Доказательство «Эпистемического аналога» для теоремы *14. 3. Из «Principia Mathematica» Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.Е.Ледников

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО «ЭПИСТЕМИЧЕСКОГО АНАЛОГА» ДЛЯ ТЕОРЕМЫ *14.3. ИЗ «PRINCIPIA MATHEMATICA»*

Abstract. In the paper «epistemic analogue» of the theorem *14.3. of A. Whitehead and B.Russell «Principia Mathematica» (PM) is proved for epistemic logic EpS4*=. Contextual definitions *14.01. and *14.02. from (PM) are changed into «epistemic analogues» of them - into (EA)*14.01 and into (EA)*14.02. respectively. Using such definitions the theorem *14.3. from (PM) is changed into the theorem (EA) *14.3. that is proved by M.Fittings tableau method.

В работах [1] и [2] указывалось на важность возможного доказательства «эпистемического аналога» теоремы * 14.3. расселов-ской теории индивидных дескрипций при построении аналогичной теории для эпистемических контекстов. При этом контекстуальные определения из 14-й главы «Principia Mathematica» (РМ) Б.Рассела и А.Уайтхеда [4, p.173-174]:

*14.01 [(ix)A]B(ix)A = df (3y)[(Vz)(A=z=y)&B(y)] и *14.02. E!(ix)A = dí<3y)[(Vz)(A=z=y)] следует заменить определениями:

(EA) *14.01. [(ix)A]B(ix)A = f (3y)[Kn(Vz)(A=z=y)&B(y)] и (EA) *14.02. En!(ix)A = df(3y)[Kn(Vz)(A=z=y)],

где (EA) означает «эпистемический аналог» соответствующего расселовского определения, En! - контекстуально элиминируемый предикат эпистемического существования и единственности индивидной дескрипции (ix)A (где A - формула, которая может и не содержать свободных вхождений переменной оператора дескрипции), K - оператор эпистемической необходимости «известно, что», Kn - «модальный профиль» формулы B(ix)A относительно дескрипции (ix)A. Область действия дескрипции (одд) (ix)A в формуле B(ix)A указывается помещением дескрипции, заключенной в квадратные скобки, перед той частью формулы, которая зависит от дескрипции как от параметра.

Нетрудно увидеть, что в экстенсиональных контекстах, когда n=0, определения (ЕА) переходят в расселовские. В частности, если в формуле KB(ix)A одд является модально свободная под-

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 02-03-18290.

формула В(1х)А, мы имеем случай обычного расселовского вторичного вхождения дескрипции, и формула К[(1х)А]В(1х)А должна пониматься как К(Зу)[(У2)(А=2=у)&В(у)]. Таким образом, контекстуальное определение (ЕА) * 14.01 задает не только контекст, но и форму элиминации.

В формулировке из РМ [3, р.185] теорема*14.3. выглядит так:

*14.3. I- Е!(1х)А ^.[(1х)А]Ш(1х)А = £[(гх)А]В(1х)А, где Г - экстенсиональный контекст, создаваемый функциями истинности классической логики, то есть такой, что если р = д, то Г(р) = Г(д). Соответственно, (ЕА) * 14.3. будет выглядеть следующим образом:

(ЕА) *14.3. I- Еп!(1х)А з.[(гх)А]хВ(1х)А = х[0х)А]В(1х)А,

где х - эпистемический, неэкстенсиональный контекст.

Доказательство теоремы осуществим для эпистемической кванторной логики с тождеством Ер84*=, пропозициональная часть которой изоморфна алетической модальной пропозициональной логике 84, если в качестве аналога алетической необходимости использовать эпистемический оператор К, а алетической возможности - выражение (~К~). Но прежде чем приступить к доказательству, предложим аналитико-табличную формулировку логики Ер84*= . Из работы М.Фиттинга [5] легко извлечь соответствующую теорему о существовании модели для Ер84*=, внеся некоторые изменения и дополнения в его рассуждения.

