CC BY
3Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. № 3. С. 319-327. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 532.527, 532.5.013 М8С 2010: 37Ш5, 76М23
Динамика трех вихреисточников
И. А. Бизяев, А. В. Борисов, И. С. Мамаев
В данной работе показана интегрируемость уравнений системы трех вихреисточников. Получена редуцированная система, описывающая эволюцию конфигураций системы с точностью до подобия. Приведены возможные фазовые портреты и различные относительные равновесия системы.
Ключевые слова: интегрируемость, вихреисточники, форм-сфера, редукция, гомотети-ческие конфигурации
Введение
В классической гидродинамике хорошо изученной является задача о взаимодействии точечных вихрей, подробнее с ней можно ознакомиться по книге [1]. Модель точечных вихрей восходит к Кирхгофу и Гельмгольцу. В работе [2] предложена модель взаимодействия более сложных точечных особенностей, сочетающая в себе вихревые свойства, а также свойства источников и стоков. Такая модель в некоторых случаях более предпочтительна для целей гидродинамики.
Получено 14 августа 2014 года После доработки 8 сентября 2014 года
Работа Мамаева И. С. и Бизяева И. А. выполнена в рамках государственного задания УдГУ. Работа Борисова А. В. поддержана грантом РФФИ 14-01-00395-а.
Бизяев Иван Алексеевич bizaev_90@mail.ru
Удмуртский государственный университет 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1
Борисов Алексей Владимирович borisov@rcd.ru Мамаев Иван Сергеевич mamaev@rcd.ru
Удмуртский государственный университет
426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1
Институт математики и механики УрО РАН
620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16
В [2, 3] показана интегрируемость системы двух источников-стоков. При этом в [3] основные закономерности движения источников-стоков применяются для исследования тепловой конвекции в плоском горизонтальном слое жидкости (конвективные ячейки). В работе [3] указано, что для N > 3 уравнения движения N источников-стоков являются неин-тегрируемыми, как и в небесной механике в задаче N тел. В [1, 11] проинтегрирован случай двух произвольных вихреисточников и указана интегрируемость трех источников-стоков. В работе [4] указан метод сведения к квадратурам задачи двух вихреисточников, когда интенсивности стоковой части зависят от времени.
Среди работ, посвященных динамике источников, отметим также [5, 6], где исследуется хаотическая адвекция в слое пульсирующих источников. В [7] рассматривается задача о движении вихреисточника, взаимодействующего с круговым цилиндром и находящегося в пульсирующем плоскопараллельном слое. Там же приведены движения вихреисточни-ков (называемых в работе экранирующими твисторами) и указаны явные квадратуры для взаимодействия двух твисторов. Структура и неустойчивость реальных вихреисточников обсуждается в [8].
В данной работе мы показываем интегрируемость уравнений движения системы трех вихреисточников (аналогичной системе трех вихрей). При помощи редукции система получена приведенная система на так называемой форм-сфере, описывающая эволюцию конфигураций системы с точностью до подобия. Приведены возможные фазовые портреты и различные относительные равновесия системы (обобщающие известные относительные равновесия задачи трех вихрей). Напомним, что понятие форм-сферы было дано в работах, посвященных частным периодическим решениям в задаче трех тел в небесной механике [10], хотя схожая сфера без специального названия использовалась при редукции в задаче трех вихрей.
1. Уравнения движения, законы сохранения, редукция
Уравнения движения п вихреисточников на плоскости имеют вид [7]
г Г г дуг к дуг % Г г дХг К дХг '
я = -+ ^ - ф = Ь Ек*кА-> (1.1)
О . У г ~ Уз
«Л/г «л/ J
где (Хг ,уг) — декартовы координаты г-го вихреисточника, а Г г и К — завихренность и интенсивность такого источника, которые всюду в данной работе полагаются постоянными. Система (1.1) сохраняет стандартную инвариантную меру
Ц = Л йХг йуг.
г=1
Кроме того, она обладает тремя полями симметрии, связанными с инвариантностью системы относительно сдвигов и поворотов, то есть относительно действия группы Е(2):
п
Пт = > -—, П,и= > —, Ию= ) \Уг---X
г=1
дхг у ^ дуг * дхг ду
Коммутационные соотношения для них имеют следующий вид:
Пр, пх) = Пу, [Пр, Пу) = -пх, [пх, Пу) = 0.
