работ А, т.е. тоже является моделью
этого множества. Одновременно Г7, как указано выше, представляет некоторый допустимый план выполнения всех работ, т.е. решение поставленной задачи.
Случай 2♦ Максимальное число работ, которые могут выполняться одновременно, ограничено числом К(К <оо). В этом случае алгоритм отыскания
допустимого плана выполнения частично упорядоченного множества работ выглядит следующим образом:
Шаг 1. Совпадает с шагом 1 описанного выше алгоритма для случая 1. Шаг 2. Совпадает с шагом 2 описанного выше алгоритма для случая 1. Шаг 3. Совпадает с шагом 3 описанного выше алгоритма для случая 1.
Если полученный в результате выполнения этого шага план Г7 выполнения работ имеет максимальное число одновременно выполняемых работ меньше допустимого числа К, то конец алгоритма. В противном случае - переход к шагу 4.
Шаг 4. Последовательно просматриваем все уровни орграфа - мультиде-32 Вестник УлГТУ 3/2001
рева Г7 (плана выполнения работ), начиная с нулевого уровня, и подсчиты-ваем число вершин пл в каждом / -м уровне. Число п( есть, очевидно, число
одновременно выполняемых работ на / -м этапе выполнения плана. Поэтому просматриваемые уровни г орграфа Г7, для которых п{ < К, оставляются без изменения, а уровни /, для которых п1 > К, реконструируются. Реконструкция заключается в том, что какие-то п( - К вершин / -го уровня вместе с растущими из них деревьями сдвигаются на один уровень в сторону увеличения. В результате данный /-й уровень орграфа Г7 остается с п1-(я,- - К) = К
вершинами. Т.е. число одновременно выполняемых работ на г-м этапе выполнения плана после его реконструкции начинает удовлетворять заданному ограничению на это число. Проделав операцию реконструкции со всеми уровнями / графа Г7 (всеми этапами плана), начиная с меньших, получим
новый, изоморфный прежнему, орграф Г77 (новый план выполнения работ), полностью удовлетворяющий заданному ограничению на число одновременно выполняемых работ.
Отметим, что не при всяком числе К требуемое ограничение на число одновременно выполняемых работ п{ < К осуществимо (шаг 4 алгоритма
выполним), т.е. не всегда искомый план выполнения всех работ существует.
Частный случай: число работ, которые могу!' выполняться одновременно, равно К = 1, т.е. все работы должны выполняться последовательно. В этом случае нецелесообразно применять общий алгоритм случая 2 для того, чтобы найти допустимый план выполнения имеющегося частично упорядо-чениого множества работ. Вместо этого следует найти какой-либо гамильто-нов путь в орграфе Г7 (т.е. путь вдоль дуг графа Г7, включающий все его вершины ровно по одному разу) - это и будет допустимый план выполнения всех работ. Таким образом, в рассматриваемом частном случае допустимый
план выполнения всех работ существует только тогда, когда в орграфе Г7 -модели заданного частично упорядоченного множества работ - существует гамильтонов путь. Для отыскания этого пути (а вместе с ним и допустимого плана выполнения работ) существует ряд специальных методов [4]. Простейший из них - метод деревьев, заключающийся в построении с помощью шагов 1, 2 алгоритма случая 1 ориентированных деревьев всех путей графа Г (модели заданного частично упорядоченного множества работ), растущих из различных начальных вершин этого графа.
Очевидно, что в рассматриваемом случае любой путь в любом из деревьев, начинающийся в корне дерева и включающий все вершины орграфа Г ровно по одному разу, и будет искомым гамильтоновым путем. Заметим, что при небольшом числе работ (вершин графа Г) гамильтонов путь в графе Г нетрудно найти чисто визуально, просматривая все пути, выходящие из его различных начальных вершин, и двигаясь при рассмотрении одного пути в направлении вершин со все возрастающей алгебраической степенью.
Пример 1. Дано конечное множество из 10 работ А = {1,2,...,10}, частично
упорядоченное в соответствии с ациклическим антитранзитивным бинарным отношением предшествования Я 1 -» 4,1 —> 6,3 —> 7,4 -> 2,5 -> 10,6 —> 7,8 —> 2,
9 —> 1,10 —> 3Д 0 —> 8. Требуется построить временной план выполнения всех
работ, удовлетворяющий ограничениям, вытекающим из заданного отношения Я. При этом число К одновременно выполняемых работ произвольно. Применяем алгоритм случая 1.
Шаг 1. Строим на множестве работ А по заданному отношению Я изоморфный ему орграф Г - модель множества А (рис.1).
Рис. 1. Орграф Г - модель множества
работ А
Шаг 2. По графу Г строим два ориентированных дерева, Г(5) и Г(9),
растущих из двух начальных вершин графа Г - 5 и 9. Оба дерева имеют 4 уровня (рис.2).
