Дислокационная макроскопическая модель клиновидного двойника Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 548.0

ДИСЛОКАЦИОННАЯ МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЛИНОВИДНОГО ДВОЙНИКА

О. М. ОСТРИКОВ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

Представленная в работе [1] дислокационная модель механического двойникования обладает существенным недостатком, заключающимся в том, что она позволяет рассматривать механизм двойникования кристаллов в приближении тонкого двойника, когда границы двойника рассматриваются как простое скопление дислокаций в виде дислокационной цепочки. При этом нет возможности рассматривать поля напряжений внутри двойника и изучать роль формы двойниковой границы на напряженное состояние и физические процессы у двойника.

В работах [2]-[5] двойниковая граница рассматривалась на таком масштабном уровне, на котором возможен учет расстояния между двойникующими дислокациями. Однако в этом случае возникают трудности моделирования дальнодействующих напряжений у наиболее часто встречающихся на эксперименте двойников, так как затруднительно суммирование напряжений от большого числа дислокаций, составляющих двойниковую границу. Частично этого недостатка лишена модель, приведенная в [1], так как в ней осуществлен переход от дискретного к непрерывному распределению дислокаций вдоль двойниковой границы. Использование моделей, разрабатываемых в [2]-[5] также затруднительно и в случае двойников со сложной формой их границ.

Таким образом, в настоящее время в дислокационной теории двойникования существует проблема в выработке такой модели двойника, которая при непрерывном распределении двойникующих дислокаций вдоль двойниковых границ с заданной плотностью распределения позволяла бы учитывать форму двойниковой границы. Решение этой проблемы представляется актуальным и целесообразным.

Целью данной работы и стала разработка такой дислокационной модели двойника, которая не требовала бы использования приближения тонкого двойника, и которая рассматривала бы двойник на таком масштабном уровне, когда возможен переход от дискретного к непрерывному распределению двойникующих дислокаций вдоль двойниковых границ с учетом их формы.

В данной работе рассмотрим клиновидный двойник в объеме вдали от поверхности двойникующегося материала. Такие двойники обычно зарождаются у концентратора напряжений, который пусть в нашем случае находится в точке O (рис. 1). В нашей задаче не будем учитывать напряжения, которые создает данный концентратор напряжений. В общем случае в плоскости XOY форма границ клиновидного двойника описывается функциями f1(xo) и ^^о) (рис. 1). Пусть дислокации на данных границах параллельны друг другу и оси OZ, перпендикулярной плоскости (рис. 1). Плотность двойникующих дислокаций на границах клиновидного двойника равна р1 и р2. Тогда напряжения, создаваемые рассматриваемым клиновидным двойником, могут быть определены из формулы

ау- (^ У) = о(1) (^ у) + а(2) (^ у), (1)

где

а(1) = |р,а

|р!а (1,0) ^; (2)

ЬЛБ

0(2) = |Р2а 1,2’0)^ . (3)

2 ЬСБ

Здесь а(1) и а(2) - напряжения, создаваемые каждой из границ клиновидного

двойника и определяемые с помощью криволинейного интеграла вдоль профилей

двойниковых границ Ьлв и ЬсБ, соответственно (рис. 1); а(10) и о(2,0) - напряжения,

создаваемые на двойниковых границах отдельными дислокациями. Криволинейные интегралы (2) и (3) сводятся к определенным интегралам типа

ь

а (1) (x, у) = {л/1+Ш хо))2 р1(хо)а ?,о) (x, y, хо )йХо; (4)

о ь

а(2) (x, У) = {л/ 1 + (Л'(хо))2 С 2 (хо )а(,2’0) (X y, хо )dx0 , (5)

где Ь - длина двойника, равная длине отрезка ОБ (рис. 1).

Выражения (4) и (5) в совокупности с (1) полностью определяют напряжения, создаваемые клиновидным двойником с формами границ, описываемых функциями У1(хо) и А2(хо) на масштабном уровне, когда распределение двойникующих дислокаций на двойниковых границах можно считать непрерывным с плотностями р1(хо) и р2(хо).

