CC BY
24Динамика мутьевого потока на наклонном дне.
В,В, Жмур (e-mail: zhmurCitiki,sio.rssi.ru) а, М.В. Якубеико (e-mail: maxCitiki.sio.rssi.ru) 6.
"Институт Океанологии им П.П. Ширшова РАН. 'Московский Фгоико-Технический Институт.
В океане достаточно часто встречаются придонные илотпоетпые потоки. При этом более плотная жидкость движется вдоль океанского дна (обычно наклонного) в окружении более легкой воды. В зависимости от природы разности плотностей такие течения делят па термохалиппые и мутьевые (или взвесепесущие). Термохалиппые потоки образуются из воды, которая имеет более высокую солёность или более низкую температуру, чем окружающая вода. Для таких течений характерна небольшая разность плотностей в потоке и фоновой воде (0.1% ^ 0.001%), и вследствии этого небольшие скорости течений (~ 0.1 см/с). Мутьевые потоки, в свою очередь, возникают вследствие наличия в них в достаточном количестве взмутпёппого ила, песка, грунта и т.п. Как правило мутьевые потоки характеризуются гораздо большим перепадом плотностей (0.1% ^ 10%) и, вследствии этого, заметно большей скоростью (до ~1 м/с). Эволюция мутьевых потоков происходит гораздо быстрее чем термохалиппых потоков.
Одним из наиболее известных мутьевых потоков является поток, возникший в результате оползня при землетрясении па Большой банке около острова Ньюфаундленд в 1929 г. Указанное образование прошло за 13 часов расстояние около 300 миль |3|, За поведением потока удалось проследить, анализируя места и моменты обрывов многочисленных кабелей, проходящих в районе оползня.
В данной работе мы рассматриваем мутьевые потоки аналогичные последнему случаю, хотя и по столь интенсивные. Основная цель работы - оцепить влияние доппого вещества, вовлекаемого турбулентным переносом в нлотпостпое течение, па динамику взмутпёппой жидкости.
Вследствие сравнительно небольшого времени эволюции мы пренебрегаем влиянием силы Кориолиса. Мы будем также считать, что основное воздействие па поток оказывает скатывающая сила, сила давления и сила турбулентного трения о дно. Направим ось X вниз по склону (угол наклона дна - а); Z - вверх, перпендикулярно дну, а У - так, что бы (X, У, Z) составляли правую тройку (см. рис. 1).
В пограпелойпом приближении равновесие сил давления, трения и сталкивающей силы приводит к соотношению:
¿2и 1 „
Ур + д = 0, (1)
A-
Рис. 1: Общий вид нлотпостпого потока на наклонном дне (а - угол склона).
в1г2 р + 8р
справедливому внутри взмутпёппого объёма. По терминологии, введённой Г.И. Барепблат-том [4], объём"взмутнённой жидкости мы также будем называть пятном. Здесь А - коэффициент турбулентного трения, полагаемый постоянным но толщине пятна, по, вообще
говоря, меняющийся вдоль осей X и У, р - плотность окружающей воды, р + 5р - локальная плотность пятна, д - сила тяжести, и = (и, у) - компоненты скорости вдоль дна по осям X и У соответственно.
Аналогично нашей предыдущей работе [5] используем проекции сил (— р+рУр + д\ на
ось X:
— р+р УР + 9
&р
9
J Р
а—Н'х
Т+аЩ. '
У
— р+рур + д = —д* • К
Подставив эти выражения в уравнение баланса сил (1), получим ситему уравнений, записанную в координатной форме:
А & + 9
а—Ь!х
А ^ А
1+аН'х
+ д'К = 0
о
(2)
Здесь д' = д^р - редуцированное ускорение силы тяжести.
