CC BY
90
Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 30 (284). Физика. Вып. 14. С. 26-31.
О. В. Долгушина, Н. И. Платонов, В. С. Белоусов, Д. М. Долгушин
ДИНАМИКА КАПЕЛЬ ДИСПЕРГИРОВАННОЙ СТРУИ В ПОПЕРЕЧНОМ ПОТОКЕ ГАЗА1
Предложена модель движения капель диспергированной струи в поперечном потоке газа. С учетом действия сил сопротивления и тяжести предложены приближенные уравнения, позволяющие рассчитывать траекторию движения капли и время ее пребывания в активной зоне аппарата.
Ключевые слова: диспергированная струя, поперечный поток газа, динамика капли.
В тепломассообменном аппарате пленочная струя, вытекающая из кольцевой щели, на некотором расстоянии от форсунки разрушается. Образовавшаяся при этом диспергированная струя взаимодействует с поперечным потоком газа. Единица массы капельного потока имеет большую поверхность по сравнению с единицей массы пленочной струи. По этой причине эффективность процессов тепломассообмена между теплоносителями в аппарате с пространственным пленочным течением жидкости существенно зависит от динамики диспергированной струи.
Анализ динамики струи и газа в пленочном аппарате позволяет рассматривать капли движущимися обособленно от общего потока [1]. При этом уравнение движения отдельной капли можно записать в виде
т„
= -Г + т 2,
С т.»’
где
Г = 5К З Рг
■|(
2
(1)
(2)
Учитывая выражения для закона сопротивления (2), массы капли mк = рж пік /6 и миделева сечения сферической частицы Зк = / 4 , пере-
пишем уравнение (1) в виде
= ЧкТ
3 Рг
■ w
2 Рж
+ §• (3)
Зависимость для коэффициента сопротивления капли выразим через коэффициент сопротивления по Стоксу:
5 24 ,
5к = ^5 к.
яеё
(4)
1 Работа выполнена в рамках госзадания МО и Н РФ (проект № 7.2746.2011).
~ ^
Тогда ^к = — относительный коэффициент
^кс
сопротивления частицы, являющийся поправкой к закону сопротивления Стокса и равный отношению действительного сопротивления частицы к его стоксовскому значению
= 24/Яе-. Здесь Яек =
- w„
— число
Рейнольдса обтекания частицы. При ^ к = 1 выражение для силы сопротивления (2) принимает стоксовский вид Рк = 3п|Ккй (к - wг).
С учетом (4) уравнение (3) приводится к следующему виду:
dw
где
т =
% к
(5)
(6)
время динамической релаксации частицы — важная динамическая характеристика дисперсной фазы гетерогенного потока; цг — динамическая вязкость несущей среды.
В общем виде зависимости для коэффициента сопротивления капли £,к записываются в форме 5ё = А • Яе-”. Тогда для относительного коэффи-
циента сопротивления будем иметь
5 - = А яе1.-”
Ъё 24 ё
к к
и уравнение (5) примет вид
сЫ. і
і тк
■ = -а ws w =
(w - -wг ) + g,
где
а = -
24
V
г
(7)
(8) (9)
V
2
Р
Используя уравнение (8) как базовое, для дальнейших исследований составим удобную для решения систему дифференциальных уравнений, описывающих движение одиночной капли в активной зоне аппарата с пространственным пленочным течением жидкости. При этом принимаем, что капля во время движения не деформируется и имеет шарообразную форму. Задачу будем рассматривать в цилиндрической системе координат {0, г, ф, г} и считать осесимметричной, не зависящей от азимутальной координаты ф.
Из уравнения (8) получим систему дифференциальных уравнений, описывающих скорость и траекторию движения капли диспергированной струи в потоке газа:
где
и w
^кг
й т
^К2
й т йг й т йг й т к,.
= — а wv
\1-П /
^г| (к
|1 —П /
-*Ч (wк
- w )'
гутг /?
■ w ) —
гг /
(10)
= w
= w„
-w,
w„
-w,
w
скорость капли в проекциях на осях г и 2 соответственно; w и w — скорость газа
у гг гг А
в проекциях на осях г и г соответственно; параметр а представлен выражением (9); п — показатель степени в законе сопротивления. Систему уравнений (10) необходимо еще дополнить начальными условиями для капли
т = 0, г = гп, г = г.,, w = w ., w = w . (11)
’ 0’ 0’ кг кг0’ кг кг0 4 '
и полем скоростей для потока газа
0 < г < гт, г1 < г < г2,
ч-тг = Л (г,^т), ^ = Л (г,г,т), (12)
где гт — радиус теплообменника; г1 и г2 — вертикальные координаты активной зоны аппарата, между которыми установлена пленочная форсунка.
Эмпирические коэффициенты в законе сопротивления зависят от числа Яек. Анализ, выполненный в [1], показывает, что число Яек < 800. Тогда эмпирические коэффициенты закона сопротивления могут быть определены по таблице [2].
