Дискретность спектра оператора Лапласа Бельтрами и преобразование метрики многообразия Текст научной статьи по специальности «Математика»

© А.В. Светлов, 2009

УДК 517.95

ДИСКРЕТНОСТЬ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА - БЕЛЬТРАМИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕТРИКИ МНОГООБРАЗИЯ*

А.В. Светлов

В работе доказывается свойство сохранения дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на простых искривленных произведениях порядка к при специальном квазиизометричном преобразовании метрики этого многообразия. Сделаны некоторые замечания о случае оператора Шредингера.

Главным объектом исследования в данной статье является оператор Лапласа — Бельтрами —Д = — ШуУ на некоторых многообразиях специального вида. Для начала рассмотрим риманово многообразие 2, изометричное произведению X х У (где X — произвольное многообразие размерности п, а У — компактное размерности т) с метрикой

йг2 = йх2 + 7 2(х)йу2,

где 7(х) — С1 -гладкая положительная функция, йх2 и йу2 — метрики на X и У соответственно, то есть

йх2 = а* (х)йх*йх*,

йУ2 = ^ Ьк1 (У)йУкйУі-Следовательно, метрический тензор на 2 имеет вид

ІІ0

вІ 1

II а* (х)|| 0

0 72(х)||Му)И

II — 1

72т(х)А(х)В(у), где мы обозначили

а определитель б = det ||0вІ|| = det ||дв А(х) = det 11В(у) = det ||ЬкІ||.

Будем предполагать, что метрика ||0вІ|| многообразия 2 претерпевает изменения, описываемые матрицей а(х), у которой все отличные от нуля элементы стоят на главной диагонали и она имеет вид

к(х)|1 =

1Ых)Н 0

0 1Мх)||

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-97004-р_Повольжье_а. Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 12. 2009

где ||01(ж)|| — тоже диагональная матрица с С ^гладкими коэффициентами,

||а2(х)|| = а22 (х)Ет (здесь а22 (х) — С ^гладкая положительная функция, Ет — единичная матрица т х т). Обозначим через Е(х) = det ||а(х)|| = det |а1(х)|ст22т(х), через р = ад — произведение матриц а(х) и д(х), соответственно, определитель этой матрицы Р = det ||рг^ || = 72т(х)Л(х)В(у)Е(х).

Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом:

_д = __=^(_Ёа-1У) = £ £(_Рр«).

л/Р -і дхі

Ы = 1

Докажем следующую лемму о его представлении на таких многообразиях. Введем для этого еще одно обозначение г = о\а — произведение матриц аДх) и а(х) и его определитель ^.

Лемма 1. Оператор Лапласа — Бельтрами — Д после описанного преобразования метрики на многообразии 2 принимает вид

—Дz = Ао + <г2-2(ж)7-2(—Ду),

где А0 — оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии X с метрикой, преобразованной матрицей о\ (х) и с мерой плотности а2т(х)7™(х):

Ао = — -

1

п д [ ,________________ д \

'____V ^т(х)7т(х)л/Шг^ ,

С72т(х)7 т(х)Л/ Я(х) дхД дхІ )

а —Ду — оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии У:

—Д у

Доказательство. Сначала исследуем структуру матрицы р:

ІІРгрЦ — Н^ыННб^У —

1Ых)11 0

0 <?22(х)Ет

М^ІІІК- (х)|І

о

К- (х)|1 0

0 Т2(х)||ЬЫ (у)||

0

<?22(х)72(х)||Ьы (у)|

(х)| 0

0 (?22 (х)7 2(х)|Ькг(У)У

следовательно, обратная матрица имеет вид:

ІГ1 =

где ||г-(х)|| = ||а-(х)||а-1(х

И (х)|1 0

0 (?2-2(х)7-2(х)|Ькг(у)|

Теперь, исходя из координатной записи оператора Лапласа — Бельтрами после изменения метрики многообразия 2, преобразуем его до требуемой формы:

Лемма доказана.

Теперь перейдем к рассмотрению спектра оператора Лапласа — Бельтрами на этом многообразии при описанном преобразовании метрики.