Пусть Ьер - первопорядковый язык, содержащий счетное множество индивидных и предикатных переменных, в котором в качестве исходных используются символы &, V, з, V, 3, =, К}. Пусть Ь*ер - расширение языка Ьер за счет добавления счетного множества новых индивидных переменных. К правилам редукции а, в, у, 5, V, п - типов формул добавляется в-правило, выражающее подставимость тождественного:

в Во

А(х, у) А(х, х)

Множество и непустых подмножеств формул 81, 82,...8п языка Ь*ер образует Ер84*-свойство непротиворечивости, если для каждого 8еи, в дополнение к правилам (1) - (3) М.Фиттинга [4, р.614], выполняются правила:

(4) уе8 ^ 8и{у(у)}еи для произвольной индивидной перемент *

ной у языка Ь ер,

(5) 5eS ^ sU{5(y)}eU для новой индивидной переменной y языка L*ev,

ep'

(6) veS ^ sU{vo}eU,

(7) neS ^ Sv U{n0}eU, где Sv = {v|veS}, а Sv = SvU{(x=y)|(x=y)eS},

(8) seS, (x=y)eS ^ SU{so}eU.

Сделаем неформальные пояснения к правилам (7) и (8). Согласно правилу (7), к формуле вида п можно приписать в столбце аналитической таблицы соответствующую формулу вида п0, но при этом следует сначала вычеркнуть из столбца все формулы, кроме v-формул и формул тождества. Согласно правилу (8), если в столбце имеется формула вида A(x,y) и формула (x=y), то в столбец можно поместить формулу вида A(x,x).

Теорема о существовании модели для EpS4*= легко доказывается по аналогии с рассуждениями М.Фиттинга [5, p.616-618]. Теперь можно непосредственно приступить к доказательству теоремы (EA) * 14.3. для эпистемической логики EpS4*=. Для этой логики «модальный профиль» дескрипции (ix)A в формуле B(ix)A во всех случаях может быть выражен единственным (неитериро-ванным) оператором эпистемической необходимости K. Поскольку условие эпистемического существования и единственности имплицирует расселовское условие существования и единственности, сформулированное им для экстенсиональных контекстов, то последние рассматривать не будем, а ограничимся при доказательстве четырьмя характерными видами эпистемических контекстов.

Случай (1). l-En!(ix)A ^.[(ix)A]KB(ix)A = K[(ix)A]B(ix)A,

где B(ix)A - модально свободная формула. Требуемая замкнутая аналитическая таблица будет начинаться так:

~{En!(ix)A ^.[(ix)A]KB(ix)A = K[(ix)A]B(ix)A} En!(ix)A

~{[(ix)A]KB(ix)A = K[(ix)A]B(ix)A}

(а-правило редукции для отрицания импликации).

~[(ix)A]KB(ix)A K[(ix)A]B(ix)A

[(ix)A]KB(ix)A ~K[(ix)A]B(ix)A

(Р-правило редукции для отрицания эквивалентности).

Рассмотрим далее левый и правый столбцы таблицы по отдельности. Левый столбец будет выглядеть так1:

(1) Еп!(1х)Л

(2) ~[(1х)Л]КБ(1х)Л

(3) К[(1х)Л]Б(1х)Л

(4) (Зу)[К(У2)(Л^=у)] ((1), опр. (ЕЛ) *14.02.)

(5) К(У2)(Л^=и) ((4), 5-правило редукции для квантора существования, и - новая индивидная переменная)

(6) —(Зу)[К(У2)(Л^=у)&Б(у)] ((2), опр. (ЕЛ) *14.01.)

(7) К(Зу)[(У7)(Л=г=у)&Б(у)] ((3), опр. (ЕЛ) *14.01.)

(8) ~[К(У2)(Л^2=и)&Б(и)] ((6), у-правило редукции для отрицания квантора существования, и - произв. индивидная переменная)

(9а) ~К(У2)(Л^=и) ((8), р-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (5)) (*)

(9в) ~КБ(и) ((8), Р-правило редукции для отрицания конъюнкции) (10в) ~Б(и) ((9в), п-правило редукции, в столбце сохраняются формулы (5), (7)) (11в) (У2)(Л^=и) ((5), v-правило редукции)

(12в) (Зу)[(У7)(Л=г=у)&Б(у)] ((7), V-правило редукции)

(13в) [(Уе)(Л^2=у)&Б(у)] ((12в), 5-правило редукции для квантора

существования, V - новая индивидная переменная)

(14в) (Уе)(Л=2^) ((13 в), а-правило редукции для конъюнкции)

(15в) Б(v) ((13в), а-правило редукции для конъюнкции)

(16в), Л=и=и ((11в), у-правило редукции для квантора общности,

и - произвольная индивидная переменная)

(17в) ((14в), у-правило редукции для квантора общности, и

- произвольная индивидная переменная)

(18с) Л ((17в), р-пра-вило редукции для эквивалентности) (19с) (u=v) ((17в), р-правило редукции для эквивалентности) (20с) Б(и) ((15в), (19с), в-правило редукции,

противоречит (10в))

(*)_

(18ф ~Л ((17в), Р-правило редукции для эквивалентности)

(Ш) —(u=v) ((17в), Р-правило редукции для эквивалентности)

1 В варианте табличного метода, предложенного М.Фиттингом, столбец замыкается, если в нем встречается пара формул вида Л и —Л или формула вида —(х=х). Замыкание столбца будем отмечать звездочкой в круглых скобках: (*).

