Динамика двухжидкостной системы во вращающемся горизонтальном цилиндре Текст научной статьи по специальности «Физика»

Конвективные течения..., 2013

ДИНАМИКА ДВУХЖИДКОСТНОЙ СИСТЕМЫ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ

Н.В. Козлов, А.Н. Козлова, С.В. Пичкалев

Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально изучается динамика двухжидкостной системы, находящейся в центрифугированном состоянии, во внешнем силовом поле. Жидкости разной плотности стратифицируются в центробежном поле, образуя цилиндрическую границу раздела. При вращении на границе раздела возбуждается инерционная волна малой амплитуды, которая генерирует медленное отстающее движение границы раздела. Поверхность раздела при этом остается практически невозмущенной, и волна проявляет себя лишь в слабом радиальном смещении столба легкой жидкости относительно оси полости. Скорость границы раздела определяется отношением ускорения свободного падения к центробежному ускорению. На границе раздела пороговым образом возбуждается волна другого типа, что сопровождается резким изменением скорости границы раздела. Изучена роль таких параметров, как отношение вязкостей жидкостей и относительное наполнение жидкостей.

Ключевые слова: двухжидкостная система, вращение, граница раздела, инерционные волны, осредненное течение.

Жидкость как объект исследования всегда привлекала внимание ученых в связи с широкой распространенностью в окружающем мире и неисчерпаемым многообразием проявляемых ею свойств. Исключительно сложное поведение жидкости требует комплексного, экспериментального и теоретического изучения, и вместе с тем это дает возможность открытия новых явлений.

© Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В., 2013

Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В. Динамика двухжидкостной

В земных условиях многие явления, происходящие в жидкости, в той или иной степени связаны с вращением. Вращение является определяющим фактором для циркуляции большого масштаба в атмосфере и океане, как, впрочем, и для многих мелкомасштабных течений. Хотя разнообразие этих движений исключительно велико, у них есть общие черты. Описанию специфики гидродинамических процессов во вращающихся системах посвящена монография [1].

Осциллирующие силовые поля также оказывают сильное влияние на системы с границей раздела. В работе [2] экспериментально исследуется осредненная динамика двух несмешивающихся жидкостей разной плотности в полости прямоугольного сечения, совершающей высокочастотные горизонтальные колебания. Обнаружено, что при слабом вибрационном воздействии граница раздела жидкостей остается плоской, но при критической частоте вибраций на границе раздела возбуждается двумерный периодический рельеф в виде холмов и впадин.

В экспериментальной работе [3] исследуется поведение маловязкой жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре кругового сечения. В широком диапазоне относительного наполнения полости изучается устойчивость центрифугированного слоя и движение жидкости относительно полости, возбуждение инерционных волн на поверхности жидкости и влияние волн на устойчивость и структуру потоков. Обнаружено, что развитие инерционных волн приводит к интенсификации движения и формированию трехмерных течений. При возникновении стоячей волны течение принимает вид системы крупномасштабных тороидальных вихрей.

В [4] исследуется динамика центрифугированного слоя маловязкой жидкости во вращающемся цилиндре, который совершает поперечные оси вращения поступательные вибрации. Показано, что в области интенсивного движения жидкости исходно гладкая поверхность центрифугированного слоя сильно возмущена. На поверхности видна двумерная волна, фронт которой вытянут вдоль оси цилиндра.

В предлагаемой работе экспериментально исследуется динамика границы раздела двух несмешивающихся жидкостей в цилиндрической полости, вращающейся вокруг горизонтальной оси. Исследования проводятся при изменении относительного объема жидкостей и при изменении отношения их вязкостей. Изучается структура течения, измеряется скорость на границе раздела двух жидкостей при внешнем периодическом воздействии. Кроме того, изучается волна на границе раздела и возбуждение автоколебаний при

169

Конвективные течения..., 2013

медленном вращении полости. Эксперименты выполнены в широком диапазоне безразмерных частот.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА

Цилиндрическая кювета 1 (рис.1, фотография установки приведена на рис.2) заполнена двумя жидкостями: индустриальным маслом И-20А 2 и водоглицериновым раствором 3. Цилиндрическая кювета, изготовленная из прозрачного оргстекла, имеет высоту H = 7.2см и диаметр D = 5.2 см. Кювета закреплена на оси 4, которая в свою очередь закреплена в опоре 5. Шаговый двигатель 6 типа FL86STH80-4208A задает вращение кюветы, двигатель соединен с осью посредством соосной гибкой передачи 7. Вся установка закреплена на неподвижном столике 8.

