CC BY
6
УДК 514.76
С. В. Галаев1
1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия sgalaev@mail.ru
Допустимые пара-гиперкэлеровы структуры на распределениях почти контактных метрических многообразий
Вводится понятия допустимой (почти) пара-гипер-кэлеровой структуры. На распределении почти контактного метрического многообразия как на тотальном пространстве векторного расслоения определяется допустимая почти пара-гиперкомплексная структура. Доказывается, что построенная почти пара-гиперкэлерова структура интегрируема тогда и только тогда, когда распределение является распределением нулевой кривизны.
Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, допустимая пара-гиперкэлерова структура, распределение нулевой кривизны.
1. Введение. Основные результаты о геометрии почти па-ра-гиперкэлеровых многообразий изложены в работе [1]. В настоящей работе определяется контактный аналог пара-гиперкэ-леровой структуры — допустимая пара-гиперкэлерова структура (М, g,£,,r¡, р,р2,рз, Б |. Допустимая пара-гиперкэлерова
структура имеет сходство с допустимой гиперкэлеровой структурой [9; 10]. В работе доказывается, что допустимая пара-гиперкэлерова структура естественным образом возника-
Поступила в редакцию 26.05.2018 г. © Галаев С. В., 2018
ет на распределении нулевой кривизны В почти контактного метрического многообразия ^ М g ,р, В
2. Допустимые почти пара-гиперкэлеровы структуры.
Рассмотрим на гладком многообразии М размерности
п = 4т + 1 почти контактную структуру ^ М ,1,ц,р\, В |, где ф —
допустимая почти комплексная структура [8]. Предположим, что на многообразии М заданы две допустимые почти пара-комплексные структуры ф2 и ф3 такие, что ((2 = -Р2Р = Р3. Назовем многообразие М, наделенное структурой ^М,1, ,В|, I = 1, 2, 3, почти контактным почти пара-гиперкомплексным многообразием. Структуру ^М,1,ц,р, В|
при этом будем называть допустимой почти пара-гиперкомплексной структурой. Если каждая из допустимых аффинорных структур интегрируема (почти нормальна) [8], то есть если
Мр + 2(с1ц о рг-) ®1= 0, то допустимую почти пара-гиперкомплексную структуру ^М, В| будем называть интегрируемой или допустимой пара-гиперкомплексной структурой, а многообразие М — почти контактным пара-гиперкомплексным многообразием.
Рассмотрим модельный пример почти контактного пара-гиперкомплексного многообразия. Пусть М = Я5, £ - Х205,
е2 = д2, е3 =д3-х4д5, е4 = д4, 1=д5, Г1 = Жх5 + х2Же1 + х4Жх3, В = кег^.
Определим допустимые к распределению В аффинорные структуры ф, полагая
Р : е1 ^e3,е2 ^^е3 е4 ^^
(Р2 : е ^ е3, ег ^ «4, «3 ^ % £4 ^ «2,
р : % % «3 ^^£4 ^£4.
Из определения аффинорных структур ф следует, что РР2 = -Р2Р=Р3. Непосредственно проверяется, что допустимые почти (пара) комплексные структуры ф являются почти нормальными.
3. Связности на почти контактных метрических многообразиях с распределением нулевой кривизны. Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности п = 2m + 1, Г(ТМ) — модуль гладких векторных полей на М. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса Cж. Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура (M,),р,g,В^, где ф — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом или допустимой почти комплексной структурой, % и г) — вектор и ковектор, называемые соответственно структурным вектором и контактной формой, g — (псевдо) римано-ва метрика. При этом выполняются следующие условия:
1) р2 = _ + 2) fj
= 1,
3) g (рх,ру ) = g (х, у )_r(х )r( у), 4) х ) = 0,
где X, у <eT(TM ). Гладкое распределение D = ker r называется распределением почти контактной структуры.
В качестве следствия условий 1) — 4) получаем:
5) ( = 0, 6) f( = 0, 7) r(X) = g (xj), X eT(TM). Если rk® = 2m, где ® = df, вектор J однозначно определяется из условий r(J~) = 1, ker® = Span (J) .
Внутренней линейной связностью V [2—7, 11] на почти контактном метрическом многообразии называется отображение V: r(D)xT(D) —^ Г(D), удовлетворяющее следующим условиям:
1) У /1 х+/2 у = ¿V х + /2 V у,
2) V х/у = ( х/) у + /V ху ,
3) V х (у + 2) = V ху + V х2,
где Г(В) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению Б). Внутренняя связность определяет дифференцирование допустимых тензорных полей [8].
