Диссипативность в одной системе прямого автономного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.К. Поливенко, 2007-2008

УДК 517.925:517.934

ДИССИПАТИВНОСТЬ В ОДНОЙ СИСТЕМЕ ПРЯМОГО АВТОНОМНОГО УПРАВЛЕНИЯ

B.К. Поливенко

Получены достаточные условия ограниченности всех решений системы (А), (В) прямого управления при выполнении обобщенных условий Рауса — Гурвица (2).

Рассмотрим математическую модель объекта управления в виде системы

Xк = /к(ик), к = 1, 2,

(А)

где {х1(і),х2(і)} — вектор состояния объекта, {и1(х1,х2, і), и2(хІ5 х2, і)} — неавтономный вектор управления.

Пусть движения хк(і,і0,и0), к = 1,2, и° = {и°(х°,і°), и2(х°,і°)},

х° = {х1,х2} Є Я2 = Ох1х2 наблюдаются на промежутках I(і°) = [і°, +го) Уі° > 0

при управлении вида:

При Рк = 0 в работе [4] изучена абсолютная устойчивость системы (А).

В теории автоматического управления (регулирования) (ТАУ) (А), (В) называют системой прямого управления (регулирования) с двумя исполнительными органами /і(и1) и /2(и2).

Для системы (А) с (В) решаем задачу анализа теории автоматического управления (ТАУ): найти область 8 изменения значений параметров а, Ь, с, ё, свойства функций Рк (і) в управлениях ик, для которых система возмущения (А) диссипативна, то есть все ее решения при неограниченном возрастании времени і финально ограничены при любом выборе /к, удовлетворяющих обобщенным условиям Рауса — Гурвица.

Если множество 8 не пусто, то управления (В) называют законом обратной связи или законом регулирования. Его реализация осуществляется с помощью совокупности измерительных приборов, усилителей, преобразователей и исполнительных устройств, называемых регулятором.

Определение области 8 осуществляем на основании прямого метода Ляпунова и некоторых качественных приемов исследования диссипативности динамических систем на плоскости, которые разработаны в работах [1-4].

ах1 + Ьх2 + Р1(і), схі + ёх 2 + Р2 (і);

А = аё — Ьс = 0. (В)

В системе (А) перейдем от координат (жь x2) к координатам (u, u2); преобразование (В), осуществляющее этот переход, согласно Д = 0, является невырожденным. Новая система будет иметь вид

ui = a/i(ui) + 6/2^2) + Pi(t), (!)

U2 = c/i(Ui) + d/2(U2) + P2 (t) •

Система (1) является системой непрямого регулирования.

Будем предполагать, что функции /k(uk), pk(t), k = 1, 2 удовлетворяют следующим условиям:

I. Непрерывные функции своих аргументов.

II. Функции pk (t) и их первоообразные Pk(t) на полупрямой 0 < to < t < ограничены, то есть удовлетворяют для всех t > to неравенствам:

|pk(t)| < m, |Pk(t)| < M, k = 1, 2, m, M — const.

III. Существуют числа Uk > 0 и функции e(uk) > 0, k =1, 2 такие, что в множестве

G = {(ui,u2): |ui| >и0, |u2| >U2o}

выполняются обобщенные условия Рауса — Гурвица:

ahi(ui) + dh2(u2) < —£(ui) — £(u2), , , x fk(uk) , ,

a 7 / ли f \ \ , / \ , hk(uk) =-------- К1 >uo; (2)

Д X hi(ui)h2(u2) > e(ui) + e(U2), Uk

причем

lim uke(uk)sgnuk = +ro, k = 1, 2.

Пусть матрица B = ^ ^ устойчива, то есть

Д = det B = ad — bc > 0 SpB = a + d < 0. (3)

Замечание 1. Неравенства (3) — условия Рауса — Гурвица для двумерной линейной однородной системы х = Вх обеспечивают отрицательность вещественных частей собственных чисел матрицы В, согласно чего и условия II все решения линейной неоднородной системы

х = Вх + Р И,Р {()= (Р^))

будут ограничены при £ > £0 > 0.

Замечание 2. Если функции /к(ик) = ик, к = 1, 2, то система (А) — линейная неоднородная система, и при выполнении условий Рауса — Гурвица (3) согласно замечанию 1 эта система диссипативна.

