Доказательство геометрических теорем с помощью компьютерной алгебры Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета.

Сер.1. Вып. 6. 2006

УДК 512.7+519.6

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ

В.II. Тарасов, Л.А. Павлова

Некоторые геометрические теоремы можно задавать в координатной форме как полиномы алгебры и доказывать алгоритмическими методами. В статье с помощью компьютерной алгебры доказываются теоремы Паскаля и Паппа Александрийского, а также устанавливаются некоторые свойства точки Торричелли для произвольного тетраэдра.

1. Основные принципы алгоритмических методов

доказательства геометрических теорем

Алгоритмические методы проверки справедливости утверждений состоят в том, что когда заданы декартовы координаты на евклидовой плоскости, условия и заключения некоторых геометрических теорем могут быть записаны полиномиальными уравнениями от координат точек, о которых говорится в формулировках соответствующих утверждений. В этом заключается связь теорем с алгебраической геометрией.

Адекватное преобразование условий теоремы в систему полиномиальных уравнений легче всего осуществлять с помощью чертежа, иллюстрирующего рассматриваемую конфигурацию.

При построении геометрической конфигурации координаты некоторых точек выбираются произвольно, а координаты остальных точек полностью определяются значениями “произвольных” координат. Обозначим произвольные координаты через щ, а зависимые координаты -через причем разделение координат на два подмножества не задается однозначно условиями задачи. Различные способы описания одной и той же конфигурации приводят к различным множествам произвольных переменных и к различным полиномиальным формулировкам условий теоремы.

© Тарасов В.Н., Павлова Л.А., 2006.

Рассмотрим алгебраическую форму геометрической теоремы. Условия теоремы могут быть представлены в виде системы полиномиальных уравнений

к] («ь и2,..., ит, х2,..., хп) = 0, ] Е 1: п, (1.1)

где к] - полиномы от независимых переменных и = (и1,и2,... ,ит) и зависимых координат х = (х1; х2,..., хп), а заключение теоремы в виде

#(«!,..., «т, Х1, ...,хп) = 0. (1.2)

Достаточно рассматривать случай одного заключения, так как в противном случае можно рассматривать их по очереди. Очевидно, что для правильно поставленной геометрической задачи количество условий должно быть равно количеству зависимых переменных.

Теорема будет установлена, если удастся показать, что (1,1) является следствием (1.2), т.е. полином д(и,х) обращается в нуль в точности там, где равны нулю полиномы к](и, х), ] Е 1 : п, при лю-

и

разие V = V(к1;...,кп) С Кт+П. Из теории идеалов следует, что в этом случае заключение теоремы можно представить в виде д(и,х) = ХМ] (и, х) • к] (и, х) для некоторых поли номов А] Е К[и, х], причем

д(и, х) Е I(V), т.е. д принадлежит идеалу (к1; к2,..., кп).

Следует отметить, что алгоритмический метод должен позволять делать выводы о справедливости геометрических утверждений, учитывая все случаи, в том числе и вырожденные. Так, например, существуют полиномы, зависящие только от и*, которые обращаются в нуль на некоторых компонентах многообразия. Так как они могут принимать любые значения, и независимы, то эти компоненты исключим из рассмотрения. Будем рассматривать только неприводимое подмногообразие V' С V. Поэтому будем считать, что заключение д обобщенно следует из условий к1;...,кт, если д Е I(V') С К[ит,хп]. Таким образом, доказать теорему - это значит доказать, что д обращается в нуль на V',

2. Формулировка основных геометрических

утверждений в полиномиальной форме

Пусть А(аь а2), В(6Ь 62), С(с1, С2), £(^ь ^), Е(еь е2), ^(/1, /2) - точки плоскости. Каждое из следующих утверждений может быть записано в виде одного или нескольких полиномиальных уравнений:

1, АВ параллелен СВ : (Ь2 — а2)(^1 — с\) — {й2 — с2)(&1 — = 0;

2, АВ перпендикулярен СВ : (Ь\ — а\){с1 — + (Ь2 — а2)(с2 — й2) = 0;

А, В, С

(62 — а2)(с1 - ^1) — (С2 — а2)(61 — а0 = 0;

