CC BY
62
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ РАЗНОСТЕЙ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Наталья Борисовна Лесных
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, профессор кафедры прикладной информатики СГГА, тел. (383)343-18-53
Владимир Евгеньевич Мизин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, старший преподаватель кафедры геодезии СГГА, тел. (383)344-36-60, e-mail: ssga221@mail.ru
В статье приведены алгоритм и результаты дисперсионного анализа разностей повторных измерений сторон полигонометрического хода при геодезическом мониторинге линейного объекта.
Ключевые слова: мониторинг, смещения, анализ, разности, дисперсия, среднее.
THE DISPERSAL ANALYSIS OF DIFFERENCES OF REPEATED MEASUREMENTS
Natalya B. Lesnykh
Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo, Novosibirsk 630108, St., Prof., department of applied information SSGA, tel. (383)343-18-53
Vladimir E. Mizin
Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo, Novosibirsk 630108, senior lecturer, department of geodesy SSGA, tel. (383)344 - 36 - 60, e-mail: ssga221@mail.ru
The article describes the algorithm and the results of the dispersal analysis. It deals with the differences of traverse sides repetitive observations, in process of linear objects monitoring.
Key words: monitoring, displacement, analysis, difference, dispersal, middle.
Линейные объекты расположены в различных природно - климатических условиях, на разных грунтах и подвергаются осадкам и деформациям. При геодезическом мониторинге линейных объектов в разные периоды времени выполняются повторные измерения на пунктах геодезической основы.
Дисперсионный анализ призван установить, принадлежат ли наблюдения различных серий опыта одной и той же нормальной совокупности. Проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий, представленных выборочными средними. Если наблюдения содержат систематические ошибки, имеет место повышенное рассеивание средних. Однако, в виду нестабильности средних, данная проверка производится сравнением дисперсий. Дисперсионный анализ позволяет выяснить, оказывает ли существенное влияние некоторый фактор F на случайную величину Х. Сравнивается «факторная дисперсия», порождаемая воздействием фактора, и «остаточная дисперсия», обусловленная действием
случайных ошибок. Можно считать, что исследуемый фактор оказывает существенное влияние на случайную величину, если различие указанных дисперсий значимо.
Будем рассматривать в качестве изучаемого фактора систематическую ошибку, возникающую от смещения пунктов геодезической основы с течением времени.
Объектом исследования будут служить разности d(I - J) четырех рядов двойных и повторных, отстоящих по времени, измерений сторон полигонометрического хода: d(1- 2), d(3 - 4), ..., d(2 - 4). Точность измерений характеризует средняя квадратическая ошибка m = 3,4 мм, полученная по
разностям двойных равноточных измерений первого цикла, и m = 3,8 мм - по разностям двойных измерений второго цикла. В значения результатов измерений второго цикла - рядов №3 и №4 внесены систематические ошибки смещения 53 и 54 (см. табл.).
Исходные для дисперсионного анализа данные - разности измерений представим в матричном виде:
^хп х12 ... х1кЛ
X=
х21 х22 ... х2к
(1)
V хп1 хп2 .. хпк У где k - количество серий опытов, п - число наблюдений.
Вычисления выполнены в системе Mathcad. Алгоритм однофакторного дисперсионного анализа представляют формулы: п
х] = 1 ху , ( = 1. 2, ..., k) (2)
1=1
- среднее арифметическое значение из п = 17 разностей измерений сторон полигонометрического хода;
— 1 к
х=г ^ (3)
к j=1
- среднее арифметическое значение результатов всех наблюдений (разностей измерений).
Для последующего вычисления дисперсий находят суммы квадратов уклонений от средних значений: к п __ 0
3 =ЕЕ (ху - X)2 (4)
j=1i=1
- «общая сумма»;
к — 2 БР = п •£ ^ - X)2 (5)
j=1
- «сумма квадратов рассеивания по факторам», т. е. за счет исследуемого фактора;
IV 11 _
БО =£ £(ху -х^2 или SO = S - SF
к п
j=1i=1
- сумма, характеризующая «остаточное» рассеивание случайных ошибок. Суммы квадратов S, SF, SO используются для вычисления дисперсий разностей d(I - J) с помощью несмещенных оценок:
где s - общая дисперсия, sf - дисперсия по факторам, so - остаточная дисперсия.
Проверка гипотезы о равенстве центров распределения осуществляется критерием Фишера:
с ^ - 1) и Цп -1) степенями свободы.
Числитель дроби Fэ учитывает систематические расхождения между центрами распределения и имеет тенденцию расти с увеличением этих расхождений.
Если вероятность достигнутого уровня значимости P(F > Fэ) мала, гипотеза о равенстве центров распределения отвергается. Для того, чтобы определить, какая из серий оказывает наибольшее воздействие, производят по -парное сравнение средних.