Рис. 1. Схематическое изображение клиновидного двойника

Так как двойникующие дислокации являются частичными дислокациями [2], [3], то их вектор Бюргерса имеет винтовую (¿в) и краевую (¿кр) составляющие. Тогда напряжения, создаваемые единичной двойникующей дислокацией, находящейся на одной или другой двойниковой границе, соответственно, при условии нахождения двойника вдали от поверхности, могут быть определены из соотношений:

а(1,0) = ^кр (у - У1(хо ))[3(х - хо)2 + (У - У1 (хо ))2]

2^(1 -У) [(х - хо)2 + (у - У1(хо))2]2

a(1,0) _ (y - f1 (x0 ))[(* - *o)2 - (y - f1 (x0 ))2 ]

yy 2л(1 -v) [(X - *o)2 + (y - fi( *o))2]2

a

(1,0) _ кр

^bKp (X- X0)[(X- X0)2 - (y - fi(x0))2]

xy

22

2^(1 -v) [(x - x0) + (y - fi(x0)) ]

a

(1,0) _ МЬкрv

(y - f1(X0))

_(1,0) _ mA,

a zx _ -

л(1 - v) (x - Xo f + (У - f (Xo ))2 (У - f1(X0))

2л (x - x0) +(y - f1(x0))

_(1,0) _ MbB

zy

x - x„

a

(2,0) _

a

2Л (x - x0) + (y - f1(x0))

MbKp (y - f 2 (x0 ))[3(X - X0)2 + (y - f2 (X0))2]

2ТС(1 -v) [(x - x0)2 + (y - f2(x0))2]2

МЬкр (y - f2 (X0 ))[(X - X0)2 - (y - f2 (X0 ))2 ]

(2,0) кр

yy

22

2^(1 -v) [(x-X0) + (y-f^)) ]

20

MbKp (X - X0 )[(X - X0)2 - (y - f2(X0))2]

a

a

2л(1 - v) [(x - X0)2 + (y - f2 (*0 ))2]2

(2,0) _ МЬкрv (y - f2(x0))

л(1 -v) (x - x0)2 + (y - f2(x0))

a

(2,0) _

МЬв

(y - f2(x0))

a

2л (x - x0) + (y - f2(x0))

(2,0) _ VAl_____________(x - x0)_____________

2ТС (x - x0)2 + (y - f2(x0))2

(7)

где m - модуль сдвига; v - коэффициент Пуассона. Принималась представленная на рис. 1 ориентировка винтовой и краевой составляющих вектора Бюргерса.

В данной работе рассмотрим случай, когда р1 = р2 = р = const. Примем также еще одно допущение, касающееся формы границ двойника. Пусть границы двойника будут прямолинейными, и двойник будет иметь форму равнобедренного треугольника ABC (рис. 1) с шириной у устья (отрезок AC) равной H. Такие двойники часто встречаются на эксперименте (рис. 2) и, как правило, характеризуют начальную стадию развития клиновидных двойников в бездефектной области кристалла. Данные двойники также могут образовываться у концентратора напряжений в объеме материала, например, при пропускании через него импульса электрического тока, приводящего к разрядке напряжений у концентратора напряжений путем образования двойника [6]. В рассматриваемом случае будем иметь:

н Г

f1(x0) _ —

(8)

zz

xx

zz

н Г

Л( Х0) = - —

! Х0

1 - Т,

,Рмс. 2. Клиновидные двойники, имеющие вид равнобедренных треугольников. Снимок сделан с помощью электронного микроскопа NANOLAB-7

При этом (4) и (5) примут вид

О(1)( х У) = Р-

1+(2Т, о (10)( х’ У’ хо^хо;

(9)

(10)

О «Ч х’ У) = Р

1+(2Т, 0О (2’0)( х’ У’ хо)^хо-

(11)

Результаты расчетов представлены на рис. 3. При этом для удобства вычислялись

/- / ч О ,, (х, У)/

безразмерные величины -п.,(х,у) = 1 / (0) , где

/ о г,

- Г =

р, 1 + (н/2Т )2 Т .

(12)

= А = А = ^ гг 2л(1 -V)’ гх * 2 л

Распределение п,(х,У) имеет такой же вид, как и о,(х,у). Различие заключается в численных значениях. Однако случай п, (х, У) является более общим и не требующим учета численных значений констант А,, которые для физического анализа не дают

существенной информации.

