CC BY
18
УДК 629.4.015 + 625.1.03
ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛОСКОЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБРАЗЦОВ С КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ В ВИДЕ КАНАВОК
Е.В. Зеньков1, Л.Б. Цвик2, А.А. Пыхалов3
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,
664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
2,3Иркутский государственный университет путей сообщения,
664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
Представлена разработка эффективной (по критерию точности и минимизации требований к используемым вычислительным ресурсам) конечно-элементной модели деформирования плоскоцилиндрических образцов с концентраторами напряжений в виде канавок. На основе вычислительных экспериментов по моделированию напряженно-деформированного состояния рассматриваемых образцов проведен анализ погрешностей сходимостей конечно-элементных приближений для двух вариантов разбивок конечно-элементной сетки. Анализ полученных результатов осуществляется с использованием решения модельной задачи теории упругости. Ил. 8. Табл. 2. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: объемное напряженное состояние; метод конечных элементов; вычислительный эксперимент; погрешность сходимости; упругое деформирование.
DISCRETE SIMULATION OF STRESS-STRAIN STATE OF PLANO-CYLINDER SAMPLES WITH STRESS CONCENTRATORS IN THE FORM OF GROOVES E.V. Zenkov, L.B. Tsvik, A.A. Pykhalov
National Research Irkutsk State Technical University 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074 Irkutsk State University of Railway Engineering, 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074.
The paper presents the development of an efficient (by the criterion of accuracy and minimization of requirements for the used computing resources) finite-element deformation model of plano-cylinder samples with stress concentrators in the form of grooves. Based on computing experiments on modeling the stress-strain state of the considered samples the authors analyzed the convergence errors of finite-element approximations for two variants of finite element mesh layout. The analysis of the obtained results is performed with the use of the solution of the model problem of the elasticity theory. 8 figures. 2 tables. 4 sources.
Key words: volumetric stressed state; finite element method; computing experiment; convergence error; elastic deformation.
Рассматривается плоскоцилиндрический образец для механических усталостных испытаний в виде круглой пластины, с концентраторами напряжений в виде 11-образных канавок. Отличительной особенностью конструкции образца является то, что канавки диаметрально ориентированы и расположены на противоположных сторонах плоской круговой пластины (рис.1).
Использование рассматриваемых образцов для оценки статической и циклической прочности позволяет моделировать сложную схему напряженного состояния (НС) в его рабочей зоне (центральной области плоской круговой пластины). На рис. 1,6 видно, что вблизи оси вращения исходной круговой пластины, на которой располагаются канавки (далее - круговой пластины), его материал образует относительно тон-
кий слой переменной толщины между поверхностями канавок. В процессе механических испытаний образец опирается по своему наружному круговому контуру (на рис. 1 стороной опирания является нижняя сторона круговой пластины). В своей центральной части образец в процессе испытаний нагружается вертикальной направленной вниз (перпендикулярно срединной поверхности круговой пластины) силой. Указанная сила распределяется в процессе испытаний на стороне нагружения образца (на рис. 1 - верхней) по малой круговой поверхности в центральной части образца (круговой сектор на рис. 1).
