CC BY
30
УДК 519.6 А.В. Протасов ИВМиМГ, Новосибирск
ДИНАМИКО-ВЕРОЯТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛИМАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ МЕТЕОЭЛЕМЕНТОВ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ НА ОСНОВЕ ДАННЫХ РЕАНАЛИЗА
Рассматривается климатический ансамбль возможных реализаций соответствующих многомерных гидрометеорологических полей для выбранного интервала времени и заданного региона в виде [3-7]
{4,; = 1,2,...}, (1)
где Е,'(п) = ф1 (Xj,tk),Т1 (Xj,tk),H1 (Xj,tk),...)T - вектор реализаций полей скорости, температуры, геопотенциала и т.д. в пространственно-временных точках (X tk) рассматриваемой сеточной области размерности п .
В отличии от существующих в настоящее время климатических численных моделей, основанных на полных уравнениях гидротермодинамики, в которых результат моделирования климата получают за счет все большего физического усложнения самой модели, применения детального пространственно-временного разрешения, включения различных параметризаций (влаги, потоков тепла, пограничных слоев и т.д.) и интегрирования на длительные сроки по времени с выходом на некоторый квазипериодический режим, в данной работе предлагается моделировать непосредственно независимые климатические реализации пространственновременных полей метеоэлементов с некоторым набором статистических характеристик, оптимально близких относительно выбранного квадратичного функционала качества к соответствующим характеристикам реальных полей. Этот подход наиболее близок к моделированию климата с помощью вероятностных моделей [1], и при этом позволяет совместить особенности детерминированных численных моделей динамики атмосферы и вероятностных моделей. Численная модель гидротермодинамики при этом служит пространственно-временным согласующим интерполянтом для восполнения и согласования пространственно-временных реализаций в некотором оптимальном смысле и позволяет получать те климатические характеристики, которые в исходную вероятностную модель не заложены и даже не могут быть достоверно получены по самой вероятностной модели. В отличие от глобальных численных климатических моделей данная модель позволяет также получать соответствующие ансамбли статистически независимых климатических реализаций для отдельно выбранного региона и короткого периода времени. Существенной особенностью данного подхода является то, что в рамках единой модели используются данные реальных измерений, статистическое моделирование и численная модель гидротермодинамики атмосферы. При этом основным связующим элементом является вариационное усвоение информации гидродинамической моделью.
В нашем случае используется вариационное усвоение на всем рассматриваемом временном интервале в пределах предсказуемости численной модели. В силу нелинейности исходной численной модели гидродинамики атмосферы и, как следствие этого, неединственности решения задачи минимума рассматриваемого функционала качества, а также в силу того, что в общем случае не существует доказательства сходимости и единственности получаемых решений следует крайне аккуратно подходить к введению в модель дополнительных минимизируемых функционалов таких как функционалы качества модели, функционала модели измерений и т.д. Поэтому в каждом таком конкретном случае необходимы дополнительные теоретические или численные исследования эффективности подобных введений функционалов и в этом случае необходимо, как правило, также введение уравнений, определяющих соответствующие связи между рассматриваемыми компонентами. Кроме того, для целей построения климатического ансамбля реализаций необходимо рассматривать задачу вариационного усвоения на всем временном интервале, поскольку применение так называемого последовательного пошагового усвоения не обеспечивает необходимой гладкости решений и соответствующий тренд для дальнейшего использования полученного поля в режиме прогноза [2]. Таким образом, в соответствии с работой [2,3] общая схема численного моделирования ансамблей климатических реализаций состоит в следующем. По доступной статистически значимой реальной климатической информации, заданной в виде соответствующих статистических характеристик (распределений, норм, дисперсий, корреляционных связей и т.д.), методами статистического моделирования строится ансамбль реализаций климатических случайных полей гидрометеоэлементов (1) с заданной статистической структурой [2-7].
В данной работе предлагается один из методов статистического моделирования гидрометеорологических полей, основанный на спектральном разложении соответствующей корреляционной матрицы, рассчитанной по реальным данным. В качестве реальных данных были использованы данные реанализа поля температуры NCEP/NCAR за 1948 - 2005 годы на десяти стандартных уровнях для зимнего сезона года с дискретностью по времени 6 часов и 2.5х2,5 градусов по горизонтали. Выборка осуществлялась для
заданной локальной области Северного полушария размером 10°х10° с центром в точке с кородинатами 60,56° Северной широты и 77,7° Восточной долготы. Задача расматривалась в системе координат х, у,р в области, нижним основанием которой является прямоугольник на плоскости, касательной в этой центральной точке. Для построения сеточной области было выбрано разрешение 24 х 20 по х и у с шагами Ах = 23,85 км и Ау = 58,74 км соответственно.