(20е) (и=и) ((16в), вправило редукции для эквивалентности) (21е) А ((16в), вправило редукции для эквивалентности, противоречит(18d)) (*)

(20Г) ~А ((17в), вправило редукции для эквивалентности) (21Г ~(и=и) ((16в), в-правило редукции для эквивалентности,

противоречие) (*)

Правый столбец таблицы будет выглядеть так:

(1) Еп!(1х)А

(2) [(1х)А]КВ(1х)А

(3) ~К[(1х)А]В(1х)А

(4) (3у)[К^)(А^=у)] ((1), опр. (ЕА) *14.02.)

(5) (3у)[К^)(А^=у)&КВ(у)] ((2), опр. (ЕА) *14.01.)

(6) ~К(3у)[^)(А^=у)&В(у)] ((3), опр. (ЕА) *14.01.)

(7) K(Vz)(A=z=v)&KB(v) ((5), 5-правило редукции для квантора существования, V - новая индивидная переменная)

(8) K(Vz)(A=z=v) ((7), а-правило редукции для конъюнкции)

(9) КВ^) ((7), а-правило редукции для конъюнкции)

(10) ~(3y)[(Vz)(A=z=y)&B(y)] ((6), п-правило редукции, в столбце остаются формулы (7), (8), (9))

(11) ~[(Vz)(A=z=v)&B(v)] ((10), у-правило редукции для отрицания квантора существования, v - произвольная индивидная переменная)

(12) K(Vz)(A=z=v) ((7), а-правило редукции для конъюнкции)

(13) КВ^) ((7), а-правило редукции для конъюнкции)

(14) (Vz)(A=z=v) ((12), v-правило редукции)

(15) В^) ((13), v-правило редукции)

(16а) ((11),

в-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (14)) (*)

(16в) ~B(v) ((11), в-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (15)) (*)

Случай (2). 1-Еп!(гх)А з.[(1х)А]~К~В(1х)А = ~К~[(1х)А]В(1х)А, где В(1х)А - модально свободная формула. Требуемая замкнутая аналитическая таблица будет начинаться так:

~{Еп!(гх)А з.[(1х)А]~К~В(1х)А = ~К~[(1х)А]В(1х)А} Еп! (1х)А

~{[(1х)А]~К~В(1х)А = ~К~[(1х)А]В(1х)А} (а-правило редукции для отрицания импликации).

[(1х)Л]—К—Б(1х)Л К—[(1х)Л]Б(1х)Л

—[(1х)Л]—К—Б(1х)Л —К—[(1х)Л]Б(1х)Л

(Р-правило редукции для отрицания эквивалентности).

Рассмотрим далее левый и правый столбцы таблицы по отдельности. Левый столбец таблицы будет выглядеть так:

(1) Еп!(1х)Л

(2) [(1х)Л]—К—Б(1х)Л

(3) К—[(1х)Л]Б(1х)Л

(4) (Зу)[К(У7)(Л=г=у)] ((1), опр. (ЕЛ) *14.02.)

(5) (Зу)[К(У2)(Л^=у)&—К—В(у)] ((2), опр. (ЕЛ) *14.01.)

(6) К—(Зу)[(У7)(Л=г=у)&Б(у)] ((3), опр. (ЕЛ) *14.01.)

