Динамика турбулентных флуктуаций температуры в изотропном турбулентном потоке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1248-1249

УДК 532.517.4

ДИНАМИКА ТУРБУЛЕНТНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ В ИЗОТРОПНОМ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ

© 2011 г. Г.Г. Черных, М.К. Баев

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск

[email protected]. ш

Поступила в редакцию 15.06.2011

С применением градиентной гипотезы, связывающей смешанный двухточечный корреляционный момент третьего порядка с двухточечной корреляционной функцией второго порядка поля пассивного скаляра, осуществлено замыкание уравнения Корсина. Построена основанная на замкнутых уравнениях Кармана-Ховарта и Корсина численная модель динамики турбулентных флуктуаций температуры в изотропном турбулентном потоке.

Ключевые слова: изотропная и локально изотропная турбулентность, уравнения Кармана-Ховарта и Корсина, математическое моделирование.

Для описания изотропного турбулентного течения и флуктуаций температуры в нем привлекается система уравнений Кармана-Ховарта и Корсина [1]:

дБг, ,

(1)

8Вы 1 6 4, B 2

—— = —;-----------r I ВТТ г + 2v

dt r dr I ’ dr

dB,

LL

ee

дЛ Г1 д- Л (2)

Здесь Бьь, Бьь^ - продольные двухточечные корреляционные функции поля скорости второго и третьего порядка; Бее - двухточечная корреляционная функция поля температуры; Бье е -смешанный момент третьего порядка; V, % - ко -эффициенты кинематической вязкости и температуропроводности.

Для замыкания уравнений (1), (2) используем гипотезы градиентного типа [2, 3] (/ = 1, 2):

Bll,l = 2Ki 8Bll

dr

B = K dBee BLe,e = K

dr

Ki = KгЫ2[BLL (0,0 -BLL (Л t)]-

(3)

ные функции второго порядка и на основе гипотез (3) структурные функции третьего порядка, а также одномерные спектры хорошо согласуются с многочисленными экспериментальными данными.

Автомодельное решение замкнутой системы уравнений (1), (2), соответствующее V = % = 0, в предположении постоянства инвариантов Лойцян-ского и Корсина [1] и выполнения краевых условий

б _ 2 к 8Бьь _ В _ К дБее - 0

БЬЬ,L _ 2К1 - _ БЬе,е _ К 2 - _ 0,

дГ дГ

Г _ 0, Вьь _ Вее^ 0, Г

имеет вид

Bll = u2f (r / L) = u2f Bee =е2ф(^), % = r/L,

(4)

- 2j\-f + ln(1^A/l-f) -- ln(l-VKf) = (2/3)^, (5)

! = A(t-10)-5/7, L = (14V2/3)K1 A(t-t0)2/7, (6)

Если числа Рейнольдса и Пекле достаточно велики, то, как известно, существует равновесный интервал значений Г, в котором система уравнений (1), (2) сводится к системе уравнений Кол -могорова-Яглома[1] для структурных функций. В инерционно-конвективном интервале значений Г структурные функции второго порядка имеют универсальное представление Колмогорова-Обухова [1] (закон двух третей). Эмпирические постоянные в (3) определяются из этого представления. Рассчитанные с применением замкнутой системы уравнений Колмогорова- Яглома структур-

Ф = exp [-(2Ki /(3k2))I (lAy/l - f )d£];

e2 = K / LQ.

(7)

Здесь

A 7 =

Л

Qu (14k^V2/3)5

Л = | r 4 Bll (r, t)dr

K=

| r2 Bee (r, t )dr

— инварианты Лойцянского и Корсина; t0 = const;

ад ад

Qu =ft 4 f (^ Qe=ft 2Ф( №.

Из (7) следует, что ф ~ 1 - (2к1/3к2)^2/3 = = ф0(^) при малых Автомодельное решение (5), (6) получено Лыткиным [2]. Законы вырождения (6) согласуются с известными законами А.Н. Колмогорова [1]. График функции ф(^) — автомодельное решение уравнения Корсина, соответствующее Qu = 100 — представлен на рис. 1. Наряду с ф(^) на рис. 1 приведена также функция

ф1 (^) = є - (2К1 /3К2) ^ — автомодельное решение уравнения Корсина, замкнутого с применением упрощенной модели Миллионщикова, в которой полагалось:

К^1 = к1 r^BLL (0, t) 5 К2 =к2r^|BLL (0, Ї).

На рисунке цифрами обозначены кривые: 1 — ф(^) определяется формулой (7); 2 — функция ф0(^) = 1 — (2к 1/3к2)^2/3; 3 — функция ф1(^) = є-(2Кі/ЗК2) I

Известно [1], что близкую к изотропной турбулентность можно создать в лабораторных условиях, помещая в рабочей части аэродинамичес-

кой трубы или гидроканала турбулизующую решетку. Результаты измерений корреляционных функций в потоке за турбулизующими решетками можно использовать для сопоставления с результатами расчетов.

Построена основанная на замкнутой системе уравнений (1), (2) численная модель динамики изотропной турбулентно сти и турбулентных флуктуаций температуры в изотропном турбулентном потоке. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными Корсина и его коллег [1]. Подробное изложение полученных результатов можно найти в [3—5].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 07-01-00363, 10-01-00435).

Список литературы

1. Монин А.С., Яглом А.М., Статистическая гидромеханика. Изд. 2-е, перераб. и доп. Т. 2. СПб.: Гид-рометеоиздат, 1996.

2. Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Об одном способе замыкания уравнения Кармана—Ховарта // Динамика сплошной среды / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 27. С. 124—130.

3. Баев М.К., Черных Г.Г. Численное моделирование турбулентного течения за нагретой решеткой // ПМТФ. 2009. Т. 50, №3. С. 11S—126.

4. Chernykh G. G., Baev M. K. Numerical simulation of the structure of fully developed turbulent flow in a small-scale zone // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2010. Vol. 25, No4. P 2S9—302.

5. Baev M.K., Chernykh G.G. On Corrsin equation closure // Journal of Engineering Thermophysics. 2010. Vol. 19, No 3. P 154—169.

DYNAMICS OF TURBULENT TEMPERATURE FLUCTUATIONS IN ISOTROPIC TURBULENT FLOW

G.G. Chernykh, M.K. Baev

Corrsin equation is closed using the gradient hypothesis relating a two-point third-order correlation moment to a two-point second-order correlation function of a passive scalar field. Based on closed system of Karman-Howarth and Corrsin equations the numerical model of turbulent temperature fluctuations dynamics in isotropic turbulent flow is developed.

Keywords: isotropy and local isotropy turbulence, Karman-Howarth and Corrsin equations, mathematical modeling.