Рис. 2. Ориентированные дерева Г(5) и Г(9), растущие из начальных
вершин графа Г
Шаг 3. Производим теоретико-множественное объединение ориентированных деревьев Г(5) и Г(9), построенных на шаге 2. Сначала объединяем
вершины деревьев. На первых трех уровнях множества вершин деревьев Г(5) и Г(9) не пересекаются, и их объединение сводится к простому сложению вершин, так что на нулевом, первом и втором уровнях объединенного мультидерева получаем множества вершин А0 = {5,9}, 4 = {10,1},
А2 = {8,3,6,4}. На последнем, третьем уровне множества вершин деревьев 34 Вестник УлГТУ 3/2001
Г(5) и Г(9) совпадают, и их объединение сводится к взятию какого-то одного из них: А3 = {2,7}. Теперь объединяем дуги деревьев Г(5) и Г(9). Множества дуг, соединяющих вершины нулевого и первого уровней, первого и второго уровней не пересекаются, и их объединение заключается в простом сложении дуг. Множества дуг, соединяющих вершины второго и третьего уровней - {(8,2), (3,7)} и {(6,7), (4,2)}, имеют общие конечные вершины 2 и 7, и их объединение сводится к объединению конечных вершин. В результате чего пара различных дуг (8,2), (4,2) превращается в пару дуг (8->2<-4) с
общей концевой вершиной 2 и аналогично пара разнесенных дуг (3,7), (6,7) -
* /
в пару дуг (3 -> 7 <— 6) с общим концом 7. Полученное мультидерево Г
(рис.3) дает искомый план выполнения всех 10 работ. Из этого плана видно, что он четырехуровневый. На нулевом уровне одновременно выполняются две работы (5,9), на первом - также две (10,1), на втором - четыре (8,3,6,4) и на третьем - две (2,7). При этом работа 5 предшествует работе 10, которая, в свою очередь, предшествует работам 8 и 3 и т.д.
Рис. 3. Мультидерево Г1*, дающее искомый план выполнения
работ
Пример 2. Для данных примера 1 построить временной план выполнения всех работ при дополнительном ограничении: число одновременно выполняемых работ не более К = 3.
Применим алгоритм случая 2. Первые три шага уже выполнены в примере 1, что дало временной план работ (рис.3), который однако не удовлетворяет дополнительному ограничению.
Шаг 4. Просматриваем все уровни мультидерева Г7 (рис.3). Из них лишь второй уровень имеет число вершин (число одновременно выполняемых работ) п2 = 4, превышающее допустимое число 3. Реконструируем этот уровень, сдвинув, например, его вершину 8. вместе с растущей из нее вершиной 2 на один уровень вниз. В результате получим новое, изоморфное прежнему мультидерево Г ' (новый временной план выполнения всех работ), имеющее 5 уровней (рис.4). При этом мультидерево Т" (план работ) имеет на нулевом, первом, втором, третьем и четвертом уровнях соответственно 2, 2, 3, 2, 1 од-
новременио выполняемые работы, т.е. полностью удовлетворяет поставленному в задаче дополнительному ограничению. Следовательно, план выполнения работ (рис.4) есть решение задачи.
Рис. 4. План выполнения работ
Предложенная методика нахождения допустимых планов (последовательностей) выполнения частично упорядоченных совокупностей работ имеет важное значение для той части науки управления технологическими процессами различной природы, которая ставит своей целью, быстрое получение допустимых (но не обязательно оптимальных) управлений. Быстрота в этой методике достигается благодаря использованию простых и наглядных методов работы с ориентированными графами. Представляет интерес распространение разработанной методики для отыскания оптимальных, в том или ином смысле, планов выполнения совокупности работ. В этом случае методику можно было бы использовать для существенного сокращения множества допустимых планов, в котором намечается искать оптимальный план.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т. I, II, III. М.: Мир, 1972-1973.
2. Левин В.И. Автоматная модель определения возможного времени проведения коллективных мероприятий// Изв. РАИ. Теория и системы управления. 1999. №3.
3. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.
4. Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем. М.: Наука, 1987. **
Левин Виталий Ильич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика» Пензенского технологического института. Окончил механический факультет Каунасского политехнического института. Имеет более 1000 публикаций, монографии в области прикладной математической логики, теории автоматов, математического моделирования, оптимизации.
УДК 519.63 В.Л. ЛЕОНТЬЕВ
ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКОЙ
Предлагаются и исследуются двумерные ортогональные финитные функции, заданные на последовательности сеток, состоящих из треугольников. Дается оценка точности аппроксимации элементов функционального пространства линейными комбинациями ортогональных финитных функций. Эти функции являются основой для построения рациональных и эффективных численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах механики сплошных сред.
С работы [1] начинается развитие теории одномерных ортогональных финитных функций. В [2, 3] на основе одномерных функций, построенных с помощью другой методики и отличающихся более простой по сравнению с функциями [1] структурой и наличием симметрии, строятся в форме тензорных произведений многомерные ортогональные финитные функции, которые связаны с разбиением области на прямоугольники или параллелепипеды. Простая структура и симметрия функций облегчают их использование в численных методах, но форма конечных носителей создает трудности для применения функций в вариационных сеточных методах решения краевых задач для областей с криволинейными границами. В данной работе исследуются двумерные ортогональные финитные функции, лишенные последнего недостатка, поскольку они определяются на сетках, состоящих из треугольников. Оценка точности аппроксимации элементов функциональных пространств предлагаемыми ортогональными финитными функциями здесь следует из непосредственного рассмотрения величины среднеквадратичного отклонения исследуемых функций от финитных функций Куранта [4]. Рассматриваемая система ортогональных финитных функций является результатом обобщения одномерных финитных функций [2]. В [5] приводятся результаты обобщения одномерных ортогональных функций другого вида [3] на двумерный случай, в котором также применяются треугольные сетки.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Применяемый в дайной работе подход основан на введении дополнительной триангуляции конечного носителя функции Куранта. Предлагаемая функция имеет в вершинах дополнительных треугольников параметрические значения противоположных знаков, отличающиеся от значений функции Куранта и придающие ей свойство ортогональности, а в остальных точках значения этих функций совпадают.