В дальнейшем будем считать с > 0 (в противном случае этого можно добиться заменой = и, у2 = —м2.) Согласно (3) возможны случаи:

1) ав < 0, откуда в силу А > 0 и с > 0 вытекает, что Ь < 0;

2) а < 0, в < 0, ^ Ь < ат, Ь — знаконеопределено.

Из (2) и (3) следует, что функции Л.к(мк) при |мк| > Ц?, к = 1, 2, одного знака. В случае 1, не умаляя общности, будем считать:

а > 0, в < 0

(если а < 0, й > 0, то, переименовав переменные г на м2 и м2 на придем к тому же случаю).

В рассматриваемом случае из (2) следует, что в С функция ^1(и1) + ограничена сверху, а функция Л.2(м2) + — снизу.

Положим:

С1 = вир (^1(^1) + -(м1) \ ; с2 = 1п£ (^2(м2) + ,

|«1|>и° ^ а ] 2 |«2|>и| [ й ]

откуда и из первого неравенства в (2) следует, что в множестве С:

ас1 + йс2 < 0,

^1 < ^1(^1) + -(Г1) < С1, с2 < ^2(^2) + < ^2(м2), (4)

а а

причем, если с1 и с2 достигаются, то ас1 + йс2 < 0, то есть из обобщенных условий Рауса — Гурвица (2) следует ограниченность сверху функции ^1(м1) при |м1| > Ц? и снизу функции Л.2(м2) при |м2| > Ц|.

Кроме того, в случае 1) будем предполагать ограниченность сверху функции Л.2(м2) при |м2| > Ц0, то есть имеет место неравенство

^2(^2) < С2, С2 = вир . (5)

Ы>и2

Заметим, что в случае 2) это предположение выполняется автоматически при Ь > 0.

Таким образом, из (2)-(4) и предположения (5) приходим к следующим неравенствам:

{^1 (щ) < С1 |г11 > Ц?

с2 < ^2(^2) < С2 |м21 > Ц|, (5)1

ас1 + йс2 < 0.

В рассматриваемом случае с2 = 0, ибо в противном случае при с* = 0 из (5)1 следует, что в С ^1(м1) < с1 < 0, Л.2(м2) > 0, то есть функции ^1(м1) и Л.2(м2) противоположных знаков, что противоречит условиям (2) и (3).

Не ограничивая общности, будем считать с2 > 0, тогда из (2) и (5)1 следует,

что с1 > 0 и с2 > 0 [если с2 < 0, то из (5)1 вытекает, что с1 < 0 и с2 < 0 и, поменяв

местами м1 и м2, приходим к тому же случаю].

Лемма І. Если при c2 > О в множестве G выполняются обобщенные условия Рауса — Гурвица (2), (3) и (5), то имеет место нєравенство

Cl >hl(ul) >£i(ui) |uo| > U°, £i = ^ > О, (б)

при этом |hl(ul)ul| ^ при |u0 | ^ +ro.

Доказательство. В G второе неравенство в (2) перепишем в виде

h2(Ul) О^Л-оА) > e(ul).

c2

2 > c2 > О, и О < - 2“' < і при |u21 > ,

Ф^^^А > e(u0) |u01 > U°°.

Отсюда, учитывая, что 2 > c2 > О, и О < h2(u2) < І при |u21 > U2*, получим

Откуда и из (5) приходим к требуемому неравенству (6). Таким образом, в рассматриваемом случае 1):

a > О, d < О, c0 > О, c2 > О

Теорема 1. Пусть выполняются условия I-III, (3), с > 0. Тогда в случае 1 условия: (5),

aci + dc2 < 0 (7)

(если ci, с2 — достигаются ),

/i(ui) — ciui > /i(<) — ciu" < > ui (|ui|, |u"| > U°); (8)

/2(u2) — c2u2 < У2(u2) — c2u2 u2 > u2 (|u2|, |u2! > U2o) (9)

достаточны для диссипативности системы (1), а все движения системы (А) с неавтономным управлением ограничены при t ^ +го.

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию

U1

Д Г 1

Vi(ui,u2) = — |hi(ui )|uidui + -(dui — bu2)2. (10)

c2 2

o

Заметим, что при |ui| > Uf в силу леммы 1 |hi | = hi. Поэтому

V(ui,u2) > 0 при u2 + u2 = 0.