4, расстояние от А до В равно расстоянию от С до В , т.е, AB = СВ:

(61 — а1)2 + (Ь2 — а2)2 — (^1 — С1)2 — (^2 — с2)2 = 0;

5, точки В и С принадлежат одной окружности с центром в точке A:

(61 — Й1)2 + (Ь2 — а2)2 — (с1 — а1)2 — (С2 — Й2)2 = 0;

6, точка ^ ^ ^^^^а отрезка AB:

(С2 — а2)(61 — а0 — (62 — а2)(с1 — ^1) = 0,

(с2 - а2)2 + (с1 - ^)2 - (61 - С1)2 - (62 - С2)2 = 0.

3. Алгоритмический метод Ву

Рассмотрим один из алгоритмических методов доказательства геометрических теорем - метод Ву [1], разработанный китайским математиком Ву Вень-Цунем, Этот метод выясняет, когда д Е I(V') и использует интересный вариант деления полиномов от нескольких переменных. Теорема 1. Рассмотрим два полинома следующего вида:

/ = Срур + ер-1ур-1 + ... + С1У + со, д = ^тут + ^т_1ут-1 + ... + ^у + 4.

(3.1)

В (3,1) коэффициенты С], ] Е 1 : р и ^, к Е 1 : т являются по-

линомами от переменных х = (х1, х2,..., хп). Пусть т < р и д = 0, Будем делить полином / на полином д по переменной у. рассматривая коэффициенты как параметры. Тогда:

1, следуя стандартному алгоритму деления можно получить равенство

С/ = ?д + Я, (3.2)

где 5 > 0 и ил и Я = 0, или степень ост атка Я по переменной у строго т

2. Я Е (/, д) [1].

Полиномы д и Я, удовлетворяющие (3,2), построены с помощью алго-

у

от одной переменной с коэффициентами в поле рациональных функций, но с последующей ликвидацией знаменателей при умножении на некоторую степень й8т-

В дальнейшем будем использовать обозначение ргет(/, д, у) для Я

Алгоритм метода Ву состоит из двух шагов.

Шаг 1. Приведение системы условий теоремы к системе полиномов /] треугольного вида по переменным х1,..., хп, используя псевдоделение, т.е. к системе

,/* 1 /1(и1,..., ит, х 1),

2 /^(«Ъ . . . , um, хЪ х2), (з з)

^ /п /*п (и 1, . . . , «т, х 1, . . . , хп),

причем, V(Д,...,/п) содержит неприводимое многообразие V', на котором « алгебраически независимы.

Это приведение может быть реализовано с помощью процедуры, похожей на метод Гаусса для решения линейных систем. Переменные х^

хп

Связь между треугольной системой и исходными полиномами заключается в том, что V' С V С V(/1,..., /п),

д

переменной х] с тем, чтобы установить принадлежность д идеалу I(V'), На этом шаге вычисляются остатки

Яп-1 = ргет(д,/п,хп),

Яп-2 = ргет(Яп-1, /п-1, хп-1),

<... (3.4)

Я1 = рГет(Я2,/2,х2),

Я0 = ргет(Я1 ,/1,х1).

Результат этого шага описывается следующей теоремой.

Теорема 2. Рассмотрим множество условий и заключение геометрической теоремы. Пусть Я0 - последний остаток, найденный при послед

(3,3), Пусть й] - старший коэффициент полинома /] от переменных х^. Тогда

1) существуют неотрицательные целые числа 51,..., вп и полиномы А1,..., Ап в И[и1,..., ит, х1,..., хп] такие, что й^1 ... д = А1 /1 + ... +

Ап/п + Яо!

2) если Д0 = 0, то д обращается в ноль в каждой точке множества V' — V(^і,..., ^га) С Ит+П, так как уравнения ^ = 0 определяют вырожденные случаи геометрических конфигураций |1|,

Авторами статьи был реализован метод Ву в пакете компьютерной алгебры Маріє 9,5 |5|,

4. Теорема Паппа

Теорема (Паппа) |3|: если все вершины шестиугольника лежат поочередно па двух произвольных прямых, то точки попарного пересечения его противоположных сторон .нежат па одной прямой. Другими словами, если Р = АВ' П А'В, Я = АС' П А'С, Д = ВС' П В'С, то В, Я, Д

Доказательство.