Помимо этого, система (1.1) также обладает двумя линейными интегралами
п п
Я = ^(ГгУ - Кгхг), Р = ^2(ГгХг + Кгуг). (1.3)
г=1 г=1
Случай двух вихреисточников проинтегрирован в работах [2, 3]. Оказывается, что интегралов (1.3) и полей симметрий (1.2) достаточно для интегрируемости системы (1.1) в квадратурах при п = 3 (трех вихреисточников). Для этого надо воспользоваться обобщенной теоремой Эйлера-Якоби-Ли [9], из которой следует, что
система п дифференциальных уравнений имеющая инвариантную меру и обладающая к первыми интегралами и п — к — 2 полями симметрий, образующими нильпо-тентную алгебру Ли, интегрируется в квадратурах.
В нашем случае n = 6, k = 2. В качестве двух (так как n — k — 2 = 2) коммутирующих полей симметрий можно выбрать ux, uy.
Прежде всего для системы трех вихреисточников выполним редукцию по полям симметрий. Для этого в качестве новых переменных выберем взаимные расстояния между вихреисточниками
Mi = (xj — xk)2 + (у — yk )2, i = j = k = i, (1.4)
которые очевидно являются инвариантами действия группы движений плоскости и удовлетворяют соотношениям ux(Mi) = uy(Mi) =0, i = 1, 2, 3. При этом получим
м- = (м (-___О ^ . V^
тг yMj Мд.J 2тг у Д.\/? M,j М, Mj) ^ ~ ' (1.5)
4А2 = 2(MiM2 + M2M3 + MiM3) — M2 — M22 — M32,
где второе уравнение представляет собой хорошо известную геометрическую формулу Ге-рона, выражающую площадь треугольника А через длины его сторон.
Для того чтобы по решениям системы (1.5) найти координаты (xi ,yi) вихреисточников, необходимо дополнить систему (1.5) уравнением для одного из углов 9j, образуемого отрезком, соединяющим вихреисточники i, j и ось Ox (см. рис. 1). Так, для 9i2 имеем
ó = у A Ml -Гз - Д/:' Д/Л у Г» ПП
12 V3 2irMiM2M3 4тг 1 М2М3 Л/, ;+2^2тгМ3' [~>
i=1
Оставшиеся углы находятся с помощью теоремы косинусов:
Д Д , [м2 + м3-м1\ (м1 + м3-м2\
013 = 012 + arceos -, — , 02з = 012 - arceos - — .
\ 2 умЖ J V J
Если заданы величины Mi и 9ij и значения первых интегралов P, Q, то из уравнений (1.3), (1.4) координаты вихреисточников находятся однозначно.
О
Рис. 1
Однородность системы (1.5) позволяет понизить ее порядок еще на единицу; для этого произведем замену переменных и времени следующего вида:
Л/1 • М> _ Мг - М'2 _ _Д_ Л/,?//
2М3 ' 2Мз ' г ~ Мз' 1.т.\/|.\/2'
В выбранных координатах инвариантное соотношение (1.5) можно представить в форме
4(у2 + г2) - 4х + 1 = 0. (1.7)
В результате задача сводится к исследованию системы уравнений вида
х' = ^Г= Р(КЛ2У ~ 4ж + 1) - 2Г1л) - я(К2(2у + 4х - 1) - 2Г2г) + 8Г3жуг + 4К3(2ж - 1)у2, ат
у' = %= 1(! - 2У) - 2Г1-) - <?(К2(2у + 1) + 2ВД + 8Т3у2г + 4К3(2у2 - х)у,
*=%= ~ ^ " + + 1) " 2ВД + 2у(4г2 - 2х + 1)Г3 + 8К3гу2,
Р = (х + у)(х - у - 1), д = (х - у)(х + у - 1),
(1.8)
где штрих обозначает дифференцирование по т. Как видим, система (1.8) определяет поток на параболоиде с круговым сечением (1.7). Исключая в системе (1.8) переменную х с помощью соотношения (1.7), можем свести ее к системе на плоскости М2{(у,г)}.
2. Гомотетические конфигурации
Важную роль для качественного описания динамики трех вихреисточников играют гомотетические конфигурации, то есть конфигурации, остающиеся подобными во все моменты времени. Это аналоги относительных равновесий в задаче п тел в небесной механике и п вихрей в вихревой динамике.
