CC BY
9
Рис.2 Графики зависимости вертикальной компоненты тензора деформации от величины поля силы тяжести для случайного распределения источников (а) и наклонного стержня (б)
Тд
На рис.2 приведены графики зависимости одной из компонент тензора деформации от величины поля силы тяжести для наклонного стержня и случайного набора аномалиеобразующих источников. В этом случае искомая зависимость не является однозначной функцией. Результат аппроксимации ее алгебраическим многочленом целиком определяется набором точек.
Проведенные расчеты позволяют предложить следующую методику расчета параметров НДС, обусловленных действием гравитационного поля на геологические объекты. Для двухмерных и изометричных изолированных аномалий поля силы тяжести выбираются точки наблюдения, захватывающие весь диапазон изменения поля. По плотностной модели для этих точек вычисляются компоненты тензора деформации. Методом наименьших квадратов определяются коэффициенты уравнений регрессии. Затем по полю силы тяжести определяются компоненты тензора деформации, а по ним - главные значения и главные направления тензора деформации и другие характеристики НДС.
Для сложных гравитационных полей необходимо составить плотностную модель исследуемой территории и для полученной модели вычислить деформации и иные параметры НДС.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Миндлин Р., Чень Д. Сосредоточенная сила в упругом полупространстве //Механика. - 1952. - N4(14). - С. 118-133.
2. Филатов В.В., Кузнецов Н.С. Применение гравиметрии для тектоно-физического анализа // Известия вузов. Геология и разведка. -1989. - N4. - С.97-102.
3. Филатов В. В. Теоретические основы метода оценки деформации по гравитационному полю // Геофизические аспекты геологического строения месторождений калийных солей: Сб.научн.трудов / ВНИИГ. - Л., 1989. - С. 155-161.
УДК 550.837
В.М.Сапожников
ДИСК, ПОЛУПЛОСКОСТЬ И ПЛОСКОСТЬ С ВЫРЕЗОМ, ИМЕЮЩИЕ ПРЕДЕЛЬНУЮ ИЛИ КОНЕЧНУЮ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ, В ПОЛЕ
ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА ТОКА
Известное решение задачи о сфероиде в поле точечного источника записывается через двойные ряды, включающие присоединенные полиномы Лежандра комплексных аргументов [8]. Для расчетов и анализа более удобно решение о плоском круглом диске-проводнике, выраженное через элементарные функции [6]. Поэтому представляет интерес рассмотрение и других объектов, требующих решения задачи одного типа с той, которая получена для диска-проводника.
Как и в работе [б], будем совместно использовать декартовые и сфероидальные координаты. Уравнения поверхностей сжатых сфероидов ( X = const), однополостных гиперболоидов ( ц = const) и плоскостей, выходящих из оси вращения^( ф = const), имеют вид
(Хг + y2)/RJ(XJ+ 1) + Z= 1, (Х2+ yVR2(1 - И2)" ZШ\1 =1, (1)
где R - радиус фокального диска. Связь между координатными системами устанавливается уравнениями:
г =
х2 =
X2 + У2 = Р2(1 + Х2)(1- [I2), О.б^2/!*2 - 1 +[412/Я2 - 1)^г]1/2}, I-2 = X2 +У2 + г2,
Рис.1 Координатные поверхности X и р в задачах о плоском круглом диске ( X = О) и плоскости с круговым вырезом (ц. = О) с предельной электропроводностью, возмущающих поле точечного источника (А) тока:
причем 0-^Х 0^ф<2тг (рис.1).
Если принять, 41 о для точечного источника А ( Хо, 2а, А-о, 0 ) тока I, помещенного в среду с удельным сопротивлением р , имеем О =р 1/471, то потенциал нормального поля в текущей точке М (X, У, Т, X, р, ф ) записывается выражением
ио = О/г,, > (3)
где г2, = (х - хо)2 + (у - уо)2 + {1 - гоу.