(7) [K(Уz)(Л=z=v)&—K—Б(v)] ((5), 5-правило редукции для квантора существования, v - новая индивидная переменная)

(8) K(Уz)(A=z=v) ((7), а-правило редукции для конъюнкции)

(9) —К—Б^) ((7), а-правило редукции для конъюнкции)

(10) Б^) ((9), п -правило редукции, в столбце остаются (6), (8))

(11) (Уz)(A=z=v) ((8), v-правило редукции)

(12) ~(Зy)[(Уz)(Л=z=y)&Б(y)] ((6), v-правило редукции)

(13) —[(Уz)(Л=z=v)&Б(v)] ((12), у-правило редукции для отрицания квантора существования, v - произвольная индивидная переменная)

(14в) —Б^) ((13), Р-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (10)) (*)

(14а)

((13), Р-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (11)) (*)

Правый столбец таблицы будет выглядеть так:

(1) Еп!(1х)Л

(2) ~[(1х)Л]—К—Б(1х)Л

(3) ~К—[(1х)Л]Б(1х)Л

(4) (Зу)[К^)(Л^=у)] ((1), опр. (ЕЛ) *14.02.)

(5) ~(Зу)[К^)(Л^=у)&—К—Б(у)] ((2), опр. (ЕЛ) *14.01.)

(6) —К—(Зу)[^)(Л^=у)&Б(у)] ((3), опр. (ЕЛ) *14.01.)

(7) K(Уz)(Л=z=v) ((4), 5-правило редукции для удаления квантора существования, v - новая индивидная переменная)

(8) — [K(Уz)(A=z=v)&~K~B(v)] ((5), у-правило редукции для отрицания квантора существования, v - произвольная индивидная переменная)

9а) ~K(Vz)(A=z=v) ((8), ß-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (7)) (*)

(9в) —K~B(v) ((8), в-правило редукции для отрицания конъюнкции) (10в) K~B(v) ((9в), а-правило редукции для двойного отрицания) (11в) (3у)[^)(А^=у)&В(у)] ((6), п-правило редукции, в столбце остаются формулы (7), (10в)) (12в) ~B(v) ((10в), v-правило редукции)

(13в) (Vz)(A=z=u)&B(u) ((11в), ô-правило редукции для квантора

существования, u - новая индивидная переменная)

(14в) (Vz)(A=z=u) ((13в), а-правило редукции для конъюнкции)

(15в) B(u) ((13в), а-правило редукции для конъюнкции)

(16в) (A=v=u) ((14в), у-правило редукции для квантора общности,

v - произвольная индивидная переменная)

(17с) А((16в), вправило редукции для эквивалентности)

(18с) (v=u) ((16в), в-правило редукции для эквивалентности)

(19с) B(v) ((15в), (18с), в-правило редукции, противоречит (12в)) (*)

(17d) ~А ((16в), ß-правило редукции для эквивалентности)

(18d) ~(v=u) ((16в), ß-правило редукции для эквивалентности)

(Ш) ((7), v-правило

редукции)

(20d) ((19d), у-правило редук-

ции для квантора общности, v -произвольная индивидная переменная)

(21е) (v = v) (да), вправило редукции для эквивалентности) (22е) А ((20d), в-пра-вило редукции для эквивалентности, противоречит (17d))

(*)

(21Г) ~А ((20d), в-пра-вило редукции для эквивалентности)

(22Г) ~(v=v) ((20ё), вправило редукции для эквивалентности, противоречие)

(*)

Случай (3). ЬК[(1х)А]В(1х)А = [(1х)А]КВ(1х)А, где В(1х)А является v-формулой. В этом случае не требуется посылка Еп!(1х)А, поскольку, по аналогии с расселовской теорией [4, р. 186], эпистемическое существование и единственность деск-

рипции (1х)Л следует из формулы с меньшим одд, т.е. из формулы К[(1х)Л]Б(1х)Л. Требуемая замкнутая таблица будет начинаться так:

~{К[(1х)Л]Б(1х)Л = [(1х)Л]КБ(1х)Л}

—К[(1х)Л]Б(1х)Л [(1х)Л]КБ(1х)Л

К[(1х)Л]Б(1х)Л —[(1х)Л]КБ(1х)Л

(Р-правило редукции для отрицания эквивалентности).

Рассмотрим далее левый и правый столбцы таблицы по отдельности. Левый столбец будет выглядеть так:

(1) —К[(1х)Л]Б(1х)Л

(2) [(1х)Л]КБ(1х)Л

(3) —К(Зу)[К^)(Л^=у)&Б(у)] ((1), опред. (ЕЛ) *14.01.)

(4) (Зу)[К^)(Л^=у)&КБ(у)] ((2), опред. (ЕЛ) *14.01.)

