CC BY
15I. ХИМИЯ И ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ
Неорганическая и физическая химия
УДК 532.63 532.68
Efim E. Bibik
DYNAMICS AND KINEMATICS OF MOVEMENT OF THE MENISCUS OF LIQUID IN THE CAPILLARY
St.Petersburg State Institute of Technology, St.Petersburg, Russia eefimovich@yandex.ru
The role of capillary pressure as a factor determining the dynamics and kinematics of the capillary flow is considered. The observed axial flow is considered as a consequence of the radial flow of the fluid bordering the surface of the meniscus. It is shown that the radial flow is due to the gradient of the superficial tension of the meniscus caused by the deformation of the meniscus surface by the forces of fluid adhesion to the capillary wall. An estimate of current velocities is given. Under typical conditions, the velocity of the radial flow is by a factor of ten greater than the flow velocity along the capillary axis when the volume velocities calculated from the values of the tension gradient and the capillary pressure, respectively, are equal. It is concluded that the observed movement of the meniscus is caused by the flow of fluid on the surface of the capillary, in which the axial component of the flow rate on the capillary wall is zero. This eliminates the contradiction between the apparent movement of the meniscus and the equation of the axial flow of fluid in the capillary, according to which the speed on the wall should be zero.
Key words: surface tension, capillary pressure, wetting angle, capillary, meniscus, Poiseuille formula, axial flow, adhesion, surface tension gradient, radial flow
DOI 10.36807/1998-9849-2023-64-90-3-7
Введение
Движение жидкости в капиллярах однозначно связывают [1] с капиллярным давлением Р или непосредственно с поверхностным натяжением жидкости ст. Смысл и численное значение капиллярного давления определено на основании формулы Лапласа Р = 2ст/г, как разница давлений внутри и вне сферической капли жидкости с радиусом г и поверхностным натяжением жидкости ст. Однако обычно оно определяется, как разница давлений в двух фазах, разделенных искривленной границей, опуская ряд существенных деталей, расширяя тем самым область применимости формулы Лапласа. Основанием послужила возможность записать формулу Лапласа виде произведения Р = стК поверхностного натяжения жидкости ст на кривизну поверхности К = 2/R где R - радиус сегмента сферической поверхности, разделяющей две флюидные фазы. Капля жидкости или пузырек воздуха в ней - это двухфазная система, в которой одна из фаз охвачена замкнутой поверхностью раздела фаз и действует только ее поверхностное натяжение. Межфазная поверхность двухфазной системы может быть искривлена, а может быть и плоской. Кривизна же поверхности -это неотъемлемое (в невесомости или при малом размере системы) свойство только трехфазных систем при нали-
Бибик Е.Е.
ДИНАМИКА И КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МЕНИСКА ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРЕ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Санкт-Петербург, Россия
eefimovich@yandex.ru
Рассматривается роль капиллярного давления, как фактора, определяющего динамику и кинематику капиллярного течения. Наблюдаемое осевое течение рассматривается как следствие радиального течения жидкости, граничащей с поверхностью мениска. Показано, что радиальное течение обусловлено градиентом поверхностного натяжения мениска, вызванного деформацией поверхности мениска силами адгезии жидкости к стенке капилляра. Приведена оценка скоростей течения. При типичных условиях скорость радиального течения на порядок больше скорости течения вдоль оси капилляра при равенстве объемных скоростей, вычисленных по значениям градиента натяжения и капиллярного давления, соответственно. Сделан вывод, что наблюдаемое движение мениска вызвано натеканиемжидкости на поверхность капилляра, при котором осевая составляющая скорости течения на стенке капилляра равна нулю. Тем самым устраняется противоречие между видимым движение мениска и уравнением осевого течения жидкости в капилляре, согласно которому скорость на стенке должна быть равна нулю.