Таким образом, с учетом внешних точек реанализа по отношению к рассматриваемой области и двух моментов времени на десяти изобарических поверхностях была рассчитана корреляционная матрица Я поля
температуры. Ее размерность составляет 740*740. Общий качественный характер этой корреляционной матрицы соответствует ранее используемой в экспериментах корреляционной матрице, взятой из работы [1].
Таким образом, пусть R - многомерная корреляционная матрица. Представим ее спектральное разложение в виде
R = WAWT, (2)
где W - матрица собственных векторов корреляционной матрицы R , а Л - диагональная матрица соответствующих собственных значений. Заметим, что представление (2) является ни чем иным, как разложением ее по так называемым главным факторам, а задача (2) является соответствующей задачей определения главных факторов. В нашем случае дальнейший шаг заключается в определении квадратного корня матрицы R в виде
11 1 R2 = WЛ2 WT, где Л2 - диагональная матрица, на диагонали которой стоят
квадратные корни соответствующих собственных значений матрицы Л , а
индекс Т определяет операцию транспонирования.
Тогда один из методов статистического моделирования можем определить в виде
Ш = DiR^{l\xJ,yJ,pJ,tJ)T + Z(xryrpJ,tJ), (/ = 1,2,...), (3)
где у/{,\xryrprtjf, (г = 1,2,...) - Гауссовский случайный вектор с единичной дисперсией и нулевым средним, /Л - диагональная матрица
дисперсий, Е,{хруpPjJ/.) - вектор средних моделируемой случайной
величины 1^. Нетрудно видеть, что корреляционная матрица случайного
вектора в точности совпадает с матрицей R.
Дальнейшим шагом для построения климатического ансамбля реализаций является применение вариационного усвоения. С этой целью для каждой реализации из этого ансамбля (3) решается задача вариационого усвоения с помощью математической модели гидротермодинамики атмосферы, в результате чего получается ансамбль новых реализаций,
{!;,,; = 1,2,...}, (4)
отличающихся от исходных с точностью решения задачи усвоения и удовлетворяющих свойствам, присущим математической модели.
Подробное описание совместной динамико-вероятностной модели и некоторые ее характеристики даны в работе [2]. Для решения этой задачи используется итерационный метод градиентного спуска, основанный на методе Лагранжа и решении соответствующих прямых и сопряженных задач. В численных расчетах ансамбль (3) был представлен только реализациями поля температуры. Однако, ансамбль (4) содержит уже все поля метеоэлементов в соответствии с использованной моделью [2]. В этом смысле модель является не только пространственно-временным интерполянтом, но и позволяет воспроизводить недостающие поля
метеоэлементов. Статистические свойства воспроизводимых полей качественно соответствуют ранее полученным результатам из работ [3-6]. Анализ статистической структуры ансамбля (4) показывает, что этот ансамбль может быть использован в качестве климатического для дальнейшего использования при решении прикладных задач и, в том числе, для задачи распространения примеси в атмосфере и исследования процессов выбросов в атмосфере.
Рассчитанный локальный климатический ансамбль (4) включает в себя 2000 реализаций, которых оказалось вполне достаточно для получения соответствующих статистически значимых оценок.
Для численного анализа динамических процессов в реализациях климатического ансамбля (4) мы воспользуемся задачей численного моделирования процесса распространения пассивной примеси в атмосфере, поскольку этот процесс характеризует прежде всего свойства атмосферных движений и в силу линейности используемой модели распространения примеси характер ее пространственно-временного поведения полностью определяется соответствующими полями скорости ветра из климатического локального ансамбля. Поэтому свойства полученных распределений характеризуют также соответствующие свойства самого климатического ансамбля полей метеоэлементов. В отличие от существующих в настоящее время численных моделей распространения примеси, в которых в качестве фоновых полей скорости ветра используются либо средние климатические поля, либо поля, выбранные в соответствии с некоторыми характерными сценариями, зависящими, как правило, от субъективных критериев, в настоящей работе предлагается численно моделировать целый ансамбль реализаций пространственно-временных полей примеси в соответствии с выбранным ансамблем климатических реализаций поля ветра. Это гарантирует в определенном смысле статистическую полноту проводимых сценарных расчетов и соответствующую надежность статистических оценок. Процесс переноса примеси осуществлялся с помощью трехмерной модификации численной модели переноса на основе квазимонотонной численной схемы Ван-Леера.
Климатическим распределением примеси в локальной области мы будем считать соответствующее среднее по полученному ансамблю реализаций полей примеси.
Для определения понятия климатической траектории мы воспользуемся известным методом индикаторных функций и результатом осреднения ансамбля реализаций полей примеси.
