CC BY
51
УДК 539.186.22, 621.373.826
М.В. Рябинина, Л.А. Мельников
ДИНАМИКА ЗАСЕЛЕННОСТЕЙ УРОВНЕЙ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ПРИ ДВУХФОТОННОМ РЕЗОНАНСНОМ ПЕРЕХОДЕ 18-28 В АТОМЕ ВОДОРОДА (АНТИВОДОРОДА) В ПОЛЕ ФЕМТОСЕКУНДНОГО ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА
Исследуется динамика двух-фотонного 15« 2 5 перехода в атоме водорода (антиводорода) в поле фемтосекундного лазерного импульса линейно поляризованной стоячей волны. Численно решались уравнения для матрицы плотности трехуровневой системы, включающей 15, 2и 2р уровни, без использования приближения волн вращающейся поляризации и теории возмущения. Продемонстрированы когерентные Раби-осцилляции в различных точках пространства, влияние скорости атомов на динамику заселенностей уровней, эффект насыщения заселенности 2р-уровня и спектры многофотонных резонансов.
Ультра-короткий импульс, двухфотонный переход, атом водорода
M.V. Ryabinina, L.A. Melnikov
POPULATION AND POLARIZATION DYNAMICS IN 1S-2S TWO-PHOTON RESONANCE TRANSITION IN (ANTI) HYDROGEN ATOM INDUCED BY FEWTOSECOND LASER PULSE
The dynamics of two-photon 1s^2s transition in (anti)hydrogen atom in the field of femtosecond linearly polarized standing wave laser pulse is investigated. The density matrix equations for three levels 1s, 2s, and 2p were solved numerically out of frames of rotating wave approximation and perturbation approach. The coherent Rabi oscillation at different spatial points, velocity effect on level populations, saturation behavior of 2p-level population, and spectra of multiphoton resonances are demonstrated.
Ultra-short pulse, two-photon transition, hydrogen atom
Введение
Прецизионная спектроскопия (анти)водорода [1-3] основана на исследовании лазерно-индуцированного двухфотонного 1s « 2 s перехода в поле стоячей волны [4-6]. Стоячая волна в данном случае используется для компенсации допплеровского сдвига, который появляется вследствие движения атома. 1s « 2 s переход является запрещенным в дипольном приближении, но он может происходить при одновременном стимулировании 1s « 2p и 2p « 2s переходов полем лазерного импульса. Наиболее интересным свойством этого процесса является крайне малая естественная ширина линии этого перехода. Обычно двухфотонный 1s ® 2 s переход детектируется по излучению на переходе 2 p ® 1s после переноса заселенности из состояния 2s в состояние 2p в постоянном или низкочастотном электрическом
поле. Эксперименты с ничтожно малым количеством атомов антиводорода H довольно сложны и крайне желательно увеличение числа атомов в 2s -состоянии, что может быть достигнуто, например, повышением мощности лазера. Однако, использование лазеров высокой мощности сопровождается дополнительным уширением линии перехода, зависящим от мощности. Повышение мощности можно получить, используя режим сверхкоротких импульсов, при этом для получения стоячей волны необходимо использовать сталкивающиеся встречные импульсы [8,9,10]. Особенностями таких режимов является зависимость напряженности поля от продольной координаты x вдоль оси лазерного пучка и, соответственно, зависимость заселенностей уровней и поляризации среды от времени и от продольной скорости v = v x , как
параметра. Это означает, что задача о поведении атомной системы не может быть сведена с анализу системы с сосредоточенными параметрами, а адекватная модель должна включать пространственно-временные процессы.
В представленной работе с помощью численного моделирования исследуется динамика заселенностей 1s,2s и 2p состояний и поляризация среды на переходе 1s « 2s в условиях двухфотонного резонанса в атоме водорода (антиводорода) в поле фемтосекундного лазерного импульса высокой интенсивности вне рамок теории возмущения и без использования приближения волн вращающейся поляризации. Это позволяет получить детальную картину пространственно-временных процессов в атоме, выяснить особенности, связанные с движением атомов и изучить возможности разработки новых спектроскопических методов.
