Дискретность спектра оператора Шредингера и преобразование метрики многообразия Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

DOI: https://doi.oгg/10.15688/jvolsu1.2016.5.9

УДК 517.984 ББК 22.162

ДИСКРЕТНОСТЬ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕТРИКИ МНОГООБРАЗИЯ 1

Андрей Владимирович Светлов

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры математического анализа и теории функций, Волгоградский государственный университет andrew.svetlov@volsu.ru, matf@volsu.ru

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. В работе исследуется дискретность спектра оператора Шре-дингера на простых искривленных произведениях порядка к при специальном квазиизометричном преобразовании метрики этого многообразия. Основная цель — утверждение о сохранении свойства дискретности спектра.

Ключевые слова: дискретность спектра, оператор Шредингера, римано-вы многообразия, квазимодельные многообразия, искривленные произведения.

о

сч

03

ч

Е-

&

т

и

©

Главным объектом исследования в данной статье является оператор Шредингера Ь = —А + с(-), где —А = —divV — оператор Лапласа — Бельтрами, на некоторых многообразиях специального вида.

Для начала рассмотрим риманово многообразие Z, изометричное произведению X х У (где X — произвольное многообразие размерности п, а У — компактное размерности т) с метрикой

йг2 = йх2 + у2(х)йу2,

где у(х) — С ^гладкая положительная функция; ¿х2 и ¿у2 — метрики на X и У соответственно, то есть

йх2 = ^ йij (x)dxidxj,

Лу2 = ^ Ьы{у)(1ук(1у1.

Следовательно, метрический тензор на Z имеет вид

\\&*\\

0

0 У2(х)\\Ьк1 (У)\\

а определитель 0 = \\QstW = 1

А(х) = сЫ \\aij\\, В(у) = сЫ \\Ък1 \\.

у2т(х)Л(х)В(у), где мы обозначили

|М*)|| 0

0 ||С20Г)||

Будем предполагать, что метрика Ц^|| многообразия Z претерпевает изменения, описываемые матрицей с(х), у которой все отличные от нуля элементы стоят на главной диагонали и она имеет вид

К*)11

где ||а1(ж)|| — тоже диагональная матрица c С ^гладкими коэффициентами, ||с2(ж)|| = с22(х)Ет (здесь С22(ж) — С 1-гладкая положительная функция; Ет — единичная матрица т х т). Обозначим через Х(ж) = ¿е!1|| = ¿е! ||с1 (ж)|ст22т'(ж), через р = 60 — произведение матриц с(х) и $(ж), соответственно определитель этой матрицы V = ¿е! ||р^|| = у2т(х)Л(х)В(у)Е(х).

Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом:

~ 1 1 п В В

—А = «И-»^) = -1= Е ^№щ,

Справедлива следующая лемма о представлении оператора Шредингера на таких многообразиях. Введем для этого еще одно обозначение г = с1а — произведение матриц с1(ж) и а(ж) и его определитель

Лемма 1. Оператор Шредингера Ь = —А + с(х) после описанного преобразования метрики на многообразии 2 принимает вид

1 = Ьа + С2"2(ж)у-2(—Ау),

где Ь0 — оператор Шредингера на многообразии X с метрикой, преобразованной матрицей с1(х), и с мерой плотности с2т (х)ут (х):

1 А д ПГГд

^ Е £ (*т<*>У"<*>^ад.«¿) + ф)

СУ2т(х)ут(х)Л/П(х) ОХг\ ^ дХ]

а — Ау — оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии У:

1 А д ( г— и д

А

у =

Доказательство этой леммы получается непосредственным вычислением, аналогично подобному утверждению для оператора Лапласа — Бельтрами [1].

Теперь перейдем к рассмотрению спектра оператора Шредингера на этом многообразии при описанном преобразовании метрики.

Теорема 1. Оператор Шредингера на многообразии X х У, метрика которого преобразована матрицей ||с(ж)||, имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда дискретен спектр оператора Ь0 на многообразии X с метрикой, преобразованной матрицей с1(х), и с мерой плотности с2т (х)ут (х).

Доказательство. Заметим, что, поскольку речь в данной теореме идет об изменении метрики, нам будет удобнее обозначать рассматриваемое многообразие тройкой

(X х Y, 0, v), где v — мера на многообразии, совпадающая с римановым объемом. Тогда, после изменения метрики матрицей ||а(ж)||, объектом рассмотрения становится многообразие (X х Y, p, v). Относительно этого многообразия справедлива теорема 4 из [4], в соответствии с которой дискретность спектра оператора Шредингера на многообразии (X х Y, p, v) эквивалентна дискретности спектра оператора Шредингера на многообразии (X, r, ц), где ц — мера на многообразии X плотности а2т(х)ут(х). Заметим, что этот оператор есть оператор L0, описанный предыдущей леммой, а само такое многообразие можно рассматривать как многообразие (X, а, ц), метрика которого преобразована матрицей ||а2(ж)||. Так как а — исходная метрика многообразия X, опуская ее, получаем утверждение теоремы.