С этой целью введем в рассмотрение функцию
где f - значение тестируемой функции, а lev - некоторое заданное число. Значения этой функции, равные единице в рассматриваемой области, от осредненной последовательности реализаций из ансамбля примеси
если f > lev если f < lev ’
определяют приближенную климатическую траекторию Tr распространения примеси при заданном пороговом значении lev. В численных экспериментах в качестве начального поля примеси, определяющего мгновенный источник загрязнения, было выбрано модельное поле примеси, локализованное в некоторой области 5 х 5 точек на уровне p = 850 мб с максимальным значением в этом центре, равным 1. Значение величины lev в расчетах было выбрано равным 0.05.
Заметим, что оценку степени принадлежности конкретной траектории распространения примеси к климатической траектории можно вводить различными способами в зависимости от целей исследований. Например, оценка принадлежности в виде отношения пересекающихся с климатической траекторией числа точек к общему числу точек этой климатической траектории в случае, если конкретная траектория полностью находится в климатической траектории, но остается в достаточно малой окрестности источника загрязнения, будет иметь малое значение, что должно указывать также на малое пересечение с климатической траекторией. С точки зрения исследования выбросов примеси это является вполне оправданным, поскольку в этом случае следует ожидать повышенное содержание примеси в этой окрестности. Таким образом, если мы хотим иметь соответствующую оценку степени геометрической принадлежности конкретной траектории распространения примеси климатической траетории, то следует рассматривать эту оценку, например, в виде отношения числа точек пересечения с климатической траекторией к общему числу точек конкретной траетории рапространения примеси. В дальнейшем мы будем рассматривать именно эту оценку. Обозначим эту величину через alf. Соответствующая осредненная по времени климатическая траектория, рассчитанная по этому ансамблю приведена на рис. 2. Поскольку реализации полученного ансамбля являются случайными вектор функциями, то величина степени принадлежности к климатической траектории, осредненной по расчетному интервалу времени, является также случайной функцией. Вид этой функции приведен на рис. 1, на котором по оси абцисс отложен соответствующий номер реализации. Среднее значение функции равно 0.9154, а оценка дисперсии составляет 0.123. Эти характеристики показывают, что в рассматриваемой постановке процессы распространения примеси имеют некоторое преобладающее направление, что позволяет локализовать наиболее вероятную область заданного уровня загрязнения.
На рис. 1 приведена соответствующая гистограмма этого распределения. На рис. 2 приведена также осредненная по времени конкретная траектория распространения примеси с минимальной степенью принадлежности климатической траектории, которая составляет величину 0.34, т.е. большая ее часть находится вне климатической траектории и она может в нашем случае рассматриваться как один из примеров выброса примеси. Мгновенный источник загрязнения был задан в окрестности точки, обозначенной на рис. 2 буквой А.
Рис. 1. График случайной величины alf и гистограмма ее распределения
Рис. 2. Взаимное пространственное расположение климатической траектории распространения примеси и траектории примеси, соответствующей выбросу (В). Точка А соответствует центру подобласти источника загрязнения. Вдоль осей координат отложены соответствующие номера узлов сеточной области
решения задачи
Приведенные численные результаты показывают, что предложенная методика может быть использована для выделения и анализа прямых и обратных климатических траекторий динамических процессов в атмосфере и детального исследования выбросов в атмосфере.
Работа выполнена при поддержке РФФИ 05-05-98000-робъа.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
методы
интерпретации
1. Л.С.Гандин, Р.Л.Каган. Статистические метеорологических данных. Л., Гидрометеоиздат, 1976.
2. V.A.Ogorodnikov and A.V. Protasov, Dynamic probabilistic model of atmospheric processes and variational methods of data assimilation. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (1997), 12, No. 5, 461-479.
3. V.A.Ogorodnikov and A.V. Protasov, Variational method of data assimilation in the dynamic probabilistic modelling of climatic fields in the atmosphere. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (2000), 15, No. 5, 435-454.
4. А.В. Протасов, В.А.Огородников. Динамико-вероятностное моделирование ансамбля атмосферных климатических полей в локальной области Труды Международной конференции «Математические методы в геофизике ММГ-2003, Часть 2, Новосибирск 2003, с 678-684
5. Протасов А.В., Огородников В.А. Динамико-вероятностное моделирование климатического переноса примеси в локальной области. Оптика атмосферы и океана, Том 17, 2004, № 05-06, -С 494-497
6. А.В. Протасов, В.А. Огородников. Численный метод стохастического моделирования климатичкеских траекторий распространения примеси в атмосфере // Труды Международной конференции по вычислительной математике, Часть I. -Новосибирск: Изд. ИВМ и МГ СО РАН, 2004. - С. 310-315
7. .А.В. Протасов. Динамико-вероятностное моделирование выбросов климатических процессов переноса примеси в локальной области на основе данных реанализа. Тезисы доклада на XII Рабочая группе «Аэрозоли Сибири», Томск,. 1 декабря 2005 г
© А.В.Протасов, 2006