Теорема 1. Оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии X х У, метрика которого преобразована матрицей ||а(х)||, имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда дискретен спектр оператора А0 (оператора Лапласа — Бельтрами) на многообразии X с метрикой, преобразованной матрицей а1(х) и с мерой плотно-

Доказательство. Заметим, что, поскольку речь в данной теореме идет об изменении метрики, нам будет удобнее обозначать рассматриваемое многообразие тройкой (X х У, 0, V), где V — мера на многообразии, совпадающая с римановым объемом. Тогда, после изменения метрики матрицей ||а(х)||, объектом рассмотрения становится многообразие (X х У, р, V). Относительно этого многообразия справедлива теорема 1 из [2], в соответствие с которой дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии (X х У, р, V) эквивалентна дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии (X,г,^), где ^ — мера на многообразии X плотности а2т(х)7™(х). Заметим, что этот оператор есть оператор А0, описанный предыдущей леммой, а само такое многообразие можно рассматривать как многообразие (X, а, ^), метрика которого преобразована матрицей |а1(х)|. Так как а — исходная метрика многообразия X, опуская ее, получаем утверждение теоремы.

сти ст2т(х)7т(х).

Далее рассмотрим полное риманово многообразие В — простое искривленное произведение порядка то есть многообразие, изометричное произведению

М+ х Я1 х Я2 х ••• х (где М+ = (0, +то), а Я* — компактные римановы многообразия без края, = п*) с метрикой

= ^Г2 + ^(г)^ + ■ ■ ■ + ^(г)^2,

где ^02 — метрика на Я*, а д*(г) — С 1-гладкие положительные на М+ функции. Обозначим 5 (г) = з”1 (г) ••• (г)- Пусть преобразование метрики на этом многообразии

задается матрицей а(г) следующего вида:

|а(г)

£°(г) 0 . . . 0

0 адкі - . . 0

0 0 . .. #2(г)Е”к

Все коэффициенты этой матрицы полагаем С1 -гладкими, а ее определитель будем обозначать, как и выше, Е(г). Для описанной матрицы его, очевидно, нетрудно вычислить:

Е(г) = det ||а(г)|| = ^(г)#2”1 (г) ■ ■ ■ 5^к(г).

Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом:

—Д =------ё1у(^Еа-1У).

л/Е

Теорема 2. Спектр оператора — Д дискретен тогда и только тогда, когда выполнена одна из групп условий:

\/Е(і),5(і)^і < то,

I)

Ііш

Г——^о

у/Е(і)з(і)^і = 0;

или

$(і) ,

-^і < сю,

II)

Ііш [ —(і)— ^і [ л/Е(і)5(і)^І = 0.

™У Л/Е(ї)5(і) ]

оо

г

оо

о

Доказательство. Обозначим через д метрику на многообразии В. Тогда после преобразования этой метрики матрицей ||а(ж)|| мы получим на многообразии В новую метрику р = ад. Учитывая, что матрица ||а(ж)|| — диагональная, эту метрику легко записать в дифференциальной форме:

^2 = ^(г)^2 + ^(ФОМ^? + ... + ^(г)42(г«.

Но тогда — Д — обычный оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии В с описанной метрикой р, и для него справедлива Основная теорема из [2]. В соответствии с этой теоремой и введенными выше обозначениями имеем, что спектр оператора — Д на многообразии В дискретен тогда и только тогда, когда выполнена одна из групп условий:

СО

< то,

0

и

г СО

J а/Е(і)й(і)^і = 0,

1 г

либо

СО

I 3-1(£)^ < то,

1

и

СО г

J а/Е(і)й(і)^і = 0.

г1

Что и утверждает теорема.

Заметим теперь, что для того чтобы матрица а(г) описывала квазиизометричное преобразование метрики, нужно потребовать (см., например, [1]), чтобы она удовлетворяла следующим условиям для некоторой константы а ^ 1:

а-1|С|2 < (аС,С)0 < для всех С е ТВ (1)

и

а-” < Е(г) < а”. (2)

Если теперь в условии (1) мы будем выбирать векторы С такие, у которых лишь одна координата ненулевая, то из него мы немедленно получим, что

а-1 < (г) < а для всех і = 1,..., к. (3)

А из этого условия неравенство (2) следует автоматически.