— 2 — — : U 1 I.--5- 7 /\ /\ /\ у 6

-- _3 - _ : 1 ! ' \У \У \У

1 ]

1

8

Рис.1 Схема экспериментальной установки: 1 - цилиндрическая кювета, 2 - масло И-20А, 3 - водоглицериновый раствор, 4 - ось, 5 - опора, 6 - шаговый электродвигатель, 7 - гибкая передача, 8 -неподвижный столик

Рис.2. Фотография экспериментальной установки: 1—8 - см. на рис.1, 9 - генератор GAG-810, 10 - стробоскоп, 11 - Sigma Zet-210, 12 - драйвер двигателя SMD-42

170

Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В. Динамика двухжидкостной

Частота вращения задается и контролируется при помощи звукового генератора 9 типа GAG-810. Для освещения при фоторегистрации используется стробоскоп 10, частота мерцаний которого задается при помощи АЦП/ЦАП Sigma Zet-210 11 с точностью 0.01 Гц. Двигатель работает от источника питания TEC-14. Управление двигателем осуществляется через драйвер SMD-42 12. Точность частоты вращения двигателя выше 0.01 об/с.

В качестве рабочих жидкостей используются водоглицериновый раствор и индустриальное масло И-20А. Кинематическая вязкость масла составляет vt = 23.6 сСт, вязкость водоглицеринового раствора изменяется в диапазоне от vo = 23.6 сСт до vo = 1.6 сСт (для измерения вязкости используется капиллярный вискозиметр типа ВПЖ-2).

Рис.3 Распределение жидкостей после центрифугирования: R -радиус кюветы, Rj - радиус столба масла

Положение границы раздела характеризуется отношением объема легкой жидкости (масла) к полному объему кюветы, q ° Vj / V0. На практике удобно использовать отношение q = hj / H , где hj -высота масла в кювете, H - высота кюветы. Относительный объем легкой жидкости изменяется в диапазоне q = 0.18 - 0.71.

Отношение плотностей водоглицеринового раствора и индустриального масла рассчитывается как р° р / р0, где плотность индустриального масла р = 0.88 г/см3, плотность водоглицеринового раствора р0 = 1.2 г/см3 (плотность последнего поддерживается постоянной за счет добавления в раствор поваренной соли).

171

Конвективные течения..., 2013

При помощи генератора GAG-810 задается частота вращения полости fr, которая меняется от 0 до 10 об/с. Кювета приводится во вращение с достаточно высокой частотой fr = 10 об/с, которая затем понижается. При этом жидкости находятся в центрифугированном состоянии (рис.3). В ходе эксперимента на каждом шаге по частоте измеряются значения частоты вращения кюветы и частоты вращения границы раздела f. Скорость границы раздела жидкостей измеряется по движению находящихся на границе частиц ви-зуализатора размером 1 мм, значение плотности которых лежит между плотностями жидкостей.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА

После центрифугирования жидкости занимают устойчивое соосное положение: легкая жидкость - в центре в виде цилиндра, вытянутого вдоль оси кюветы, тяжелая жидкость распределяется вдоль цилиндрической поверхности полости (рис.4).

а б

Рис.4. Распределение жидкостей после центрифугирования. Вид со стороны торца (а) и сбоку (б); q = 0.46, n lvo »15 , fr = 10 об/с,

f = 9.98 об/с

На фотографиях (рис.4а, 5 а, 6) кювета вращается против часовой стрелки, а граница раздела в системе отчета полости вращается по часовой стрелке. Скорость границы раздела в лабораторной системе отсчета меньше скорости вращения кюветы.

Наблюдение проводится через цилиндрическую стенку кюветы, на которой можно увидеть капли масла (рис.7), образующиеся при перемешивании жидкостей в результате обрушения волны.

172

Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В. Динамика двухжидкостной

Время выдержки фотосъемки выбирается таким, чтобы граница раздела была отчетливо видна.

При уменьшении частоты вращения на границе раздела пороговым образом (при f* ) появляется бегущая волна. Граница раздела в сечении принимает форму, похожую на треугольник (рис.5а); волна двумерная, гребни вытянуты вдоль оси кюветы (рис.5б). Синхронизация частоты мерцаний стробоскопа с волной позволяет рассмотреть структуру волны и измерить ее фазовую скорость. Азимутальное волновое число n определяется по количеству гребней. В рассматриваемом случае наблюдались только волны с азимутальным числом n = 3 .