В данном случае гомотетическим конфигурациям соответствуют неподвижные точки системы (1.8), для которых справедливо
Предложение. Множество неподвижных точек системы (1.8) в трехмерном пространстве М3 = {(х,у,г)} задается как пересечение трех квадрик, определяемых уравнениями
4у2 + 4г2 - 4х + 1 = 0, ¡1 = (х - у - 1)(2К1г + Г1(1 + 2у)) + (х + у - 1)(2Кг - Г2(1 - 2у)) - 4Гзу = 0, (2.1) ¡2 = (х - у - 1)(-2Г1 г + К1(1 + 2у)) + (х + у - 1)(-2Г2г - К2(1 - 2у)) - 4Кзу = 0.
Для доказательства достаточно показать, что на уровне (1.7) справедливо
¡1 = -\1у' - \2г', ¡2 = А1г' - \2у',
_ 2ух _ 4г2 - 2х + 1
9 9 1 0 0*
х2 - у2 х2 - у2
Таким образом, в общем случае множество неподвижных точек системы (1.8) состоит из изолированных точек в пространстве М3 = {х, у, г}.
Замечание 1. Отметим, что в уравнениях (2.1) исключены из рассмотрения особенности исходной системы (1.5), когда одно из расстояний обращается в нуль, то есть когда два вихреисточника сливаются.
Пользуясь уравнениями (2.1), можно показать, что среди гомотетических конфигураций встречается два типа конфигураций, которые обобщают классические относительные равновесия в задаче трех вихрей.
1. Равносторонняя конфигурация. Эта конфигурация существует при произвольных величинах ГгКг в зависимости от ориентации вихреисточников ей соответствуют две неподвижные точки системы (1.8):
х = 1, у = О, г = (2.2)
В этом случае вихреисточники образуют равносторонний треугольник, квадрат стороны которого обозначим М. Скорость изменения М и взаимного угла $12 имеет вид
* = ¿-¿¿Г
г=1 г=1
Отсюда, в частности, следует, что если ^ Кг = 0, то все три вихреисточника вращаются с одинаковой угловой скоростью О,
3 Г
2пМ'
i=1
вокруг общего центра c координатами (Xo,yo),
xo = (j^ г^ Q, yo = ^ Г^ P.
2. Коллинеарная конфигурация. Она существует только в случае пропорциональных ин-тенсивностей и завихренностей
Ki = ¡ri, ц = const, i = 1, 2, 3.
При коллинеарной конфигурации вихреисточники лежат на одной прямой, которую параметризуем следующим образом: Mi = s2M3, М2 = (1 — s)2M3. Тогда из (2.1) следует, что s является корнем уравнения третьей степени:
(Г1 + T2)s3 — (2Г1 + r2)s2 — (Г2 + 2r3)s + Г2 +Г3 = 0. (2.3)
Скорость изменения М3 и взаимного угла 9i2 в этом случае представляется в форме
А/3 = "(Г'+Г''+ . = ^ + '
п s(1 — s)n' 12 пМ3 s(1 — s)nM3
—w
Как будет показано в следующем разделе, в общем случае (при произвольных интен-сивностях) система (2.1) имеет решения, отличные от равносторонней и коллинеарной конфигураций.
Остановимся подробнее на устойчивости равносторонней конфигурации. Характеристический полином линеаризации системы (1.8) в окрестности соответствующих неподвижных точек (2.2) представляется в виде
Р (Л) = Л2 + аЛ + Ь, а =
г=1
ь = |(Г1Г2 + Г!Г3 + Г2Гз + К1К2 + К1К3 + К2К)--^(Г1К2 + Г2Кз + Г3К1 - Г1К3 - Г2К1 - Г3к2).
3
Как мы видим, при ^ К = 0 этот полином не является инвариантным относительно сме-
г=1
ны знака Л (то есть замены Л ^ — Л), поэтому в общем случае эта неподвижная точка в зависимости от параметров имеет один из следующих типов:
- если а2 — 4Ь < 0, то такая точка представляет собой фокус, устойчивый при а > 0 и неустойчивый при а < 0,
- если а2 — 4Ь > 0 и Ь > 0, то такая точка представляет собой узел, устойчивый при а > 0 и неустойчивый при а < 0,
- если Ь < 0, то такая точка представляет собой седло.