Уравнения для матрицы плотности
Мы рассматриваем состояния a (2s), b (1s) и c (2p) трёхуровневой системы (Рис. 1 а). Переход a « b индуцируется комбинацией полей и поляризаций на переходах c « b и c « a . Предположим, что данная система находится под действием фемтосекундного лазерного импульса с частотой, в два раза меньшей частоты перехода b « c . Это означает, что переход b « c возможен под действием двух квантов, что приводит к компенсации эффекта Доплера, возникающего при взаимодействии со стоячей световой волной. Таким образом, переход a « c является нерезонансным, в то время как переход b « c представляет собой резонансный двухквантовый переход.
Взаимодействие атома с лазерным полем в полуклассическом приближении описывается матрицей плотности P(x, v, t), которая характеризует группу атомов, имеющих скорость v, расположенных вблизи точки с координатами x (z,y - произвольные). Поле лазерного излучения представляет собой два z -поляризованных встречных импульса фемтосекундной длительности, распространяющихся вдоль оси x. Уравнение для р имеет следующий вид:
, , , Pvx f = + Pr) (')
где H = Ha + V - оператор Гамильтона, который является суммой гамильтониана атома Ha и
гамильтониана взаимодействия атома с полем V, Г - оператор релаксации. В дипольном приближении для плоской стоячей волны с линейной поляризацией вдоль оси z можно записать:
V = - rE ( r, t ) = - zA sin( Kx )cos(vt ), K = — = —.
c l
Тогда в базисе {a,b, c} -подуровней уравнения для компонент матрицы плотности принимают вид:
р + v Р = KPacPca - PcaPca ) A(x, t) - ГаРа^а ,
+ v Р = Î^bcPcb -PcbP'cb) A(x, t) + gaPaa + gcPcc,
P + v Цр^ = i(PcbPCb -PbcPb +&сар'са -PacPca ) A(X, t)-gcPcc, ^
àt àx (2)
P + v P = ''[(^ca (Paa - Pcc) + PP] A(x, t) - YacPaa, — + v P = '[(Pcb (Pbb -Pcc ) + PcaPab A x, t ) - | g + ' 3 \Pcb,
^^ cb^rbb г cc' о car ab J v ? / I ' cb ^
Ц^ + v = ~i(PaPbb -РасРсЬ)A(X, 0 - g + * 3^
„ . „ 128/V2"
Здесь pac = pca = 3/,pcb = pbc =-, v = vx , для изолированного атома
ga =1.61 • 10-16ат.ед.,gb = 0: для ограниченных в поперечном направлении лазерных пучков значения скоростей релаксации определяются временем взаимодействия (пролета атомов через
пучок), gc =1.4375-10-8ат.ед., ga// = 1(ga + gb),A(x, t) = Asin(Kx)cos(vt) (импульс
прямоугольной формы). Последние члены в квадратных скобках четвертого и пятого выражений и оба компонента с A(x, t) шестого выражения в (2) называются квадрупольными.
Эти уравнения решались численно с применением "метода линий". Использовались периодические граничные условия по X: р(x + 2PK, v, t) = p(x, v, t). Начальные условия:
exp
Pap = ddW (v)W (vy )W (vz ),W (vt ) =
лрЫ
где и - среднетепловая скорость. Условие нормировки раа + ръъ + рсс = 1 было использовано для проверки точности расчетов.
Численные результаты
На рис. 1 б демонстрируется пространственно-временная динамика заселенности уровня Ъ при нулевом значении скорости V, при значении амплитуды поля А = 0.075 и частоте V = 3/16 (двухфотонный резонанс). Момент времени, соответствующий половине оптического периода, показан стрелкой. Если двигаться вдоль оси ^, то видны осцилляции заселенности во времени, что соответствует осцилляциям Раби для двухуровневой системы. Вследствие того, что амплитуда поля зависит от координаты, период этих осцилляций также зависит от координаты: когда Кх = 0, ж осцилляции отсутствуют, при Кх = ж/2 осцилляции имеют минимальный период. Это приводит к быстрому изменению заселённости (и поляризации среды) вдоль оси х для больших времен.
4Б
ЭБ
4р Эр
2р
0
рм 1 0.75 0.5 0.25 0
4000
1= 0
1= 1
б
Рис. 1. Уровни энергии атома водорода. Стрелками показаны рассматриваемые переходы (а).
