CC BY
19
приборостроение, метрология и информационно-измерительные приборы и системы
УДК 535.8
DOI: 10.25206/1813-8225-2021-175-55-58
в. и. гужов и. о. марченко e. е. трубилина а. а. трубилин
Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск
о
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ
с помощью
КОНЕЧНОГО НАБОРА АПЕРТУР_
В статье рассмотрен вопрос дискретизации непрерывных сигналов с помощью конечного набора апертур. С помощью аппарата обобщенных функций получен аналитический вид спектра функции для дискретизации с помощью решетки Дирака для бесконечного и ограниченного сигнала и с помощью ограниченного набора апертур. Показано, что спектр сигнала является произведением спектра сигнала при идеальной дискретизации на некоторый известный множитель, влияние которого можно устранить. Вид этого множителя можно получить, если известен вид апертуры. Полученное аналитическое вы- | ражение отличается от известных в литературе.
Аналитическое выражение спектра функции при дискретизации может быть использовано для восстановления исходного изображения с помощью различных наборов апертур. Для этого необходимо разделить Фурье-спектр дискретизированного изображения на множитель, зависящий от выбранной апертуры. Получив от него обратное Фурье-преобразование, можно получить исходное.
Ключевые слова: идеальная дискретизация, решетка Дирака, дискретизация в реальных системах, обобщенные функции, преобразование Фурье, спектр.
Введение. Непрерывный аналоговый сигнал кова —Шеннона (Whittaker —Kotelnikov— Shannon)
можно представить дискретной последовательно- определяет условия, при которых спектр одиночно- g
стью его значений (отсчетов). Эти отсчеты берут- го сигнала можно выделить без искажений и затем
ся в точках, отделенных друг от друга некоторым по ним восстановить исходный сигнал [ 1 — 4]. Од-
интервалом Дх, который называется интервалом нако интерполяция с помощью ряда подразумевает
дискретизации. Теорема Уиттекерра — Котельни- бесконечное число отсчетов.
п
Дискретизацию сигналов удобно описывать с помощью обобщенных функций. В конце XIX века Хэвисайд ввёл систему символических правил для анализа процессов в электрических целях. Ему пришлось ввести так называемую функцию включения — функцию Хевисайда. Позднее, в конце 20-х годов XX в., физик Дирак в исследованиях по квантовой механике ввёл ещё одну новую функцию, названную его именем. Были определены также правила дифференцирования дельта-функции Дирака и функции Хэвисайда. Основы математической теории обобщённых функций были заложены С. Л. Соболевым при решении задачи Коши для гиперболических уравнений (1937 г.). В 50-х годах Л. Шварц дал систематическое изложение теории обобщённых функций и построил теорию их преобразования Фурье [5 — 9]. Понятие обобщённой функции удается ввести благодаря тому, что обобщённые функции никогда не входят непосредственно в результаты измерений. Они всегда фигурируют под знаком интеграла, описывающего стадию наблюдения или регистрации. Поэтому достаточно знать только результат действия данной обобщённой функции на интегральное преобразование.
После выхода «Теории распределений» Л. Шварца обобщенные функции приобрели широкую популярность. Однако особенности их использования в инженерной деятельности, в частности в оптике, являются до сих пор недостаточно понятными.
Будем обозначать действие обобщенной функции на основную функцию следующим образом [7]:
(/, ф) = J f (и)ф(и^и .
(1)
Выражение (1) можно рассматривать как скалярное произведение двух функций «хорошей» функции /(х) и обобщенной ф(х).
С помощью обобщенных функций удобно рассматривать процесс дискретизации аналоговых сигналов.
Дискретизация — это замена непрерывного аналогового сигнала последовательностью чисел, представляющих разложение эаого сигнала по какому-либо конечномерному базису. Дискретизация заключается в получении отсчетов (sampling) сигнала. Наиболее удобным способом дискретизации является представление сигнала в виде выборок значений (отсчетов) в отдельных, регулярно расположенных точках, отделенных друг от друга интервалом, который называется интера а лом дискретизации.