Чтобы установить связь этой теоремы с алгебраической геометрией, покажем, как условия и заключение теоремы могут быть записаны в полиномиальной форме. Выберем систему координат удобным образом. Проще всего это А

АВ Тогда А = (0,0), В = (и1,0), С = (ч2,0) оде и1, ч2 = 0 Є И.

Точки А' и С' имеют соответственно координаты (ч3, ч4), (ч6, ч7), где из, ч4, ч6, ч7 - новые переменные, не зависящие от м1; ч2, и ч4, ч6, ч7 = 0. Ордината точки В' зависит от координат точек А' и С', а абсцисса может быть произвольной, т.е. В' = (ч5, ж1^, оде ч5 = 0 - новая переменная. Так как координаты точек Р, Я, Д полностью определены координатами точек А, В, С и А', В', С', следовательно Р = (ж2,ж3), Я = (х4,х5), Д = (х6, я7).

А ,В ,С

па одной прямой. Отсюда получаем полиномиальное уравнение

к1 = (х1 — ч4)(ч6 — ч3) — (ч5 — ч3)(ч7 — ч4) = 0. (4.1)

Р = АВ П А В Р

АВ А В

к2 = ч5х3 — ж2ж1 = 0, к3 = х3(ч3 — ч1) — ч4(х2 — ч1) = 0. (4.2)

.нежат па одной прямой (рис. 4.1).

Аналогично, из условия ф = АС' П А'С получаем Л4 = «7х4 — х5«6 = 0, Л5 = х5 («3 — «2) — «4(х4 — и2) = 0. (4.3)

Утверждение Я = ВС' П В'С дает следующие полиномиальные уравнения:

Лб = х7 («6 —«1)—«7(хб —«1) = 0, Л7 = х7(«5 —«2)—х1 (хб — «2) = 0. (4.4)

Система, составленная из (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), является переводом условий теоремы на язык полиномов. Заключение теоремы может быть также записано в полиномиальном виде. Заключением теоремы является то, что точки Р, ф, Я лежат на одной прямой. Следовательно имеем

д = (х2 — хб )(х5 — х7) — (хз — х7 )(х4 — хб) = 0. (4.5)

Итак, алгебраическая формулировка теоремы такова: если выполнены (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), то (4,5) также имеет место. Отметим, что здесь количество условий равно количеству зависимых переменных, Так и должно быть для правильно поставленной геометрической задачи.

Итак, получили систему

Л1 — (ж1 — Ч4)(Ч6 - - 43) — ■ (чб — Ч3) (47 — Ч4),

Л-2 ч5ж3 - ж2ж1,

Л3 = Ж3(ч3 — Ч1) — Ч4 (ж2 — ч1^

Л4 = Ч7Ж4 — _ ж5ч6,

Лб ж5 (ч3 — 42) — ч4 (ж4 — Ч2),

Л6 = ж7(ч6 — 41) — ч7(ж6 — ч1^

Л7 = Ж7(Чб — ч2) — Ж1(Ж6 — Ч2).

Приведем ее к треугольному виду. На первом шаге будем работать с Л7 и Л6, так как только эти два полинома содержат ж7, Кроме того, Л7 имеет степень 1 по х7. Таким образом, в соответствии с процедурой приведения к треугольному виду полагаем /7 = Л7 и заменяем Л6 на / = ргеш(^6, Л-7, Ж7) = —Ч5Ч7Ж6 + Ч5Ч7Ч1 + Ч2Ч7Ж6 — Ч2Ч7Ч1 + Ж1Ж6Ч6 — ж1ж6 ч1 — х1ч2ч6 + ж1ч2ч1.

Теперь только /6 содерж ит ж6, поэтому сразу же пере ходим К Жб. Два полинома и Л4 содержат и оба имеют степень 1 по так что полагаем /5 = Л5 и заменяем Л4 на /4 = ргет(Л4, Л5,ж5) = ж4ч7ч3 — ж4ч7ч2 — ч6ч4ж4 + ч6ч4ч2.

