CC BY
5
УДК 514.76
А. В. Букушева1
1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия bukusheva@list.ru
Допустимые симплектические структуры на распределениях и кораспределениях субримановых многообразий
На распределении и кораспределении многообразия с субримановой структурой контактного типа определяются продолженные почти контактные метрические структуры. Исследуются связи между допустимыми симплектическими структурами, порождаемыми соответствующими продолженными структурами.
Ключевые слова: субриманова структура контактного типа, распределение и кораспределение субримановой структуры, допустимые симплектические структуры.
Введение
Для случая почти контактного метрического многообразия в работе [6] на распределении Б была определена геодезическая пульверизация связности над распределением, являющаяся аналогом геодезической пульверизации, заданной на пространстве касательного расслоения ТМ. Проекции интегральных кривых геодезической пульверизации связности над распределением совпадают с допустимыми геодезическими (траекториями движения механической системы со связями). В ра-
Поступила в редакцию 26.05.2018 г. © Букушева А. В., 2018
боте [10] аналогичные конструкции были получены для корас-пределения В почти контактного метрического многообразия. Кораспределение В образовано всеми допустимыми 1-форма-
ми В* = о| и является нечетномерным аналогом
кокасательного расслоения Т*М. Несмотря на то что при изучении геометрии кокасательного расслоения Т М, как правило, используются те же методы, что и при изучении касательного расслоения ТМ, пространство кокасательного расслоения наделено канонической симплектической структурой [13], что является важным обстоятельством с точки зрения применения геометрии кокасательного расслоения в механике и физике. В той же мере существование на кораспределении В канонической допустимой симплектической структуры позволяет рассматривать В как фазовое пространство неголономной механической системы.
В настоящей работе исследуется субриманово многообразие контактного типа М, то есть гладкое многообразие размерности п с заданной на нем субримановой структурой контактного типа ^М,г,g,ВТак же, как и в случае контактного
метрического многообразия на распределении и кораспреде-лении субриманова многообразия определяются почти контактные метрические структуры. Исследуются некоторые связи между полученными структурами.
Почти контактная метрическая структура на распределении субриманова многообразия
Пусть М — гладкое многообразие размерности п с заданной на нем субримановой структурой ^Мg,В|, где г и
£ 1-форма и единичное векторное поле, порождающие соответственно ортогональные между собой распределения В и
Б1 и связанные соотношением = 1. Внутренней линейной связностью V [1; 4—7] на субримановом многообразии называется отображение V: Г(Б)хГ(ББ), удовлетворяющее следующим условиям: 1) V/ х+/ у = /¡Vх + f2Vу, 2) V/у = ( х/) у + /Угу, 3) V% (у + z) = Vxy + V%z, где Г (Б) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению Б). О другом подходе к определению связности, ассоциированной с гладким распределением, можно прочитать в [12].
Карту К(ха) (а, в, у = 1,..., п; а, Ь, с = 1,..., п-1, I, ],
к = 2п — 1) многообразия М будем называть адаптированной к
—>
распределению Б, если дп [2; 3; 8—11].
Пусть Р: ТМ^Б — проектор, определяемый разложением ТМ = Б © Б1, К(ха) — адаптированная карта. Векторные
поля Р(да) = еа =да — ГПдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение Б: Б = 8рап(еа).
Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения Ve еь =Гсаьес. Из равенств еа = А% еа',
а' дха'
где Аа =-, обычным образом следует формула преобра-
дха
зования для коэффициентов внутренней связности:
Гс = Аа' АЬ' Ас Гс ' + Аср Ас' Г аЬ = Аа Аь Ас'Г а' Ь' + Ас'еаАЬ .
Кручением и кривизной внутренней связности назовем соответственно допустимые тензорные поля:
5 (х, у )^ху — Vух —Р[ х, у ],
Я (X, у) 2 = Ух Уу2-Уу -Ур[ х, у ] 2-Р [б [ Х,у ], I ],
где б = I -Р, х,у,2 еГ(В). Тензор Я(х,у)2 носит название тензора Схоутена. Координатное представление тензора Схо-утена в адаптированных координатах имеет вид
Я^Ьс = 2е[аГ[[]с + 2Г[1г|е|ГЬ]с.