Разработка математического аппарата представления дискретных сигналов является важной проблемой при восстановлении исходных аналоговых изображений [10—14].
Целью этой статьи является получение аналитического выражения дая спектра непрерывной функции при реальной дискретизации, т.е. при дискретизации сигналов при усреднении на конечном наборе апертур.
Дискретизация бесконечной функции с помощью решетки Дирака. Идеальнуо диск^тизацаю можно представить как воздействие на функцию гребенки Дирака, которая определяется как последо-ватеньфонть f мещёаных с шагом Дх дельта-функций.
Гребёнка Дирака определяется как
Га, м точках (пКя), п н (-а, а)!
какЬкр(и) hJ У (2)
10, м остальных случаях
Как видно, гребенка Дирака — периодическая функция, где Дх — период. Кроме этого, гребенка Дирака определена на всем интервале от — да до да. Она, так же как и дельта-функция, на всей оси х равна нулю, кроме точек пДх, в которых гребенка Дирака устремляется в бесконечность.
Действие греЬенки Дирака на функцию /(х) можно описать как
(т(ь), ситЬ^ь (ь)) н н ]Г |Т(ьь)8(ь:-пЛь)Ль н 00 Т(пАь). (3)
Пн-ад -н пн—ад
Спеитр диькретной функции будет являться периодические повторенным сиекьра непрерывной функции [15]. Периодическую сИи^ь^уию млжхо описать как свертку гребенки Дирака с функцией одного периода. Птэтомиепекьр да скатной функции можнл запьсаьь пак [16]
Ф(и) н д(—(плЛиьт)) н ее(Т(к)) б е(сотПД1 (к)) н
нДД(Т(к) )б сотП2((и). (4)
Спектр дискретныцзнпчeкиУ сигнала образует периодгчесои повтерятыцбеся одиночные Ри
с шагом — , кьторые в )бщем случае перекрыва-Лк
ются между со бой. 15 [17] п-едьожонп пкоплкура восстановлеиея исходно го сигнала по огр—(пиненно -му числу инcпоелныт значениб] они лотор нй в к (можно значитеиеноь yмeрыlнeлуe поьрешдости инь терполяции.
Ди^^таза^и оьсошп,ч(;ь^1кн-1 функции. Пе-
с(0Н)Ку функцня в общем случне не явшгеоеп бю-конечеой, оой(аниИ1ен^:Е(ьгЕЛ- фулкцию можн) представить в виде
fN (р) н Ыи)а P°KtN (р) I
(5)
где rectN(x) — прямоугоиьный (мпуакс.
В спектрилъаой области эио приведет к свертке
. и <г> ы у
сигнала с фунсциый SincI ^ I , которая является фурье-образом прнмоудолыюго ипду;н,са
ГНсЫ) н е(/(иы)) П sinc| Я)
(6)
Учитывая (4), в регупьтате днсрретизакии ограниченного сигннлг с помощью г.еУенки Дирака возникает пе]иa(Hnnecnc] пывторенак ипектров
еМы(пКи)) ,
н I а(н) П sincl
со ы
П катИ211 (н)
(7)
Однако диекpнтиьaция кУнкций с пумещыo дельта функций явлАется мьтематичесной абстракцией.
Рассмот—ним ь)гцюс дискрелизнции о плмощью конечного набора неноторых апертур.
Дискретизация с помощекл набора -пертур.
В этом слунае нискретизация осищуствляется измерением сит нала с пьмотцылдатчика с лькоторой конечной апертурой ^пляпеодюй, птл которой происходит усреднение). Числовые значения отсчетов
Рис. 1. Пример ы растмоваа — ре)глярный растр с прямоугольной апертурой; б — с круглой апертурой
изображрния полхчаются путем пространственного интегрировамря по нм1соео]:)^11 конечной площадке (апертуре). Используются апертуры различных форм (накример, эллиптические, ромбовидные, гексагональные), но нмиболее оасто используются апертуры прямоугольной и круглой формы (рис. 1).