3. Форм-сфера. Геометрическая интерпретация и качественный анализ
Для качественного анализа удобнее свести систему трех вихреисточников к исследованию потока на форм-сфере [10], в отличие от рассмотренного ранее потока на параболоиде (1.7). Для этого снова воспользуемся однородностью (1.5) и выполним замену переменных и времени:
2М\ - М'2 - М3 л/3(М3 - М2)
71 М\ + М'2 + М3 ' 72 Мг + М2 + М3 '
(3.1)
7, =_Ё^/зА_ ¿Т =_й_•
1А Мг + М2 + М3' ' Мг + М2 + М3'
при этом в новых координатах (71,72,73) соотношение Герона приводится к уравнению сферы
72 + 72 + 7з2 = 1. Исходя из замены (3.1), получаем следующие свойства:
- на полюсах форм-сферы лежит равносторонняя конфигурация: А1 = (0, 0,1), А2 = = (0, 0, —1),
на экваторе форм-сферы лежат все коллинеарные конфигурации и точки, в которых
два вихреисточника сливаются: В\ = ( — 1,0,0), В-2 = ( 4, -4-,0 ), В-2 = ( Ь,
Замечание. При таком определении (когда координаты ^г не зависят от интенсивностей) форм-сфера является чисто геометрическим объектом. Ее точки параметризуют множество всевозможных неподобных друг другу треугольников на плоскости (включая треугольники нулевой площади).
Как будет показано далее, слоение фазового потока на форм-сфере полностью определяется своими особенностями, неподвижными точками и сепаратрисами, соединяющими неподвижные точки.
Один из характерных фазовых портретов для вихрей (Гг = 0, Кг = 0, г = 1,2,3) приведен на рисунке 2, из которого следует, что коллинеарные конфигурации С1, С2, Сз являются седлами, в то время как равносторонняя конфигурация является центром. Особенности В1, В2, В3 на фазовом портрете являются эллиптическими особыми точками.
Рис. 2. Траектории на форм-сфере и ее цилиндрической развертке для вихрей (Г1 = 1, Г2 = 1, Г3 = 2, К1 = К2 = К3 = 0), А1 — равносторонняя конфигурация, В1, В2, В3 — точки, в которых вихри сливаются, С1, С2, С3 — коллинеарные конфигурации.
Фазовый портрет для источников (Г = 0, Кг > 0, г = 1, 2, 3) представлен на рисунке 3. Как видим, в случае источников экватор форм-сферы является инвариантным многообразием. При этом равносторонняя конфигурация является узлом, к которому стремятся все траектории на форм-сфере.
Рис. 3. Траектории на форм-сфере и ее цилиндрической развертке для источников (Г1 = Г2 = Г3 = = 0, К1 = 1, К2 = 1, К3 = 2), А1 — равносторонняя конфигурация, В1, В2, В3 — точки, в которых вихри сливаются, С1, С2 , С3 — коллинеарные конфигурации.
Фазовые портреты на форм-сфере для вихреисточников приведены на рисунках 4 и 5. Как видим, экватор форм-сферы уже не является инвариантным многообразием. Равносторонняя конфигурация становится фокусом, к которому притягиваются все траектории. В случае произвольных завихренностей и интенсивностей, как следует из рисунка 5, возникают новые гомотетические конфигурации (С\, С2, Сз), обобщающие коллинеарные.
Рис. 4. Траектории на форм-сфере и ее цилиндрической развертке для вихреисточников (Г = 1, Г2 = 1, Г3 = 2, К1 = 1, К 2 = 2, К3 = 3), А\ — равносторонняя конфигурация, В1, В2, В3 — точки, в которых вихри сливаются, С1, С2, С3 — коллинеарные конфигурации.
Рис. 5. Траектории на форм-сфере и ее цилиндрической развертке для вихреисточников (Г1 = 4, Г2 = 2, Г3 = 3, К1 = 1, К2 = 1, К3 = 2), А1 — равносторонняя конфигурация, В1, В2, В3 — точки, в которых вихри сливаются, С1, С2, С3 — конфигурации, обобщающие коллинеарные.
Список литературы
[1] Борисов А. В., Мамаев И. С. Математические методы динамики вихревых структур. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 368 с.
[2] Фридман А. А., Полубаринова П. Я. О перемещающихся особенностях плоского движения несжимаемой жидкости // Геофиз. сб., 1928, т. 5, №2, с. 9-23.
[3] Богомолов В. А. Движение идеальной жидкости постоянной плотности при наличии стоков // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1976, №4, с. 21-27.
[4] Седов Ю.Б. Взаимодействие спиральных вихрей // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 1995, №4, с. 183-185.
