CC BY
12
удк 004.942
к. с. листрова, в. к. манжосов
ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА СТЕРЖНЯ О ЖЁСТКУЮ ПРЕГРАДУ
Разработана элементная модель продольного удара стержня о жёсткую преграду, построен алгоритм решения уравнений движения. Решения преобразованы к универсальному виду, когда в структуре этих решении используются безразмерные параметры перемещении, скоростей и времени. Представлены результаты моделирования тестового объекта.
Ключевые слова: удар, продольный удар, удар стержня, дискретная модель стержня, моделирование удара.
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), ГК № П 1122.
1. Модель продольного удара стержня о жёсткую преграду
При продольном ударе со скоростью V стержня массой тс о жёсткую преграду (рис. 15 а) стержень может быть представлен [1, 2, 3] п-м количеством конечных элементов с массой тх, т2, тил_2э тп (Рис- Ьб). Причём
тс = ти, + т2 +... + тп_2 + тп.
V
V
/ у ^ ЗяЗД и V Ш0ШШ
4 Г ш:: - ¿у"'
пи
тшшшт
ШШЩШШь
>•- а»; .
а®
V/ -
_
т
№
7
т
Т
т.
/ /
>
У
я
а) схема продольного удара стержня о жёсткую преграду
б) модель стержня с использованием конечных элементов
Рис. 1. Схема и модель продольного удара стержня о жёсткую преграду
Продольная жёсткость конечного элемента (рис. 2, а) моделируется упругим элементом жёсткостью с. (рис. 2, б), определяемой по формуле с/ где А/ - площадь поперечного сечения
у-го конечного элемента стержня, Е . - модуль упругости первого рода материала у'-го конечного
элемента стержня, / - длина ) -го конечного элемента массой т] (/ = х, - х, ,).
3
■ -Г : •
; •Vх4• • < -' /'
х
Ху1
а)
X
б)
Рис. 2. Схема конечного элемента
В случае, если масса } -го конечного элемента сосредоточена в сечении х]_] (рис. 2, б), то расчётная модель стержня, представляющая последовательно сопряжённые конечные элементы (рис. 1, б), примет вид, изображённый на рис. 3.
© Листрова К. С., Манжосов В. К., 2010
n-2
Рис. 3. Дискретная модель продольного удара стержня о преграду
Данная схема обеспечивает эквивалентность механической системы по кинетической энергии и количеству движения перед нанесением удара, а также эквивалентность системы по её упругим свойствам в процесса удара.
Расчётную модель стержня представим совокупностью сосредоточенных масс т], т2, ..., т 2 >
, тп (рис. 3) и упругих элементов. Причём
1 / /
Щ = —Л,, т2=-р-т =-р-А с = ; ; =1,2,;?.
/7 П П > /
1)
Движение произвольной у -й массы описывается дифференциальным уравнением вида
т
Л ~uj)-cj(uj ""ж)' J = U2» •••> и-1»
где - перемещение /-й массы т] относительно фиксированной координаты х , определяющей
положение центра масс У-го конечного элемента в состоянии статического равновесия; и -ускорение у -й массы.
Движение всей совокупности масс стержня при представлении его по схеме рис. 3 при ударе о жёсткую преграду описывается системой дифференциальных уравнений вида
тх щ = -с, (и, - и2),
т2и2 - с, (г/, -и2)~с2 {и2 -щ),
.....................................>
т^й^ = сп_2(ип_2 -ип_х)-сп_,(ип_, -ип),
с соответствующими начальными условиями, определяющими начальные перемещения и 0 и скоро-
сти масс и 0 в момент времени / = 0:
му = м>;0, й] = , у = 1,2,п-\,п. Граничные условия описывают наличие неудерживающей связи:
= 0, если ип < 0, 0 < Г < 7\
где Т - продолжительность удара.
В дифференциальных уравнениях движения отношение жёсткости упругого элемента с
ветствующей массе т] (полагая, что материал конечных элементов один и тот же) можно предста-
к с о от-
вить следующими равенствами:
ЕА
ЕА
, сх 1/п п'Е
2
т] pAxl! п 1 р
ЕА
1 _
Ип
т2 pA2lIn I р
п'Е 2 2 - 4
А 9 А "
А>
ЕА2
с2 = Ип =п~'Е
pAJ / п I2 р
5 • * * 5
т
2
7-1
ЕА
j
-I _ 1/П _П'Е ~А
mj pAjl / п
1гР
Aj-1,
А
А V А
J
J
J
т
j
1/п = п~Е pAiln 12р
В волновой механике отношение Elp = а2, где а - скорость звука в материале стержня. Тогда
величина
пЕ п2а2р п1а п£а _ /
1гр 12р 1-1/а 1-Т0
где Т0 - время распространения волны по стержню длиной /.
а
Учитывая в дифференциальных уравнениях равенство
п2Е
п'а
Г-р 1-Т
,получим
о
Па
(,и. -иЛ
и, =--
I 1 т ! 2 1 *0
п2аЛ. . п2а ~ А.
1.Т 4 1 \.т
I 10 I 10
I
А
п'а А
=
н-2
/■Г,
(4,-2 " VI) - ТТГ ("„-1 " "Л 4,-2 =
_ 4,-2
0
/■г,
/7 Д/4
"»-I =
л-1
О
/?2я
Л
и-1
1-Т,
(мя_, - и „) - —;ия,
А . =
О
/•7:
о
А
п
Выделим дифференциальное уравнение движения у -й массы:
¡Г а А
и
я2а
1пн
/7
("и- "/)- —
О
1ПГ
и
о
)
Методом последовательных приближений строится процедура численного расчёта ускорения, скорости и перемещения / -й массы:
(ЙД =
7-1
1Т;
я2а
о
/Г,
"Д-гМ,-
(I
("у )| = "у,о + («7 Х-Г Л'> (му)/=му.о+("у)/-ГДг» ' =1,2,3,...