Дважды интегрируя (2) по оси ^ и полагая отсутствие скорости на дне при г = 0 и
К, окончательно получим
отсутствие трения о вышележащую воду ^ = ^ = 0 при г распределение скорости но глубине внутри объёма взмутпёппой жидкости
х
д' а — к'х ( гч
и = А ггохх • г — 21 г
у = АКу • — 2)г
(з)
В соотношениях (3) учтён известный физический факт, что сила трения потока о дно значительно превышает силу трения его о вышележащую воду. Пока никаких дополнительных предположений о коэффициенте А не сделано.
Запишем урапепие эволюции массы пятна с учётом взмутпепия донных отложений и вовлечения окружающей воды:
т (рК) + дХ
ь,(х,у,г)
р I и(х'у'гЛ)
о
д_
ду
н ( х,у,г)
р I ф'у'г,1)
о
РхЬ + роwe^(hX)2+{hQ2+Г (4)
где те - скорость вовлечения окружающей воды в поток (перпендикулярно границе раздела), а - перпендикулярный дну поток взвешенного вещества:
Я
хЬ
М • (т — То), 0,
если если
т > То т < То
— • Сь
(5)
здесь т - напряжение сдвига вследствие влияния силы турбулентного трения, сЬ = ёр — ёро - придонная концентрация размытого вещества ( ёр - текущий перепад плотности вне и внутри пятна, а ёро - его начальное значение), т3 - скорость оседания размытой породы, М - размерный коэффициент, зависящий, так же как и от характеристик донного то
материала |7|,
Кинематическое условие на поверхности пятна г = К(х,у,Ь) для нашей задачи будет выглядеть следующим образом:
д Г д I /-
К* + дх I + дГ I ^г = те у (КХ)2 + (К'у)2 + 1
ду
н
н
Итак, мы получили систему из двух уравнений - эволюции массы и кинематического условия на поверхности пятна:
ht + dX Judz + дУ Jvdz — We j(h'x)2 + (hy )2 + 1
n и n V
aa (Ph) + dX
p f u dz
+ m.
+ dy
p v dz
Fzb + pcWe^(hX)2 + (hy )2 + 1
Используя распределение скорости внутри пятна (3), эту систему можно преобразовать к виду:
at
(5p • h) +
ht + та:
dx
дх
g' а-К 3 A 1+ah'
JL a-hL h36p
3 A 1+ah'
_a_
dy
3A h'y h3Sp
h3
a_
dy
F
zb
3a hy h3] = w^ (hX)2 + (hy )2 + 1
(7)
Чтобы оценить коэффициент турбулентного трения А, воспользуемся 1—Ь моделью турбулентности Колмогорова [6], предполагая что в среднем по толщине пятна порождение турбулентной энергии уравновешивается её диссипацией, что нам даёт: [у'Ь 1(дги)2
Y4 b3/f , Здесь среднее значение по локальной толщине ((dzu)2) вычисляется с использова-
нием (3), при этом А = 1\/Ь, I - масштаб турбулентности.
Воспользовавшись замыканием I = ь>Н] оде V ~ 0.1 [4], сделав замену Я = к ■ ёр и вычнс-А
жидкости вдоль наклонного дна с учётом взмутпепня донных осадков и вовлечения окружающей жидкости в пятно:
ад at
ah at
+
a "Y 43
ax 3v
a "y 43
ax 3v
Р0 Р0
©х ©х
ay
э_
ay
Y rg_ R3/2
Y__.
3v \J po R
Y
©y
Fz
— Fzb
3v
©y
W^/(hX)2 + (hy )2 + 1
Где:
т
©x
i I du\2 /d^2 dp f а — hX
AM" eu) + Ы — hg'ppi(it—hx
(i+oh') _ hy
+ (h
(8)
v( i+hht)2 + (h
©y
V( i+hht)2 + (h
Здесь R — Sp • h; we - скорость вовлечения окружающей воды. Далее для расчётов мы полагаем: ws — 5 • 10-3 см/сек - скорость оседания взвешенных частнц грунта, то — 1.1 ^f - придонное напряжение трения, при котором начинается эрозия дна, M — 5 • 106 -4—
- известная из наблюдений константа, зависящая от физико-химических свойств материала дна. Использованные нами значения соответствуют алевритам ( 0 — 0.02 мм), Для упрощения физики явления в данной работе мы не учитывали вовлечения окружающей жидкости в пятно, полагая we — 0, Однако выведенная здесь система будет использована в других работах, где это упрощение нам но потребуется.