Определим деоствие нормирывааногр прямоугольного импульср Р (х) = тесX )х) ра функцию /(х)
Рр(х) = (/((ее), гесП,(х}) п
ад х+ь/Р
п | Р(х) • гевУ, (ы)Хх п | а(х)хх:.
Р,(к) п £ Р(к) • гевЦк - и) п
тп-х/р
п Р(к) с гевУ,(к).
(
Ъм N =
К(ю) О sinc|
юЬ
з(днс^ (ю))
В отличие от идеальной дискретизации (7) спектр функции дополняется множоселем 0о( днср, (е)), который несложно опрефелить аналитически.
Вид этого множителя зависит только от формы апертуры. В нашем случае рассмотрение велось для оняцоугольной тпертуты, но при замене на 0(с;'гсг (х)) выражение ффьет верно и .ада регулярных круга)ых растров.
Обсуждение результатов. В литературе [18, 19] часто используется слодующее выфаженяе для спекора функции при реальной дискретизации:
(8)
К^Юн;1- 3(/(е))ОО Та
Выражение; (7) опксываех упрхднхние значения функции на одном элеменре апертурьг Действие смещеннпго п]ямвугхльнпго имхульса гр(Хт(х — ААх) на функцию Дгад)
Гр(кКх)п(Пх),Р1ыь/хк(х )]п ад кКр+ ь/Р
п Г Р(х) • reсf,(x-kX=)Хх п Г Р(х)Хх. (9)
-ад хпкДх-ь/Р
Для каждой точгев — (Ах=1), это В1архжение представляет диекретную свертку.
5(гнсР1 (х)) • сошЛ2к (ю)
(12)
Эео в сражение быюо тнлочнно х) ососаная еис-кретизированнтго сигнала в виде.
-с (кДе) н б(е) • ИЬ
(13)
(10)
Таким образом, в результате дискретизации с помощью конечного набора прямоугольных апертур произойдет усреднение значений интенсивности на прямоугольных апертурах, и результаты усреднения на каждой апертуре будут задаваться в массиве чисел.
В области Фурье выражение для дискретизации примет следующий вид:
О сотЛ2х (ю). (11)
Де
где И^ н гнсРТ (е) ® сотЛд н ^ дтсС(с - ¿Де) дискрети-
зирую щая функция.
Однако выражение (13) не учитывает интегрирование по площади апертуры. Поэтому и выражение (12) неадекват но описывает поведение спектра в случае реальной дискретизации функции.
Нами эта проблема рассматривалась в [6], но аналитического выражения для дискретизации ограниченной функции с помощью конечного набора апертур получить не удалось. В [7] приведено правильное аналитическое выражение, но вывод этого выражения был не совсем корректен.
Заключение. В статье получено аналитическое выражение (11) для спектра ограниченного аналогового сигнала при дискретизации с помощью набора апертур. Показано, что, в отличие от идеальной дискретизации, сигнал умножается на Фурье-образ используемой апертуры.
Выражение (11) может быть использовано для восстановления исходного изображения по дискретному изображению, полученному с помощью различных наборов апертур. Для этого необходимо разделить Фурье-спектр дискретного изображения на фурье-спектр выбранной апертуры. Получив
б
хпх-т/Р
X
т
57
от него обратное Фурье-преобразование, можно получить исходное.
Библиографический список
1. Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук. 2006. Т. 176, № 7. С. 762-770. DOI: 10.3367/UFNr.0176.200607h.0762. Репр. воспроизведение изд. [Москва]: [ред. упр. связи РККА], [1933] (Центр. тип. им. К. Ворошилова). 19 с. (Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. По Радиосекции / Всесоюз. энергетич. ком.).
2. Nyquist H. Certain topics in telegraph transmission theory // Transactions of AIEE. 1928. Vol. 47. P. 617—644.
3. Wittaker E. T. On the function which are represented by the expansion of interpolating theory // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1915. Vol. 35. P. 181-194.
4. Shannon C. E. Communication in the presence of noise // Proc. Institute of Radio Engineers. 1949. Vol. 37, no. 1. P. 10-21. DOI: 10.1109/JRPR0C.1949.232969.