Представленные алгебраические равенства преобразуем к универсальному виду, когда в структуре этих выражений используются обобщённые безразмерные параметры скоростей и перемещений
Представим равенство (и /), = 0 + (¿^ • А/ в виде
(«д /
г/
ло
/
+
/
А/-
о
V
о
У°'А- = 1 2 3
где {й}), = —у
гл
"7,0 =
/
, у0 - предударная скорость стержня
V
о
-Учитывая, что 1 = а-Т0, получим выражение для расчёта перемещения /-й массы в /-м при ближении в безразмерных параметрах:
/ - N ~ ,7Ч V,) • А/ _ . 7 ч А 7 У0
)/ = ,0 + («у),ч • -Г-^Г- = «7.0 + (И;),-, • А/ •
А/ =
а-т:
а
А/
7Г
/ 1 ^ 2 ^ 3 ^ • • •
О '0
Аналогично приведем к безразмерному виду выражение для расчёта скорости / -й массы приближении:
а
в /-м
(<Ц=гЬ.о+7 »Ч-|((*нНйА)
V
о
м,
где (иХ =
= х лг =
у,
7.0
V',
Д/
7Г
О '0 л о
Предложенная схема может быть использована для построения алгоритма численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс удара стержня о жёсткую преграду, и разработки процедуры моделирования.
Сила между ] -й и (у + 1)-й массами, возникающая при деформировании /-го упругого
элемента, определяется как = С] {и) ~и/+]), / = 1, 2, ..., я-1, п .
ЕЛ
Учитывая, что с, =——п, получим
]
I
и
г/
, у = 1,2,..., и-1, /7.
7 7
Представим значение силы PJ в безразмерном виде, используя отношение
р
Р - 1Ы11-
Ги)+\ ~ —р--
го
п-ЕАХй;-йш)
ЕА0-У0/а
а
А
А,о =
_ )
А
о
V,
где Р0 = ЕА0 — - сила, которая возникает в ударном сечении однородного стержня такой же массы с
а
А 4" А И- -ь А
площадью поперечного сечения А0 при столкновении с жёсткой преградой; А0 = —-2 " "
п
Значение ударной силы Рп в безразмерном виде, учитывая, что перемещение жёсткой преграды
ип+] в процессе удара равно нулю, определится как гп
с Р. = п-АпУйп!
V
о
а
/
а,о ~
А
п
А
о
Если стержень однородный, имеет постоянную площадь А поперечных сечений по длине, то
V, ^ _ . V/
о
А0 А0 а а
Осуществлено моделирование процесса продольного удара однородного стержня о жёсткую преграду. В качестве тестового объекта рассматривался стержень с постоянной по длине площадью поперечных сечений с представлением его п -м количеством конечных элементов (рис. 4). Выбор тестового объекта был определён тем, что для него известны точные решения о параметрах движения на основе волновой модели продольного удара [2].
"-^ £
> *
1 ' " • ¡1» и/ - ■
Б*« «а* «г* гт ■ > .• ж •-> N •т т* н*
ш У « ' *» мм** «1 »иг:«*» «м щи ___
с. с ■ 'ж- " ¿ш
т-
т.
т
7
»-2
т
/ т
п
/ /
Рис. 4. Схема представления стержня п -м количеством конечных элементов
Реализован алгоритм расчёта параметров движения сосредоточенных масс (ускорений, относительных перемещений и скоростей масс) в зависимости от времени при различном количестве конечных элементов, моделирующих упругие и инерционные свойства стержня (п - 1, 2, 5, 10, 20, 30, 40).
Приведены результаты расчёта ударной силы в зависимости от количества конечных элементов, представляющих стержень (рис. 5).
-»— „. V V
а б в
Рис. 5. Схемы удара, когда стержень представлен одним (рис.5, а), двумя (рис. 5, б)
и П -м (рис. 5, в) количеством конечных элементов
11а рис. 6 приведены диаграммы, характеризующие изменение ударной силы во времени при различном количестве конечных элементов, представляющих стержень.
Чем больше число конечных элементом, на которые разбивается стержень, тем ближе результаты моделирования дискретной модели к результатам расчёта ударной силы при продольном ударе однородного стержня о жёсткую преграду на основе волновой модели (диаграмма п = оо ).
Практически, при п> 10, результаты уже мало отличаются друг от друга. Длительность удара
приближается к величине Т —>21 / а, / —» 2 . Относительное значение ударной силы Рл —> 1.
Относительное врет Рис. 6. Лиагпаммы. хапактепизуюшие изменение удаоной силы во времени
Г 1 | / | 1 ^ А
при различном количестве конечных элементов, представляющих стержень
Результаты моделирования позволяют высказать следующее. Предложенная процедура расчёта может быть использована при решении задач продольного удара в стержневых системах. Точность вычислений тем выше, чем большее количество элементов представляют стержень. В практических вычислениях можно ограничиться количеством элементов для стержня п е (20,...,30).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985. - 386 с.
2. Манжосов, В. К. Продольный удар / В. К. Манжосов. - Ульяновск, 2007. - 358 с.
3. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механического удара /Я. Г. Пановко. - М. : Наука, 1977. -220 с.
ОООООООООООООООООООб
Л петрова Ксения Сергеевна, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации в области продольного удара в стержневых системах.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.