Ключевые слова: поверхностное натяжение, капиллярное давление, угол смачивания, капилляр, мениск, формула Пуазейля, осевое течение, адгезия, градиент поверхностного натяжения, радиальное течение
Дата поступления - 21 октября 2022 года Дата принятия - 15 декабря 2022 года
чии общего для всех трех фаз элемента такой системы -линии контакта трех фаз (периметра смачивания). На периметр действуют натяжения каждой из трех межфазных поверхностей. Линия контакта не является материальным объектом, на который могут действовать еще какие-либо силы и который сам может действовать на что-либо. Поэтому следует иметь ввиду условность придания ей, как, впрочем, и границе раздела фаз, свойств материальных объектов. Возможность перемещения периметра смачивания под действием всех трех сил натяжения, а также сторонних сил, порождает многообразие капиллярных явлений и процессов в трехфазных системах. При отсутствии трехфазного контакта многофазная система вырождается в совокупность нескольких двухфазных систем с утратой специфики трехфазной. Неочевидно, но факт, что описание явлений, связанных с движением периметра смачивания, в рамках только формулы Лапласа некорректно с токи зрения отражения роли участвующем в этом процессе сил натяжения. В этом можно убедиться на классическом примере трехфазной системы - сосуде с жидкостью, граничащей с газом, и погруженным в неё капилляром (третьей фазой). Жидкость имеет в этом случае и плоскую границу с газом - в сосуде, и искривленную - в капилляре. При хорошем смачивании внутренних стенок
капилляра мениск жидкости поднимается в капилляре. Считается, что подъем вызван действием капиллярного давления (или непосредственно поверхностного натяжения жидкости). Однако, по Лапласу давление больше в газовой фазе и, следовательно, мениск должен опускаться, а не подниматься. Не убедительно объяснение подъема мениска тем, что повышенное давление в газовой фазе передается через плоскую границу жидкой фазе, в том числе в зону мениска, что и является причиной его подъема в капилляре [2]. То, что давление в разных фазах должно выровняться не вызывает сомнения, это произойдет прежде чем мениск успеет сдвинуться с места, поскольку выравнивание давления - это результат передачи импульса, а не переноса массы, требующий времени. Мгновенное (со скоростью распространения звука) выравнивание давления исключает его участие в капиллярном движении жидкости. Кроме того, давление может изменяться только в фазе, которая ограниченна со всех сторон замкнутой поверхностью, как в пузырьке газа в жидкости. По условиям опыта с капилляром это условие не выполняется - давление в газе было и останется атмосферным. Разумеется, что ничего не изменится, если всю систему изолировать от атмосферы. Следуя той же логике, можно сослаться на понижение давления в жидкой фазе, что приведет к тому же результату, что и в первом варианте - повышении давления в газовой фазе. Тем не менее, уровень жидкости в смачиваемом капилляре действительно поднимается.
Физические основы капиллярных
явлений
Противоречивость объяснений движения периметра смачивания вызвана некорректным определением движущей силы этого явления. Как было отмечено выше, движение линии контакта трех фаз определяется векторной суммой всех действующих на нее сил - натяжения границы жидкость/газ, натяжения сухой и смоченной жидкостью (мокрой) внутренней стенки капилляра. Поскольку движение периметра смачивания возможно только по поверхности твердой фазы, то в векторную сумму входит только проекция ст^0 силы натяжения жидкой фазы ст на эту поверхность. Здесь уместно отметить, что угол смачивания 0 определен, как параметр состояния именно трехфазных систем, из условия равновесия капли жидкости на поверхности твердого вещества - равенства нулю суммы сил, действующей в плоскости раздела твердой и газовой фазы (формула Юнга). Таким образом, по определению, действующая на периметр сила при равновесном значении угла смачивания равна нулю и, следовательно, не может быть причиной его движения.
В данном случае, как и в других многофакторных условиях, критерий причастности той или иной (обобщенной) силы X. к наблюдаемым изменением состояния системы следует из определения работы М . этой силы йМ. = Хйх ., где х. - экстенсивный параметр состояния (обобще нная координата), сопряженный с данной силой X .. Очевидно, что эта сила вносит вклад в изменение состояния системы только тогда, когда она совершает работу - изменяет значение сопряженного с ней параметра хк Неизменность параметра х . (йМ . = 0) свидетельствует о непричастности силы X . к происходящим изменениям. Соответственно, поверхностное натяжение ст или давление Р могут вызвать движения мениска, если будут совершать работу стйА или Pdv, изменяя тем самым площадь А поверхности жидкой фазы, или объем V системы или его составляющих. Ни площадь А поверхности жидкой фазы, включая мениск, ни объем всей системы V или отдельных фаз, не изменяются при смещении мениска - оно вызывает перетекание небольшого количества жидкости из сосуда в капилляр, и его замещение в сосуде равным (по объему) количеством газа. При этом йА = 0 и dv = 0, поэтому поверхностное натяжение и давление в принципе не могут быть причиной капиллярного движения жидкости.