Результаты дисперсионного анализа «общие», для k = 6 серий опытов и парные представлены в таблице.
Установлено, что в варианте №1 систематическая ошибка смещения 5 < 2m, присутствующая почти во всех измерениях второго цикла наблюдений, обнаруживается дисперсионным анализом «общих» и парных разностей. Использовались разности d(1- 2) двойных измерений, содержащие только случайные ошибки, и разности с измерениями второго цикла наблюдений.
Вероятность достигнутого уровня значимости мала, P(F > Fэ) < 0,01. Гипотеза о равенстве центров распределения не подтверждается. Исключение составляет пара d(1- 2), d(3 - 4), для которой систематическая ошибка погасилась в разности двойных измерений.
—^ • Б, эГ=—— • БР, 80=—1------БО,
кп-1 п -1 к(п -1)
(7)
(8)
эо
Таблица. Результаты дисперсионного анализа
Критерий F «Общие» 1-2; 3-4 1-2; 1-3 1-2; 1-4 1-2; 2-3 1-2; 2-4
Вариант 1: 53(1) = - 6 мм, 54(1)= -7мм, (1 = 2, 3, . .., 16), 53(17) = 6 мм, 54(17) = 7мм.
Fэ 4,314 0,041 7,873 9,129 11,757 10,142
Р^ > Fэ) 0,0014 0,841 8,5*10-3 4,9*10-3 1,7*10-3 3,2*10-3
Вариант 2: 53(1) = - 6 мм, 54(1)= -7мм, (1 = 4, 5, . .., 16), 53(17) = 6 мм, 54(17) = 7мм.
Fэ 2,767 0,010 2,210 5,189 7,928 6,005
Р^ > Fэ) 0,022 0,920 0,147 0,030 8,3*10-3 0,020
Вариант 3: 53(1) = - 6 мм, 54(1)= -7мм, (1 = 10, 11, ..., 16), 53(17) = 6 мм, 54(17) = = 7мм.
Fэ 1,326 - 2,210 1,726 3,809 2,509
Р^ > Fэ) 0,260 - 0,142 0,198 0,060 0,123
Вариант 4: 53(1) = 54(1)= - 13мм, ^ = 10, 11, ..., 16), 53(17) = 54(17) = 13 мм.
Fэ 1,939 - 3,598 3,233 5,00 4,037
Р^ > Fэ) 0,095 - 0,067 0,082 0,032 0,053
По мере уменьшения количества смещенных измерений, результаты анализа становятся менее очевидными. В варианте 2 вероятность P(F > Fэ) оказалась незначительной только для одной пары. В «общем» исследовании и для еще трех пар она не превысила уровня значимости а = 0,05.
В третьем варианте ошибка смещения не обнаружена.
Четвертый вариант (3m < 5 < 4m) - P(F > Fэ) < 0,05 только для одной пары разностей. Сыграла роль не столько величина систематической ошибки смещения, сколько степень ее распространения на объектах анализа.
Таким образом, разности повторных измерений могут быть использованы для выявления систематических ошибок смещения пунктов геодезической основы при мониторинге линейных сооружений. Дисперсионный анализ этих разностей позволяет установить факт наличия систематических ошибок в результатах повторных измерений.
Рекомендуется использовать пары, содержащие случайные разности измерений первого цикла и разности, образованные с повторными, отстоящими по времени измерениями.
Вероятность достигнутого уровня значимости, не превышающая значениеа = 0,05, может указывать на наличие систематических ошибок смешения.
Производство вычислений в системе Mathcad определяет надежность и простоту решения.
Приведем программу подобного расчета для условного примера:
к := 2 п := 3 1:= 0..(п -1) -:= 0..(к -1)
'1 0' ' 21
п —1Х: :
х := 2 1 х1 := X —— х1 = ч1 ,
3 2 V3 2 1=0 п
к-1x1:
X := X —- X = 1.5
Н> к
к—1 п—1 ^ к—1 ^
8:= X X (ху — X)2 8Б:= п • X (х1: — X)2 БО := Б - ББ
-=01=0 , -=0
Б = 5.5 ББ = 1.5 БО = 4
8 _ 8Б 80 ^ бГ
8:=----------- 81:=-------- бо:=---------------------------- Б:=—
к • п—1 п — 1 к • (п — 1) бо
б = 1.1 sf = 0.75 БО = 1
Б = 0.75 1 — рЕ(Б,к — 1,к • п — к) = 0.435
Здесь обозначено: х1- = Х-, X=X .
Вероятность Р(Б > Бэ) получена с использованием стандартной функции системы МаШсаё 1 — рБ(Б, к — 1, к • п — к) .
© Н.Б. Лесных, В.Е. Мизин, 2012