Следствие 1. Если на многообразии В оператор Лапласа — Бельтрами — Д имел дискретный спектр, то при квазиизометричном изменении метрики многообразия В диагональной матрицей ||а(г)|| спектр оператора Лапласа — Бельтрами — Д останется дискретным. Аналогично, недискретный спектр останется недискретным.

Ііт $°(£)^/£ 1(і)^ 1 (£)^£

Ііт £°(£)\/£-1(£)'5 1 (£)^

Доказательство. Введем обозначения:

г СО СО г

W(г) = / Щ W(Г)^/ 5^/

1 г г 1

Из условия (3) имеем следующие оценки:

СО СО СО

а-”/2 J з(£)^ < J а/Е(і)й(і)^і < а”/2 ^ з(£)^,

0 0 0

г СО

а-”-^(г) < І £?(£)\/Е-1(Ф-1 (і)^ х/ВД^)^ < а”+^(г),

1г

СО СО СО

а-1-”/2 у 5-1(^)^і < ^ £0(£)\/е-1(Ф-1(і)^; < а1+га/^ 5-1(і)^,

1 1 1

СО г

а-”-^(г) < І ^(^Е-1^-1^^ < а”+^(г).

г1

Из этих оценок очевидно следует, что если на многообразии В было выполнено какое-то из условий Основной теоремы из [2], то непременно будет выполнено и соответствующее условие теоремы 2. Обратно, если ни одна из групп условий Основной теоремы из [2] не была справедлива на многообразии В, то не будут выполнены и условия теоремы 2. Таким образом заключаем, что свойство дискретности спектра не изменяется при специального вида квазиизометричном преобразовании метрики, описанном матрицей

Иа(х)||.

В заключение отметим, что совершенно аналогично проводится исследование дискретности спектра оператора Шредингера Ь = —Д+с(г) при преобразовании метрики на многообразии В. Для формулировки этого результата введем следующие обозначения:

г(г)= С(г)+ С41У + С 5'<г) '2

2s(r)y \2s(r)

Ф(г) , WY + s/(r)^/(r) + f *(r)

2^(r)/ 2s(r)^(r) \2^(r)

где £(r) = . Тогда, используя в приведенных выше рассуждениях теорему 2 из [3],

получаем следующую теорему.

Теорема 3. Если F(r) + Ф(г) > —C (C = const > 0), то для дискретности спектра оператора Шредингера L на многообразии D необходимо и достаточно, чтобы для произвольного и > 0 было выполнено

Г+^

lim / (F(r) + Ф(г))^г = +то.

2

Далее, по аналогии с рассуждениями для оператора Лапласа — Бельтрами, можно получить следствие из данной теоремы о сохранении свойства дискретности спектра оператора Шредингера при квазиизометричном преобразовании метрики. Однако в этом следствии необходимо требовать, чтобы функции F(r) и Ф(г) обе были ограничены снизу, а это очень жесткое требование, поскольку даже при квазиизометричном преобразовании метрики функция Ф(г) может оказаться неограниченной, и никаких выводов о сохранении свойства дискретности спектра сделать будет невозможно. Поэтому результат для оператора Шредингера в данном случае менее интересен, чем для оператора Лапласа — Бельтрами.

Список литературы

1. Saloff-Coste, L. Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds / L. Saloff-Coste // J. Diff. Geom. — 1992. — № 36. — P. 417-450.

2. Светлов, А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельных многообразиях / А. В. Светлов // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 6. — С. 1362-1371.

3. Светлов, А. В. Условия дискретности спектра оператора Шредингера / А. В. Светлов // Труды по геометрии и анализу. — Новосибирск : Изд-во инст. математики, 2003.

— С. 376-383.

Summary

DISRETENESS OF THE SPECTRUM FOR THE LAPLACE - BELTRAMI OPERATOR AND METRIC TRANSFORMATION ON MANIFOLD

A.V. Svetlov

In this paper we proof the conservation property for the discreteness of the spectrum for the Laplace - Beltrami operator on the simple warped products of order k with the special kind of quasi-isometric transformation of the metric. Also, we make some notes for the Schrodinger operator case.