При решении системы (8) па границах пятна следует ожидать появления резких фронтов похожих па гидравлические скачки. Поэтому па расчётную схему налагается условие малости численной диффузии. Авторами был выбран для расчётов так называемый алгоритм FCT (Flux Corrected Transport,), описанный в работах |1| и |2|,
Во всех численных экспериментах в начальный момент времени мы брали пятно прямоугольной формы и размерами вдоль оси X (вниз по склону) 3 км и по оси Y - 2 км.
2
2
2
2
вгарЬ оГ Н
Н, ст
У, кт
Рис, 2: Пространственное распределение локальной высоты пятна, £ = 72 часа с начала движения. Ось X направлена вдоль склона.
Рис, 3: Пространственное распределение локальной разности плотности, £ = 72 часа с начала движения. Ось X направлена вдоль склона.
Рис, 4: Пространственное распределение локальной скорости в пятне вдоль склона (вдоль оси X), £ = 72 часа с начала движения.
Рис, 5: Пространственное распределение локальной скорости вовлечения грунта со дна, £ = 9 часов с начала движения. Ось X направлена вдоль склона.
Координата X переднего фронта начального распределения - 53 км, В зависимости от конкретного эксперимента варьировались: высота начального распределения Н0 (от 1 м до 30 м); разность плотности пятна с плотностью фоновой воды 6р (от 0.001 до 1 -^О; а также угол склона а (от 0,001 до 0,1 рад). После задания начальных условий производились наблюдения эволюции пятна в течении 72 часов. Мы считаем что результаты расчётов па первых сутках мало отличаются от аналогичной модели, учитывающей вращение. В последующие двое суток вращение должно сказываться па результатах, однако мы предполагаем, что в этот период мы правильно улавливаем тенденцию развития процесса. Показаны типичные распределения высоты пятна (рис. 2), его плотности (рис. 3), локальной скорости вниз по склону (рис. 4)-, и локальной скорости взмутпепия донных осадков (рис. 5) в ходе движения. Кроме того, па стр. 409 показана эволюция во времени максимальных: локальной скорости (рис. 6), плотности (рис. 8) и эрозии донных осадков (рис. 10). Из рисунков видно, что весь период эволюции пятна можно разделить па три фазы. Это, во-первых, «обрушение» пятна, когда резко падает высота, возрастает скорость и засасывается основное количество грунта со дна (т. е. фактически потенциальная
Рис. 6: Эволюция во времени максимальной локальной скорости в пятне.
200 150
Е ®
~J 100 50
0
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 011 а, гас!
Рис. 7: Зависимость расстояния, пройденного передним фронтом пятна от угла скло-а
72-hours length over slope (X with various HO
Maximum dRo over the time
Рис. 8: Эволюция во времени максимальной разности плотности 5р.
Рис. 9: Зависимость расстояния, пройденного передним фронтом пятна от начальной высоты распределения Н0.
Mean enoeion over the time
Рис. 10: Зависимость от времени интегральной (но всему пятну) эрозии грунта со дна.
Рис. 11: Зависимость расстояния, пройденного передним фронтом пятна от начальной разности плотностей 5р0.
энергия начального распределения переходит в кинетическую энергию движения воды со взвешенным грунтом). Во-вторых, это фаза ,Л"а 2 с постепенно уменьшающейся скоростью и оседанием ранее вовлечённого грунта. И, наконец, третья фаза, когда весь ранее вовлечённый грунт уже осел, высота уже уменьшилась настолько, что скорость пятна стала менее 1 см/сек и, фактически, это уже не мутьевой ноток, а термохалинный.
