CC BY
8
УДК 629.7
ДИНАМИКА ПОТОКА В РАДИАЛЬНО КОЛЬЦЕВОЙ ПОЛОСТИ
А. В. Хахленков, Ю. Н. Шевченко, Н. Н. Атрощенко, Е. Н. Луговой, Г. Г. Ларин
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газеты «Красноярский рабочий», 31
E-mail: gift_23j@mail.ru
Рассматривается радиально-кольцевая полость, основной конструктивный элемент которой, подводящее устройство, центростремительной микротурбины. Течение в центростремительной микротурбине определяет в большей части кинематику и энергетику потока, подводимого к лопаткам рабочего колеса. Качество потока по симметрии и потерям энергии, перед рабочим колесом, является определяющим показателем окружной работы микротурбины.
Ключевые слова: центростремительная турбина, кинематика и энергетика потока, рабочее колесо, окружная работа, напряжение трения.
DYNAMICS OF FLOW IN A RADIAL RING CAVITY
A. V. Khakhlenkov, Yu. N. Shevchenko, N. N. Atroshchenko, E. N. Lugovoi, G. G. Larin
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: gift_23j@mail.ru
A radial-annular cavity is considered, the main structural element of which is a supply device of a centripetal microturbine. The flow in a centripetal microturbine largely determines the kinematics and energy of the flow of the impeller supplied to the blades. The flow quality in terms of symmetry and energy loss in front of the impeller is the determining circumferential operation of the microturbine.
Keywords: centripetal turbine, kinematics and power flow, impeller, circumferential work, friction stress.
Радиально-кольцевые полости являются неотъемлемой проточной частью статора расширительных турбомашин, при разнонаправленных течениях относительно радиуса R, формирующих конфузорное или дифузорное течение [1]. Течение осесимитрично, поэтому решение рассматривается в цилиндрических координатах с условием -d/dx=0.
Возможны два случая течения: чисто радиальное C =VR и радиально-окружное:
В обоих случаях для анализа используется уравнение применения количества движения для массового потока жидкости [2].
Для радиального потока: окружная составляющая скорость С=Ур , далее используем в обозначении только Ур. Площадь проходного сечения определяется выражением:
(1)
Р = 2жя-по, (2)
где пог - осевой зазор в направлении координаты г. Приращение боковой поверхности:
с1Рг = 2ж я ■ Ся. (2)
Приращение изменения количества движения для потока в дифференциальной форме:
т^■ Ся = С(р'Ря) • Ся + 20Ртя, (3)
ся СЯ г оЯ W
где т (кг/с) - массовый расход; Уя (м/с) - радиальная составляющая скорости; тоЯ (Н/м2) -окружная составляющая напряжения трения на стенке.
С учетом (1) выражение для составляющей скорости имеет вид радиальной:
т т
Уя =-т- =-т-= Уя. (4)
Р- Ря Р- 2ЖЯпог
Преобразуем уравнение (3) с учетом (2):
ср '
Ся + тоя ■ 4пяСя„
т—я ■ Ся = ся
СР СРя
--Ря + р--я
Ся я Ся
. СУя „ СР СРя л _ ...
т—я = Ря— + р —я + тоя • 4жяся, (5)
ся яся ся оя W
Определим производную радиальной составляющей скорости, используя (4) имеем:
СУя _ С_ Ся ~ Ся
( ■ \ т
-т
V Р ' 2пяяп0г У р- 2жя2 по;
ёУя_ Уя
ёя я
Производная площади проходного сечения Ря с учетом (1):
ёя ёя
Принимая во внимание (6) и (7) перепишем (5):
я я ёя
и выделим производную Ср/Ся:
т Уя „ Ср _ л п
= + 2ппог ■ р + Гоя • 4жЯ,
учитывая (1) и (4):
Ср _-рУ1 р 2Тоя ;
Ся я я п
ог
(6)
^ =С (2*. япог ) = 2*п„. (7)
Ср -т Уя 2жПо2 4жя
— =-я--— • р--тоя; (8)
Ся Ряя Ря Ря оя
(9)
Напомним, что при течении к центру координат (-УЯ) течение конфузорное и наоборот. Для напряжения трения тоЯ = /(Я) выражения рассмотрены ниже [1].