Согласно работе [6], аномальный потенциал круглого диска-проводника имеет вид
II. = гОлг ^ 'агсс1дХоагсс1д^- Оя Н^ 'г + г1,)агс1д[(г2 + г,)/21*;ап] +
+ (г'2 - г'|)агс1д[г2 - r1/2RUo]}, (4)
где г2? = (X - Хо)2 + (У - Уо): + (1 + 2сУ представляет расстояние до точки М от фиктивного точечного источника А,, являющегося зеркальным отражением точки А в плоскости 2=0, включающей диск. В выражении (4) первый член является составляющей I) а остальные члены относятся к составляющей и \ На проводнике последняя обеспечивает компенсацию нормального поля, а первая составляющая - сохранение потенциала, точно соответствующего полю заряженного током I проводника в точке А. В результате этого выполняется известная теорема взаимности.
Распределение плотности аномальных токов на диске равно [6]
ои = 20я'р-,[(агсс1дХвУ рЯ2 - Х/рг2 -РХг3агс1д(Ррцо/г) Т 0.5^/4, (5)
причем у последнего члена знак (-) относится к стороне поверхности диска, обращенной к источнику А, а знак (+) - к противоположной стороне, г - расстояние от источника до точки на диске.
Решение (4) удовлетворяет всем условиям, в том числе из него получаются все известные формулы, справедливые для частных случаев (расположение точек А и М на оси диска, однородное поле, заряженный диск и др.) [1,4,5].
Преобразуем диск в полуплоскость. В цилиндрической системе координат (1,8,х) с началом на краю диска и осью х, совпадающей с касательной к диску, в результате предельного перехода получим аномальный потенциал полуплоскости-проводника, возмущающий нормальное поле точечного источника А (а, у, хо):
и, = -О7с ,{г,,агс1д[г1/2(1а),/2со5(8 - у>/2] — г,2агс1д[г2/2(1а)'/2со5(0 + у)/2] + я/г,г}, (6)
причем последний член отсутствует, если (с1д0.5 9 с(д0.5у)<1, и индекс у него зависит от положения точки М (при гг > г, имеем г}, а при г2< г, - г,).
Эта формула точно совпадает с той, которая вытекает из известного решения Макдональда для клина, грани-проводники которого образуют тупой угол 2к [2].
Подмечено [3], что решение задачи о клине с гранями-проводниками легко переходит в решение, когда грани - изоляторы. Для этого достаточно отрицательные фиктивные источники заменить на положительные. Тем самым обеспечивается отсутствие на гранях клина нормальной составляющей
-лэтности тока. Этот прием справедлив как для острых, так и для тупых углов. Частным случаем последних =гляется полуплоскость. Применительно к ней для получения решения с материалом-изолятором следует • аыражении [6] изменить знак у множителя, с помощью которого выражена мощность отображенного фиктивного источника. В результате аномальный потенциал полуплоскости-изолятора равен
и = -О7г'{г\агс,9[г,/2(1а),/2со5(в . у)/2] + г,3агс(д[г2/2(1а),''2со5(в + у)/2 - я/г21} (7)
с теми же оговорками, которые сделаны для решения (6).
Возвращаясь к диску и применяя для него аналогичное преобразование решения (4), получим выражение аномального потенциала для диска-изолятора:
и. = -07Г '{г,1агс1д[г1/Р(ио+ - г'2агс1д[г2/Р(и - ццо)] - к/г2,} (8)
или
и. = Отг-Ч(г'2 + Г\)агс1д[(г2 - г,>/2^] + (г'г- г >гс1д[(г2 + г,)/2Ю0,о)} (81)
Выражение (8) удовлетворяет уравнению Лапласа и предельным условиям. Нормальная составляющая напряженности поля на диске равна нулю, а аномальное поле создается за счет двойного заряженного слоя на незамкнутой поверхности. На стороне диска, обращенной к источнику нормального поля, находятся положительные аномальные токи, а на противоположной стороне - отрицательные.
Известно, что величина переменной плотности двойного слоя Г| определяется по величине скачка потенциала при переходе через двойной слой [5]. Вычисляя эти потенциалы для "К =0, а затем и их разность, получим:
Л = 40(тсрг) •агсгд(Рцм0/г), (8")
где г - расстояние от источника до точки на диске.