а б

Рис.5. Распределение жидкостей после появления волны; q = 0.46,

V lvo »15 , fr = 6.89 об/с, f = 6.68 об/с, fw = 5.75 об/с, n = 3

В надкритической области наблюдаются автоколебания, амплитуда волны на границе раздела и ее форма периодически изменяются. Рассмотрим фазы автоколебаний. Сначала жидкости находятся в невозмущенном состоянии (рис.6а, 7а), затем последовательно возрастает амплитуда колебаний жидкого столба (рис.6б-г, 7б). При дальнейшем нарастании амплитуды колебаний столба гребни волны принимают асимметричную форму. При критическом значении амплитуды (рис.6д) волна становится неустойчивой, скорость границы раздела в системе отсчета полости понижается. При обрушении волны (рис.6е-з и 7в) граница раздела возвращается в исходное невозмущенное состояние (рис.6и, 7г).

2.1. Скорость границы раздела и волны. На рис.8 представлена зависимость скорости границы раздела Df °| f - fr\ и фазовой

скорости волны Dfw ° |fw - fr\ от скорости вращения кюветы. Ско-

173

Конвективные течения..., 2013

рость границы раздела Df (точки 1) монотонно возрастает с понижением fr. При fr > 7.1 об/с значение Df не превышает 0.05 об/с. При этом граница раздела имеет форму кругового цилиндра. Волна возбуждается при критическом значении скорости вращения кюветы fr* = 7.1 об/с, одновременно скорость границы раздела резко

увеличивается и продолжает стремительно нарастать. Волна опережает границу раздела жидкостей (точки 2).

а б в

г

д

е

з

и

Рис.6. Фазы автоколебаний (последовательно, слева направо); q = 0.46, у/уо » 15 , fr = 6.8 об/с, T = 26.5 c

174

Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В. Динамика двухжидкостной

а б

в г

Рис.7. Процесс автоколебаний (слева на право, вид сбоку).

Параметры соответствуют рис. 6

При понижении скорости fr уменьшается скорость волны (рис.8, точки 2; отношение вязкостей v lvo = 4).

Следует отметить, что при повышении частоты вращения гистерезис в переходах не обнаружен.

2.2. Влияние отношения вязкостей. На рис.9 представлена зависимость скорости границы раздела от частоты вращения полости для разных значений вязкости внешней (тяжелой) жидкости. С повышением отношения вязкостей значение f* возрастает. В докритической области точки, полученные при различных v l vo, располагаются близко друг к другу, вырисовывая общую зависимость. В надкритической области наблюдается выраженное расслоение, но вид зависимости остается подобным для различных вязкостей. При отношении v l vo = 1.2 скорость в надкритичном режиме измерить не удается, поскольку область существования волны узкая, и возбуждение происходит сразу в виде автоколебаний. При большой надкритичности кривые с большим отношением вязкостей сближаются.

175

Конвективные течения..., 2013

6 fr 8 fr, об/с

4

Рис.8. Зависимость скорости границы раздела (точки 1) и фазовой скорости волны (2) от скорости вращения кюветы fr; vo = 5.83 сСт, q = 0.59

Df, об/с 0.6 0.4 0.2 0

4 6 8 f, об/с

j j.7

Рис.9. Зависимость дифференциальной скорости границы раздела Df от fr при изменении вязкости тяжелой жидкости (вязкость

легкой жидкости v = 23.6 сСт), q = 0.59

176

Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В. Динамика двухжидкостной

На рис.10 изображена зависимость фазовой скорости волны от скорости кюветы, построенная для разных отношений вязкостей. Возникновение волны, как видно, при разных vt lvo происходит на разных скоростях вращения кюветы, что также прослеживается и на рис.9.

4/>б1сг

1.4

1.2

Ущ

% У0,сСт * 19.5 B 16.0 ? 12.5 X 9.2 . 8.0 О 5.8 ■ 3.5 $ 3.0 + 2.5

f, об/с

1

5

6

7

Рис.10. Зависимость фазовой скорости волны Dfw от fr при изменении вязкости тяжелой жидкости, q = 0.59

Характерно, что вблизи порога появления волны (при сравнительно высокой скорости вращения кюветы) кривые, полученные в опытах с жидкостями разной вязкости, расслаиваются, а с ростом надкритичности (при дальнейшем уменьшении скорости вращения кюветы) укладываются на общую для всех вязкостей зависимость.

