Доказательство разрешимости задачи оптимального управления глобальным социально-экономическим развитием на основе операционного подхода

Победаш П.Н.

Решетневскце чтения

Рис. 2. Переходные процессы на режиме встречной приемистости ГТД

V. I. Petunin, A. E. Volinkina Ufa State Aviation Technical University, Russia, Ufa

RESEARCH OF ASTATIC SYSTEM OF AUTOMATIC CONTROL BY TRANSITIVE MODES OF THE GAS TURBINE ENGINE

Features of construction of astatic systems of automatic control by gas turbine engines on transitive modes are considered. It is shown that application of logic-dynamic control allows to provide astaticism channels of dispersal and dump of frequency of rotation and by that to raise accuracy of realization ofprograms of control. Results of modeling are presented.

УДК 519.866

П. Н. Победаш

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ГЛОБАЛЬНЫМ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМ РАЗВИТИЕМ НА ОСНОВЕ ОПЕРАЦИОННОГО ПОДХОДА*

Предлагается применение операционного подхода на базе z-преобразования для доказательства разрешимости многокритериальных многошаговых задач линейного программирования на примере задачи оптимального управления глобальным социально-экономическим развитием.

Теоретический анализ многокритериальных мно- (ММЗЛП), характеризующихся наличием большого гошаговых задач линейного программирования числа параметров, критериев, ограничений, управ-

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

ляющих и фазовых переменных, является достаточно рутинной процедурой. В данной работе предлагается применение операционного подхода на базе 2-преобразования для упрощения доказательства разрешимости задач отмеченного класса на примере задачи оптимального управления глобальным социально-экономическим развитием, описанной в статье [1]. Указанная задача формулируется следующим образом: необходимо найти такое распределение инвестиций в основные производственные фонды (ОПФ) мировой экономической системы, количество произведенной в каждый момент t продукции каждой производственной отрасли, текущие инвестиции мирового производственного сектора на снижение уровня загрязнений (С02, фреон и др.) с учетом количества невозобновляемых ресурсов, накопленных загрязнений, численности населения, интересов основных экономических агентов - производителя, потребителя и управляющего центра (максимизация их собственных средств), при котором достигаются Парето-точки в пространстве критериев. В упомянутой работе математическая постановка сформулированной задачи описывается в виде ММЗЛП, часть критериев которой не содержит дисконтирующих множителей, что также осложняет ее теоретическое исследование. Отметим, что многокритериальная линейная задача эквивалентна однокритериальной задаче максимизации свертки критериев с теми же ограничениями. Применяя к задаче со сверткой 2-преобразование, получим более простую (агрегированную) ее версию, анализ которой на основе теоремы Вейерштрасса позволяет доказать следующую теорему.

Теорема. Если выполняются условия

ЪЛ > 0

cß > 0

(i e {1,..., I}; j e {1,..., J};"k = 1,..., K) (ie{1, ...,I};je{1, ...,J};k = 1, ...,K),

ej > 0 (j = 1, ..., J), 0 < Z < 1, 5 < 0,

ттУ K

r0 > 3K+1+J+1 V ч r0 = 0 P + ¥ < 1

r3K+1+J+2 >-;-, V kX2K+k = 0 , P2 + ¥ < 1,

1+J+1 V ч 1 k=1

ж-

ш(ф + о) +ф(ж- 1) ж-1 + с, + ш

> 0.

с r0 - шг0 < K+1 + J+3 UM'3K+1+J+4 ^

(с 2ф-ош) r3j

ж-1 + с 2 + ш

с 2 (ф + о) + о(ж-1) ж-1 + с 2 + ш

< 0, r > 0,

(1)

r0 + r0 >

A3K+1+J+3 T A3K+1+J+4 —

(ф + о) ^

ж-1

V cJkr02K+k £ CjDV (j = 1, J; Z + P2 + ¥ Ф 1),

k=1

то в задаче оптимального управления глобальным социально-экономическим развитием на бесконечном горизонте планирования существует решение.

Условия (1) обеспечивают непустоту и ограниченность множества управляющих переменных задачи оптимального управления глобальным социально-экономическим развитием. При этом параметры, фигурирующие в теореме, имеют следующий содержательный смысл:

(k = 1, ...,K) и X

3K+1+J+m

(т = 1, ..., 4) - количество произведенного продукта к-го вида, численность населения, денежные средства производственного и потребительского секторов и управляющего центра в момент t = 0 соответственно;

- Ь/к (/ = 1, ..., I; к = 1, ..., К) - норма расхода /'-го ресурса при производстве единицы продукта к-го типа;

- с/к (' = 1, ..., I; к = 1, ..., К) - количество'-го загрязнителя, появляющееся при производстве единицы продукта к-го типа;

- в' (' = 1, ..., I) - количество убыли загрязнителя '-го вида, обусловленное инвестициями производственного сектора в 1 денежную единицу на его компенсацию;

*Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦ 2.1.1/2710).