При изменении положения мениска в капилляре радиусом г изменяются площади А сухой и мокрой поверхности стенок капилляра на некоторую величину йА. Соответствующая работа йМ = ДстйА совершается при этом разницей натяжений Дст сухой и мокрой поверхности. Действующая на периметр смачивания сила равна 2пгДст, а ее величина, отнесенная к площади поперечного сечения капилляра пг2, дает разницу давлений Р = 2Дст/г по обе стороны мениска. Разница натяжений выражается с помощью формулы Юнга через поверхностное натяжение жидкости и угол смачивания 0 стенок капилляра этой жидкостью: Дст = стcos0. В итоге получается та же формула Лапласа Р = 2ст^, где R = гД^0 - радиус кривизны поверхности мениска. Поверхностное натяжение жидкости при этом не участвует в создании давления, оно является единственной доступной измерению силы - поверхностного натяжения жидкости и потому позволяет с помощью формулы Юнга вычислить численное значение реально действующей силы - разницы натяжений сухой и мокрой поверхности стенки капилляра, причем, только в состоянии равновесия капиллярной системы [3].
Всякое движение, в том числе мениска в капилляре, является следствием неравновесности системы. Речь идет именно о неравновесности, а не о нарушении равновесия, как причины движения. Это существенно, поскольку капилляр, концы которого находятся по разные стороны границы между газом и жидкостью, образует систему, которая изначально не равновесна и поэтому нет необходимости его нарушать, чтобы вызвать движение. В классическом описании поведения этой системы отмечается, что жидкость поднимается в капилляре под действием некой силы, пака она не будет уравновешена гидростатическим давлением столба жидкости в капилляре. Фактически это и есть констатация факта неравновесности системы и того, что равновесие в ней возможно только при действии на нее некой сторонней силы, в данном случае гравитации. Вместе с тем, угол смачивания, как фундаментальный параметр состояния микрогетерогенных трехфазных систем, определен для системы, находящейся в состоянии устойчивого равновесии без каких-либо внешних воздействий - это капля жидкости на плоской поверхности твердого вещества. Естественно возникает вопрос о тождественности углов смачивания в одной и той же по фазовому составу системе (вода, воздух, стекло), но с разной топологией (капля воды на стекле или стеклянный капилляр в воде), которые принципиально отличаются по условиям реализации равновесия - с участием или без участия внешних сил. В том числе он касается и правомочности применения формулы Юнга ст1 - ст2 - ст^0 = 0 в разных ситуациях. Как было отмечено выше, она определят смысл и численное значение угла смачивания 0. При выборе определенной жидкости он определяется только натяжениями сухой ст1 и мокрой ст2 поверхности твердой фазы. Они наиболее подвержены изменениям, в частности, во времени. Этот вопрос достаточно широко обсуждается в литературе [1, 4] и далее затрагиваться не будет. Важно, что независимо от факторов, влияющих на численное значение краевого угла, он определяет величину капиллярного давления и, в соответствии с формулой Лапласа и Пуазейля, скорость капиллярного движения жидкости [1].
В ряде природных и технологических процессов устанавливается стационарный режим движения жидкости в капиллярах, в том числе, за счет ее непрерывного испарения с менисков, например, в стволах и стеблях растений, в устройствах терморегуляции промышленных и природных процессов [5], в деятельности живых организмов, в гидрогеологии и процессах образования минералов. В динамическом режиме значение краевого угла может отличаться от равновесного. Повод для такого суждения дает явное несоответствия профиля линейной скорости V пуазейлева течения жидкости в капилляре К и формы мениска, разделяющего газовую 1 и жидкую 2
фазы (рис. 1).
Рис. 1. Профиль границы между газом (1) и жидкостью (2), профиль скорости движения жидкости V в капилляре К
Видимое постоянство формы мениска при его движении создает впечатление, что линейная скорость осевого движения жидкости не зависит от радиальной координаты, означающее равенство скорости движения примыкающих к стенке слоев жидкости и удаленных от поверхности. Это противоречит эпюре скоростей течения, соответствующей принятому в гидродинамики условию прилипания жидкости к стенке (ее неподвижности на границе жидкость/твердое). Согласовать видимое постоянством формы мениска с пуазейлевой эпюрой течения можно только принимая, что в поверхностных слоях менисковой жидкости существует радиальное течение S от оси капилляра к стенке К. В этом случае наблюдаемое смещение мениска на некоторую величину z = Vdt за интервал времени dt в действительности вызвано натека-нием жидкости на стенку капилляра (рис. 1). Здесь S и V средние по площадям 2лrz и лг2 линейные скорости радиального и осевого течения. Кинематика натекания жидкости на стенки капилляра подобна кинематике раскатывания рулона листового материала по поверхности - есть видимое движение рулона (мениска) по поверхности, а движение материала вдоль поверхности отсутствует на всем протяжении его контакта с поверхностью. Это универсальная кинематическая схема движения периметра смачивания, совместимая с принятом в гидродинамике условием прилипания жидкости к поверхности.