Аналогом связности Леви-Чивита является внутренняя симметричная связность У , такая, что Vg = 0, где g — допустимое тензорное поле, определяемое метрическим тензором исходной почти контактной метрической структуры. Назовем связность V внутренней метрической связностью. Известно, что внутренняя симметричная метрическая связность существует и определена единственным образом. Ее коэффициенты задаются равенствами
Гьс = 2gad ((с[ + - edgbc ).
Тензорное поле t типа (р, д), заданное на субримановом многообразии, назовем допустимым (к распределению В), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются £ или
Пусть В — распределение субриманова многообразия контактного типа. Векторные поля
(^а = ^а -Га ^п -ГасхП+^п+Ь, ^п, ^п+а) = (( )
определяют [9] на распределении В как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы
([ха, ®п =[хп +Гпа[ха, ®п+а =[хп+а +ГаЬсхп+с[хЬ)
— соответствующее поле кобазисов. Имеют место следующие структурные уравнения [9]:
а ,4 ] = 2®Ьа дп + хп+[яЬа[ дп+с,
\Ра, ^п ] = *дпК* д.
п+С '
,дп+Ь ] = ГаЬдп+с ,
где ЯСа* — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах. Имеет место
Предложение 2 [9]. Пусть V — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена К(х, у) 1. Тогда для всех х, у е Г(Б) и р е Б имеют место следующие равенства:
хк, /
=[х, у ](х, у )р}
" хк лн ~ = х
_ р -1
х +{ (х, р)},
= (VхУ),
х
Определим на многообразии Б почти контактную структуру (Б,О,и = дп,Х = цо л*, Б), полагая Охк = ху, Лу = -хк. Здесь л:Б^М — естественная проекция. Определим на многообразии М метрику g, подчиняющуюся равенствам:
)(хк, ук) = )(х^, Г) = g (х, у),
)(хк, у*) = )(хп, и) = g (Г, и) = 0.
-к
Имеют место следующее предложение.
Предложение 3 [9]. Структура (Б,О,и,2 = ц о л*,g, Б) является почти контактной метрической структурой.
Почти контактная метрическая структура на кораспределении субриманова многообразия
Введем на кораспределении В* субриманова многообразия структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие
каждой адаптированной карте К (ха) многообразия М сверх-
карту К
(ха, Ра )
на многообразии В*, где ра — координаты
допустимого ковектора в кобазисе ([ха,г = [хп +Гха). Заданную сверхкарту также будем называть адаптированной. Поставим каждому допустимому векторному полю
X еГ(В), X = хаеа и каждому допустимому ковекторному полю Л^г(в ), Л = Ла[ха векторные поля X' = ха~[а, 2? = Ха8а
^ 8 соответственно, где /а =8а - Гпа8п + рьГьас8с, 8а =-—. Име-
8Ра
ют место следующие структурные уравнения:
/" 8Ь
/а, /Ь = 2аЬаи + рсЯЬае 8
7а, 8п =-рЬ 8п гЬас 8 ■
= -Гь 8с
На тотальном пространстве В* векторного расслоения / * \ *
IВ ,п,М), где п: В ^М — естественная проекция, таким
образом возникает гладкое распределение В = Н Ф V, где Н = 8рап(/а), V = ,^рап(8а). Определим на пространстве В* метрический тензор О, полагая
О(хк, уЬ) = б(Ау, <иу) = g(X, у), О(8п, 8п) = 1,
О (X1', ^) = О (Xп, 8 п) = О (Лу, 8 п) = 0,
и допустимую почти комплексную структуру J, таким образом,
что Jxh = Xv, JXv = -xh, J(u) = 0. Здесь x = xaea, Xa = gabxb,
Ma = gabyb.
Непосредственным вычислением проверяется справедливость следующего предложения.
* _ ~ ~ ~
Предложение 4. Система (D , и = дп, ц = J, G, D) является почти контактной метрической структурой.
Назовем полученную структуру продолженной (до распределения D*) почти контактной метрической структурой.