2.3. Границы устойчивости. Зависимость порогового безразмерного ускорения Г от величины наполнения q представлена на рис.11. Ускорение Г характеризует отношение силы тяжести, которая выводит из равновесия вращающуюся границу раздела, к центробежной силе, стабилизирующей жидкость, и определяется выражением Г ° g l Q;;Rt, где g - ускорение свободного падения, Qr ° 2pf (fr - частота вращения кюветы), Rt - радиус легкой жидкости (масла) в центрифугированном невозмущенном состоянии (рис.3).

177

Конвективные течения..., 2013

Рис.11. Границы устойчивости на плоскости q, Г

Рис.12. Зависимость порогов появления волны и возбуждения автоколебаний от отношения вязкостей vt / vo

178

Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В. Динамика двухжидкостной

В окрестности точки q = 0.6 наблюдаются две особенности: первая - минимум устойчивости к возбуждению волны, вторая -отсутствие автоколебаний. Таким образом, это значение q характеризуется наиболее широким диапазоном fr (и, следовательно Г), в котором существует стационарная волна на границе раздела. Поэтому эксперименты с изменением отношения вязкостей были проведены при q = 0.6 .

Аналогичный результат был получен в [5], где в качестве рабочих жидкостей использовались додекан и вода. В работе наблюдались волновые числа n = 2 - 5 .

Следует отметить, что в нашей работе в окрестности q = 0.6 зависимость пороговых значений T(q) имеет такой же, однако более резко очерченный минимум, как в [5], при этом n = 3 .

0 5 10 V,/Vo

Рис.40. Зависимость порогового безразмерного ускорения от v, /vo

Рассмотрим зависимость скорости вращения кюветы в пороге появления волны и возбуждения автоколебаний от отношения вязкостей (рис.12). Легко проследить, что при увеличении отношения вязкостей v, /vo увеличивается порог возникновения волны, а порог автоколебаний сначала растет, затем, при v, /vo > 2.5, уменьшается. Волновая неустойчивость развивается при большем значе-

179

Конвективные течения..., 2013

нии fr. Автоколебания развиваются при меньшей fr и не наблюдаются в области n lno > 5.

При отношении вязкостей vt lvo = 1.2 область существования волны была очень узкой, и ее возбуждение происходило сразу в автоколебательном режиме. Таким образом, устойчивость основного состояния системы понижается с ростом vt lvo, однако устойчивость волнового режима при этом повышается.

Рассмотрим зависимость порогового значения Г от отношения вязкостей vt lvo (рис.13). Волна имеет узкую область существования и практически сразу переходит в автоколебательный режим при отношении вязкостей vt lvo < 1.2, а при vt lvo > 4 автоколебания не возникают.

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

При вращении центрифугированной системы, состоящей из двух жидкостей разной плотности, направление вектора силы тяжести в системе отсчета полости совершает вращение. В результате граница раздела (как и столб легкой жидкости) совершает круговые колебания относительно полости, что приводит к сдвиговым касательным колебаниям на границе раздела и возбуждению среднего дифференциального вращения жидкости [5, 6]. Механизм таких колебаний и генерации среднего вращения описан в [7, 8]. Оба эффекта - и колебания, и среднее вращение - могут влиять на устойчивость границы.

При возмущении границы раздела каждая жидкость подстраивается к этому возмущению. Способность течения адаптироваться к возмущению зависит от его вязкости. Так, при равной вязкости оба слоя примерно одинаково реагируют на возмущение. С повышением отношения вязкостей система становится более «контрастной»: если в вязком слое возмущение быстро подавляется, то в маловязком оно нарастает. При большом отношении вязкостей возмущения в разных слоях уже не компенсируют друг друга, и граница раздела деформируется сильнее. Система становится менее устойчивой к возникновению волн [9].

Таким образом, в двух типах систем, плоском бинарном слое и центрифугированной двухжидкостной системе, при возбуждении касательных границы раздела колебаний отношение вязкостей играет аналогичную роль. На зависимости r(w) пороговые точки асимптотически стремятся к бесконечности по Г при малых w

180

Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В. Динамика двухжидкостной

(w°OR2 lvo) и выходят на постоянное асимптотическое значение Г при (рис.14). В работах [2, 9] аналогом параметра Г

являлось безразмерное вибрационное ускорение W = (bQ.vjb )21 gh -

отношение квадрата произведения амплитуды и частоты вибраций к стабилизирующей силе (там это сила тяжести, в нашем случае -центробежная сила). Зависимость W* (w) имеет вид, похожий на зависимость T(w) на рис.14.