Теперь только /4 содержит перемеиную х4. Переходим к х3. Два полинома Л2 и Л3 содержат х3, и оба имеют степень 1 по х3, поэтому берем /3 = Л3 и заменяем Л2 на /2 = ргет(Л2, Л3, х3) = —х2х1«3 + х2х1 «1 + «5«4х2 — «5«4«^, Оставшийся пол ином Л1 содержит только х1; следовательно, сразу полагаем /1 = Ль

В результате приведения (4,6) к треугольному виду получили систему

,/" 1 = (х1 — «4)(«6 — «3) — («5 — «3)(«7 — u4),

/2 = —х2 х1«3 + х2х1«1 + «5«4х2 — «5«4«1,

/3 = х3(«3 — «1) — «4 (х2 — «1^

/4 = х4«7«3 — х4«7«2 — «б«4х4 + «би4«2, /

< (4.7)

/б = хб(«3 — «2) — «4 (х4 — «2),

/б = —«5«7хб + «б«7«1 + «2«7хб — «2«7«1 +

+х1хб«6 — х^б«1 — х1«2«6 + х1«2«1,

,/7 = х7 (иб — «2) — х1(х6 — «2).

Теперь перейдем ко второму шагу метода Ву, На этом шаге необхо-

Я7 = д

начнём последовательно вычислять остатки Я*_1 = ргет(Я*, / х*) при г € 7:1, При псевдоделении по теореме 1 будем всегда брать минимально возможную степень ^ и иногда игнорировать постоянные множители. Имеем Я0 = 0, Это означает, что если ни один из старших коэффициентов полиномов / не равен нулю, то теорема Паппа доказана методом Ву, Нетривиальные условия здесь такие:

^1 = «б — «3 = 0,

^2 = —х1«3 + х1«1 + «5«4 = 0,

4 = «3 — «1 = 0,

^4 = «7«3 — «7«2 — «б«4 = 0,

^5 = «3 — «2 = 0,

^б = —«5«7 + «2«7 + х1«б — х1 «1 = 0,

^7 = «б — «3 = 0.

Здесь условия ^1, ^3, ^б, ^7 означают, что точки А, В, С, А', В', С' конфигурации (рис, 4,1) различны.

5.Теорема Паскаля

Теорема (Паскаля) [2]: для того чтобы шесть точек А, В, С, Д, Е, Р лежали на одном коническом сечении (эллипсе, параболе, гиперболе) необходимо и достаточно, чтобы точки Р, ф,Я пересечения противоположных сторон шестиугольника с вершинами в этих точках - АВ и ЕД, АР и СД, ВС и РЕ - лежали на одной прямой В (рис, 5,1), (При этом порядок вершин шестиугольника может быть произвольным, то есть контур шестиугольника может самопересекаться,),

в Доказательство,

Необходимость. Запишем условия и заключение теоремы в полиномиальной форме, В аналитической геометрии конические сечения представляются уравнениями второй степени относительно прямоугольных координат х, у. Рис. 5.1. По условию теоремы шесть точек

А, В, С, Д, Е, Р принадлежат коническому сечению. Так как абсцисса точек определяется принадлежностью коническому сечению, а ордината может быть произвольной, следовательно точки будут иметь следующие координаты: А = (х1, «1), В = (х2,«2), С = (х3,и3), Д = (х4,и4), Е = (х5, и5), Р = (хб, иб), где в се щ € И. различные.

Координаты точек Р, ф, Я полностью определяются координатами точек А, В, С, Д, Е, Р, поэтому Р = (х7, х8), ф = (х9, хю), Я = (хц, х^).