Допустимые симплектические структуры на распределении D и кораспределении D субриманова многообразия M определим соответственно равенствами Q(x, y) = g(x, Jy),
^ (x, y) = G (x, Jy).
Существуют интересные связи между продолженными структурами, определяемыми на D и D . В настоящей работе мы выделяем следующее утверждение.
Теорема. Отображение D ^ D*, определяемое равенством \(x)(y) = g(x, y), является контактным симлекто-морфизмом.
Список литературы
1. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с ^-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.: Математика. Физика. № 17 (214), вып. 40. 2015. С. 20—24.
2. Букушева А. В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 247—251.
3. Букушева А. В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. № 15. С. 8—11.
4. Букушева А. В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : матер. Меж-дунар. науч. конф. Саратов, 2016. С. 105—107.
5. Букушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, № 3. С. 17—22.
6. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. вузов. Матем. 2013. № 4. С. 10—18.
7. Галаев С. В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Изв. вузов. Матем. 2017. № 3. С. 15—23.
8. Галаев С. В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 3. С. 263—272.
9. Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 1. С. 25—34.
10. Галаев С. В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 138—147.
11. Галаев С. В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, № 3 (59). С. 53—63.
12. Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М., 1984.
13. Паньженский В. И., Сухова О. В. Почти эрмитовы структуры на касательном расслоении почти симплектического многообразия // Изв. вузов. Матем. 2007. № 11. С. 75—78.
A. Bukusheva1 1 Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., Saratov, 410012, Russia bukusheva@list.ru
Admissible symplectic structures on distributions and codistributions of sub-Riemannian manifolds
Submitted on May 26, 2018
Extended almost contact metric structures are defined on distribution and codistribution of manifold with sub-Riemannian structure of contact type. We investigate connections between admissible symplectic structures that are determined by the corresponding extended structures.
Keywords: sub-Riemannian structure of contact type, distribution and distribution of sub-Riemannian structure, admissible symplectic structures.
References
1. Bukusheva, A. V.: On geometry of the contact metric spaces with ^-connection. Belgorod State University. Scientific Bulletin. Mathematics. Physics, 17(214):40, 20—24 (2015) (in Russian).
2. Bukusheva, A. V.: Foliation on distribution with Finslerian metric. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 14:3, 247—251 (2014) (in Russian).
3. Bukusheva, A. V.: On some classes of almost para-contact metric manifolds. Mathematics. Mechanic, 15, 8—11 (2013) (in Russian).
4. Bukusheva, A. V.: Usage Wolfram Language to obtain special classes of almost contact metric structures // Computer Science and Information Technology: Materials of the Intern. sci. Conf. Saratov: The publication. center. "Science", pp. 105—107 (2016) (in Russian).
5. Bukusheva, A. V., Galaev S. V.: Almost contact metric structures defined by connection over distribution with admissible Finslerian metric. Izv. SaratovUniv. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 12:3, 17—22 (2012) (in Russian).
6. Bukusheva, A.V., Galaev, S. V.: Connections on distributions and geodesic sprays. Russian Math. (Iz. VUZ), 57:4, 7—13 (2013).
7. Galaev, S. V.: N-extended symplectic connections in almost contact metric spaces. Russian Math. (Iz. VUZ). 61:3, 12—19 (2017).
8. Galaev, S. V.: Admissible hypercomplex structures on distributions of Sasakian manifolds. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 16:3, 263—272 (2016) (in Russian).
9. Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by N-pro-longed connection. Mathematical Notes of NEFU, 22:1, 25—34 (2015) (in Russian).
10. Galaev, S. V.: Extended Structures on Codistributions of Contact Metric Manifolds. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform, 17:2, 138—147 (2017) (in Russian).
11. Galaev, S. V.: Generalized Wagner's curvature tensor of almost contact metric spaces. Chebyshevskii Sbornik, 17:3(59), 53—63 (2016) (in Russian).
12. Manin, Yu.I.: Gauge fields and complex geometry. Nauka, Moscow (1984).
13. Panzhensky, V.I., Sukhova O. V.: Almost Hermitian structures on the tangent bundle of an almost symplectic manifold, Russian Math. (Iz. VUZ), 51:11, 73—75 (2007).