В G полную производную функции Vi(ui,u2) в силу системы (1) можно представить в виде

V^u, u2) = — hiui [(ahi + dc2)ui + pi] + (dui — bu2)(dpi — bp2). c2

Согласно лемме 1 существует Ц1 > Ц? такое, что при |м1| > Ц1 выполняются неравенства:

Ь

а.

| (ahi + dc2)ui | > (2^—J m,

1 с / л I и I Ь + а Ьс2 + йс2 , * ,

|/х(м1)| = |^1М11 >------— т >----------- — т (0 < С2 < С2).

А с2А

Тогда при |м11 > Ц1, учитывая, что й < 0, Ь < 0,

1/7 7 *\ 1 ь + а

| (ага1 + ас2)м1 + р11 > —а—т.

Поэтому в первой четверти при м1 > Ц1, м2 >

Й <

Рассмотрим при |м1| > Ц1 функцию

hiui — |dui — bu1

c2d

(b + d)m < 0, |dui — bu2| <----------------;hiui.

—c2d

(dui — bu2)2 V2 (ui,u2) = ------2--------,

для которой в силу системы (1) имеем

V/2(ui,u2) = (dui — bu2)[—hiui + dpi — bp2].

В силу выбора Uii

—hiui + dpi — bp2 > —hiui + (d + b)m > 0.

При этом

V2(ub u2) < 0 ui > и,1, (dui — bu2)u2 < 0.

Кроме того,

du2 < 0

dt

при

ui > Ui1, c2(dui — bu2) > —-/i(ui) — 2m. (11)

d

В самом деле, выбирая U2- = max{Uf, N}, где

AT , c/i(ui) +m . £ c/i(ui) — m

N = man sup ---------------—------; inf

|ui|<U:

1 —dc2 |ui|<u1 —dc2

= —-^maJ sup (/i(ui + m); inf i(/i(ui) — m) dC2 ^ |u1|<^i C M<Ui c

в силу (11), то есть м2(£) убывает в области (11).

В верхней полуплоскости плоскости 0м1м2 при м1 < Ц11,м2 > вдоль траектории /(£, £о,9о) системы (1) м2(£) также убывает, поскольку вследствие выбора Ц2 при |м1| < Ц1, м2 > Ц1

при достаточно больших м2. Поэтому траектория пересекает справа налево положительную полуось 0м2 плоскости 0м1м2.

В полосе 0 < м2 < г2, где — точка пересечения траектории м(£, £0,?о) с положительной полуосью ординат 0м2

В нижней полуплоскости рассуждения аналогичны.

Из дуг линий уровня функций V(м1,м2), г = 1, 2 и отрезков прямых, м2 = С можно построить спирали Ь, раскручивающиеся против часовой стрелки и пересекаемые траекториями системы (1) в сторону начала координат (рис. 1).

Далее, рассуждая как при доказательстве теоремы 2.2 [3], покажем, что траектории системы (1) ограничены.

Допустим, что м(£, £0,д0) — произвольная траектория системы (1), проходящая при £ = £0 через точку д0(м1,м2), уходит в бесконечность при £ ^ +го, образуя раскручивающиеся против часовой стрелки витки спирали Ь.

Пусть д1т^2, где д1(0,м/2), д2(0, м2), м2 > Г2 > Ц2, один из таких витков. Рассмотрим криволинейный интеграл

где I — замкнутый контур, образованный витком ^1т^2 и отрезком д1^2 оси ординат 0м2, и проходимый против часовой стрелки.

«2(^) = /і («і) + /і («2) < с/(«і) + + т = (с2 (/і («і) +---) < 0

с

и при «і < —иіі < 0, «2 > и2 > 0

«2(і) = сЛіиі + (Л.2«2 + р2 < 0 сЛі > 0, (с2 < 0,

гіі|и1=о < а/і(0) + Ьс2«2 + т < 0

Д/2(«і, «2) < 0 |«і|.

I = [а/і («і) + /2(^2) + Рі(і)]^«2 — [с/і («і) + (/2(^2) + Р2(і)]^Иі,

Так как интеграл I = 0 вдоль витка траектории м(£, £0,д0), то счита-

ем, что /1(0) = 0 (в противном случае этого можно добиться переносом начала координат).

