Дискретные аналоги потоков обратной средней кривизны для строго выпуклых многоугольников Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.742.45

ДИСКРЕТНЫЕ АНАЛОГИ ПОТОКОВ ОБРАТНОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ ДЛЯ СТРОГО ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

А. В, Винокуров, Э, И, Шамаев

В статье предложен дискретный аналог потока обратной средней кривизны для замкнутых ломаных — многоугольников; также в работе показаны некоторые свойства этого потока.

Напомним, что потоком обратной средней кривизны или потоком радиуса кривизны называется семейство регулярных замкнутых кривых f : S1 х [0, T] ^ R2, удовлетворяющих уравнению -g-f- = JfNs> Р G S ' 1 G

где Ns — нормаль, Hs — кривизна кривой в точке p £ S1. Такой поток был применен Хуискеном и Илманеном в пространстве большей размерности для доказательства неравенства Пенроуза в теории гравитации [1]. Впервые для этих целей был предложен Герохом [2]. Определим дискретные кривизну и нормаль.

Определение 1. Пусть Л — произвольная ломаная с тремя последовательными вершинами A, B и C. Обозначим через r радиус окружности, описанной около треугольника ABC, пусть O — центр этой окружности. Кривизной H, радиусом кривизны R и нормалью N B

H = ±-, R=±r, N=±—^—OB, г' ' \ОВ\

© 2009 Винокуров А. В., Шамаев Э. И.

где знаки выражений выбираются в зависимости от обхода ломаной.

Далее вместо «окружность, описанная около треугольника ABC» будем говорить «окружность ABC».

Дадим определение дискретному потоку обратной средней кривизны для многоугольников.

Определение 2. Пусть е — неотрицательное действительное число. Отображение Fe, сопоставляющее многоугольнику A A • • • An—, n ^ 3, многоугольник BB • • • B„_i по следующему правилу:

AkBk = ejjN, k = 0, n — 1,

где H — кривизна ломаной в точке Ak, называется потоком обратной средней кривизны для многоугольников.

Другими словами, для 0 ^ k < n вершине Ak соответствует точка Bk такая, что OBk = (1 + e)OAk, где O — центр окружности As— AfcAfc+i •

В данной статье доказана следующая

Теорема 1. Рассмотрим строго выпуклый многоугольник Л с наименьшим радиусом кривизны Дт;п(Л) >0, конечным наибольшим радиусом кривизны Дтах(П) и наименьшей стороной /тт(П) > 0-

Тогда существует ео такой, что Fe(fí) существует н справедливы неравенства

U „(Fe(n) + e)/min(íí), (1)

ñrni„(Fe(n) + e)ñmin(Q), (2)

ñrnax(Fe(n)) ^ (1 + е)Дтах(П) (3)

для всех е £ [0; ео^

Данная теорема доказана с целью приблизиться к доказательству следующего утверждения.

,

е

lim HmO,Fe(Fe(• ••Fe(Q) ••0)),

ra—>-oo y >

v

m раз

где Нт(0, •) — гомотетия с коэффициентом ^^^ и центром в про-O,

окружность многоугольником.

Доказательство теоремы 1. Пусть I = {1,2,... ,n}. Обозначим вершины n-угольника П через Ai, i £ I, радиус кривизны в вершине Ai, i £ I, — через R^, длину отрезка AiAi+\, i £ I, — через li или 1ДП). Здесь и далее индекс i+í означает индекс вершины, следующей за вершиной Ai.

Вершины Fe(n) обозначим через Bi, i £ I-, R¿(Fe(fí)) — радиус кривизны в вершине Bi £ Fe(fí), i £ I; k(Fe(fí)) — длина отрезка BiBi+1, i £ I.

ABC

,

AB BC

точках Ae и CE таких, что выполнено равенство векторов §АВ = ВАе и §СВ = ВСе, является образом В £ П при отображении Fe.

Доказательство. Пусть Ма и Mc — середины ст орон AB и BC

O ABC

ем перпендикуляров к AB и BC, проходящих через Ма и Mc. Образ точки B при потоке Fe обозначим ч ерез FE( B). Эта точка определяется с помощью следующего векторного уравнения BF£(B) = eOB. Тогда поворотная гомотетия с центром в точке B, углом поворота п и коэффициентом гомотетии е отображает точки O, Ма и Mc в точки Fe( B), Ae и Ce соответственно. Теперь ясно, что FE( B)Ae и FE( B)Ce AB BC

Лемма 2. Для выпуклого многоугольника П н любого е > 0 справедливо равенство

k (Fe(Ü)) = у/(1 + е)2 + Sl(Ri, Ri+1,h(П))е2 k(Ü), i £ I,

где функция si : М3 ^ М определена следующим образом:

в1(д,г>о=([f^-f^j •

Доказательство. Пусть i G I произвольное. Обозначим через CiTn Ci+i образы Ai и Ai+i при гомотетии с центром в середине Ai Ai+i с коэффициентом 1 + е. По лемме 1 треугольники BiCiAi и Bi+iCi+iAi+i являются прямоугольными. При этом гипотенузы Ai Bi = eRi и Aj+iBj+i = eRi и катеты AjCj = Aj+iCj+i = ^e/j. Следовательно, длины катетов равны

В& = у4Щ-11 Bi+1Ci+1 = yARf+1-ll г Gl. Теперь осталось найти гипотенузу BiBi+i:

ВД+i = 01 + е)2 + I (У4Д? - ? - - ге/-

Лемма доказана.

Поскольку функция si не принимает отрицательных значений, из леммы 2 следует справедливость неравенства (1) теоремы.

Докажем оставшиеся два неравенства теоремы. Рассмотрим радиусы кривизны Ri(Fe(fi)), R2(Fe(fi)), ... , Rn(Fe(fi)) как семейство функций от е. Ясно, что каждая из этих функций и, следовательно,

Rmin (Fe(fi)) = m ax{Ri(Fe(fi)),... ,Rn( Fe(fi))}, Rmax(Fe(n)) = m in{Ri(Fe(n)),..., Rn{ Fe(0))}

непрерывно зависят от е. В силу непрерывности функций Ri(Fe(fi)), R2(Fe(fi)), ... , Rn(Fe(fi)) от е существует отрезок е G [0,ео], на котором

Rmin (Fe(fi)) = Ri(Fe(Q)) и Rmax (Fe(Q)) = R,(Fe(fi))

для некоторых i, j G I. Очевидно, что существует ео > О такое, что многоугольник Feo (Л) является строго выпуклым. Докажем неравенства

, е .

Рассмотрим пять последовательных вершин ABC DE многоугольника П, где точка C имеет наименьший радиус кривизны Дт;п(Л). Обозначим окружность, описанную около BCD через S. Образ окружности S при гомотетии с коэффициентом 1 + е и центром в центре окружности S обозначим через S'.

Пусть образы вершин A, B, C, D и E при отображении Fe — точки A', B', C', D' и E' соответственно. Из определения потока обратной средней кривизны следует, что C' лежит на S'.

Покажем, что B' лежит на S' или вне нее. Центр окружности, описанной около ABC, лежит на серединном перпендикуляре BC. 06-

BC

центром в B, коэффициентом £ и углом поворота п является перпендикулярная к BC прямая т, проходящая через ближайшую к B точку S'. По лемме 1 точка B' лежит та прямой т. Расположение точки B' па т ABC

ность BCD имеет минимальный радиус, то B' лежит на т на S' или вне нее.

Рассмотрим симметричную задачу, где также легко показать, что точка D' лежит вне или на окружности S'. Теперь, поскольку C' лежит на S' и точки B' и D' лежат вне S', кроме того, O', B' и D' лежат от касательной окружности S' в точке C' в одной полуплоскости в силу ограничения £ < £q, радиус окружности, описанной около B'C'D', больше (1 + £)ñm¡n(n). Неравенство (2) доказано.

Рассмотрим пять последовательных вершин ABC DE многоугольника П, где точка C имеет наибольший радиус кривизны Дтах(Л).

S BCD

1 + £ с центром в центре окружности BCD.

Пусть образы вершин A, B, ... , E при отображении Fe — точ-A , B , . . . , E C

BCD. Покажем, что B' лежит па S'' или вне нее.

ABC,

перпендикуляре BC. Образом серединного перпендикуляра BC при по-

воротной гомотетии с центром в B, коэффициентом е и углом поворота п является перпендикулярная к BC прямая т, проходящая через ближайшую к B точке S''.

Таким образом, точка B' лежит на прямой т внутри S''. Расположение точки B' на т зависит от радиуса окружности ABC монотонно. Поскольку окружность ABC имеет максимальный радиус, то B' лежит на т на S' ' или внутри нее.

Рассматривая симметричную задачу, можно показать, что точки D' и C' лежат на окружности S' ' или внутри нее. Теперь, поскольку C' лежит на S' ' и точки C и D' лежат внутри S'', радиус окружности, описанной около B'C'D', меньше (1 + е)Дтах(П). Таким образом, для е € [0;е0] ^^^^тана (1 + е)Дтах(П) больше ), что и означает

справедливость неравенства (3). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Huisken G., ¡Imanen Т. The Riemannian-Penrose inequality // Intern. Math. Res. Not. 1997. V. 20. P. 1045-1058.

2. Gerocb R. Energy extraction // Ann. New York Acad. Sei. 1973. V. 224. P. 108117.

г. Якутск

19 февраля 2009 г.