5. Schwartz L. Theorie des distributions. 1997. 432 p. ISBN 9782705655518, 2705655514.
6. Шварц Л. Математические методы для физических наук. Москва: Мир, 2005. 230 с.
7. Гельфант И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Москва: Гос. изд-во физ-мат. лит., 1959. 470 с.
8. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. 2-е изд., испр. и доп. Москва: Наука, 1979. 318 с.
9. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва: Наука, 1988. 333 с.
10. Поршнев С. В., Кусайкин Д. В. О точности восстановления периодических дискретных сигналов конечной длительности с помощью ряда Котельникова // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2016. Т. 10, № 11. С. 4-8.
11. Поршнев С. В., Кусайкин Д. В. Исследование алгоритмов восстановления дискретных сигналов, заданных на неравномерной временной сетке с неизвестными значениями координат узлов: моногр. Ульяновск: Зебра, 2016. 211 с. ISBN 978-5-9907771-1-8.
12. Зиатдинов С. И. Восстановление сигнала по его выборкам на основе теоремы отсчетов Котельникова // Известия вузов. Приборостроение. 2010. № 5. С. 44-47.
13. Трощенков А. И. Теорема Котельникова - Шеннона и практическое использование целых функций для представления сигнала на приемной стороне // Ракетно-космическое приборостроение и информационные системы. 2018. Т. 5, вып. 1. C. 81-85. DOI: 10.30894/issn2409-0239.2018.5.1.81.85.
14. Vaswani N., Zhan J. Recursive recovery of sparse signal sequences from compressive measurements: A review // IEEE Trans. Signal Process. 2016. Vol. 64, no. 13. P. 3523-3549. DOI: 10.1109/TSP.2016.2539138.
15. Гужов В. И., Марченко И. О., Хайдуков Д. С., Ильиных С. П. Дискретизация изображений в реальных системах с помощью обобщенных функций // Автоматика и программная инженерия. 2016. № 4 (18). С. 45-52.
16. Гужов В. И., Марченко И. О., Хайдуков Д. С., Ильиных С. П. Использование обобщенных функций для дискретизации изображений // Инженерный вестник Дона: электрон. науч. журн. 2017. № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/ n4y2017/4127 (дата обращения: 10.08.2020).
17. Гужов В. И., Трубилина Е. Е., Марченко И. О. Восстановление сигналов по дискретным значениям с ограниченным числом идеальных отсчётов // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. 2020. № 1 (78). С. 147-156. DOI: 10.17212/1814-1196-2020-1-147-156.
18. Pratt W. K. Digital Image Processing: PIKS Inside. 3rd Ed. New York: John Wiley & Sons Inc., 2001. 758 p. ISBN 978-0-47137407-2001.
19. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. В 2 кн. / пер. с англ. под ред. Д. С. Лебедева. Москва: Мир, 1982. Кн. 1. 312 с.
ГУЖОВ Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Системы сбора и обработки данных». SPIN-код: 6116-7131 AuthorID (РИНЦ): 111678 AuthorID (SCOPUS): 6603882920 Адрес для переписки: [email protected] МАРЧЕНКО Илья Олегович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Системы сбора и обработки данных». SPIN-код: 7744-1591 AuthorID (РИНЦ): 583134 AuthorID (SCOPUS): 57193877973 Адрес для переписки: [email protected] ТРУБИЛИНА Екатерина Евгеньевна, ассистент кафедры «Системы сбора и обработки данных». Адрес для переписки: [email protected] ТРУБИЛИН Александр Александрович, аспирант кафедры «Системы сбора и обработки данных». Адрес для переписки: [email protected]
Для цитирования
Гужов В. И., Марченко И. О., Трубилина Е. Е., Труби-лин А. А. Дискретизация сигналов с помощью конечного набора апертур // Омский научный вестник. 2021. № 1 (175). 2021. С. 55-58. DOI: 10.25206/1813-8225-2021-175-55-58.
Статья поступила в редакцию 17.10.2020 г. © В. И. Гужов, И. О. Марченко, Е. Е. Трубилина, А. А. Трубилин