I = J Ь/2(И2)^И2 + J Р1(£)^М2 > — ^2^ (и'2/2 - и'22) + ^ р^)^ > J Р2(£)4и• (12)

С другой стороны, I = 11 + 12, где

II = ^[а/!(М1) + Ь/2(^2)]^И2 - [сЛЮ + 4/2(и2)]ЙИ1,

12 = ^ Р1 (^)4И2 - Р2(£)4иь Применяя к I1 формулу Грина, получим

Il = У^а/1 (и0 + 4/2 (и2)]4и14^2, а вследствие условий (7)-(9) —

I < (ас + 4с2)£ + !2 = (ас + 4с2)£ + р1(^)4и2 — р2(^)4и1 + ^ р1(^)4и2, (13)

г,

где £ — площадь области, ограниченной витком д1тд2, /* — части витка, лежащие

внутри г-й четверти (г = 1, ••, 4).

Покажем, что для витка, достаточно удаленного от начала координат, неравенства (12) и (13) противоречат друг другу. Рассуждая как при доказательстве теоремы 1.3 [2; 3], из геометрических соображений видно, что наиболее неблагоприятным для доказательства является случай, когда вдоль рассматриваемого витка во второй (четвертой) четверти и1(^) все время убывает (возрастает), а в третьей (первой) — м2(£) сначала убывает (возрастает).

Поэтому, если мы покажем, что в этом случае виток д1тд2 не раскручивается против часовой стрелке, то в других случаях, когда вдоль витка, например, во второй (четвертой) четверти и1(^) — не все время убывает (возрастает), он и подавно не может раскручиваться.

В рассматриваемом неблагоприятном случае во второй (четвертой) четверти и2^) будет монотонно убывать (возрастать). Поэтому справедливы следующие оценки:

/р1(^)4и2 — р2(^)4и1 < —т(ит1П — <ах), (14)

J р1(^)4и2 — р2(^)4и1 < —т(итах — <т), (15)

«4

1

где иГ, <ш, итах, <ах — суть наименьшие и наибольшие значения м^) и м2(£) на рассматриваемом витке.

Далее рассмотрим третью четверть и внутри нее кривые:

(16)

(17)

(18) (19)

Согласно (3) и достаточной удаленности витка от начала координат эти кривые при щ < — и\ расположены сверху вниз в порядке возрастания номера кривой (рис. 2).

и3 /

а/\(и\) + 6/2 (и2) + т = 0,

а/\(и\) + 6/2 (и2) — т = 0, с/\(и\) + /2^2) + т = 0, с/\(и\) + ^/2(и2) — т = 0.

Ч:

\7Г^

/ ! 42 ч“. О фі

■1С

Г/і / Л ь//, / /у Г

“а 1 / /

! / / / /7 .

/ / / -« -м' и -и? «! / /7

/ / / ' / //

/// / / / / / у/= с/ Л /7

а е ^ /

/ / "'2

! ч+{1. #о,д.}2 0

1ч і (16) Л її

^ ,(17)

1 І'у-

1&аЙ \ „ (1»)

4^-

Рис. 1

Рис. 2

Вдоль траектории системы (1) абсцисса и1(^) убывает выше кривой (16), где и 1 < а/1(и1) + Ь/2(и2) + т < 0, возрастает ниже кривой (17), где и 1 > а/1(и1)+ +Ь/2(и2) — М > 0; и2(£) убывает выше кривой (18), где и2 < с/1(и1) + с/2(и2) < 0, и возрастает ниже кривой (19) (и2 > с/1(и2) + / (и2) > 0).

Следовательно, выше кривой (16) и1(^) и м2(£) возрастают; между кривыми (17) и (18) и1(^) возрастает, а м2(£) убывает.

Между кривыми (16) и (17), то есть внутри полосы

с/1(и1) + с1/2 (и.2) + т = 0 с/1(и1) + /2^2) — т = 0, где и2 (£) — убывает, имеет место неравенство

4и\

4и2

<

Между кривыми (18) и (19), где и\(£) — возрастает,

4и2

4и\

<

6

Разбивая дугу /3 траектории в третьей четверти точками (щ\,Щ,), і = 1,.., 4, лежащими соответственно на кривых (16)—(19), на части /3^, І = 1,--., 5, можно показать, что на этих дугах, где и\(£) и и2(£) изменяются монотонно, справедливы

оценки:

Р\(£)6и2 — р2(£)6и\ < т[(иО — и:) — и2]

/(!)