На протяжении всей работы мы используем адаптированные координаты. Карту К(ха) (а, в, у = 1,..., п; а, Ь, с = 1,..., п - 1, г, ], к = 2п - 1) многообразия М будем называть адаптированной к распределению Б, если дп = 1 [12]. Пусть Р: ТМ ^ В — проектор, определяемый разложением
I а
ТМ = В © В , и К(х ) — адаптированная карта. Векторные
поля Р(да) = еа =да -Г^^дп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение В: В = 8рап{еа).
Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения У^^ь =Гсаьес. Из равенств еа = А^е^,
а' дха'
где Аа =-, обычным образом следует формула преобра-
дха
зования для коэффициентов внутренней связности:
Гс = Аа' АЬ' Ас Гс' + Ас е Ас' ГаЬ = Аа АЬ Ас'Г а'Ь' + Ас'еаАЬ .
Кручением и кривизной внутренней связности назовем соответственно допустимые тензорные поля
5 (х, у) = У^у ^ух-Р[ х, у],
Я (х, у)2 = Ух- УуУх2 -Vр[х,у]2 -Р [б[х,у], 2],
где б=1-Р, х, у, 2 еГ(В). Тензор Я(х, у)2 носит название тензора кривизны субриманова многообразия.
В адаптированных координатах кривизна и кручение внутренней связности получают соответственно следующие координатные представления:
<-> — т^ , -т-^е аа _г^а г^а
КаЬс = 2е[а Ь]с + 2Г [а|е|Г Ь]с , ^Ьс = Г Ьс -Г сЬ.
Известно [8], что на почти контактном метрическом многообразии существует единственная внутренняя связность V с нулевым кручением, такая, что Vxg (X, у) = 0.
Назовем связность V внутренней симметрической метрической связностью. Коэффициенты связности V находятся по формулам
ГЬ>С = 2gad (ëЬgcd + ^Ьё - ^Ьс ).
Наиболее просто устроены почти контактные метрические многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена [8].
Пусть Р( х, у) — допустимое тензорное поле с компонентами РЬс = дпГЬс.
Предложение 1. На почти контактном метрическом многообразии с неинтегрируемым распределением В и с нулевым тензором кривизны Схоутена выполняется равенство
Р( X, у) = 0.
Доказательство. Проводя необходимые вычисления в адаптированных координатах, убеждаемся в справедливости
равенства V[eVа]gЬc = 2®еадngЬc - gdcКedaЬ - gЬdКdac. Используя метричность связности V , получаем
2®еад ngЬc = gdcКeaЬ + gЬdКeac. Таким образом, обращение в нуль тензора кривизны Схоутена влечет равенство д^Ьс = 0, из которого следует, что
д пГаЬс = 0. Предложение доказано.
4. Продолженные допустимые пара-гиперкомплексные структуры. Введем на распределении В почти контактного метрического многообразия структуру гладкого многообразия,
определяют [4] на распределении В как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы
(Жха, &п =Жхп + ГпаЖха,&п+а =Жхп+а + ГаЪсхп+сЖхЬ) — соот-
ветствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:
где ЯЬаЖ — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [10]. Имеет место
Предложение 2 [10]. Пусть V — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена Я(х,у)2. Тогда для всех х, у е Г(В) и р е В имеют место следующие равенства:
поставив в соответствие каждой адаптированной карте К (ха)
многообразия М сверхкарту К(ха, хп+а ) на многообразии В,
где (хп+а) — координаты допустимого вектора в базисе
еа =да - Гпдп. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной.
Векторные поля
(^а =да Гпдп Гасх дп+Ь, дп, дп+а) = (А1)
п+с ■>
V р =[и]П +{Р(,Р)} ,
(2)
Хк, УУ ] = &ху) ,
ху V 1 = [х,|]У.
(3)
(4)
Определим на распределении В допустимую почти пара-гиперкомплексную структуру (В, J,£, Т,и,1 = ц°л*, В),полагая, что
контактного метрического многообразия. Допустимая почти пара-гиперкомплексная структура (В, J,£,Т,и,1 = ^°^*, В) является допустимой пара-гиперкомплексной структурой тогда и только тогда, когда тензор кривизны Схоутена соответствующей внутренней связности равен нулю.
