Дискретные и непрерывные математические модели в преподавании математики в среднем профессиональном образовании Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 372.851

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

В СРЕДНЕМ ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ ОБРАЗОВАНИИ

© 2013 И. В. Турбина

соискатель каф. математического анализа и методики его преподавания, доцент каф. естественнонаучных и математических дисциплин НОЧУВПО «Гуманитарный институт им. П.А. Столыпина» e-mail: zinukovaa,yandex.ru

Институт математики и информатики Московского городского педагогического университета

В статье исследуется вопрос о реализации пропедевтических связей дискретных математических моделей (таблица, диаграмма) с непрерывными математическими моделями (функция, производная) в преподавании математики в системе среднего профессионального образования.

Ключевые слова: среднее профессиональное образование, федеральный

государственный образовательный стандарт, дискретные математические модели, непрерывные математические модели, пропедевтика.

1. Последнее время на государственном уровне уделяется особое внимание развитию среднего профессионального образования, так как во многих регионах Российской Федерации существует проблема острой нехватки специалистов среднего звена. Осуществляется модернизация системы начального профессионального и среднего профессионального образования, разрабатываются и внедряются новые образовательные стандарты1.

Однако возможность адекватной реализации требований как старых, так и новых государственных образовательных стандартов среднего профессионального образования продолжает традиционно вызывать множество вопросов [Турбина 2007]. Например, в государственных стандартах для большинства экономических специальностей в курс математики, на который отводится в среднем 50-60 часов аудиторной нагрузки, включены основы линейной алгебры и аналитической геометрии, основы математического анализа, иногда основы теории вероятностей и математической статистики. При этом сформулированные в стандарте компетенции, которые необходимо сформировать средствами дисциплины, представляют собой навыки расчета экономических величин (подстановка значений переменных в формулу)2.

В процессе обучения математике будущих специалистов среднего звена в области экономики и управления возникает еще больше проблем, так как учащиеся имеют достаточно слабую математическую подготовку, как правило гораздо худшую, чем у студентов вузов. Это связано прежде с тем, что общеобразовательную программу 10-11 классов школы в учреждениях среднего профессионального образования

1 Официальный сайт Федеральной целевой программе развития образования на 2011-2015 гг. URL: http: //www .fcpro. ru/

2 Федеральный государственный образовательный стандарт среднего профессионального образования по специальности 120714 Земельно-имущественные отношения от 23.06.2010; Федеральный государственный образовательный стандарт среднего профессионального образования по специальности 080110 Банковское дело от 24.06.2010

осваивают за один год. Например, по результатам опросов, проводимых в начале освоения программы профессиональной подготовки, решить квадратное уравнение может лишь половина студентов, а построение графика любой, даже линейной, функции является сложным заданием примерно для двух третей учащихся. Естественно, что в такой ситуации выполнение требований стандарта крайне затруднительно.

Следствием такого положения дел является то обстоятельство, что само априорное отношение учащихся к непрерывным моделям достаточно негативное. В то же время к таким темам дискретной математики, как графы, комбинаторика, математическая логика, основы теории вероятностей и математической статистики, как показали результаты опросов, учащиеся относятся с большим вниманием и лояльностью [Турбина 2010]. Материал признается легким или средней сложности, отмечаются его прикладная значимость и интерес к нему.

Таким образом, на лицо противоречие между требованиями стандарта, относящимися к тематическому содержанию, которые, в основном, ориентированы на изучение непрерывных моделей и реальным уровнем подготовки учащихся СПО, базирующимся на использовании дискретных математических моделей.

2. В настоящей статье показаны некоторые способы перехода от дискретных математических моделей к непрерывным. Как показывает практика преподавания, восприятие дискретных моделей (таблиц, диаграмм, схем и т.п.) редко вызывает серьезные трудности, а их систематическое использование в обучении позволяет реализовать пропедевтическую связь с базовыми непрерывными математическими моделями, в частности с основными свойствами функций (монотонность, экстремумы и т.п.). Рассмотрим пример.

Пример 1

На диаграмме 1 показана динамика курса доллара США в рабочие дни за ноябрь 2012 года. Найдите все дни из данного периода, когда

1) курс повысился по сравнению с предыдущим днём;

2) курс понизился по сравнению с предыдущим днём;

3) курс повысился по сравнению с предыдущим днём, но понизился на следующий день;

4) курс понизился по сравнению с предыдущим днём, но повысился на следующий день.

31.8 -

і ИІІІІІІ..

31,2 31 30.8 30,6 30,4 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Диаграмма 1. Динамика курса валюты доллар США за ноябрь 2012 года

Данная диаграмма является конечной дискретной моделью. Ее анализ можно осуществить за счет элементарного перебора. При этом формируются первоначальные представления о возрастании (см. А) и убывании (см. Б) функции, о точках локального экстремума (см. В, Г). Дальнейший анализ данной диаграммы (отыскание подряд идущих четырех дней, когда курс доллара увеличивался по сравнению с предыдущим днем, дня, когда курс доллара за данный период был наибольшим и наименьшим, и т. п.) является пропедевтикой изучения понятий промежутков монотоности, наибольшего и наименьшего значений и точек глобального максимума и минимума функции на интервале.