На рис. 3 четко прослеживаются двойниковые границы, являющиеся концентраторами напряжений. Это указывает на правомерность используемого в модели подхода. В отличие от существующих в настоящее время дислокационных моделей, использующих приближение тонкого двойника, в нашем случае возможно детальное рассмотрение области внутри клиновидного двойника и возможен расчет в ней напряженного состояния.

а)

у, мкм

-3,8

-50 0

б)

б)

д)

Рис. 3. Распределение Лу- (X У) : а - (x, y) ; б - ^ (X У) ; в - Лyy (X У) ;

г - лгг (x у) и л Zx(x у); д - л zy(x у)

Большая концентрация напряжений в основном наблюдается и у вершины клиновидного двойника. Численные значения этих напряжений могут быть найдены из (1), (10) и (11) при x = y = 0.

Нормальные напряжения axx знакопеременны по отношению к направлению развития

двойника, совпадающим с направлением оси OX. В положительном направлении оси OY данные напряжения отрицательны, а в отрицательном направлении оси OY -положительны (рис. 3, а). Таким образом, у одной из границ клиновидного двойника напряжения axx сжимающие, а у другой - растягивающие. Максимальные значения axx

принимают на границах двойника, причем в большей степени в средней их части, чем у вершины двойника.

Скалывающие напряжения axy знакопеременны по отношению к оси, параллельной

оси OY и проходящей через середину двойника (точку L/2 на оси OX). У вершины двойника данные напряжения положительны, а у устья - отрицательны (рис. 3, б). В средней части двойника напряжения axy минимальны.

Распределение нормальных напряжений ayy представлено на рис. 3, в. Они

положительны в первой и третьей четвертях плоскости XOY и отрицательны - во второй и четвертой. Это приводит к балансировке напряжений у вершины двойника и сравнительно невысоким их значениям у устья (рис. 3, в).

Напряжения azz и azx имеют одинаковую конфигурацию (рис. 3, г) и отличаются лишь по величине. Данные напряжения отрицательны в первой и второй четвертях плоскости XOY и положительны - в третьей и четвертой. Это приводит к концентрации напряжений у границ двойника. В данном случае знак напряжений у границ двойника различен.

Напряжения а^ (рис. 3, д) меняют знак, как и напряжения а , однако у данных

напряжений несколько различна конфигурация.

В качестве примера, демонстрирующего возможности разрабатываемой модели в рассмотрении напряжений внутри двойника, рассмотрим распределение цхх (х, у) внутри

клиновидного двойника с линейными границами. Данное распределение представлено на рис. 4. Видно, что напряжения внутри клиновидного двойника распределены неравномерно, однако они симметричны относительно оси ОХ.

Рис. 4. Распределение ц (х, у) внутри клиновидного двойника

Таким образом, разработана макроскопическая дислокационная модель клиновидного двойника, позволяющая учитывать особенности форм их границ в расчетах полей напряжений. Впервые клиновидный двойник не рассматривается в приближении тонкого двойника, что дало возможность рассмотреть напряжения внутри двойника без исключения макроскопического подхода.

Литература

1. Косевич, А. М. Дислокационная теория упругого двойникования кристаллов / А. М. Косевич, В. С. Бойко // Успехи физических наук. - 1971. - Т. 104, № 2. - С. 101-255.

2. Остриков, О. М. Напряженное состояние у вершины клиновидного двойника / О. М. Остриков // Механика твердого тела. - 2004. - № 2. - С. 104-113.

3. Остриков, О. М. Напряженное состояние у клиновидного двойника при дисбалансе плотностей двойникующих дислокаций / О. М. Остриков // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - Т. 43, № 4. - С. 180-182.

4. Савенко, В. С. Влияние электрического тока на распределение примесей у двойниковой границы / В. С. Савенко, О. М. Остриков // Известия вузов. Сер. Черная металлургия. -1998.- № 6.- С. 12-14.

5. Савенко, В. С. Поля напряжений у границы клиновидного двойника / В. С. Савенко, О. М. Остриков // Письма в журнал технической физики. - 1997. - Т. 23, № 22. - С. 1-6.

6. Остриков, О. М. Влияние импульсного электрического тока большой плотности на особенности двойникования монокристаллов висмута / О. М. Остриков // Физика и химия обработки материалов. - 2003. - № 1.- С. 12-15.

Получено 12.01.2006 г.