Количественная оценка гидродинамических параметров
Не затрагивая пока природу сил, вызывающих радиальное течение, можно заметить, что постоянство формы мениска при максимуме скорости притока жидкости к мениску на оси капилляра и нулевой у стенок свидетельствует о значительно большей скорости отвода жидкости от центра к стенке капилляра, чем скорость ее поступления к мениску под действием капиллярного давления. Только при таком соотношении скоростей форма мениска, искажемая притоком жидкости в центр капилляра, может быстро восстанавливаться радиальным течением. Соответствующая кинематическая схема движения жидкости приведена на рис. 2. На нем z - смещение мениска, 1 -, 2 -, 3 -
Радиальное течение является непрерывным продолжением осевого течения, перенаправленного силой, действующей по касательной к поверхности мениска в радиальном направлении. Она является той единственная силой, которая вызывает и осевое и радиальное течение, однако для сопоставления этих скоростей на разных
Рис. 2 Кинематика движения мениска: I- смещение мениска; 1 исходное положение мениска, 2 положение мениска, искаженное притоком жидкости, 3 - новое положение, восстановленное радиальным течением Б; Б - направление радиального и V - осевого потока
участках траектории движения эту силу удобно представлять, как капиллярное давление 2стсо80/г вдали от мениска, и как касательную к границе мениска силу вблизи мениска. Таковой может быть реально действующая сила - это натяжение ст этой границы. Как отмечалось выше, оно не может быть причиной движения, но может выполнять функцию эластичного передаточного звена благодаря эффекту Марангони - появлению неравновесной упругости поверхности при ее деформировании. Эффект вызван запаздыванием адсорбции при достаточно быстром растяжении поверхности, что влечет за собой увеличение локального натяжения вблизи линии трехфазного контакта. Градиент натяжения вызывает поверхностное течение, направленное на уменьшение площади поверхности с повышенным натяжением. В основном он наблюдается в растворах, а динамическая упругость поверхности растворов используется как источник количественных данных о составе и структуре [6] адсорбционных слоев.
Приведенные выше суждения о капиллярном движении подразумевали, что нем участвует одноком-понентная жидкость, поэтому может возникнуть потребность в аргументации того, что деформация поверхности однокомпонентной жидкости так же способна создавать градиент поверхностного натяжения. С точки зрения механики сплошной среды нет разницы между однокомпо-нентными жидкостями и растворами. Это зафиксировано в формуле Баккера (1) и физических предпосылках к ее выводу [3].
о = Рр( Я)<Ш
(1)
Эта формула определяет поверхностное натяжение как работу деформации слоя жидкости толщиной ДО, включающего и границу раздела фаз. В упомянутой работе [3] наличие у этой границы поверхностного натяжения постулируется. При этом вычисление работы деформирования слоя в рамках механики сплошной среды требует представления сосредоточенного в математической плоскости натяжения в виде эквивалентной силы, распределенной по некому слою конечной толщины 5. Это формально придает ему анизотропность механических свойств, выраженную в различии нормальной к межфазной границе рп и тангенциальной р составляющих давления. Последняя зависит от координаты Я, направленной по нормали к поверхности раздела фаз, причем таким образом, что за пределами поверхностного слоя толщиной 5 величины р и рп должны совпадать. Нормальная составляющая рп не зависит от координаты Я, поэтому легко интегрируется и в формуле (1) представлена интегральной величиной Р = р„ДО. В силу равенства р = рп вне поверхностного слоя формула (1) представляет только работу деформирования поверхностного слоя, равную поверхностному натяжению ст границы фаз.