График локальной скорости движения от времени вначале резко спадает, а затем возрастает вновь, достигая максимума, после чего плавно понижается, асимптотически приближаясь к нулю, В фазе ,Л"а 1 на скорость пятна влияют два процесса - это резкое уменьшение высоты (обрушение), которое приводит к сильному замедлению пятна, с одновременным интенсивным взмутнением грунта, что повышает плотность образования и вследствие! этого скорость резко возрастает. Вдобавок происходит резкое увеличение площади соприкосновения со дном, что, с одной стороны, увеличивает трение о дно, а с другой - увеличивается площадь, с которой в ноток вовлекаются донные отложения. Заметим, что максимальное значение вовлечения грунта достигается немного позже чем максимум скорости пятна. Это вызвано тем, что, несмотря на то, что скорость уже прошла свой максимум и надает, её величина всё ещё достаточна для того, чтобы продолжался размыв грунта.
На графике эрозии/наносов грунта (рис. 12) (отрицательные значения соответствуют
эрозии грунта, положительные - наносам) Graph of Errosion ^ видно, что для данных расчётов основной
-«ss^fc»^ размыв грунта происходит в области на 15-
20 км ниже но склону относительно начального положения пятна. Далее этот размытый грунт переносится вниз но склону и осаждается на площади заметно превышающей зону эрозии.
Рис. 7, 9 и 11 па стр. 409 показывают соответственно зависимости расстояния, пройденного передним фронтом пятна за 72 часа а
пределения (H0) и начальной разности плотности (Sp0), Заметно, что наименьшее влияние па длину пройденного пути оказывает начальная разность плотности, а наибольшее -а
Выводы:
Построена модель движения вниз но склону объёма плотной жидкости в окружении более лёгкой воды. Модель учитывает взмутпепие донных отложений. Показано, что, во-первых, скорость такого потока может достигать порядка нескольких метров в секунду, причём максимальная скорость достигается примерно через 10 часов после начала движения, и во-вторых, что основное влияние па поведение такого потока оказывает, в первую очередь, угол склона и начальная высота образования, и почти не влияет начальная разность плотности,
Данная работа частично профинансирована грантом РФФИ №99-05-654-24 и проектом ,Л"а 2509 (Университеты России - фундаментальные исследования).
Рис, 12: Зависимость от времени средней по пятну эрозии грунта со дна.
Список литературы
|1| Boris J,P., Book D.L.: Flux - Corrected Transport I: SHASTA - A Fluid Transport Algorithm That Works., J. Сотр. Phvs., 1973, .Л* 11, p. 38-57.
|2| Boris J.P., Book D.L.: Flux - Corrected Transport III: Minimal - Error Algorithm , J. Сотр. Phvs., 1976, .Л* 20, p. 397-532.
|3| Simpson J. E,: Gravity Currents: In the Environment and the laboratory , Ellis Horwood Limited, Ch. 7, p. 108, 1987.
|4| Бареиблатт Г.И.: Динамика турбулентных пятен и интрузии в устойчиво - стратифицированной жидкости. Изд. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1978, т. 14, ,Л» 1, с. 195-206.
|5| Жмур В.В., Ткачепко Б.К., Якубенко М.В.: Эволюция турбул,и,зи,рова,нн,ого объёма 'плотной воды на наклонном дне, Океанология, 1998, т. 38, ,Л"а 4, с. 528-539.
|6| Колмогоров А.Н.: Уравнения, турбулентного движения несжимаемой жидкости, , Изд. АН СССР, Серия «Физика», 1942, т. 6, .Л* 1-2, с. 56-58.
|7| Шапиро Г.И., Акивие Т.М., Пыхов Н.В., Андыферов С.М.: Перенос ,мелкодисперсного осадочного материла мезомасштабными, течениями, в шелъфово-склон,овой, зоне моря. Океанология, 1999.