Плоскость с круговым вырезом (диафрагма) может служить моделью слоя, экранирующего поле точечного источника тока на большой площади, за исключением участка, где сплошность слоя нарушена. В электростатике известно решение задачи о поле диафрагмы-проводника радиуса Р для случая расположения источника и точки наблюдения на оси симметрии Ъ, перпендикулярной пластине [1,4]. Используя опыт конструирования общего решения по частным на примере диска-пооводника [6], придем к выводу о том, что в случае диафрагмы аномальный потенциал записывается в виде двух формул. В полупространстве 1, содержащем источник, имеем:
и; = Отг'{(г1г + г\)агс1д[(гг - г)/ЖХо] + (г\ - г\)агс1д[(г2 + г,)/2^Хо| - тс/г,}. (9)
Для получения формулы и 1, отвечающей случаю расположения источника и точки наблюдения по разные стороны от пластины, достаточно в выражении (9) поменять индексы у расстояний г, и г}. Выполняя дифференцирование по известной формуле [5]
о = -<эи/рН2йЦ ц=0 (10)
и учитывая, что Н2=РЯ., получим плотность наведенных токов на пластине, равную
о = -2(тоцо(тфг3)-1(г/тХ.о + агс1дРХХо/г4тгг), (11)
где (+) относится к стороне, обращенной к источнику нормального поля, а знак (-) - к противоположной стороне.
Полученное (Ьешение удовлетворяет всем необходимым требованиям: уравнению Лапласа, предельным и граничным условиям, формулам, известным для частных случаев. Например, закрепив один край выреза и положив ^оо, получим решение, совпадающее с (6) и соответствующее случаю полуплоскости-проводнику.
На основе уже применявшегося перехода от пластины-проводника к пластине-изолятору легко записать выражения аномального потенциала для плоскости с круговым вырезом, когда ее материал является изолятором. В итоге имеем:
и.,1 = -Отг'{(г'2 + г>гс<д[(г2 + г,)/2Шд+ (г\ - г>гс1д[(гг - г,)/21аА,в] - и/г,}, (12)
U>2' = -Ort '{(r'j + r>rctg[(r2 + r,)/2RU] + (r'2 - r',)arctg[(r2 - r,)/2RUJ - n/r,}. (13) Иллюстрацией применения полученных решений для исследования картины распределения результирующего (U = Uo+ U#) и аномального потенциала являются рис.2 и 3.
Рис.2. Изолинии
результирующего и и аномального иа потенциала для двух случаев расположения точечного источника тока (звездочка) относительно плоского круглого диска-изолятора. Токовые линии -штрихи со стрелкой
возмущающих поле точечного источника тока:
I - плоскости-изоляторы, II - плоскости-проводники.
В верхней части рис. изолинии и и иа для сплошной плоскости показаны совместно потому, что аномальное поле симметрично относительно плоскости и при ее предельной электропроводности результирующее поле за ней равно О
Решения для тел с предельной электропроводностью открывают широкие возможности по исследованию влияния тел подобной формы с конечной электропроводностью. Анализ аномальных полей объектов с одинаковыми геометрическими, но разными электрическими параметрами показывает, что для них характерно квазиподобие аномалий. Это легко проследить на примере контакта или шара [9]. Однако, если для контакта подобие аномалий наблюдается во всем диапазоне изменения электрических свойств, то для шара можно говорить лишь о квазиподобии, которое наиболее отчетливо проявляется отдельно для классов тел с повышенной электропроводностью и тел с пониженной электропроводностью. Роль эталонных объектов в каждом классе могут выполнять тела с предельной электропроводностью. Это положение справедливо и для объектов другой формы [7].
Таким образом, для тела с конечным удельным сопротивлением р,, расположенным в среде р,, справедливо уравнение:
и. = тО., (14)
где - аномальный потенциал этого тела с предельным значением р2 (при р,< р, предельное р2=0, а при р2>р, предельное р,= сю), т - масштабный коэффициент, отражающий степень ослабления аномалии в пределах от 1 до 0.