(5) K(Уz)(A=z=v)&KB(v) ((4), 5-правило редукции для квантора существования, v - новая индивидная переменная)

(6) K(Уz)(A=z=v) ((5), а-правило редукции для конъюнкции)

(7) КБ^) ((5), а-правило редукции для конъюнкции)

(8) Б^) ((7), v-правило редукции)

(9) ~(Зy)[K(Уz)(A=z=y)&B(y)] ((3), п-правило редукции, в столбце остаются формулы (5), (6), (7), (8))

(10) —[K(Уz)(Л=z=v)&Б(v)] ((9), у-правило редукции для отрицания квантора существования, v - произвольная индивидная переменная)

(11а) —К^)(Л^^) ((10), Р-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (6)) (*)

(11в) —Б^) ((10), р-пра-вило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (8)) (*)

Правый столбец таблицы будет выглядеть так:

(1) К[(1х)Л]Б(1х)Л

(2) —[(1х)Л]КБ(1х)Л

(3) К(Зу)[К^)(Л^=у)&Б(у)] ((1), опред. (ЕЛ) *14.01.)

(4) (Зу)[К^)(Л^=у)&Б(у)] ((3), v-правило редукции)

(5) —(Зу)[К^)(Л^=у)&КБ(у)] ((2), опред. (ЕЛ) *14.01.)

(6) [K(Уz)(Л=z=v)&Б(v)] ((4), 5-правило редукции для квантора существования, v - новая индивидная переменная)

(7) K(Уz)(A=z=v) ((6), а-правило редукции для конъюнкции)

(8) Б^) ((6), а-правило редукции для конъюнкции)

(9) —[K(Уz)(A=z=v)&KB(v)] ((5), у-правило редукции для отрицания квантора существования, v - произвольная индивидная переменная)

(10а) ~K(Vz)(A=z=v) ((9), ß-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (7)) (*)

(10в) ~KB(v) ((9), ß-правило редукции для отрицания конъюнкции) (11в) ~B(v) ((10в), п-правило редукции, в столбце остаются формулы (3), (7), (8), противоречит (8)) (*)

Случай (4). l-En!(ix)A =>.~K~[(ix)A]B(ix)A = [(tx)A]~K~B(tx)A, где B(ix)A является п-формулой. Требуемая замкнутая аналитическая таблица будет начинаться так:

~{En!(ix)A 3.~K~[(ix)A]B(ix)A = [(ix)A]~K~B(ix)A} En!(ix)A

~{~K~[(ix)A]B(ix)A = [(ix)A] ~K~B(ix)A } (а-правило редукции для отрицания импликации).

~K~ [(ix)A] B(ix)A ~[(ix)A]~K~B(ix)A

K~[(ix)A]B(ix)A [(ix)A]~K~B(ix)A (ß-правило редукции для отрицания эквивалентности).

Рассмотрим далее левый и правый столбцы таблицы по отдельности. Левый столбец будет выглядеть так:

(1) En!(ix)A

(2) K~[(ix)A]B(ix)A

(3) [(ix)A] ~K~B(ix)A

(4) (3y)[K(Vz)(A=z=y)] ((1), опр. (EA) *14.02.)

(5) K~(3y)[K(Vz)(A=z=y)&B(y)] ((2), опр. (EA) *14.01.)

(6) (3y)[K(Vz)(A=z=y)&~K~B(y)] ((3), опр. (EA) *14.01.)

(7) K(Vz)(A=z=u)&~K~B(u) ((6), ô-правило редукции для квантора существования, u - новая индивидная переменная)

(8) K(Vz)(A=z=u) ((7), а-правило редукции для конъюнкции)

(9) ~K~B(u) ((7), а-правило редукции для конъюнкции)

(10) ~(3y)[K(Vz)(A=z=y)&B(y)] ((5), v-правило редукции)

(11) ) ~[K(Vz)(A=z=u)&B(u)] ((10), у-правило редукции для отрицания квантора существования, u - произвольная индивидная переменная)

(12а) ~K(Vz)(A=z=u) ((11), ß-правило редукции для отрицания конъюнкции, противоречит (8)) (*)

(12в) ~B(u) ((11), ß-правило редукции для отрицания конъюнкции)

(13в) B(u) ((9), п-правило редукции, в столбце остается формула (12в), которой формула (13в) противоречит) (*)

Правый столбец таблицы будет выглядеть так:

(1) Еп!(1х)Л

(2) ~К~[(1х)Л]Б(1х)Л

(3) ~[(1х)Л]~К~Б(1х)Л

(4) (Зу)К^)(Л^=у) ((1), опр. (ЕЛ) *14.02.)