Далее рассмотрим полное риманово многообразие D — простое искривленное произведение порядка к, то есть многообразие, изометричное произведению R+ х S1 х S2 х ••• х Sк (где R+ = (0, а S^ — компактные римановы многооб-

разия без края, dim Si = щ) с метрикой

ds2 = dr2 + q21(r)dQ21 + • • • + ql(r)dd2k,

где d02 — метрика на Sj, а qi(r) — С2-гладкие положительные на R+ функции. Обозначим s(r) = q™1 (г) ••• qkk (г). Пусть преобразование метрики на этом многообразии задается матрицей а(г) следующего вида:

ИОН

b0(r) 0 . . . 0

0 b\(r)Eni . . 0

0 0 . .. b2 (г)ЕПк

Все коэффициенты этой матрицы полагаем С ^гладкими, а ее определитель будем обозначать, как и выше, ^(г). Для описанной матрицы его, очевидно, нетрудно вычислить:

= Иг)|| = 50(г)б?- (г)... ь2кп* (г).

Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом:

=

--= div(^Sa-1V).

Далее рассмотрим оператор Шредингера Ь = —А + с(г) на многообразии И. Как и выше, оператор Шредингера, полученный после преобразования метрики, обозначаем Ь. Далее нам понадобятся следующие обозначения:

- «=*>+(И У+(Ш)

Ф(г)

( у

Um;

+

s'(r)b'(r) f b'(r) 2s(r)b(r)

+

( b'(r) \ \2b(r)J

где b(r) = ^.

2

2

Теорема 2. Если F(г) + Ф(г) > —С (С = const > 0), то для дискретности спектра оператора Шредингера L на многообразии D необходимо и достаточно, чтобы для произвольного ш > 0 было выполнено

г+ш

lim I ( F(г) + Ф(г)) dr = +х>.

Г^-tt J

Доказательство. Обозначим через g метрику на многообразии D. Тогда после преобразования этой метрики матрицей ||а(ж)|| мы получим на многообразии D новую метрику p = ag. Учитывая, что матрица ||а(ж)|| — диагональная, эту метрику легко записать в дифференциальной форме:

dZ2 = b20(r)dr2 + 6?(r) <R(r)dQ* + ■ ■ ■ + 62 (r) q2k(r) dQ2k.

Но тогда L = — A + c(r) — обычный оператор Шредингера на многообразии D с описанной метрикой p, и для него справедлива теорема 2 из [5]. В соответствии с этой теоремой и введенными выше обозначениями имеем, что спектр оператора L на многообразии D дискретен тогда и только тогда, когда для произвольного ш > 0 было выполнено

г+ш

lim I ( F(г) + Ф(г)) dr = +х>.

Г^-tt J

Что и утверждает теорема.

Заметим теперь, что для того чтобы матрица a (г) описывала квазиизометричное преобразование метрики, нужно потребовать (см., например, [6]), чтобы она удовлетворяла следующим условиям для некоторой константы а ^ 1:

а-1|4|2 < (a4, 4)0 < а|4|2, для всех 4 е TD (1)

и

а-п < Е(г) < ап (2)

Если теперь в условии (1) мы будем выбирать векторы 4 такие, у которых лишь одна координата ненулевая, то из него мы немедленно получим, что

а-1 < 62(г) < а для всех i = 1,... ,к. (3)

А из этого условия неравенство (2) следует автоматически.

Следствие 1. Если на многообразии D оператор Шредингера L имел дискретный спектр, то при таком квазиизометричном изменении метрики многообразия D диагональной матрицей ||a(r)||, что Ф(г) > const, спектр оператора Шредингера L останется дискретным. Аналогично недискретный спектр останется недискретным.

Доказательство данного следствия очевидно благодаря наличию очень жесткого условия Ф(г) > const. Нетрудно заметить, что при произвольном квазиизометричном преобразовании метрики функция Ф(г) может оказаться неограниченной снизу, и тогда никаких выводов о сохранении свойства дискретности спектра сделать будет невозможно. Но если выбирать коэффициенты hi (г), например, монотонно возрастающими, то это

гарантирует выполнение условий следствия и, значит, обеспечит сохранение свойства дискретности спектра при квазиизометричном преобразовании метрики.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 15-41-02479-р_поволжье_а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Светлов, А. В. Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики многообразия / А. В. Светлов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2009. — Вып. 12. — C. 45-51.

2. Светлов, А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельных многообразиях / А. В. Светлов // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 6. — C. 1362-1371.

3. Светлов, А. В. О спектре оператора Шредингера на многообразиях специального вида / А. В. Светлов // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2014. — Т. 14, № 4-2. — C. 584-589.

4. Светлов, А. В. Спектр оператора Шредингера на скрещенных произведениях / А. В. Светлов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2002. — Вып. 7. — C. 12-19.