Применение образцов указанного типа позволяет в лабораторных условиях на образцах относительно простой формы моделировать основные особенности НС различных конструкций - уровень и концентрацию
1Зеньков Евгений Вячеславович, аспирант, тел. 89086526251, e-mail: [email protected] Zenkov Evgeny, Postgraduate, tel. 89086526251, e-mail: [email protected]
2Цвик Лев Беркович, доктор технических наук, профессор кафедры вагонов и вагонного хозяйства, e-mail: [email protected] Tsvik Lev, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Railroad Cars and Car Facilities, e-mail: [email protected]
3Пыхалов Анатолий Александрович, доктор технических наук, профессор, декан электромеханического факультета, e-mail: [email protected]
Pykhalov Anatoly, Doctor of technical sciences, Professor, Dean of the Electromechanical Faculty, e-mail: [email protected]
а б
Рис. 1. Конструктивная схема плоскоцилиндрического образца: а - общий вид образца; б - четверть образца,
высеченная из него двумя плоскостями симметрии
напряжении, возникающих в конструкции под действием рабочих нагрузок, а также вид напряжённого состояния, характеризуемый соотношением главных напряжений в зоне максимального уровня напряжений, возникающих в конструкции. Применение рассматриваемых образцов для оценки прочности конструкции предполагает предварительную расчётную оценку их напряжённого состояния в процессе испытаний. Целью представленной работы является разработка эффективной (по критерию точности и минимизации требований к используемым вычислительным ресурсам) конечно-элементной (КЭ) модели деформирования рассматриваемых образцов.
Основными исходными геометрическими параметрами образца являются размеры нижней и верхней канавок - их ширины и глубины, а также соотношение этих размеров. Наружный диаметр круговой пластины предполагается фиксированным и равным 200 мм, её толщина - 20 мм. Это позволяет моделировать широкий диапазон жесткостей НС, в том числе и мягкую схему НС, характеризуемую тем, что некоторые из главных напряжений в точке, для которой осуществляется анализ НС (далее - точке наблюдения), являются напряжениями сжатия [1]. В реальных конструкциях такое НС возникает на кромках отверстий в стенках сосудов давления, в конструкциях, изготовленных с предварительным сжатием её некоторых несущих элементов, например, в посадках с натягом, в различных опорных узлах типа «пятник-подпятник» и в ряде других случаев. Указанная особенность НС, возникающего в конструкции, может существенно влиять на сопротивление материала в точке наблюдения накоплению усталостных повреждений и соответствующему процессу усталостного разрушения.
Для определения расчётного НС образца использовался метод конечных элементов (МКЭ). Рассматриваемый образец и его НС симметричны относительно плоскостей симметрии и-образных канавок, поэтому для уменьшения необходимых вычислительных ресурсов осуществлялась дискретизация четвертой части образца с одновременным заданием соответствующих условий симметрии НС. Погрешность МКЭ для тел с концентраторами напряжений может оказаться недопустимо высокой, что требует оценки сходимости результатов КЭ моделирования в процессе счёта, а также предварительной оценки погрешности моделирования на модельных задачах, качественно близких к рассматриваемой. В качестве таких
задач в данной работе были выбраны две: плоская задача о растяжении пластины с и-образным вырезом [2], а также плоская задача о растяжении бесконечной пластины с эллиптическим отверстием вдоль малой полуоси этого отверстия [3].
Решение, представленное в работе [2], показало, что в исследованном диапазоне сочетаний геометрических характеристик канавки для уменьшения относительной погрешности определения уровня максимальных напряжений до 5% необходимо применение КЭ разбивок образца, содержащих определённое количество КЭ. В частности, в [2] установлено, что для достижения указанной точности дискретная модель образца (при использовании равномерных разбивок дуги окружности канавки) должна содержать не менее 15-ти КЭ на четверти дуги окружности, соответствующей дну канавки. Решение [3] также было использовано для описанной ниже косвенной оценки погрешности КЭ моделирования рассматриваемого НС.
Кроме относительной погрешности получаемых значений напряжений £ , определяемой формулой
а -а
£ = 1
а
(1)
в данной работе оценивалась также и относительная погрешность сходимости КЭ приближений. При этом в качестве меры относительной погрешности сходимости £ д рассматривалось отношение
_ п+1
-а
£сход
а
п+1
(2)
где п - номер разбивки в последовательности сгущающихся разбивок, а - искомая интенсивность
напряжений в точке наблюдения. Рассмотрение этих погрешностей для модельной задачи о растяжении пластины с эллиптическим вырезом показало, что указанные погрешности закономерно связаны между собой по величине.
