Динамико-вероятностный метод четырехмерного анализа и вариационного усвоения полей метеоэлементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6 А.В. Протасов

ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск

ДИНАМИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО АНАЛИЗА И ВАРИАЦИОННОГО УСВОЕНИЯ ПОЛЕЙ МЕТЕОЭЛЕМЕНТОВ1

Рассматривается климатический ансамбль возможных реализаций соответствующих многомерных гидрометеорологических полей для выбранного интервала времени и заданного региона в виде [1-3,6]

{4,/ = 1,2,...}, (1)

где Е,'(п) = (Г/1 (Х/, !к), Т1 (Х/, 1к), Н' (Х/,/А),...)' - вектор реализаций полей скорости, температуры, геопотенциала и т. д. в пространственно-временных точках (Х.,^) рассматриваемой сеточной области размерности п .

Для численного построения ансамбля (1) используется совместное стохастическое и динамическое моделирование на основе объединения на принципе вариационного усвоения информации [1].

Этот подход позволяет совместить особенности детерминированных численных моделей динамики атмосферы и вероятностных моделей. Численная модель гидротермодинамики при этом служит пространственно-временным согласующим интерполянтом для восполнения и согласования пространственно-временных реализаций в некотором оптимальном смысле и позволяет получать те климатические характеристики, которые в исходную вероятностную модель не заложены и даже не могут быть достоверно получены по самой вероятностной модели. Кроме того, этот подход позволяет также получать соответствующие ансамбли статистически независимых климатических реализаций для отдельно выбранного региона и короткого периода времени. Существенной особенностью данного подхода является то, что в рамках единой модели используются данные реальных измерений, статистическое моделирование и численная модель гидротермодинамики атмосферы. При этом основным связующим элементом является вариационное усвоение информации гидродинамической моделью. В нашем случае используется вариационное усвоение на всем рассматриваемом временном интервале в пределах предсказуемости численной модели.

Суть этого подхода заключается в следующем. По доступной статистически значимой реальной климатической информации, заданной в виде соответствующих статистических характеристик (распределений, норм, дисперсий, корреляционных связей и т. д.), методами статистического моделирования строится ансамбль реализаций климатических случайных полей гидрометеоэлементов (1) с заданной статистической структурой [1-3,

9].

В данной работе предлагается один из методов статистического моделирования гидрометеорологических полей, основанный на спектральном

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ 05-05-98000-р_обь_а

разложении соответствующей корреляционной матрицы, рассчитанной по реальным данным [3].

Таким образом, пусть я - многомерная корреляционная матрица. представим ее спектральное разложение в виде

Я = ЖЛЖТ, (2)

где Ж - матрица собственных векторов корреляционной матрицы Я;

Л - диагональная матрица соответствующих собственных значений.

Заметим, что представление (2) является ни чем иным, как разложением ее по так называемым главным факторам, а задача (2) является соответствующей задачей определения главных факторов. В нашем случае дальнейший шаг заключается в определении квадратного корня матрицы Я в

11 1 виде Я2 = Ж Л2 ЖТ, где Л2 - диагональная матрица, на диагонали которой

стоят квадратные корни соответствующих собственных значений матрицы Л,

а индекс Т определяет операцию транспонирования.

Тогда один из методов статистического моделирования можем определить в виде

Ш=+? (хрУгРп<,1 о=и,- • •),

(3)

где \[/и) {х пу п р р1 .)'\ (г = 1,2,...) -Гауссовский случайный вектор с единичной дисперсией и нулевым средним, - диагональная матрица

дисперсий, {хпуп рп(/) - вектор средних моделируемой случайной величины ^ . Нетрудно видеть, что корреляционная матрица случайного

вектора в точности совпадает с матрицей II.

Дальнейшим шагом для построения климатического ансамбля реализаций является применение вариационного усвоения. С этой целью для каждой реализации из этого ансамбля (3) решается задача вариационого усвоения с помощью математической модели гидротермодинамики атмосферы, в результате чего получается ансамбль новых реализаций,

{IV = I’2’-} (4)

отличающихся от исходных с точностью решения задачи усвоения и удовлетворяющих свойствам, присущим математической модели.

Подробное описание совместной динамико-вероятностной модели и некоторые ее характеристики даны в работе [1]. Для решения этой задачи используется итерационный метод градиентного спуска, основанный на методе Лагранжа и решении соответствующих прямых и сопряженных задач. В численных расчетах ансамбль (3) был представлен только реализациями поля температуры. Однако, ансамбль (4) содержит уже все поля метеоэлементов в соответствии с использованной моделью [1]. В этом смысле модель является не только пространственно-временным интерполянтом, но и позволяет воспроизводить недостающие поля метеоэлементов. Анализ статистической

структуры ансамбля (3) показывает, что этот ансамбль может быть использован в качестве климатического для дальнейшего использования при решении прикладных задач и, в том числе, для задачи распространения примеси в атмосфере и исследования процессов выбросов в атмосфере. Например, рассчитанный локальный климатический ансамбль (4) включающий в себя 2000 реализацию, оказался вполне информативным для получения соответствующих статистически значимых оценок [1 -3].