Поверхностный слой по определению [7] не одно-
роден в направлении нормали к границе раздела фаз. В нем плотность монотонно меняется от плотности одной фазы до плотности сопредельной фазы, а, следовательно, и тангенциальная составляющая давления. Этого достаточно, что бы в результат вычисления работы деформации dW появилось слагаемое пропорциональное приращению dA площади поверхности деформируемого слоя с коэффициентом пропорциональности ст = dW/dA. Таким образом, априори принятое в работе [3] наличие поверхностного натяжения, является излишним. В работе [8] различие нормальной и тангенциальной составляющих давления в поверхностном слое представлено как следствие его структурной анизотропии, удовлетворяющей требованию постоянства нормального и зависимости тангенциального давления от нормальной координаты только в поверхностном слое [7]. Таким образом, формула (1) и предпосылки к ее выводу не связаны с компонентным составом жидкости.
Градиент натяжения поверхности мениска dCT/dl в радиальном направлении - это производная натяжения по координате l точки на дуге L, изображающей профиль мениска (рис. 3). Координата отсчитывается от точки пересечения дуги и оси капилляра, Ее полная длина L = w R, где w = (п/2 - 0) и R = r/cos0, так что
L = r wcos0
(2)
Численное значение градиента натяжения можно оценить, полагая, что, dCT/dl = ст/L:
dCT/dl = ст cos0/rw
(3)
Т = CT cos0/rw
(4)
5 = zt/2H
(5)
Формула (4) позволяет выразить скорость через доступные измерению параметры капиллярной системы:
Рис. 3. К расчету длины дуги,, изображающей профиль мениска. Пояснения в тексте
и вычислить объемную скорость Q=2пrzS радиального потока.
Q=пz2ст cos0/ шп
Она должна быть равна объемной скорости осевого потока (формула Пуазейля)
По смыслу и размерности градиент натяжения это средняя по поверхности мениска величина напряжения сдвига т = стД, которое и вызывает течение поверхностного слоя менисковой жидкости в радиальном направлении - от оси к стенкам капилляра, поэтому
U=(nr3/4nH)CTCos0
(7)
выраженной через те же параметры и длину н части капилляра, заполненной жидкостью. Из равенства Q=U находим z2 = шг3/4Н и толщину z менискового слоя жидкости:
z=(r/2) (wr/H)1/2
(8)
Направление радиального течения задается тем, что линия трехфазного контакта выступает в качестве стока всей поступающей к ней жидкости. Сток вызван действием силы адгезии. Поскольку это короткодействующая сила, то ее действие распространяется только ближайшие к линии межфазного контакта молекулы. Их непрерывное изъятие с границы жидкость/газ, создает локальное динамическое растяжение поверхности, которое распространяется по поверхности мениска, оставаясь максимальным вблизи линии контакта трех фаз.
Напряжение сдвига вызывает течение согласно закону внутреннего трения Ньютона т = пк', где п - вязкость жидкости и у' - скорость ее деформации. Последнюю можно оценить, полагая, что в радиальное движение вовлекается слой менисковой жидкости толщиной z, заключенный между начальным 1 и конечным 3 положением мениска (рис. 2). Тогда можно принять, что у'= SJz, где Sm скорости течения в слое, положение которого совпадает с положением 3 границы мениска. Здесь она максимальна и линейно убывает до нуля на границе слоя, обозначенной линией 1. Следовательно, средняя линейная скорость течения в слое S равна (Уг)^. В данном случае напряжение сдвига (4) известно, поэтому появляется возможность оценить скорость течения поверхностного слоя менисковой жидкости из условия т/п= SJz и среднюю скорость радиального течения S= SJ2
Ее подстановка в формулу (6) дает линейную скорость радиального течения
5= (CTCos0/4n) (r/wH)1/2
(9)
Линейная скорость осевого течения V=U/nr2 будет, согласно (7),
V = (CTCos0/4n) (r/H)
(10)
Оценка численного значения этих скоростей при типичных условиях:
ст =0.072 Н/м, 0 =0, г =0,1 мм, #=10 мм
дает S =1.43 м/с, V = 0.18 м/с, их отношение S/V= 7.98, что находится в разумных пределах [9]. В общем случае
5/V = (H/wr)1/2
(11)
Согласно (8) толщина z = 6.27-10-6 м слоя менисковой жидкости составляет малую долю от радиуса капилляра г. Следует отметить, что в контексте приведенных выше соотношений, она приобрела смысл гидродинамической толщины ДЛ радиального потока жидкости (рис. 3), определенной равенством Q = и. Оно сохраняет силу на всем протяжении потока Ь Из этого следует, что толщина слоя максимальна на оси капилляра, где скорость равна нулю. У стенки капилляра толщина минимальна и равна z, а скорость радиального течения (9) максимальна.