[5] Jones S. W., Aref H. Chaotic advection in pulsed source-sink systems // Phys. Fluids, 1988, vol. 31, no. 3, pp. 469-485.
-1
¿1
Ъ
[6] Stremler M. A., Haselton F. R., Aref H. Designing for chaos: Applications of chaotic advection at the microscale // Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 2004, vol.362, no. 1818, pp.1019-1036.
[7] Novikov A.E., Novikov E.A. Vortex-sink dynamics // Phys. Rev. E, 1996, vol. 54, no. 4, pp. 36813686.
[8] Noguchi T., Yukimoto S., Kimura R., Niino H. Structure and instability of a sink vortex // Proc. PSFVIP-4 (Chamonix, France, 2003).
[9] Козлов В. В. Теорема Эйлера - Якоби - Ли об интегрируемости // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №2, с. 229-245. (См. также: Kozlov V.V. The Euler-Jacobi-Lie integrability theorem // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 4, pp. 329-343.)
[10] Chenciner A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses // Ann. of Math. (2), 2000, vol. 152, no. 2, pp. 881-901. (См. также: Современные проблемы хаоса и нелинейности: Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. Москва-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных исследований, 2002, с. 183-205.)
[11] Borisov A. V., Mamaev I. S. On the problem of motion vortex sources on a plane // Regul. Chaotic Dyn., 2006, vol.11, no. 4, pp. 455-466.
The dynamics of three vortex sources
Ivan A.Bizyaev1, AlexeyV. Borisov2, Ivan S. Mamaev3
1,2'3Udmurt State University Universitetskaya 1, Izhevsk, 426034, Russia
2 ^Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of RAS S. Kovalevskaja str. 16, Ekaterinburg, 620990, Russia 1bizaev_90@mail.ru, 2borisov@rcd.ru, 3mamaev@rcd.ru
In this paper, the integrability of the equations of a system of three vortex sources is shown. A reduced system describing, up to similarity, the evolution of the system's configurations is obtained. Possible phase portraits and various relative equilibria of the system are presented.
MSC 2010: 37N05, 76M23
Keywords: integrability, vortex sources, shape sphere, reduction, homothetic configurations
Received August 14, 2014, accepted September 8, 2014
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2014, vol. 10, no. 3, pp. 319-327 (Russian)
[6] Stremler M. A., Haselton F. R., Aref H. Designing for chaos: Applications of chaotic advection at the microscale // Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 2004, vol.362, no. 1818, pp.1019-1036.
[7] Novikov A.E., Novikov E.A. Vortex-sink dynamics // Phys. Rev. E, 1996, vol. 54, no. 4, pp. 36813686.
[8] Noguchi T., Yukimoto S., Kimura R., Niino H. Structure and instability of a sink vortex // Proc. PSFVIP-4 (Chamonix, France, 2003), pp. 1-7.
[9] Козлов В. В. Теорема Эйлера - Якоби - Ли об интегрируемости // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №2, с. 229-245. (См. также: Kozlov V.V. The Euler-Jacobi-Lie integrability theorem // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 4, pp. 329-343.)
[10] Chenciner A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses // Ann. of Math. (2), 2000, vol. 152, no. 2, pp. 881-901. (См. также: Современные проблемы хаоса и нелинейности: Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. Москва-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных исследований, 2002, с. 183-205.)
[11] Borisov A. V., Mamaev I. S. On the problem of motion vortex sources on a plane // Regul. Chaotic Dyn., 2006, vol.11, no. 4, pp. 455-466.
The dynamics of three vortex sources
Ivan A.Bizyaev1, AlexeyV. Borisov2, Ivan S. Mamaev3
1,2'3Udmurt State University Universitetskaya 1, Izhevsk, 426034, Russia
2'3Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of RAS S. Kovalevskaja str. 16, Ekaterinburg, 620990, Russia 1bizaev_90@mail.ru, 2borisov@rcd.ru, 3mamaev@rcd.ru
In this paper, the integrability of the equations of a system of three vortex sources is shown. A reduced system describing, up to similarity, the evolution of the system's configurations is obtained. Possible phase portraits and various relative equilibria of the system are presented.
MSC 2010: 37N05, 76M23
Keywords: integrability, vortex sources, shape sphere, reduction, homothetic configurations
Received August 14, 2014, accepted September 8, 2014
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2014, vol. 10, no. 3, pp. 319-327 (Russian)