- Cj (j = 1, ..., J) - максимально допустимая (для выживания человечества как биологического вида) концентрация загрязнителя j-го типа;

- 5 = (1 - P1 - ß) Vap - V V Vk Pi;

k=1 i=1 k=1

Ф = (a + ß - 1) VtakPk; 4 = (P1 - a) ;

k=1 k=1

- Xk (k = 1, . ., K) - величина абсолютной убыли населения при суммарном росте уровня всех загрязнителей в связи с увеличением производства продукта k-го типа на единицу;

- ak, Pk (k = 1, ..., K) и Pi (i = 1, ., I) - норма среднедушевого расхода и стоимость единицы продукции

«Развитие научного потенциала высшей школы» (НИР

к-го типа, а также стоимость добычи единицы ресурса /-го вида соответственно;

- £ и г - темп роста (убыли) населения и ставка дисконтирования (прогнозируемый уровень инфляции) соответственно;

- АУ~ 4пЯИ[Я + И] - объем слоя атмосферы Земли, в котором учитывается накопление загрязнителей, И ~ 20-30 км - высота этого слоя, а Я ~ 6370-6400 км -средний радиус Земли;

- I, I, К - соответственно количество видов ресурсов, типов загрязнителей, выбрасываемых производственным сектором в окружающую среду, и видов производимой им продукции;

Решетневские чтения

- а е [0; 1] - доля стоимости мирового валового продукта (выручки от реализации производственного сектора), оплачиваемая планетарным управляющим центром;

- в е [0; 1] - доля выручки от реализации производственного сектора, выделяемая на фонд оплаты труда (ФОТ) потребительского сектора;

- у е [0; 1] - доля доходов планетарного управляющего центра, выделяемая на ФОТ потребительского сектора;

P. N. Pobedash

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

PROOF OF SOLVABILITY OF OPTIMAL CONTROL PROBLEM OF GLOBAL SOCIO-ECONOMIC DEVELOPMENT ON THE BASIS OF THE OPERATIONAL APPROACH

It is proposed to use the operational approach based on z-transformation to prove the solvability of multicriteria linear programming task on the multi-step example tasks of optimal control of global socio-economic development.

- Р1, Р2 - ставки НДС и НДФЛ для производственного и потребительского секторов соответственно.

Библиографическая ссылка

1. Медведев А. В., Победаш П. Н., Семенкин Е. С. Математическая модель глобального социально-экономического развития // Вестник СибГАУ. Вып. 5 (31). 2010. С. 137-142.

УДК 519.71

М. И. Пушкарев, С. А. Гайворонский Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Россия, Томск

СИНТЕЗ РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА*

Разработана методика выбора настроек линейного регулятора, гарантирующего системе с интервальными параметрами максимальную степень устойчивости. В основу положен метод коэффициентных оценок показателей качества для стационарных систем. Для его робастного расширения применяется метод интервального анализа.

На практике в реальных системах параметры объекта управления, как правило, известны неточно или могут изменяться по заранее неизвестным законам в определенных пределах. Такие параметры относятся к классу интервальных. Характеристические полиномы указанных систем на основе правил интервальной математики могут быть приведены к интервальному виду [1]. Рассмотрим интервальный характеристический полином (ИХП) системы:

к) = £ [а,. (к)] • , (1)

'=0

а1 < а < а1 ,

где верхний предел коэффициента а1 обозначен символом а1 , а его нижний предел - символом а; к -вектор настроек регулятора.

* Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-п Очевидно, что при изменении а1 будет меняться и качество системы управления. Поэтому представляет интерес задача определения настроек регулятора, обеспечивающих в системе максимальную степень устойчивости при условии интервальной неопределенности коэффициентов ИХП.

Для решения данной задачи предлагается применить коэффициентный метод [2], основанный на использовании коэффициентов ИХП. Данный метод хорошо разработан для анализа стационарных систем и поэтому представляет интерес его робастное расширение.

гогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

Введем вспомогательные параметры 1,, называемые показателями устойчивости:

1, = ' = 1п~-2. (2)

(аа+1)

На основе уравнения (2) разработано простое достаточное условие устойчивости стационарной системы [2]:

1,. < 1* » 0,465 " ' = 1, п -1. (3)

В случае необходимости обеспечения в системе не только устойчивости по условию (3), но и заданного

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Победаш П.Н.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Победаш П.Н.

PROOF OF SOLVABILITY OF OPTIMAL CONTROL PROBLEM OF GLOBAL SOCIO-ECONOMIC DEVELOPMENT ON THE BASIS OF THE OPERATIONAL APPROACH