5 = (z/r) ст cos0/2nw
(6)
Заключение
1. Показано, что поверхностное натяжение жидкости и капиллярное давление не могут быть движущей силой подъема жидкости в капилляре. Их использование в формуле для равновесной высоты подъема и скорости движения жидкости в капилляре обусловлено тем, что из всех сил, определяющих состояние капиллярной системы, только поверхностное натяжение доступно для измерения и позволяет количественно охарактеризовать ее состояние в поле сил тяжести высотой поднятия жидкости. Вне поля равновесное состояние этой системы не достижимо.
2. Установлено, что согласование эпюры скорости течения жидкости, соответствующей формуле Пуазейля, и формы мениска возможно только при наличии радиального течения жидкости вблизи мениска.
3. Движущей силой радиального течения является градиент натяжения поверхности мениска, порождаемый локальной деформацией мениска силой адгезии жидкости к сухой стенке капилляра.
4. Проведена оценка скорости радиального течения. Показано, что вблизи мениска при типичных параметрах капиллярной системы она на порядок больше скорости осевого течения.
Литература
1. Грибанова Е.В. Капиллярное поднятие растворов электролитов в пористых системах. СПб.: Изд-во ВВМ, 2016. 106 с.
2. Щукин Е.Д., Перцов А.В., Амелина Е.А. Коллоидная химия. М.: Высшая школа, 2006. 444 с.
3. Роулидсон Дж., Уидом Б. Молекулярная теория капиллярности. М.: Мир, 1986. 376 с.
4. Дерягин Б.В., Чураев Н.В., Муллер В.М. Поверхностные силы. М.: Наука, 1985. 398 с.
5. Faghri A. Heat pipes: review, opportunies and challenges // Frontiers in Heat Pipes. 2014. Vol. 5. Is. 1. P. 1-48.
6. Носков Б.А. Динамическая поверхностная упругость растворов ПАВ // Коллоидный журнал. 1982. Т.
44. N 3. С. 492-498.
7. Русанов А.И. Фазовые равновесия и поверхностные явления. Л.: Химия, ЛО, 19б7. 388 с.
8. Новый справочник химика и технолога. Т. Электродные процессы. Химическая кинетика и диффузия. Раздел 3. Коллоидная химия / под ред. С.А Симановой. СПб.: НПО «Профессионал», 2004. 838 с.
9. Ли Ч.-Т. , Ли Ч.-Ч., Лин Ж.-Е., Лю М.-Л. Численное моделирование капиллярного течения жидкости с использованием методов конечных элементов // Прикладная механика и техническая физика. 2018. Т. 57. № 5. С. 199-211.
References
1. Gribanova E.V. Kapillyarnoe podnyatie rastvorov elektrolitov v poristyh sistemah. SPb.: Izd-vo VVM, 2016. 106 s.
2. ShChukin E.D., Percov A.V., Amelina E.A. Kolloidnaya khimiya. M.: Vysshaya shkola, 2006. 444 s.
3. Roulidson Dzh., Uidom B. Molekulyarnaya teoriya kapillyarnosti. M.: Mir, 1986. 376 s.
4. Deryagin B.V., Churaev N.V., Muller V.M. Poverhnostnye sily. M.: Nauka, 1985. 398 s.
5. Faghri A. Heat pipes: review, opportunies and challenges // Frontiers in Heat Pipes. 2014. Vol. 5. Is. 1. P. 1-48.
6. Noskov B.A. Dinamicheskaya poverhnostnaya uprugost' rastvorov PAV // Kolloidnyj zhurnal. 1982. T. 44. N 3. S. 492-498.
7. RusanovA.I. Fazovye ravnovesiya i poverhnostnye yavleniya. L.: Himiya, LO, 1967. 388 s.
8. Novyj spravochnik himika i tekhnologa. T. Elektrodnye processy. Himicheskaya kinetika i diffuziya. Razdel 3. Kolloidnaya himiya / pod red. S.A. Simanovoj. SPb.: NPO «Professional», 2004. 838 s.
9. Li Ch.-T. , Li Ch.-Ch., Lin Zh.-E., Lyu M.-L. Chislennoe modelirovanie kapillyarnogo techeniya zhidkosti s ispol'zovaniem metodov konechnyh elementov // Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2018. T. 57. № 5. S. 199-211.
Сведения об авторе
Бибик Ефим Ефимович, д-р хим. наук, профессор кафедры физической химии;
Efim E. Bibik, Dr Sci. (Chem.), Professor of the Department of Physical Chemistry, eefimovich@yandex.ru