Опишем предварительно процесс построения КЭ модели образца. Модель строилась в два этапа. На первом сложная пространственная форма образца представлялась совокупностью отдельных клеток -областей в виде шестигранных «параллелепипедов», грани которого являются криволинейными четырёхугольниками (рис. 2, 3).
б
а "в
Рис. 3. Варианты разбиения рабочей зоны в случае равномерной разбивки перемычки
Указанные грани клеток были образованы некоторыми плоскостями или криволинейными поверхностями, построенными с помощью графического редактора, встроенного в используемое программное средство, реализующее МКЭ [4]. На втором этапе дискретизации отдельные криволинейные клетки разбивались на КЭ. При этом в пределах одной клетки каждый КЭ представлял собой в общем случае неправильный гексаэдр с плоскими, но не обязательно параллельными гранями. Совокупность КЭ-гексаэдров в каждой отдельной клетке была регулярной - число КЭ элементов на противоположных ребрах и гранях клетки было одинаковым, а в образце в целом совокупность КЭ была согласованной - число КЭ на общих гранях и рёбрах в соприкасающихся клетках было одинаковым, а сами элементы соприкасались между собой «узел в узел».
Целью КЭ моделирования являлось определение величины интенсивности напряжений (эквивалентных напряжений) в образце с канавками. В качестве точки наблюдения при этом выбиралась точка на оси вращения исходной круглой пластины, лежащая на поверхности нижней канавки (поверхности канавки на стороне опирания). Обеспечение необходимой точности моделирования осуществлялось с помощью управляемой локализации сгущения разбивки в от-
дельных клетках. При этом по мере приближения к центральной области образца степень сгущения (количество КЭ, принадлежащих одному ребру клетки) КЭ разбивки клеток увеличивается, а размеры КЭ -уменьшаются. При этом вблизи точки наблюдения размеры КЭ изменяются при переходе от клетки к клетке незначительно, а форма конечных элементов близка к кубической. Построенная по такому принципу трёхмерная дискретная КЭ модель образца оказалась вычислительно эффективной - время работы программного средства, реализующего МКЭ на персональном компьютере (двухъядерный процессор с тактовой частотой порядка 3-х гигагерц, оперативная память - порядка четырёх гигабайт, операционная система - Windows 7) для дискретной модели, обеспечивающей необходимую точность, не превышало 30-ти минут. Соответствующее количество КЭ дискретной модели не превышало при этом 120 000.
Для выбора рационального варианта КЭ разбивки области на КЭ и для оценки погрешности численного моделирования НДС плоскоцилиндрических образцов с канавками был проведен анализ сходимости численного решения расчетной модели и анализ соответствующих вычислительных погрешностей. Рассмотрению подвергались расчетные варианты с равномерной разбивкой рёбер отдельных клеток на КЭ и варианты
г
разбивок, в которых размеры интервалов, на которые КЭ разбивка разбивала рёбра клеток, изменялись по закону геометрической прогрессии со сгущением разбивки по мере приближения к центральной рабочей зоне рассматриваемого плоскоцилиндрического образца с канавками.
В расчетной модели с равномерным разбиением рёбер отдельных клеток сходимость численного решения оценивалась на последовательности разбивок с кратным увеличением КЭ в центральной рабочей зоне образца. Степень сгущения разбивки определя-погрешность численного решения. Соответствующие результаты вычислительного эксперимента представлены в табл. 1.
лась при этом числом конечных элементов на отрезке оси вращения исходной круглой пластины, расположенном между криволинейными поверхностями канавок (далее - перемычке). Рассматривались разбиения, в которых перемычка равномерно разбивалась конечными элементами на 4, 8, 16 и 32 интервала (рис. 3, а, б, в, г).
