CC BY
48
УДК 621.396.674
А.С.Запасной, В.П. Беличенко
Добротность излучения сферического излучателя
Получены соотношения для добротности излучения сферического излучателя с учетом запаса реактивной энергии внутри излучателя.
Ключевые слова: запасенные электрическая и магнитная энергии, добротность излучения, сферический излучатель, полоса согласования.
Добротность излучения имеет фундаментальное значение в теории электрически малых антенн, для которых важнейшим параметром является относительная полоса согласования. Такие антенны целиком помещаются внутри гипотетической сферы с диаметром, равным примерно X/3 и, как показал Чу [1], характеризуются достаточно высоким
уровнем рассогласования с питающим фидером, низким КПД, большой величиной добротности излучения и узкой полосой рабочих частот.
Добротность излучения антенны Q1 определяется следующим образом [2]:
Ql =
2ю We W -> W -
р (1)
^, Ж > ж;,
где Ж; — усреднённая по времени, не распространяющаяся (запасённая) электрическая энергия; Жт — усреднённая по времени, не распространяющаяся (запасённая) магнитная энергия; ю — круговая частота; Р — усреднённая по времени излучённая мощность.
Для добротности излучения были установлены [1] фундаментальные пределы, которые определяют её потенциально достижимые значения в функции от занимаемого антенной объёма. Но вопрос о том, насколько можно приблизиться к этим пределам в конструкциях реальных антенн, до сих пор остаётся открытым.
В 1996 г. Маклин [2] уточнил классическую формулу Чу для минимально возможного значения добротности ^ произвольной идеальной антенны. Идеальной называют антенну, не имеющую омических потерь, целиком вмещаемую в гипотетическую сферу электрического радиуса ka и не имеющую запаса энергии внутри этой сферы. Уточнённое выражение выглядит следующим образом:
Ql =
1 1
- + -
(2)
оЧа)3 Ча
Отметим, что и в [1], и в [2] при расчете добротности не учитывался запас реактивной энергии внутри вмещающей антенну сферы. Нами с использованием представлений для поля системы электрических и магнитных токов в сферической системе координат [3] получены общие соотношения для расчета добротности излучения произвольной антенны.
Процедура их вывода сводится к следующему. Сначала необходимо получить представления для запасённых вне сферы г = а электрической Ж; и магнитной Жт энергий. Полная энергия электромагнитного поля, содержащаяся в некотором сферическом слое а < г < Ь , может быть рассчитана по формуле
Ь л 2л г
Ж + Жт = Ц | ^|Е|2 |Н|2 Г sinedrdedф . (3)
а 0 0 ^ 4 4 ^
В (3) еа и ца - соответственно, абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости окружающей среды. Однако при Ь интеграл (3) расходится. Энергия, накопленная во всем пространстве, бесконечна, поскольку это накопление проистекало в результате бесконечно длительной работы источников поля, которые в течение любого периода колебаний излучали определенную долю энергии.
Нас, однако, интересует энергия поля, локализованного в непосредственной близости от области, занимаемой источниками. Эту энергию можно выделить из полной энер-
гии, если осуществить регуляризацию интеграла (3). Согласно этой процедуре определяется поток мощности Р излученного поля через сферу 8 радиуса г ^ ж .
Если потери в окружающей среде отсутствуют, то этот поток будет оставаться неизменным при пересечении поверхности любой сферы с радиусом г > а. Результат деления последнего выражения на скорость с распространения электромагнитных волн (в предположении её постоянства) даёт значение плотности энергии излучённого поля, проинтегрированное по сфере произвольного радиуса а < г <ж . Тогда запасённая в ближней зоне излучающей системы энергия может быть рассчитана по формуле
2л
(4)
W + wm = Jdr Jsin0 de J ¿Фr2 |E|2 H2 ПP
a Lo 0 ^ 4 4 ^ C -
Представление (4) позволяет вычислить только суммарную запасенную энергию we+ wm. Чтобы вычислить W'e и Wm по отдельности необходимо воспользоваться дополнительно соотношением
л 2л
:хн*) . (5)
0 0 4
Фактические вычисления по формулам (4), (5) сводятся к следующему. После подстановки в них представлений для компонент полей из [3] и использования свойств ортогональности экспоненциальных функций в интервале (0,2л) и присоединённых полиномов Лежандра в интервале (0,л) получаем
|2 |2\
1 / \ wm - we = Im Jdesin0 J dфa2ir (Eх H*) .
we'+wm = -Z
-Z(8a \Fnl f + ^a \Gnl f INnl х n,l '
J
[n(n +1) + (kr)2] h<2)(kr)
krhtf^kr)
- 2
(6)
dr,
где Nni =
n(n +1) (n +1)!
hi2'(kr) - сферическая функция Ханкеля второго рода, штрих
2п +1 (п -1)!
означает дифференцирование по полному аргументу, а выражения для фигурирующих в (6) коэффициентов и \ОпЛ приведены в [3].