№ п/п А п Диапазон по Яек
1 24,0 1 Яе < 1
2 25,6 1 Яе < 1
3 26,3 0,8 1 < Яе < 13
4 12,3 0,5 13 < Яе < 800
Таким образом, физико-математическая модель движения одиночной капли, составленная из уравнений (10)-(12), представляет систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть решена численно.
Рассмотрим приближенные аналитические решения задачи динамики капли в газовом потоке. Для этого примем следующие условия:
- капля в начальный момент имеет только горизонтальную составляющую скорости;
- скорость газа во всех точках кольцевого зазора аппарата равна средней скорости и направлена вертикально вверх;
- уравнение движения капли вдоль координаты (г или г) зависит только от проекции скорости соответствующего направления;
- теплофизические параметры газа и жидкости являются постоянными величинами.
При этих условиях система уравнений (10)-(12) примет вид
dwкг й т
йт
йг
йт
йг
- = — aw„
(13)
= Ж.;
— = w , й т кг
начальные условия для капли
т = 0, г = гп, г = 0, w = wr„ w = 0 (14)
’ 0’ ’кг 0’ кг 4 '
и поле скоростей для газа
= 0 , w = w„
г0 < г < гт , г1 < г < г2 , "'г.
(15)
Решение системы уравнений (13)-(15) для стоксовского закона сопротивления (п = 1) широко известно. Такое решение может быть использовано для расчета скорости и траектории мелких капель диаметром до 0,2 мм (Яек < 1 и скорость газа не превышает 5 м/с). По предварительным оценкам, доля таких капель невелика в общем потоке диспергированной струи, но вероятность их уноса из активной зоны высокая.
Капли, в зависимости от их диаметра, скорости восходящего потока и пр., могут смещаться вдоль вертикальной координаты вверх или вниз. Направление движения капли можно найти из условия витания
вит
3 А РгУ>г2
4 Я Рж
которое в принятой модели определяется равенством сил тяжести и сопротивления [1].
Некоторая часть капель представлена в диспергированной струе значением числа Рейнольдса от 1 до 13 [3]. Для анализа их движения может быть использован закон сопротивления, в котором эмпирические коэффициенты имеют следующие значения: А = 26,3 и п = 0,8. В этом случае для координаты г аналитические решения примут вид
^ = w„„--------1---—; (17)
\5
г = Г + -
5wк
1 — -
1 X ,
-awí5 т + 1
\4
. (18)
V V У у
Для wкг(т) существует аналитическое решение
(16)
в виде функции, заданной неявно. Используя
подстановку ( — wкz) =
чау
у , можно полу-
чить интеграл вида т
м'к у 4<
кото-
у
рый имеет следующее решение [4]:
у4 йу 1 I 1 + у 1 1 + у + у2
= —^ 1п------------^ + - 1п
■уц 6
1 — у 2 1 — у + у
— л/3
' 2 у — 1 2 у + 1Л
arctg ——+ arctg
Тогда время движения капли, диаметр которой меньше диаметра соответствующего условию витания, т. е. й < й , определится расчетной формулой
т = -
1п
I1 + t (^Т-^кГ)-(1 — t (wг — ^со ) +
I1 — t (Wг — ^ )-(1 + t 7Wт — ^о )
)-(1 — t (( — ( + (Wт — ^о )2 )
1 I1+t (
2 ( — t ^^ — (кг + 12-^(т — )2 ) + t (^ — ^о + (2V^^-ЖKГ= )
* 2t 7Wг — Wкz — 1 2 ^Wг — ^со — 1
ак^ —-------------------------arctg ’
л/3
л/3
+
(19)
+73
arctg
2t 7Wт — Wкz + 1 7WГ_—W'K0 + 1
- — arctg
л/3
где t =
Условие йк > йвит соответствует движению вниз капли, время полета которой определится выражением
т = -
—5 1 ^ 6
1п
1 I1 + t 7
+ - 1п
I1 — t (К + Wкz )-(1 + t (Wг + ^о )
)'(1 — t (+Wo + t(Wг + Wкo =
)•(+t +1
н1
-73
2- ^[й~2й~-1 2- ¿[й~2й~ -1
аг^ —^------------аг^- V г ко
73
73
+
(20)
+73
73
73
где і =
Смещение капли вдоль вертикальной координаты г может быть определено из четвертого уравнения системы (13)
■=г
•/й,
й-2ій-2
-а ( - йгг )5 -;
Для нахождения интеграла используем ту же подстановку, что и при получении формул для времени движения капли т. Для капли, движущейся вверх (йк < йк вит), получим следующую расчетную формулу:
2 = -
^ '' її К - й,2
1
+ -6
+ 1п
^(-Г'-^^ - ^—г - йко)4 ) + 1п I1 + ( )•( - - К йг - й-о ) +
(1 - ( Кйг - Й-С2 )^(1 + - 7й - йко )
1 - - - (йГ - й-2 )2 )
( - - 7йг - йко + -—г - йко)2 )
(21)
1п
(і+(^йг+- +-2^/—г+йкг)2 )•
(і + -5/и^г + ( +t2(К+ййf)
где - =
/ У6
а6
Для капли, движущейся вниз (й > й ), расчетная формула будет иметь следующий вид:
1
—I
4
2 =—?0^- 1-4 К(+йк2 ) - 5(йг+йк0 Г )+
.10
1
+ -6
1п
I1 + - 7 йг + йк2 И1 - - 7йТ+йкО )
:)
+ 1п
І1 - ((Т+^Т )•(+(7
I1 - ( 7йг + йк2 + -(йг + й'к2 )
+
й + й„
(22)
-1П
I + -5йй+мГ+ - 2 ^ ( йг + йк2 )2 )^
II + *51чТу-0 ( -^( + йко)2
, где
і =
Основная часть капель в диспергированной струе представлена значением числа Рейнольдса Яек от 13 до ~ 430-750. Для анализа их движения может быть использован закон сопротивления, в котором эмпирические коэффициенты имеют следующие значения: А = 12,3 и п = 0,5. В этом случае аналитические решения для координаты г принимают вид
й = й
кг ко
2
(23)
ай2 т +1
г = г + -
2й
1-
1
1 У> ~Л
2 айко т21
(24)
Для w (т), как и в предыдущем случае, существует аналитическое решение в виде функции, за-
ґ„<Уз
данной неявно. Используя подстановку (т — м'к2 ) =
-2 Г Я |3
а I ? уйу
•—— I -------3, который имеет следующее решение [4]:
Я 1 — у
у , можно получить интеграл вида
т =
/ т
уіу.=-11п (1 - у )2 ■ 1___2У+1
-у
ш 2 +~і= аг^г .
6 1+у+у л/3 -у/3
Время движения капли, диаметр которой меньше диаметра соответствующего условию витания, т. е. й < й , определится расчетной формулой
т = -
11п
6
[~1 + + і1 ( - й Ж - (й - й )
I \ г к2' V г к2 / у V г КО' /
(1 -(й - -й ) [~1 + )Л1й -й + ґ2 ( -й )
\ V г К2 у I \ г КО' \ г КО' /J
_г_
73
2и1й - йк2 +1 2-+1й - й +1
aгctg V г г- к2----------------агс^ —----------------------
73
73
, -=3-
(25)
Для падающей капли (йк > йк вит) время полета определится выражением
т = -
—1п
6
I1 + фг + йк2 + -2 (г + йК2 )]( - (йг + йКО )
(1 - (йг + йК2 ) I1 + ^йг + йкО + -2 (йг + йкО ))
1_
73
2^/й + йк2 +1 2^/й + й +1
... V г к2 _. \ г КО
агс® —------------------------------------------^-aгctg —----------
73
73
(26)
Интегрирование четвертого уравнения из системы (13) приводит к следующим формулам: - для капли, движущейся вверх (і < і ),
2 = —
-7йг -йк^^7йТ-
й -
- 11п I1 - (йг - й'к2 ) ) + Фг - йкО + -2 (йг - йкО ))
6 п
I1 - -7йг- йко)[)+-7
й - й]-2 + - 2 (йг - йК2
— + )]
+
73
2и1й - йк2 +1 2-*1й - й +1
. V г к2 , V г ко
aгctg--------------^------------------агс^
73
73
а
- = 3 —;
- для капли, движущейся вниз (і > і ),
1
2
2
г = —
—1п
+
I1—tл/WT'+нKГ ) [1+=л/(г'+~нкО+12 К+нко =
.------ 2--------------- —----------------------
(1 — (Жг + Жко ) [1 + фт + Чкг + t2 ( + )
2^Жт + Жкг + 1 2фт + Жко + 1
arctg —-----------------------р-arctg —
л/3
(28)
Полученные в работе формулы охватывают весь спектр характеристик капель полидисперс-ного потока диспергированной струи, образованной в результате разрушения пленочной струи. Полный расчет динамики капли осуществляется последовательно путем разбиения активной зоны на характерные участки, для которых выполняется один из предлагаемых в таблице законов сопротивления.
Список литературы
1. Платонов Н. И. Гидродинамика и теплообмен при взаимодействии пленочной и диспер-
гированной струй с поперечным парогазовым потоком : автореф. дис. ... д-ра техн. наук. Екатеринбург, 2011.
2. Пажи Д. Г, Галустов В. С. Основы техники распыливания жидкостей. М. : Химия, 1984.
3. Платонов Н. И., Семенов В. П., Долгушина О. В. Гидродинамика полидисперсного потока капель в контактном теплообменнике с пленочными форсунками // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2010. № 1-2.
4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М. : Наука, 1980. 976 с.