Одним из условий теоремы является то, что все вершины шестиугольника принадлежат коническому сечению. Следовательно, имеем такие полиномиальные уравнения:

Л-1 = ах! + Ь«1 + сх1«1 + ^х1 + е«1 + / = 0,

Л2 = ах2 + Ь«2 + сх2«2 + ^х2 + е«2 + / = 0,

Л3 = ах3 + Ь«2 + сх3«3 + ^х3 + е«3 + / = 0,

Л4 = ах4 + Ь«2 + сх4«4 + ^х4 + е«4 + / = 0,

Л5 = ахб + би;2 + сх5и5 + ^х5 + еи5 + / = 0,

Лб = ах2 + Ь«б + схбиб + ^хб + еиб + / = 0. (5.1)

Р, ф, Я

Р

угольника АВ и ЕД, Это означает, что Р принадлежит и прямой АВ

и прямой ЕД. Отсюда имеем

Л7 = («1 — х8)(х2 — х7) — («2 — х8)(х1 — х7) = 0,

Л8 = («5 — х8)(х4 — х7) — («4 — х8)(х5 — х7) = 0. (5.2)

Аналогично выпишем полиномиальные уравнения для точек ф и Я,

т.е.

Л9 = («4 — хю)(х3 — хд) — («3 — х10 )(х4 — хд) = 0,

Л10 = («б — хю)(х1 — хд) — («1 — хю)(хб — хд) = 0,

Лц = («3 — хц)(х2 — хП) — («2 — хц)(х3 — хИ) = 0,

Л12 = («5 — хц)(хб — хп) — («б — хц)(х5 — хи) = 0. (5.3)

Система уравнений, составленная из (5,1), (5,2), (5,3) является переводом условий теоремы на язык полиномов. Заключением теоремы является то, что точки Р, ф и Я лежат на одной прямой. Следовательно, имеем

д = (х11 — х12)(х7 — х11) — (х8 — х12 )(х9 — х11) = 0. (5.4)

Таким образом, алгебраическая формулировка теоремы звучит так: если выполнены (5,1), (5,2), (5,3), то (5,4) также имеет место,

В результате перевода условий теоремы в полиномиальную форму, получили систему следующего вида:

Л1 = ах1 + Ь«1 + сх1«1 + ^х1 + е«1 + /,

Л2 = ах2 + Ь«2 + сх2«2 + ^х2 + е«2 + /,

Л3 = ах3 + Ь«3 + сх3«3 + ^х3 + е«3 + /,

Л4 = ах4 + Ь«4 + сх4«4 + ^х4 + е«4 + /,

Л5 = ах5 + Ь«5 + сх5«5 + ^х5 + е«5 + /,

Лб = ахб + Ь«б + схб«б + ^хб + е«б + /,

(5.5)

Л7 = («1 — х8)(х2 — х7) — («2 — х8)(х1 — х7),

Л8 = («5 — х8)(х4 — х7) — («4 — х8)(х5 — х7),

Л9 = («4 — х10)(х3 — х9) — («3 — х10 )(х4 — х9),

Л10 = («б — х10)(х1 — х9) — («1 — х10 )(хб — х9),

Л11 = («3 — х12)(х2 — х11) — («2 — х12)(х3 — х11),

= («5 — хц)(хб — хИ) — («б — хц)(х5 — хИ).

Применим теперь метод Ву для доказательства теоремы. На первом шаге приведем (5,5) к треугольному виду. Получим

/1 = ах1 + Ь«1 + сх1«1 + 1х1 + е«1 + /,

/2 = ах2 + Ь«2 + сх2«2 + 1х2 + е«2 + /,

/3 = ах3 + Ь«3 + сх3«3 + 1х3 + е«3 + /,

/4 = ах4 + Ь«4 + сх4«4 + 1х4 + е«4 + /,

/5 = ах5 + Ь«5 + сх5«5 + 1х5 + е«5 + /,

/б = ахб + Ь«б + схб«б + 1хб + е«б + /,

/7 = —х4«1х2 + х4«1х7 + х4«2х1 — х4«2х7 + х5«1х2 —

— х5 «1х7 — х5«2х1 + х5«2х7 + «5х4х2 — «5х4х1 —

— «5х7х2 + «5х7 х1 — «4х5х2 + «4х5х1 + «4х7х2 — «4х7х1, , ч

< (5.6)

/8 = («5 — х8)(х4 — х7) — («4 — х8)(х5 — х7),

/9 = —х3«бх1 + х3«бх9 + х3«1хб — х3«1х9 + х4«бх1 —

— х4 «бх9 — х4«1хб + х4«1х9 + «4х3х1 — «4х3хб —

— «4х9х1 + «4х9 хб — «3х4х1 + «3х4хб + «3х9х1 — «3х9хб,

/10 = («4 — х10)(х3 — х9) — («3 — х10) (х4 — х9),

/11 = —х2 «5хб + х2 «5хц + х2«бх5 — х2«бхц + х3 «5хб —

— х3 «5хц — х3«бх5 + х3«бхИ + «3х2хб — «3х2 х5 —

— «3хцхб + «3хц х5 — «2х3хб + «2х3х5 + «2хц хб — «2хцх5,

/12 = («3 — хц)(х2 — хи) — («2 — хц)(х3 — х11).