Определение конкретного значения т может осуществляться несколькими способами, требующими специального рассмотрения. Для практики важно, что можно на этой основе вести расчеты ожидаемых аномалий или применять общие в пределах каждого класса тел приемы интерпретации. Пример такого подхода показан на рис.3.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. - М.: ИЛ, 1961. -712 с.
2. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. - М.-Л.: АН СССР, 1948. - 730 с.
3. Краев А.П. Основы геоэлектрики. - Л: Недра, 1965. - 588 с.
4. Методы расчета электростатических полей /Миролюбов H.H., Костенко М.В., Левинштейн М.Л. и др. - М.: Высшая школа, 1963. - 426 с.
5. Овчинников И. К. Теория поля. - М.: Недра, 1979. - 352 с.
6. Сапожников В.М. Возмущение электрического поля точечного источника проводящим плоским круглым диском //Вопросы разведочной геофизики; Тр. Свердл. горного ин-та. - Свердловск, 1973, вып. 105. - С. 88-106.
7. Сапожников В.М. Скважинная электроразведка рудоносных структур: Дис. ... докт.геол-минер.наук. - Свердловск, 1988. - 460 с.
8. Халфин Л. А. Поле точечного источника в присутствии сжатого или вытянутого сфероидов //Изв. АН СССР, сер.геофиз. - 1956 .- N6. - С.657-668.
9. Электроразведка рудных полей методом заряда /Семенов М. В., Сапожников В.М., Авдевич М.М. и др. - Л.: Недра, 1984. - 216 с.
УДК 550.83
И.Г.Сковородников
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕХНИКИ И МЕТОДИКИ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКИХ СКВАЖИН
Потребление пресных вод для обеспечения промышленности, сельского хозяйства и бытовм нужд населения увеличивается во всем мире. Доля подземных вод в общем водопотреблении России составляет около 8%, в то время как в развитых европейских странах она достигает 60-80% [1] Нет сомнений, что и в нашей стране роль подземных вод будет возрастать, так как ресурсы поверхностных вод ограничены, а загрязненность их увеличивается.
Уже сегодня для целей водоснабжения, гидрогеологических и инженерно-геологических исследований в России ежегодно сооружается свыше 18 тыс.скважин, причем бурение в большинстве случаев ведется сплошным забоем, без отбора керна [1,4]. По этой причине вопросы усовершенствования техники и методики их исследований весьма актуальны и имеют большое научное и практическое значение. Один из основных путей увеличения информативной ценности буровых скважин на воду заключается в привлечении для их исследований современных геофизических методов.
Геофизические исследования скважин (ГИС) при гидрогеологических изысканиях обеспечивают решение таких задач, как литологическое расчленение разрезов скважин и выделение в них водоносных горизонтов, определение емкостных и фильтрационных свойств коллекторов воды, определение минерализации и изучение элементов динамики подземных вод. При этом методы ГИС позволяют повысить точность и достоверность определений, увеличить их оперативность и уменьшить стоимость, в первую очередь, за счет сокращения объемов опытных и пробных откачек и поинтервального опробования [2,4]. Однако возможности ГИС в этой области не реализуются в полной мере из-за неустраненных недостатков методического и аппаратурного обеспечения.
В настоящей статье обобщаются результаты работ, проводившихся в Уральском горном институте (ныне УГГГА) по применению ГИС для гидрогеологических целей в течение последних ?0 лет. Разработки, выполненные за это время, получили известное признание на производстве, опубликованы в специальной литературе, демонстрировались на зарубежных выставках и на ВДНХ СССР, их новизна на мировом уровне подтверждена более чем 40 авторскими свидетельствами.
В решение каждой из перечисленных выше задач по исследованию скважин на воду этими разработками внесен определенный вклад методического или аппаратурного характера.
Задача литологического расчленения разрезов успешно решается с помощью геофизических методов в скважинах, пробуренных на воду как в осадочных, так и в изверженных и метаморфических породах. Возможности ГИС и удельный вес отдельных методов каротажа в различных геолого-технических условиях проанализированы в отечественных и зарубежных источниках [2]. Определенная сложность решения этой задачи заключается в том, что большая часть