(5) -К—(Зу)[К^)(Л^=у)&Б(у)] ((2), опр. (ЕЛ) *14.01.)

(6) ~(Зy)[K(Уz)(Л=z=y)&—K—Б(y)] ((3), опр. (ЕЛ) *14.01.)

(7) K(Уz)(A=z=u) ((4), 5-правило редукции для квантора существования, и - новая индивидная переменная)

(8) ~[K(Уz)(A=z=u)&—K—B(u)] ((6), у-правило редукции для отрицания квантора существования, и - произвольная индивидная переменная)

(9а) ~К^)(Л^=и) ((8), р-правило для отрицания конъюнкции, противоречит (7))

(*)

(9в) --К—Б(и) ((8), Р-правило редукции для отрицания конъюнкции)

(10в) К—Б(и) ((9в), а-правило для двойного отрицания)

(11в) (Зy)[K(Уz)(Л=z=y)&Б(y) ((5), п-правило редукции, в столбце остаются формулы (7), (10в))

(12в) K(Уz)(Л=z=v)&Б(v) ((11в), 5-правило редукции для квантора существования, v - новая индивидная переменная) (13в) K(Уz)(A=z=v) ((12в), а-правило редукции для конъюнкции) (14в), Б(v) ((11в), а-правило редукции для конъюнкции) (15в) (Уz)(Л=z=v) ((13в), v-правило редукции) (16в) (Уz)(Л=z=u) ((7), v-правило редукции) (17в) (Л=и^) ((15в), у-правило редукции для квантора общности, и - произвольная индивидная переменная)

(18в) (Л=и=и) ((16в), у-правило редукции для квантора общности, и - произвольная индивидная переменная)

(19с) Л ((17в), р-пра-вило редукции для эквивалентности) (20с) (u=v) ((17в), р-правило редукции для эквивалентности) (21с) —Б(и) ((10в), V-правило редукции) (22с) Б(и) ((14в),(20с), вправило, противоречит (21с)) (*)_

(19d) -Л ((17в), Р-правило редукции для эквивалентности)

(20d) ~(и^) ((17в), Р-правило редукции для эквивалентности)

правило редукции для эквивалентности) (221) -(и=и) ((18в), Р-правило редукции для эквивалентности, противоречие)

(21f) ~Л ((18в), р-

правило редукции для эквивалентности, противоречит (19d))

(*)

(*)

(Все более сложные допустимые контексты EpS4*= строятся из рассмотренных контекстов с использованием, если необходимо, функционально-истинностных связок классической логики.)

В логике EpS4*= не доказуемы ни эпистемические аналоги формулы Баркан (т.е. формулы (Vx)KP(x) ^ K(Vx)P(x), ~K~(3x)P(x) ^ (3x)~K~P(x)), ни интуитивно парадоксальная формула K(3x)P(x) ^ (3x)KP(x). Частным случаем последней будет следующее условное суждение: «Если известно, что существует в чемпионате по футболу какой-либо победитель, то существует команда, о которой известно, что именно она является победителем», что несовместимо с честным чемпионатом. Тем не менее, логика EpS4*= не свободна от ряда достаточно хорошо описанных в литературе парадоксов «логического всеведения», даже в том случае, если использовать, как это сделано в данной работе, оператор безличного знания. Поэтому все еще остается актуальной задача построения эпистемической логики, в большей степени соответствующей нашим интуитивным представлениям о знании, чем логика EpS4*=. Один из путей решения данной задачи -использование в эпистемической логике понятий «явного» и «неявного» знания, семантика для которых предложена нами в [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ледников Е.Е. Существование и индивидные дескрипции // Логические исследования. Вып.9. М., 2002. С.113-118.

2. Ледников Е.Е. Индивидные дескрипции в эпистемических контекстах // Смирновские чтения. 4 Международная конференция. М., 2003. С.148-150.

3. Ледников Е.Е. О семантике «явного» и «неявного» знания // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра института философии РАН. Вып. XVI. М., 2002. С.75-78.

4. Whitehead A.N., Russell B. Principia Mathematica. Cambridge, 1962. P.173-186.

5. Fitting Melvin. Model existence theorems for modal and intuitionistic logics // The journal of symbolic logic. V. 36, n. 4, Dec., 1973. P.613-627.