На втором шаге метода Ву необходимо показать, что (5,4) является

Я12 = д

лять остатки Я^-1 = ргет(Я*, / х*) щи г € 12 : 1,

Я0 = 0

11 = а + с«1 + 1 = 0, 12 = а + с«2 + 1 = 0,

4 = а + с«3 + 1 = 0, 14 = а + с«4 + 1 = 0,

15 = а + с«5 + 1 = 0, 1б = а + с«б + 1 = 0,

17 = х4«1 — х2«4 — х5 «1 + х5«2 — «5х2 + «5х1 + «4х2 — «4х1 = 0,

18 = х5 — х4 = 0,

19 = х3«б — х3«1 — х4 «б + х4 «1 — «4х1 + «4хб + «3х1 — «3хб = 0,

110 = х4 — х3 = 0,

1ц — х2 «5 — х2«б — х3«5 + х3«б — «3хб + «3х5 + «2хб — «2х5 = 0,

112 = х3 — х2 = 0.

Р, ф, Я

одной прямой, полученные пересечением противоположных сторон шестиугольника АВСДЕР, т.е.

АВ П ЕД = Р, ВС П РЕ = Я, АР п СД = ф. (5.7)

Р

В

Р = (0, 0), Я = («1, 0) ф = («2, 0), где «1,«2 = 0.

Р, ф, Я

являющихся противоположными сторонами шестиугольника (или продолжением противоположных сторон шестиугольника) и па каждой из этих прямых должны лежать но две вершины шестиугольника, следовательно, можно произвольно задать три любые вершины шестиугольника АВСДЕР, пн одна из которых не лежит на одной прямой (по условию теоремы). Например, пусть А = (и3,и4), С = (и5,иб), Е = (и7,и8), где и3, и4, и5, иб, и7, и8 - новые переменные, не завнсящие ОТ и}, и2, и

«4, «5, «б, «7, «8 = 0,

По условию (5,7) проводим шесть прямых через точки А и Р, А и ф, С и Я, Сид, Е и Р, Е и Я (рис, 5,2),

Получили, что через каждую точку Р, ф, Я проходит по две прямые и точки А, С, Е принадлежат различным прямым, Оста-Рис. 5.2. .пось определить остальные три

В, Д, Р АВСДЕР

постыо определяются координатами уже известных точек.

В АР

и прямой СЯ, значит она будет иметь координаты (х1,х2). Верши на Д должна принадлежать и прямой Сф и прямой ЕР, следовательно, ее координаты будут (х3, х4). Аналогии но, Р = (х5,хб).

АВСДЕР

противоположные стороны которого пересекаются в трех точках Р, ф, Я

Заметим, что точки выбираются неоднозначно, поэтому шестиугольник будет получаться каждый раз произвольным образом.

Теперь запишем условия теоремы через полиномиальные уравнения. Из утверждения АВ П ЕД = Р имеем

Л1 = х2 «3 — «4х1 =0, Л2 = «8х3 — х4«7 = 0. (5.8)

Аналогично, ВС П РЕ = Я дает полиномиальные уравнения вида

Л3 = х2(«5—и1)— иб(х1 —и1) = 0, Л4 = «8(х5—и1)—хб(и7 — и1) = 0. (5.9)

Из условия АР П СД = ф получаем

Л5 = «б(х3—«2)—х4 («5—«2) =0, Лб = «4(х5—«2)—хб («3 —«2) = 0. (5.10)

Система уравнений, составленная из (5,8), (5,9), (5,10), является переводом условий теоремы на язык полиномов.