Доказательство. Используя (1—4), найдем условия, при которых
J(хк ) = (<рх)Ь , J(ху ) = -(срХ), J(и) = 0,
£(хЬ)= Ху, £(ху) = Хф, £(и) = 0, Т(хк)= -(рх) , Т(ху )= (рх) , Т(и)= 0,
(Аа А ) = -(дп+а, дп+Ь ) = (еа, еЬ ), (дп ,АЬ ) = (дп, дп+Ь ) =
Теорема. Пусть (М1,Р,в) — структура почти
NJ + 2^1° J) ® и = 0, М£ + 2^1° £) ® и = 0, ^ + 2(й1° Т) ® и = 0.
Для случая эндоморфизма J имеем
NJ (Аа А ) + 2аЛ(дп+а, дп+Ь ) = -КЬсх1+Сд п+е,
NJ (дп+а, дп+Ь ) + ,АЬ ) = 2®Ьадп + Кьс^дп+е -
-2®Ьадп == ^аЬсхП °дп+е,
NJ (А, дп+Ь ) = 0, ^ (А, дп ) = N (дп+а, дп ) = -х^Р^ дп+Ь.
Таким образом, структура J интегрируема тогда и только тогда, когда Реас = 0. Аналогичные рассуждения можно провести для эндоморфизмов Т.
Список литературы
1. Алексеевский Д. В., Медори К., Томассини А. Однородные па-ра-кэлеровы многообразия Эйнштейна // УМН. 2009. Т. 64, вып. 1 (385). С. 3—50.
2. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с ^-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.: Математика. Физика. № 17 (214), вып. 40. 2015. С. 20—24.
3. Букушева А. В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 247—251.
4. Букушева А. В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. № 15. С. 8—11.
5. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. вузов. Матем. 2013. № 4. С. 10—18.
6. Букушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, № 3. С. 17—22.
7. Галаев С. В. К-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Изв. вузов. Матем. 2017. № 3. С. 15—23.
8. Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 1. С. 25—34.
9. Галаев С. В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21, № 3. С. 551—555.
10. Галаев С. В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 3. С. 263—272.
11. Галаев С. В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, № 3(59). С. 53—63.
12. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Vol. 4 (53), № 2. P. 13—22.
S. Galaev1 1 Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., Saratov, 410012, Russia sgalaev@mail.ru
Admissible para-hyper-Kahler structures on distributions of almost contact metric manifolds
Submitted on May 26, 2018
The concepts of an admissible (almost) para-hyper-Kahler structure are introduced. On distribution of an almost contact metric manifold, as on the total space of a vector bundle, an admissible almost para-hyper-complex structure is defined. It is proved that the constructed almost para-hyper-Kahler structure is integrable if and only if the distribution is a distribution of zero curvature.
Keywords: almost contact metric structure, admissible para-hyperkah-ler structure, zero-curvature distribution.
References
1. Alekseevsky, D. V., Medori, C., Tomassini A.: Homogeneous paraKahler Einstein manifolds. Russian Math. Surveys, 64:1, 1—43 (2009).
2. Bukusheva, A. V.: On geometry of the contact metric spaces with ^-connection. Belgorod State University. Scientific Bulletin. Mathematics. Physics, 17 (214):40, 20—24 (2015) (in Russian).
3. Bukusheva, A. V.: Foliation on distribution with Finslerian metric. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 14:3, 247—251 (2014) (in Russian).
4. Bukusheva, A. V.: On some classes of almost para-contact metric manifolds. Mathematics. Mechanic, 15, 8—11 (2013) (in Russian).
5. Bukusheva, A.V., Galaev, S. V.: Connections on distributions and geodesic sprays. Russian Math. (Iz. VUZ), 57:4, 7—13 (2013).
6. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by connection over distribution with admissible Finslerian metric. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 12:3, 17—22 (2012) (in Russian).
7. Galaev, S. V.: N-extended symplectic connections in almost contact metric spaces. Russian Math. (Iz. VUZ). 61:3, 12—19 (2017).
8. Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by N-pro-longed connection. Mathematical Notes of NEFU, 22:1, 25—34 (2015) (in Russian).
9. Galaev, S. V.: Smooth distributions with admissible hypercomplex pseudo-Hermitian structure. Vestnik Bashkirskogo universiteta, 21:3, 551—555 (2016) (in Russian).
10. Galaev, S. V.: Admissible hypercomplex structures on distributions of Sasakian manifolds. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 16:3, 263—272 (2016) (in Russian).
11. Galaev, S. V.: Generalized Wagner's curvature tensor of almost contact metric spaces. Chebyshevskii Sbornik, 17:3 (59), 53—63 (2016) (in Russian).
12. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by connection over distribution. Bulletin of the Transilvania University of Brasov, Series III: Mathematics, Informatics, Physics, 4 (53):2, 13—22 (2011).