Динамика заселенности уровня Ь . V = 0,А = 0.075,V = сС2 = 3/16 (б)
Зависимость заселенности от координаты и времени для различных скоростей ансамбля атомов продемонстрирована на Рис.2 (а, б) для двух режимов: V = 0 и V = 2ат.ед. Здесь отчетливо виден «снос» заселенности при ненулевых скоростях. Однако, влиянием движения атомов при фемтосекундных длительностях импульсов можно пренебречь до длительностей импульса приблизительно т = 100фс и
температуре атомов около 100 К, при этом Кит» 10-3 и «снос» практически незаметен. При использовании последовательности импульсов учёт движения атомов становится важным в силу присутствия «сноса» при временах, сравнимых с периодом повторения импульсов.
Для атомов в газовой фазе, где присутствует тепловое движение атомов, для расчета поляризации среды необходимо проводить усреднение по скоростям. При длительностях импульсов в сотни фемтосекунд можно считать, что максвелловское распределение по скоростям, характерное для атомов в основном состоянии, сохраняется и для атомов в возбужденных состояниях. Так как динамика заселенностей для этих длительностей слабо зависит от скорости атомов, то можно считать, что V = 0 .
4000
3000
2000
1000
..................
пит.;;;: И"'!!!
Г ¡ г«:
и&з
4000
3000
к
2000 1000
'Ш1Ш111Н1
■'ИШНтииншнщ
Нин
НШИ|1|!|!|
100
200 300 г
400
500
100
200 300 г
400 500
Рис. 2. Динамика заселенности уровня с. V = 0 (а) и V = 2ат.ед. (б), А = 0.075,V = С/2 = 3/16
Для вычисления коэффициента поглощения излучения необходимо вычислить проекцию поляризации среды на лазерное поле:
Р(() = (81П(Кх)Р(X, V, X)>у-,х.
В нашем случае интегрирование по V выполнить легко, потому что Р(х,V, X) » Р(х,0, X). Рассчитывалась эволюция 2 -компонент поляризации среды Р(г, X) = Бр(фр(г,V, X)), (с учетом переходов а « с и с « Ь ) и поляризации только на переходе с « Ь РЬс(?) = |й3уфЬсрЬс + с.с).
Результаты расчета для Р(^) показаны на рисунках рис. 3 а и 3 б. Хорошо видны осцилляции на частоте перехода и частоте поля (показаны соответствующие периоды). Кроме того, в полной поляризации видны сравнительно низкочастотные колебания. Сравнивая эти результаты, можно сделать вывод, что эти низкочастотные колебания можно объяснить Раби-осцилляциями на переходе а « с , индуцированными нерезонансным лазерным полем.
0
а
0
0
0
0
б
а
P(t)
2nlv
Рис. 3. Динамика полной поляризации (а) и поляризации на переходе с « Ь (б). V = 0,А = 0.075,К = с/2 = 3/16.
Зависимость усредненных по времени и по координате X заселенностей уровней а и с, как функции частоты лазера, показана на рис. 4 для различных значений амплитуды поля А . Видно, что наблюдается многофотонный резонанс, имеющий заметное уширение, пропорциональное мощности поля. В перестроечной кривой для заселенности уровня с (рис. 4 г) виден многофотонный резонанс на низкочастотном «плече» сильно уширенного однофотонного резонанса при V = 3/8 .
< Paa > x,t
0.05
0.04
0.03
0.02 4-photon
0.01 1 I
0.1 0.125
I
photon
3-photon
0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
< paa > x, 3- photon 1 2-photon
0.25 t •• •
0.2
4-photon
• •
0.15 • • • •
0.1 • • • • • * . * • •
0.05 - • • • • : ч
• • -'
0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
<paa > x,t
0.25
0.2 0.15 0.1 0.05
3-photon
I 2-photon
4-photon
'w'
0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
<Pcc > x,t
0.007 0.006 0.005
0.004 4-photon 0.003 I .'
0.002 .••••• 0.001
• t
2- photon
3-photon
0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
t
б
а
N
N
б
а
N
N
в г
Рис. 4. Зависимости усредненной по X, / заселенности уровня а (а-в) и заселенности уровня с (г)
от частоты поля. А = 0.025 (а,г), А = 0.075 (б), А = 0.15 (в) На рис. 5 показана зависимость заселенности уровня а от амплитуды поля в условиях двухфотонного резонанса, которая демонстрирует эффект насыщения. Нетрудно видеть, что максимальная заселенность этого уровня может быть достигнута при амплитуде поля А»0.05ат.ед. Если после достижении максимальной заселенности «отключить» поле, то в дальнейшем возможна прецизионная спектроскопия перехода а « с при стимуляции двухфотонного перехода с помощью лазера малой мощности.