Заключением обратной теоремы Паскаля является то, что вершины АВСДЕР

кривая, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет вид ах2 + Ьу2 + сху + 1х + еу + / = 0, является коническим сечением. Правда, при такой формулировке надо считать коническим сечением не только кривую линию, но и, например, пару пересекающихся прямых. Поэтому теорема Паппа является частным случаем теоремы Паскаля, Таким образом, заключения теоремы запишутся в следующем виде:

д1 = а«3 + Ь«2 + с«3«4 + 1«3 + е«4 + / = 0, д2 = ах1 + Ьх2 + сх1 х2 + 1х1 + ех2 + / = 0,

д3 = а«5 + 6«2 + с«5«б + 1«5 + е«б + / = 0,

д4 = ах3 + Ьх2 + сх3 х4 + 1х3 + ех4 + / = 0,

д5 = а«7 + &«! + с«7«8 + 1«7 + е«8 + / = 0,

дб = ах22 + Ьх2 + сх5 хб + 1х5 + ехб + / = 0. (5.11)

Алгебраическая формулировка теоремы такова: если выполнены (5,8), (5,9), (5,10), то (5,11) также имеют место.

Далее, прежде чем применять метод Ву для доказательства теоремы, необходимо в (5,11) определить коэффициенты а, Ь, с, 1, е,/, Для этого запишем условия теоремы в виде системы

Л1 = х2«3 — «4х1 = 0,

Л2 = «8х3 — х4«7 = 0,

^ Л3 = х2 («5 — «1) — «б(х1 — «1) = ^ (5 12)

Л4 = «8(х5 — «1) — хб («7 — «1) = 0,

Л5 = «б(х3 — «2) — х4 («5 — «2) = 0,

^ Лб = «4(х5 — «2) — хб («3 — «2) = 0.

Решаем эту систему с помощью средств компьютерной алгебры и находим неизвестные яі, х2,..., хб. Затем подставляем найденные значения в систему, составленную из уравнений (5,11) и решаем ее относительно неизвестных а, Ь, с, 1, е, /, Таким образом, заключения теоремы (5,11) перепишутся с учетом найденных коэффициентов.

Дня дальнейшего доказательства теоремы применим метод Ву, На нервом шаге приведем (5,12) к треугольному виду:

/і = —^4X1^5 + и4Жі иі + из^б^і — ^3^6^!,

/2 = Х2М5 — Х2 и і — ибХі + Мб^і,

/з = — М8Ж3М5 + МзЖз М2 + И7И6Ж3 — М7М6М2,

/4 = м6х3 — мби2 — х4 и5 + х4м2, (5.13)

/5 = —^3^8X5 + М3М8Мі + М2М8Ж5 — М2М8Мі +

+^4X5^7 — М4Х5Мі — М4М2М7 + '^'^Мі,

/б = ^4X5 — М4^2 — Хб М3 + ХбМ2-

На втором шаге надо показать, что ^ = 0, і Є 1:6 являются следствием (5.13). Положим Дб = , І Є 1 : 6 и последовательно

вычислим остатки Ді_і = ргет(Ді,/і,Хі) при і Є 6 : 1. Во всех случаях имеем До = 0. Выпишем нетривиальные условия;

1і = —М4^5 + М^Мі + М3Мб = 0, І2 = М5 — Мі = 0,

І3 = —М8^5 + М8^2 + М7Мб = 0, І4 = —М5 + М2 = 0,

І5 = —М3^8 + М2^8 + М4^7 — М^Мі = 0, 1б = —М3 + М2 = 0.

6.06 одной экстремальной задаче для тетраэдра (численный эксперимент)

Рассмотрим следующую экстремальную задачу: найти точку Т такую, что сумма расстояний от нее до вершин заданного тетраэдра будет минимальной (рис. 6.1).

Пусть г і = (хі, у^ г), і Є 1:4- координаты вершин тетраэдра, г = (х, у, г) -Т

дитея к минимизации функции

Рис. 6.1.

/ (г) = ||г — Гг 11 ^ шт,

г

(6.1)

г=1

где ||Г -Гг\\ = л/(X ~ Хі)2 + (у - Ці)2 + (с - ^)2.