Далее полезно обратить внимание учащихся на пятый и двадцатый дни. Из диаграммы видно, что значение курса доллара на пятый день (точка локального минимума) выше, чем на двадцатый день (точка локального максимума). Таким образом, учащиеся усваивают тот факт, что значение функции в точки локального минимума может быть выше, чем в точке локального максимума.

Разумеется, данный пример не единственный и на диаграммах можно изучать не только возрастание-убывание, но и другие свойства функций. Так, в примере 2 студенты, оценивая конечный финансовый результат деятельности организации за 2008 и 2009 года (данные условные) (диаграмма 2), должны выписать периоды, когда сальдо прибылей и убытков было положительным (прибыль) и отрицательным (убыток). То есть на данном примере учащиеся, по сути, определяют интервалы, где функция принимает положительные и отрицательные значения.

Диаграмма 2. Сальдо прибылей и убытков организации за 2008 и 2009 годы, тыс. руб.

В дальнейшем при решении аналогичных задач и при уменьшении шага интервала и увеличении их количества возникает более точное визуальное представление о функции и, соответственно, о ее свойствах. Получается, что с помощью элементарных упражнений анализа дискретных моделей учащиеся начинают осваивать довольно сложный материал, связанный уже с непрерывными моделями.

Одним из наиболее адекватных целям преподавания для экономических специальностей дискретных моделей являются таблицы, так как реальные социально-

экономические явления, как правило, описываются функциями, заданными таблицей. Приведем пример.

Пример 3

По данным таблицы 1 построить графики спроса и предложения на мороженое разной ценовой категории.

1. Определить, при какой цене значение спроса будет равняться 14.

2. Определить, при какой цене значение предложения будет равняться 15.

3. По графику определить равновесную цену, интервал цен, при котором образуется ситуация дефицита и затоваривания.

4. Сформулировать закон спроса: чем цена больше, тем спрос ________________.

Сформулировать закон предложение: чем цена больше, тем предложение

________________________________________________________ Таблица 1

Цена, р. Спрос, шт. Предложение, шт.

8 15 2

9 13 5

10 12 8

11 9 11

12 7 13

13 6 14

14 3 16

15 1 17

В данном примере рассматривается актуальная для данных специальностей экономическая модель зависимости спроса и предложения от цены. В процессе решения студенты работают с моделью сначала на дискретном уровне (таблица значений и точки на координатной плоскости), а затем на непрерывном (графики зависимостей), то есть здесь осуществляется переход от дискретной модели к непрерывной. При этом мотивируется введение понятия «функция», формируются представления о ее свойствах (таблица значений, монотонность).

В следующем примере также с помощью таблицы (табл. 2) на дискретном уровне рассматриваются основные понятия маржиналистской экономической теории, исследующей закономерности экономических процессов на основе использования предельных величин (предельный доход и предельные издержки).

Пример 4

Рассчитать доход, предельный доход (изменение дохода при производстве дополнительной единицы товара), предельные издержки (изменение издержек при производстве дополнительной единицы товара), прибыль. Определить оптимальное количество товара, при котором прибыль максимальна. Построить графики зависимостей дохода, издержек и прибыли от количества товара.

Таблица 2

Кол-во товара, шт. Цена, р. Доход, р. Предельный доход Издержки, р. Предельные издержки Прибыль, р.

1 2 3 II 2 4 5 6 7=3-5

0 500 - 120 -

1 500 420

2 500 780

3 500 1200

4 500 1700

5 500 2220

В данном примере предельный доход и предельные издержки вычисляются в таблице пошагово с помощью арифметических действий. При этом если рассматривать данную ситуацию на уровне непрерывной модели, то данные величины будут, по сути, являться производными от функциональных зависимостей дохода и издержек от цены. То есть с помощью этого задания осуществляется пропедевтика не только понятия «функция», но и понятия «производная функции». Кроме того, учащиеся самостоятельно формулируют один из основных законов данной экономический теории: уровень оптимального производства определяется равенством предельного дохода и предельных издержек.

Выполнение комплекса заданий, подобных вышеприведенным, не только позволяет осуществить переход к изучению базовых непрерывных моделей, но и усиливает прикладную направленность обучения математике, так как все задания являются практико-ориентированными. А форма подачи материала в виде таблиц и статистических диаграмм устанавливает межпредметные связи между математикой, информатикой и статистикой [Турбина 2011].

Таким образом, систематическое использование в обучении дискретных моделей способствует улучшению процесса освоения непрерывных математических моделей, что позволяет добиться выполнения требований стандарта, а также формирует у студентов необходимые в будущей профессиональной деятельности навыки анализа профессионально значимой информации.

Библиографический список

Турбина И. В. Г осударственные образовательные стандарты среднего профессионального образования // Математика в школе. 2007. №3. С. 48-50.

Турбина И. В. Межпредметные связи в преподавании математики и информационных технологий в системе СПО // Вестник МГПУ. 2011. №1. С. 81-88.

Турбина И. В. Об элементах математической логики в курсе математики для студентов социально-экономического профиля в системе СПО // Наука в вузах: математика, информатика, физика, образование. М.: МПГУ, 2010. С. 396-399.