Рассмотрим далее соотношения для окружной составляющей скорости радиально-окружного потока. Используем закон изменения момента количества движения:
т й(и'Я ■ йЯ = йГТР ■ Я; (10)
йЯ ТР
где йГтр - сила трения на элементарном объеме 2лпогйЯ. Сила трения по двум поверхностям:
йЕТР = 2-тоа ■ 2жЯ■ йЯ; йЕтр = 4-тоа-лЯ■ йЯ. (11)
Возьмем производную и учтем (11):
т ( Я— + йЯ = 4Я-г -жЯйЯ.
I йЯ ) оа
И выразим производную:
dU = Л + (12)
dR Rm
Выражения (12) можно интегрировать автономно без знаний об изменении давления p. Соотношения для статического давления для радиально-окружного потока: используем уравнение изменения количества движения для абсолютной скорости:
C = V VR + U2. (13)
где VR и U определяется (4) и (11) соответственно, в виде:
m—. dR = d(Р' Fr ) • dR + 2r R ■ dF, (14)
dR dR oR z V 1
где 2dFz = 4nRdR - двойная боковая поверхность элементарного объема 2nRRnoz ■ dR; Fr = 2nRRnz - площадь проходного сечения из (1).
Определим производные скоростей. Производная dVR/dR, согласно (6):
V = Л. (15)
dR R
Производная окружной составляющей где Cu - const с учетом (11) на элементарном объеме dV = 2nR ■ noz ■ dR.
dR R
Производная dC/dR согласно (13):
^ = (16)
dC d /ттt2\0.5 1tt2\-°.5 d /т„2 40.5 1 /т.2 т\dVR „т dU
— = —(VR + U21 = -(VR + U21--(VR + U21 =-(VR + U21 -I 2Vr—R + 2U-
dR dRK R ' 2V R ' dRKR ' 2K R 'I R dR dR
Учтем (15) и (16) продолжим преобразование:
dC = !(vR + и2Г05. ( -2VR V + 2UU; dR 2V R ' \ R dR dR)
dC = -!j V2 +U2 = -C. (17)
dR R^ R R
Учтем (1) и (2) имеем соответственно:
dR
тогда:
dF
= 2жпог; 2Fz = 4nRdR; FR = 2xRnoz;
-C ( dP F \ m • —dR = | Fr— + P^ I dR + 4r R -ж-R ■ dR;
R l R dR R J oR
сократим dR, в итоге получаем:
rnm^C т—, dP у, fr .
--= fr--+ P-Z- + 4-ж-R-tor . (18)
R R dR R R
Выразим производную по давлению:
dP=.im£-P 1 4^RtoR . (19)
dR RFR R Fr '
учтем VR=m/pFR, тогда получаем:
dP =_pVrC P 2tor dR R R n,
(20)
Предложенная система дифференциальных уравнений для скоростей и давлений является замкнутой и определяет при численном моделировании поля скоростей и давлений радиально-кольцевой полости по периферии входа в рабочее колесо [3].
Библиографические ссылки
1. Андрющенко А.И. Основы технической термодинамики реальных процессов М.: Высшая школа, 1967. - 267 с.
2. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям первого порядка. М.: Физматгиз, 1966. - 260 с.
3. Delcov A.V., Hodenkov A.A., Zhuikov D.A. Mathematical modeling of single-phase thermal control system of the spacecraft. 12th International Conference on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering APEIE Proceedings. 2014. P. 591-593.
© Хахленков А. В., Шевченко Ю. H., Атрощенко Н. Н.,
Луговой Е. Н., Ларин Г. Г., 2020