Функция f (г) является строго выпуклой и f (г) ^ ^ ^и г ^ то. Поэтому решение (6,1) существует и единственно.

Сформулированная задача является обобщением известной задачи Штейнера |4|,

В плоскости треугольника найти точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной.

Если все углы треугольника меньше 120°, то решение поставленной задачи является точка Т (точка Торричелли), обладающая тем свойством, что все стороны треугольника видны из точки Т под углом 120°,

120°

вершина тупого угла. На рис, (6,2) приведено решение задачи Штейпе-

где г0 - некоторое начальное приближение, не совпадающее ни с одной из вершин тетраэдра.

При численных экспериментах получались следующие геометриче-Т

Т

углами (табл. 2);

2. сумма косинусов плоских углов каждого из трехграппых углов, опирающихся на грани тетраэдра, равна -1 (табл. 3);

С'

На сторонах треугольника строятся правильные треугольники. Тогда прямые ВВ, АА/, СС пересекаются в точке Т, обладающей указанным выше свойством. Аналитическая проверка этого приведена

в 16]

В'

Рис. 6.2.

Дня тетраэдра пет такого простого способа построения точки Т. Для получения решения в каждом конкретном случае можно воспользоваться методом паискорейшего спуска:

Г

3, сумма двугранных углов каждого из трехгранных углов, опирающихся на грани тетраэдра, равна п (табл. 4):

В таблице 1 приведены решения задачи для двух тетраэдров с точностью до 9 знаков после запятой.

Табл. 1.

.Yfin/п Координаты вершин тетраэтра Координаты точки Торричелли

1 А = (—4; 1; 0),В = (2;-2, 5;-5), С = (—2; 3; 5),D = (3;-3,5; 4, 5) Т = (-1,071282133; 0,039784833; 1,386386392)

2 А = (0; 0; 0), В = (—1; 5; 1), С = (—4; 2; —1), D = (1; 1; 5) Т = (-0,988839095; 1,924866623; 0,896513337)

Табл. 2.

Противоположные ребра тетраэдра Углы (для 1 случая) Углы (для 2 случая)

АВ, CD ААТВ = 1, 672368526 АСТВ = 1, 672370205 ААТВ = 1,742180911 АСТВ = 1,742180902

ВС, AD АВТС = 2, 773258793 ААТВ = 2, 773258448 АВТС = 2,560198117 ААТВ = 2,560198118

AC, DB ААТС = 1,536462251 АВТВ = 1,536462986 ААТС = 1,564551887 АВТВ = 1,564551876

Табл. 3.

Плоские углы трехгранных углов Сумма косинусов плоских углов (для 1 случая) Сумма косинусов плоских углов (для 2 случая)

ZATC, ZATB, ZBTC -0,999998859 -0, 999999998

ZATD, А АТ С, ADTC -1,000000406 -1,000000011

AATD, ZATB, ZBTB -0, 999999470 -1,000000001

ZBTC, ACT В, ADTB -1,000001265 -0, 999999990

Табл. 4.

Трехгранный угол Сумма двугранных углов трехгранного угла (для 1 случая) Сумма двугранных углов трехгранного угла (для 2 случая)

Z.TAGB 3,141599114 3,141592660

Z.TDAC 3,141590358 3,141592613

Z.TDBC 3,141585491 3,141592648

Z.TADB 3,141595653 3,141592688

Литература

1. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М.: Мир, 2000. 678 с.

2. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981. 344 с.

3. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001. 568 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.

5. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. М.: Мир, 1997.

6. Зверева В.Е., Павлова JI.A. Доказательство геометрических теорем с помощью компьютера // Международная молодежная научная конференция “Севергеоэкотех-2004”- Материалы конференции. 17-19 марта 2004 г- Ухта: УГТУ, 2004- С. 188-192.

Summary

Tarasov V.N., Pavlova L.A. The proof of geometric theorems by means of computer algebra

Some geometric theorems can be stated in coordinate form as polynomials in algebra and can be proved by algorithmic methods. In article the theorems of Pascal and Pappe Alexandrinian are prooved by means of computer algebra. Also some properties of Torricellian point for arbitrary tetrahedron are stated.

Сыктывкарский университет

Поступила 27.03.2006