5. Светлов, А. В. Условия дискретности спектра оператора Шредингера / А. В. Светлов // Труды по геометрии и анализу. — Новосибирск : Изд-во ин-та математики, 2003. — C. 376-383.

6. Saloff-Coste, L. Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds / L. Saloff-Coste // J. Diff. Geom. — 1992. — № 36. — P. 417-450.

REFERENCES

1. Svеtlov A.V. Diskretnost spеktra opеratora Laplasa — Bеltrami i prеobrazovaniе mеtriki mnogoobraziya [Disreteness of the Spectrum for the Laplace — Beltrami Operator and Metric Transformation on Manifold]. Vеstnik Volgogradskogo gosudarstvеnnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2009, iss. 12, pp. 45-51.

2. Svеtlov A.V. Кг^пу diskretnosti spеktra opеratora Laplasa — Bеltrami na kvazimodеlnykh mnogoobraziyakh [A Discreteness Criterion for the Spectrum of the Laplace — Beltrami Operator on Quasimodel Manifolds]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2002, vol. 43, no. 6, pp. 1362-1371.

3. Svеtlov A.V. O spеktrе opеratora Shrеdingеra na mnogoobraziyakh spеtsialnogo vida [On Spectrum of Schrodinger Operator on Manifold of a Special Type]. Izvеstiya Saratovskogo univеrsitеta. Novaya sеriya. Sеriya: Matеmatika. Mеkhanika. Informatika, 2014, vol. 14, no. 42, pp. 584-589.

4. Svеtlov A.V. Spеktr opеratora Shrеdingеra na skrеshchеnnykh proizvеdеniyakh [The Spectrum of the Schrodinger Operator on the Warped Products]. Vеstnik Volgogradskogo gosudars^nnogo un^^Ma. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2002, iss. 7, pp. 12-19.

5. Svеtlov A.V. Usloviya diskretnosti spеktra opеratora Shredingеra [Discreteness Conditions for the Spectrum of the Schrodinger Operator]. Trudy po gеomеtrii i analizu. Novosibirsk, Izd-vo in-ta matematiki, 2003, pp. 376-383.

6. Saloff-Coste L. Uniformly Elliptic Operators on Riemannian Manifolds. J. Diff. Geom., 1992, no. 36, pp. 417-450.

DISRETENESS OF THE SPECTRUM FOR THE SCHRODINGER OPERATOR AND METRIC TRANSFORMATION ON MANIFOLD

Andrey Vladimirovich Svetlov

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis and Function Theory, Volgograd State University andrew.svetlov@volsu.ru, matf@volsu.ru

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. In this paper we prove the conservation property for the discreteness of the spectrum for the Schrödinger operator on the simple warped products of order к with the special kind of quasi-isometric transformation of the metric.

Let's consider a complete noncompact Riemannian manifold D, which is isometric to the product R+ x Si x S2 x ■ ■ ■ x Sk (где R+ = (0, а Si are

compact Riemannian manifolds without boundary) with metric

ds2 = dr2 + q21(r)dQ21 + ■ ■ ■ + Qk(r)del,

where d02 is the metric on Si and qi(r) is a smooth positive function on R+. We assume dimSj = щ and denote s(r) = q™1 (r) ■ ■ ■ q^(r).

Metric transformation on this manifold is determined by the following matrix a(r).

ИОН

ад 0 . . . 0

0 Ь1(г)ЕП1 . . . 0

0 0 . .. 5k (г)ЕПк

The coefficients of this matrix are С 1-smooth, and let's £(r) will stand for its determinant. Actually, we can easily calculate it:

£(r) = det ||a(r)|| = 60(r)6?- (r) ••• b2kn* (r).

On the manifold D we study the Laplace — Beltrami operator

-A = — divV

and the Schrodinger operator

—A = —divV + c(r).

With the mentioned metric transformation the Laplace — Beltrami operator will change to

—A = —div(^£a-1V).

v£

Transformed Schrodinger operator we write as L = — A + c(r). Also we put

- « = *> + (Ш)' + (Ц )' •

*(r)=(+ *(f)5/(f) + (^ 2 (l) \26(r)J + 2s(r)6(r) + \2b(r)J '

where b(r) = .

Then we get the following theorem.

Theorem. Let's F(r) + $(r) > — C (C = const > 0). The spectrum of the Schrodinger operator L on the manifold D is discrete if and only if

r+ui

Vw > 0 lim f (F(r) + $(r))dr =

r—>oo J

r

And next we come to the following corollary.

Corollary. If the Schrodinger operator L on manifold D has discrete spectrum, and we transform the metric of D with some diagonal matrix ||a(r)||, and $(r) > const, then the Schrodinger operator L has discrete spectrum too. The same way non-discrete spectrum holds this characteristic.

Key words: spectrum discreteness, Schrodinger operator, Riemannian manifolds, quasimodel manifolds, warped products.