Входящий в (6) интеграл берётся в аналитическом виде:
J
[n(n +1) + (kr)2] h^ (kr)
krh2)(kr)
- 2
dr =
= —\2ka - ka k
kahn2 (ka)
- [n(n + 1)ka - (ka)3 ] hP (ka)
В итоге получаем
we+wm Fni|2 + ^0 Gnil21 Nm х
ю n,l К Z0
\2ka - ka
\kahP (ka)
2
- [n(n + 1)ka - (ka)3 ] hP (ka)
Проводя аналогичные выкладки, находим
wm - w¿ =-i[ ^ f»i|2 - Z0 Gnil21Nm х
n,l КZ0 )
|ka[ jn (ka) + пП (ka)] + (ka)2 [ jn (ka) j'n (ka) + nn (ka)n'n (ka)]j.
(7)
(8)
Здесь jnфа), пп(ka) - сферические функции Бесселя и Неймана соответственно; Zo -
волновое сопротивление среды.
При вычитании и сложении (7) и (8) получаются общие соотношения для запасов электрической и магнитной энергий в ближней зоне произвольной излучающей системы
2
2
+
a
2
2
+
a
2
2
2
х
х
_ I И n 1 и n о l
we = -i I Q1 I \Fnl\ Nni + I Qn2 I Gni|2 Nni|
И
n 1 ,2
n=0 l=-n n
(9)
W,;=-]I Qn2 I ^^ni|2Nni + I Qn1 I Zo|Gni|2N,
■ Zo n=0 l=-n
где
Q(n1} = ka -
ra U=0 i=-nZo \3
nl I
(ka)3
2
+ (n + 1)ka
h^(ka)
(ka)3
hn+i(Aa)
+ (ka)21 2n+3 I[jn(ka)jn+i(ka) + ^(ka)nn+i(ka)],
Qn2 =ka-
(ka)3
2
h(n] (ka) - jn-1(ka) jn+1(ka) - nn-1 (ka)nn+1(ka)
Излучаемую произвольной системой токов мощность определим методом вектора Пойнтинга
л 2л
(10)
1 -2-/ \ P = - Re J J IE X H*l ir r2sin QdQdq .
2 0 0
Подставляя в (10) выражения для компонент полей из [3] и проводя необходимые вычисления, получаем
P = 2-I I \Fni\2 + Z0\Gni\2 |Nni. n=0 i=-n VZ0
(11)
Используя представления (9) и (11), можно найти добротности излучения идеальной антенны в виде сферического излучателя.
Структура поля такого излучателя исследована в [3]. В частности, приведены соотношения для коэффициентов возбуждения Fno, Gno в предположении, что поверхностная
плотность меридионального электрического тока на сферической поверхности г = а не зависит от азимутального угла.
Минимальное значение добротности излучения получается при п = 1. Оно оказывается в точности равным 01. Однако учет наличия запаса энергии у сферического излучателя в области г < а приводит к увеличению добротности на величину
Q2 = ka
kah(2)(ka)
[kaj1(ka)]
[kaj1(ka)]
l'2
(ka)2
2
- 2
j'l (ka) + j0 (ka)j'2 (ka)
(12)
Q , Q1 , Q2
10J
100
10
0.1
T
1 -2 _
3
_L
_L
_L
_L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 ka Рис. 1. Зависимость добротностей от электрического радиуса сферы ka
При ka << 1 выражение (12) перепишется в следующем виде: 02 = 1/2^а) .
На рис. 1 приведены зависимости 01 (кривая 2), 02 (кривая 3) и 0 (кривая 1) от электрического радиуса сферы ka.
Вычисление добротности с учётом добавки для интервала значений 0,2 < ka < 1 показало, что максимальное её увеличение составляет 1,47. Для сравнения отметим, что введенная Маклином поправка формул Чу привела к увеличению добротности в 1,33 раза.
2
2
+
2
2
+
Литература
1. Chu L.J. Physical limitations of omnidirectional antennas // Journal of Applied Physics. - 1948. - Vol. 19. - P. 1163-1175.
2. McLean J.S. A re-examination of the fundamental limits on the radiation Q of electrically small antennas // IEEE Trans. Antennas and Prop. - 1996. - Vol. 44, №5. -P. 672-676.
3. Марков Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. -М.: Радио и связь, 1983. - 296 с.
Запасной Андрей Сергеевич
Аспирант каф. радиофизики РФФ ТГУ
Тел.: 8-961-095-96-97
Эл. почта: zas_rff@sibmail.com
Беличенко Виктор Петрович
Д-р физ.-мат. наук, доцент каф. радиофизики РФФ ТГУ
Тел.: (382-2) 41-25-83
Эл. почта: bvp@elefot.tsu.ru
Zapasnoy A.S., Belichenko V.P. Quality factor of a spherical radiator
Expressions for quality factor of a spherical radiator, which take into account a stored energy within a radiator, are established.
Keywords: stored electrical and magnetic energies, quality factor, spherical radiator, matching bandwidth.