Р\(і)6и2 — р2(і)6и\ < т[(и\ — и:) — (и2 — и2)]

,(3)

Р\(і)6и2 — р2(і)6и\ < т(и5 — и^) —

,(8)

7(2) 7 (4)

а на дугах /3 и /3

Р\(і)6и2 — р2(і)6и\ < т ( 1 + ^ ) (и2 — и2),

,(2)

Р\(і)6и2 — р2(£)6и\ < т ( 1 + ^ ) (и4 — и\).

/(4)

Вследствие этих оценок получим

Р\(і)6и2 — р2 (£)6и\ < т

І3

Аналогично

Р\(і)6и2 — р2(і)6и\ < т

2+6)щ"“н2+з)”2

(20)

(21)

Объединяя (14), (15), (20), (21) вследствие (13), получим

I < (ас\ + 6е2)£ + т

3 + 6 } (и— — и™т)

+ / р\(і)6и2, (22)

где £ — площадь области, ограниченной контуром I. Продолжая дословно рассуждать как в теореме 1.3 гл. II [2], при достаточно большом и;2, из (12) и (22) получим неравенства

Р\(і)6и2 < I < —є + / р\(і)6и2,

3

3

3

3

3

2

2

2

которые противоречат друг другу.

Следовательно, для достаточно большого и'2 виток д1 тд2 не может раскручиваться против часовой стрелки при возрастании £. Отсюда следует, что траектории системы (1) ограничены при £ ^ +гс>.

Дальше доказывается, что каждая траектория системы (1) при £ ^ попадает в некоторую ограниченную область и там остается при дальнейшем возрастании времени £, то есть система (1) диссипативна. Что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.

В случае 2: а < 0, в < 0, обобщенные условия Рауса — Гувица запишем в виде а^1(и1) + 4^2(и2) < —е(и1), ^ Л. N _ /к(ик) |„. I ^ тта. /oo^

Л (ик) = |ик > ик; (22)

Д X ЛЦИ^^^) > £(М1), Щ

причем

Иш и1£(и1)в§пи1 = + ГО.

Откуда в рассматриваемом случае из первого неравенства в (22) следует, что ^к(ик) > 0 при |ик| > и0, к = 1, 2.

Лемма 2. Если с > 0 ив С выполнены условия (22), то в случае 2 существует число с2 > 0 такое, что

где

є1 =

hl(ul) >> є\ h-2 (U2) > c2

£(u\)

|u\ | > U-IU2I > U

(23)

c*A

c2 = inf h-2 (U2),

M>U|

причем £\(u\) > Є\ (u\) и c2 > c2.

Доказательство. В рассматриваемом случае из (23) следует, что hk (uk) > 0 при |uk| > Uf, k = 1, 2.

Полагая

c2 = inf h (м2),

M>u2°

в силу h2(u2) > 0 при |u2| > Uf имеем c2 > 0.

Допустим, что c2

22

О. Тогда существует последовательность чисел {u?,}

u

> U2O), i = 1, 2,..., такая, что при i ^ h2(u2) ^ 0. Поэтому для каждого

фиксированного м (|ui| > Uf) и достаточно большого i

Ah1(«1)h2(«,2) < ^■

(24)

Но вследствие обобщенных условий Рауса — Гурвица (23) при выбранных м1 и i

Ahi(ui)h2(u*2) >£(ui), (25)

что противоречит (24). Полученное противоречие показывает, что в случае 2 с2 > 0. Далее, переходя в (25) к пределу при i ^ го, получим неравенство

Ah1(u1)c2 > £(u1),

откуда следуют неравенства (23), причем £1 > £1, так как с2 > С2 > 0. Лемма доказана.

Теорема 2. Если с > 0, то в случае 2: a < 0, d < 0, условия I-III, (2), (3) и (5) достаточны для диссипативности системы (1).

Доказательство. 1. Пусть b>0. В этом подслучае в силу (23) выбрать U1 > U0 такое, что

du2

-г < 0

dt

в областях

u1 < — U-j1, u2 > — Uf u1 > U-j1, u2 < Uf, (26)

поскольку при

|U1| >U1, |U2| < UO (27)

в силу |u1(u1)u1| > bH+m, где H = sup|f2(u2)| при |u2| < Uf, имеем

du2

—1 < |U11 (a|h1 U1I + b|/2(u2>| + m) < 0, dt

(2B)

а при

u\ > U\\, u2 < — U20; u1 < — U11, u2 > U2o

имеем

§ < —1 “\|ЪН< О

в силу выбора U-j1 и Ъ^^) > О при |u2| > U°. Объединение областей (27) и (28) дает область (26).