В последнем случае вычислительное время расчетной модели могло достигать нескольких часов в зависимости от расчетного случая. Однако только в этом случае достигалась наименьшая относительная ло, уже на втором расчетном варианте сгущения. Как показало решение упомянутой модельной задачи о растяжении пластины с эллиптическим вырезом, от-
Таблица 1
№ варианта Количество КЭ на перемычке, шт. Количество КЭ в модели, шт. Время счета, с Относительная погрешность сходимости, %
1 4 2012 6,5 -
2 8 11920 20.6 7,2
3 16 32064 136.1 2,3
4 32 113920 2704 0,6
Вычислительно более эффективной, чем схема с равномерной разбивкой перемычки, оказалась схема, в которой размеры КЭ уменьшались при движении вдоль перемычки и других рёбер клеток по закону геометрической прогрессии. Базовое количество элементов выбиралось исходя из затраченного на решение задачи времени работы вычислительной программы и наименьшей погрешности сходимости в случае регулярной разбивки отдельных клеток (рассматривались варианты разбивок из табл. 1).
Достаточно точным (т.е. с относительной погрешностью сходимости, не превышающей 5%) расчетным вариантом стала разбивка с 16 КЭ на перемычке. Для обеспечения минимальной относительной погрешности был применен метод сгущения сетки по закону геометрической прогрессии, который уменьшал размер КЭ по мере приближения к контрольной точке в 2 раза (по всем трем координатным направлениям) по сравнению со случаем равномерного разбиения рёбер клеток. На рис. 4 изображены различные рассмотренные варианты разбивок со сгущением по закону прогрессии.
Максимальная относительная погрешность, не превышающая 2%, достигалась при использовании сеток, сгущающихся по закону прогрессии, как прави-
носительная погрешность расчётного определения максимальных значений интенсивности напряжений в точке наблюдения определяется при заданном значении знаменателя прогрессии размером КЭ, примыкающего к точке наблюдения. В табл. 2 представлены результаты вычислительного эксперимента, соответствующие по общему числу КЭ в дискретной модели образца третьему варианту табл. 1, но уже для случая разбивки, сгущающейся по закону прогрессии.
По результатам вычислительных экспериментов для обоих расчетных случаев можно сделать вывод, что способ моделирования разбивки по знаменателю прогрессии рабочей зоны предпочтителен для достижения требуемой точности, а также экономичен в плане использования вычислительных ресурсов ЭВМ и времени подготовки расчетной КЭМ образца.
При проведении моделирования, сопоставляя результаты расчётов, полученные на некоторой последовательности КЭ разбивок, нетрудно оценить погрешность сходимости получаемых приближений, определяемую формулой (2). Непосредственная оценка погрешности получаемых приближений, вычисленная с помощью формулы (1), при этом невозможна, так как точное решение рассматриваемой задачи неизвестно. _
Рис. 4. Варианты разбиения рабочей зоны в случае разбивок, сгущающихся по закону регрессии
Таблица 2
Результаты вычислительного эксперимента
№ варианта Знаменатель прогрессии Время счета, с Относительная погрешность сходимости, %
3.1 1 136.1 -
3.2 4 188.3 2
3.3 12 190.5 1,8
Применение модельных решений задач теории упругости, качественно близких к рассматриваемой, позволяет погрешность приближения (1) оценить косвенно. В рассматриваемом случае в качестве модельного использовалось решение задачи об одноосно-растягиваемой бесконечной плоской пластине с эллиптическим вырезом усилиями интенсивности о„, равномерно распределёнными на наружном контуре пластины [3].
Рис. 5. Осесимметричное растяжение бесконечной плоской пластины с эллиптическим вырезом
Область, для которой строилось решение, представлена на рис. 5. Рассматривался эллиптический вырез с соотношением полуосей а/Ь=1/3. Погрешность приближенного КЭ решения оценивалась по точному значению коэффициента концентрации напряжений К, определяемого по формуле:
К = {
где оп - нормальные напряжения в направлении оси у, действующие на удалении от выреза; ат - аналогичные напряжения в вершине эллиптического выреза, лежащего на оси Ох (см. рис. 5).