Одним из практических применений ансамбля (4) является метод четырехмерного анализа полей метеоэленентов, заданных в нерегулярных пространственно-временных точках [6]. Этот метод основан на представлении искомых полей метеоэлементов в регулярных пространственно-временных точках в виде соответствующего конечного отрезка ряда фурье разложения этих полей по ортогональным функциям базиса главных факторов корреляционной матрицы ансамбля (4). При этом коэффициенты разложения соответствующего ряда Фурье определяются методом наименьших квадратов по данным измерения в нерегулярной сети станций. Достаточно подробное описание этого алгоритма приведено в работе [5-6]. Мы остановимся лишь на одном из существенных моментов при построении соответствующих корреляционных матриц как для исходного стохастического моделирования (2), так и для расчета многомерных базисных функций главных факторов ансамбля (4). Поскольку реализации ансамблей (1) и (4) содержат в своем представлении различные размерные компоненты (температура, давление, скорость ветра и т. д.), то, естественно, необходимым предварительным этапом является их обезразмерование и взаимное согласование по характерной величине. В противном случае может оказаться, что второстепенные компоненты в реализациях (например, влажность) будут определяющими, что неминуемо отразится на информативности соответствующих базисных функций главных факторов. Поскольку при расчете корреляций и минимизации функционала качества в задаче вариационного усвоения используются квадратичные зависимости, то, естественно, использовать для нормировки и согласования компонентов реализаций те же коэффициенты, что и задаче вариационного усвоения с помощью численной модели гидротермодинамики атмосферы [1], а именно, согласующие коэффициенты в соответствующем интеграле полной энергии системы. Конечно, интеграл полной энергии системы не всегда удается представить в виде суммы квадратичных слагаемых, что зависит от используемой модели динамики атмосферы. Поэтому в этом случае необходимо использовать некоторое приближенное представление интеграла полной энергии, в котором свойства квадратичности имели бы место. В нашем случае для используемой модели динамики атмосферы интеграл полной энергии представим в виде

ж ^ Ц V

Е0) = тур 42 + V2 + ----------=Т2Шв + тт —^Я2^

а 3 (& - ё¥ ш в в

где ga - сухоадиабатический градиент температуры; g - градиент температуры стандартной атмосферы Т = Т (р); Т - отклонение температуры

от ее стандартного значения Т ; Я - газовая постоянная; О = [0,X ]г [0,7 ]г р ,0] = 08 г р ,0] - область решения задачи; р5, Т, Н -приземное давление, температура стандартной атмосферы и отклонение геопотенциала от стандартного значения на уровне земли соответственно; g - ускорение свободного падения.

Таким образом, исходя из формулы (5), нормировочные множители для компонентов и, у,Т и Н реализаций в ансамбле (4) следует выбрать равными

І

(.Га ~У)Т

Р* (6)

КГ3

соответственно, которые характеризуют взаимное соотношение величин этих компонентов.

Для расчета корреляционной матрицы и базисных функций главных факторов используется специальный алгоритм, учитывающий достаточно большую размерность векторов реализаций в ансамбле (4). Подробное описание этого алгоритма приведено в работах [4,6].

Численные эксперименты с использованием данной методики для задачи четырехмерного анализа полей метеоэлементов, приведенные в работе [6] (см. рис. 1), показывают его высокую эффективность. Поскольку базисные функции главных факторов имеют не только регулярную пространственную структуру, но и заданы в регулярных временных точках, то этот метод может быть использован для быстрого усвоения данных измерений полей метеоэлементов, о чем также свидетельствуют приведенные результаты работы [6].

Т

100 200 300 400 500

X кт

Рис. 1. Изолинии поля температуры на уровне 500 мб в момент времени ї = 0, полученного после вариационного усвоения (сплошные линии) данных, заданных в точках, обозначенных символом * и изолинии поля температуры, полученного в результате четырехмерного анализа (пунктирные линии) по главным факторам

1. V.A. Ogorodnikov and A.V. Protasov, Dynamic probabilistic model of atmospheric processes and variational methods of data assimilation. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (1997), 12, No. 5, 461-479.

2. V.A. Ogorodnikov and A.V. Protasov, Variational method of data assimilation in the dynamic probabilistic modelling of climatic fields in the atmosphere. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (2000), 15, No. 5, 435-454.

3. Протасов, А.В. Динамико-вероятностное моделирование климатических полей метеоэлементов в локальной области на основе данных реанализа / А.В. Протасов // Тр. Междунар. науч. конгр. «ГЕО-Сибирь-2006», т. 3, ч. 2. - Новосибирск: Изд-во СГГА, 2006. - С. 112-118.

4. Пененко В.В. Построение естественных ортогональных базисов для представления полей метеоэлементов / В.В. Пененко, А.В. Протасов // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1978. - Т. 14. - № 12.

5. Протасов А.В. Использование естественных ортогональных базисов для восстановления полей метеорологических элементов по данным измерений на редкой сети станций / А.В. Протасов, В.В. Чекурова // Метеорология и гидрология. - 1983. - № 1. - С. 105-109.

6. Протасов А.В Динамико-вероятностный метод четырехмерного анализа полей метеоэлементов / А.В. Протасов. Тезисы доклада на XIII Рабочая группа «Аэрозоли Сибири». - Томск, 2005.

© А.В. Протасов, 2007