Далее в силу выбора U11 и U21 (см. с. 49)

du22

—г-2 = u2(ch\u\ + dh2u2) < О dt

в областях

u\ < Ul, u2 > U\; (29)

u\ > — U-j1, u2 < — U\. (ЗО)

Кроме того, dV2(u\,u2) < О при

u\u2 > О, |u\| > U\\, |u21 > U20. (31)

Объединение областей (26), (29)—(31) содержит RC (дополнение R), где

R = {(u\, U2) : |u\| < Ul, |u2|sU2}.

Поэтому из отрезков прямых и\ = С, и2 = С, V, (и\, и2) = С можно построить семейство замкнутых кривых £, которые охватывают прямоугольник Я и пересекаются траекториями системы (1) в сторону начала координат (рис. 3).

2. Пусть Ь<0. В силу выбора и\ > к = 1, 2

У2(и\, и2) < (6и\ — 6и2)[Д^\и\ — (6 + 6)т] < 0

в областях и1 и2 < 0, |и1| > Ц1, |и2| > Щ;

< 0 при |и21 > Ц1; < 0 при и1 < — Ц1, и2 < Ц* и и1 > Ц1, и2 < — Ц*

Это позволяет из отрезков прямых К2 = С, и1 = С, и2 = С, лежащих в Яс, также построить семейство замкнутых кривых (рис. 4), как и в предыдущем случае.

Рис. З

Рис. 4

3. Пусть b=0. Вследствие (23) и с2 > 0

1 du2 £(u1) 2

2^ < -^с*-м1 + Ш|м1|^—го |м1| >U1.

Кроме того, в силу d < 0, с2 > 0 и непрерывности функции f1(u1) в любой полосе |u11 < C, где C > Uf и достаточно больших |м2|,

1 du2

2 ^ < |u2|[c|/1(u1)| + dc2 + m] < 0.

Тогда из отрезков прямых u1 = C, u2 = C можно построить прямоугольник L, окружающий множество R и пересекаемый траекториями системы (1) в начала координат плоскости 0u1u2.

Далее во всех разобранных подслучаях b > 0 и b < 0 вводим в рассмотрение функцию V(u1,u2), такую, что V(u1,u2) = а > 0 тогда и только тогда, когда точка (u1, u2) G L, где L проведена через точку (0, а). Очевидно, эта функция определена, непрерывна и положительна в RC, причем V(u1, м2) ^ при u2 + u2 ^ +го.

Вдоль траекторий системы (1) функция V(u1(t), u2(t)) монотонно убывает, так как траектории системы пересекают L снаружи внутрь и нигде не касаются ее, что следует из способа построения кривой L.

Таким образом, выполнены все условия теоремы 2.4 из работы Ю.Н. Бибикова [3]. Продолжимость решений системы (1) следует из существования замкнутой кривой L.

Теорема 2 доказана.

Замечание 3. Если в управлениях uk(x1, x2, t), k = 1, 2 функции Pk(t) имеют период и по t, то при выполнении условий диссипативности теорем 1, 2 система (1) ((А)) имеет хотя бы одно и-периодическое решение (движение).

Summary

ON THE DISSIPATION OF DIRECT CONTROL SYSTEM

V.K. Polivenko

The aim of this paper is to investigate dissipation of direct control system

X 1 = /1(u1), u1 = ax1 + bx2 + P1(t),

X 2 = /2 (u2), u2 = CX1 + dX2 + P2 (t) under the Hurwits type conditions in nonlinear case.

Список литературы

1. Бибиков Ю.Н. Исследование одной диссипативной системы второго порядка // Вестн. ЛГУ. 1963. T. 21. Вып. 4. C. 14-26.

2. Поливенко В.К. О диссипативности одной системы двух дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Минск, 1991. T. 27. Вып. 4. C. 9098. Деп. в ВИНИТИ 27.07.90, 4295-B90.

3. Поливенко В.К. Глобальное поведение решений систем дифференциальных уравнений на плоскости. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 1997. 236 с.

4. ^ливенко В.К. Абсолютная устойчивость одной системы прямого управления // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. Вып. 10. 2006. С. 43-49.