Для выбранного соотношения полуосей эллиптического выреза точное значение коэффициента К в соответствии с [3] равно 7.
Отметим следующее обстоятельство. Повышение точности расчёта может быть осуществлено, прежде всего, за счёт уменьшения размеров К вблизи точки наблюдения.
Уменьшение размера КЭ вблизи вершины эллиптического выреза за счет применения закона прогрессии (при одном и том же общем количестве КЭ) в общем случае может сопровождаться уменьшением точности моделирования. Связано это с тем, что погрешность приближений может нарастать за счёт укрупнения размеров КЭ вдали от вершины выреза. Для оценки поведения погрешности в рассматриваемом случае были проведены вычислительные эксперименты.
Приближенное КЭ решение задачи определялось в трехмерной постановке для плоской пластины конечных размеров с эллиптическим вырезом (см. рис. 5), высота и ширина которого существенно (более, чем в 10 раз) больше длины полуоси Ь, а толщина была равна единичной величине. При этом были построены два решения: для случая регулярной разбивки и для разбивки, сгущающейся по закону геометрической прогрессии. Оба варианта рассматривались при одинаковом размере конечного элемента, примыкающего к вершине эллиптического выреза в точке наблюдения. В плоскости хОу пластина разбивалась на 320 квадратичных элементов (рис. 6). По толщине (направление Ог на не отображено) пластина разбивалась на 1-5 КЭ, в зависимости от размера конечного элемента в вершине эллиптического выреза в пластине (его форма была приближена к кубической). При этом количество элементов на четверти дуги эллиптического выреза равнялось 16. В плане эта разбивка представлена на рис. 6.
V
Рис. 6. Схема разбивки сечения пластины в плане
Каждое последующее приближение искомого решения определялось на КЭ сетке с последовательным кратным уменьшением размера прилегающего к эллиптическому вырезу элемента. Форма КЭ, примыка-
о
X
ющих к вершине эллиптического выреза, оставалась при этом близкой к квадратной. Для случая равномерной разбивки рёбер предварительного клеточного разбиения такое уменьшение достигалось сгущением в направлении по нормали к линии контура эллиптического выреза за счет увеличения числа конечных элементов. Для случая разбивки, сгущающейся по закону геометрической прогрессии - за счет знаменателя этой прогрессии без увеличения общего числа КЭ в разбивке. Результаты вычисленных погрешностей сходимостей КЭ приближений представлены на рисунках 7,8.
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:
1. При использовании разбивок, содержащих на четверти контура выреза 16 КЭ, погрешность получа-
емых приближений может быть уменьшена до 1-2%.
2. Относительная погрешность сходимости, вычисляемая по формуле (2), и аналогичная погрешность получаемых приближений, определяемая по значению точного решения с помощью формулы (1), закономерно связаны между собой. При этом величины относительной погрешности сходимости и погрешности приближений отличаются друг от друга незначительно (отличие в значениях этих погрешностей не превосходит 0,5%).
3. Применение разбивок со сгущением по закону геометрической прогрессии в рассматриваемых задачах о концентрации напряжений вблизи вершин вырезов позволяет существенно экономить вычислительные ресурсы, не приводя к увеличению погрешности расчёта.
Библиографический список
1. Патент № 2360227 РФ, МПК G01 N3/08. Образец для оценки прочности материала при сложном напряженном состоянии / Л.Б. Цвик, А.А. Пыхалов, М.А. Храменюк [и др.] Опубл. 27.06.2009. Бюл. № 18.
2. Иванютенко В.И., Крицук А.А., Рафаилов А.Г. [и др.]. О критерии разрушения металлических образцов с концентра-
торами на основе теории средних напряжений // Прикладная механика. 1990. Т. 25. № 2. С. 113-117.
3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.
4. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.: ДМК Пресс, 2003. 448 с.