<Aa>*t
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
Рис. 5. Эффект насыщения усредненной по X и t заселенности уровня a. v = 0,V = w/2 = 3/16
Заключение
В данной работе продемонстрированы результаты численного исследования двухфотонного 1s « 2 s резонансного перехода в поле сверхкороткого лазерного импульса линейно поляризованной стоячей волны. Численно решались уравнения для матрицы плотности трёхуровневой системы, элементы который зависят от координаты и времени и от осевой скорости, как параметра, вне приближения волн вращающейся поляризации и вне рамок теории возмущения. Пространственно-временная динамика заселенностей 1s, 2 s и 2p - уровней исследовалась в зависимости от проекции скорости атомов на направление лазерного луча. Влияние скорости является пренебрежимо малым для импульсов с длительностью порядка 100 фемтосекунд и для температуры газа около 100 K и должно учитываться при использовании последовательности импульсов, с периодом повторения в несколько наносекунд. В работе также исследовались усредненные по времени и координате заселенности уровней в зависимости от изменения частоты лазера и амплитуды поля. При больших значениях амплитуды поля наблюдалось появление двух-, трёх- и четырёхфотонных резонансов. Рассчитаны характеристики насыщения заселенности 2 s уровня и показано, что при амплитуде A » 0.05ат.ед. заселенность достигает максимума. Данные результаты могут быть полезны при планировании экспериментальных исследований двухфотонных резонансов в водороде (антиводороде) при малом числе атомов.
ЛИТЕРАТУРА
1. G.Gabrielse, N.S.Bowden, P.Oxley, et al., Driven production of cold antihydrogen and the first measured distribution of antihydrogen states. Phys. Rev. Lett., 89, 233401 (2002)
2. M. Amoretti, C. Amsler, G. Bonomi, P.D.Bowe, et al. Search for laser-induced formation of antihydrogen atoms, Phys.Rev.Lett, 97, 213401 (2006)
3. M.Amoretti, et al., High rate production of antihydrogen, Phys. Lett. B, 578, 23-32(2004)
4. T.W.Hansch, J.Alnis, P.Fendel, M.Fischer, et al., Precision spectroscopy of hydrogen and femtosecond laser frequency combs, Phil. Trans. of Royal Soc.A-Math. Phys.& Eng. Sci. 363(1834), 21552163 (2005)
5. N.Kolachevsky, J.Alnis, S.D.Bergeson,and T.W.Hansch, Compact solid-state laser source for 1S -2S spectroscopy in atomic hydrogen, Phys. Rev., 73, 021801 (2006)
6. C. Novotny, B. Bernhardt, G. Ewald, C.Geppert, et al., Experimental test of special relativity by laser spectroscopy, Hyperfine Interact., 171, 57-67(2006)
7. Baklanov E.V. Precision laser spectroscopy of hydrogen and helium atoms, Quant. Electr. v.34(8),98-114 (2004)
8 A.V.Akimov, N.N.Kolachevsky, A.V.Sokolov, A.N.Matveev, et al., Spectroscopy of coherent population trapping with a light source based on a femtosecond laser, Quant. Electr., 34(10), 983-988(2004)
9. E.V.Baklanov, A.K. Dmitriev. Stabilisation, on the basis of narrow optical resonances, of the frequency of a laser continuously generating ultrashort pulses, Quant.Electr., 29(10), 873-876(1999)
10. M.Niering, R.Holzwarth, J.Reichert, P. Pokasov, et al., Phys. Rev. Lett., 84, 5496-5499(2000)
11. M.O.Scully, M.Sargent, W.E.Lamb,Jr. Laser Physics, Addison-Wesley, Mass.,1974
_,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-, A
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
12. H.Bethe, E.Salpeter, Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms, Academic Press, N.Y., 1957.
13. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика, т.3 (Квантовая механика), Москва, Наука,1974
14. W. E. Schiesser, The Numerical Method of Lines: Integration of Partial Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1991.
Мельников Леонид Аркадьевич -
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета им. Ю.А. Гагарина
Рябинина Мария Викторовна -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета им. Ю. А. Гагарина
Leonid A. Melnikov -
Dr. Sc., Professor
Head: Department of Instrumentation Engineering
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Maria V. Ryabinina -
Ph. D., Associate Professor
Department of Instrumentation Engineering
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 12.11.14, принята к опубликованию 25.12.14