Рис.14. Зависимость Г от w в пороге возбуждения волны

Рассмотрим зависимость пороговой безразмерной скорости вращения Од от безразмерной частоты w (рис.15). Скорость вращения определяется как Од =ДО l Wr, где ДО = 2p( fj - fr), напомним, что f - частота вращения границы раздела, fr - частота вращения кюветы.

Согласно рис.15, относительная скорость среднего вращения границы раздела сама по себе не определяет возникновение неустойчивости. Пороговое значение ОД изменяется с безразмерной частотой. Согласно [7, 8], ОД ~Г2, а безразмерное ускорение в свою очередь определяет амплитуду колебаний границы раздела и интенсивность среднего течения.

181

Конвективные течения..., 2013

Рис.15. Зависимость безразмерной скорости вращения | WD | от а

Зависимость |Од| (а) можно аппроксимировать степенной функцией с показателем -0.5. Это отличается от результата |Од| ~ а-4 5, полученного в [6] при изучении устойчивости сдвигового слоя на границе столбика Тэйлора - Праудмена, который формируется на геометрическом продолжении твердого сферического тела, центрифугированного в жидкости (по полученным от авторов последним уточненным данным |Од| ~ а1). Следует отметить, что в работе [6] Од рассчитывается по скорости вращения тела, а не по скорости сдвиговой границы.

Заключение. Проведенные эксперименты показали, что структура и скорость границы раздела двух жидкостей зависят от отношения вязкостей жидкостей и от величины относительного наполнения полости этими жидкостями. Пороги развития автоколебаний и появления волны также зависят от наполнения и отношения вязкостей. При больших значениях отношения вязкостей автоколебания не возникают, а при малых - волна имеет узкую область существования и поэтому сразу после развития переходит в автоколебательный режим.

182

Козлов Н.В., Козлова А.Н., Пичкалев С.В. Динамика двухжидкостной

Проведено сравнение с работами других авторов, в которых изучена динамика границы раздела при продольных колебаниях, а также при среднем дифференциальном вращении. Существуют две возможные причины развития неустойчивости: колебания границы раздела и ее среднее движение.

Работа выполнена в рамках Программы стратегического развития ПГГПУ (проект 040-М) и при поддержке Министерства образования Пермского края (проект С26/625) и РФФИ (грант 13-01-00675а).

СПИСОК ССЫЛОК

1. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л.:

Гидрометеоиздат, 1975. 304 с.

2. Иванова А.А., Козлов В.Г., Эвеск П. Динамика границы раздела несмешивающихся жидкостей при горизонтальных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 28-35.

3. Иванова А.А., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 98-111.

4. Иванова А.А., Козлов В.Г., Полежаев Д.А. Вибрационная динамика центрифугированного слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 2. С. 147-156.

5. Kozlov N., Salnikova A., Stambouli M. Vibrational dynamics of two immiscible liquids under rotation // 61st Intern. Astronautical Congress 2010, IAC 2010. Elsevier. 2010. Vol. 4. P. 2886-2892.

6. Wave instability of a rotating liquid column / N. Kozlov, A. Salnikova, S. Subbotin, M. Stambouli // 63rd Intern. Astronautical Congress 2012. Vol. 1. P. 717-723.

7. Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационная динамика легкого тела в заполненном жидкостью вращающемся цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 12-23.

8. Козлов Н.В. К теории вибрационного гидродинамического волчка // Конвективные течения... Вып. 5. Пермь: Перм. пед. ун-т, 2011. С. 93-100.

9. Talib E., Jalikop S. V. and Juel A. The influence of viscosity on the frozen wave instability: theory and experiment // J. Fluid Mech.

2007. Vol. 584. P. 45-68.

183

Конвективные течения..., 2013

DYNAMICS OF TWO-LIQUID SYSTEM IN A ROTATING HORIZONTAL CYLINDER

N.V. Kozlov, A.N. Kozlova, S.V. Pichkalev

Abstract. Dynamics of a centrifuged two-liquid system is studied experimentally in an external force field. The liquids are of different density and are stratified in the centrifugal field forming a cylindrical interface. At rotation in the gravity field, an inertial wave of small amplitude is excited on the interface. This wave generates a slow retrograde motion of the interface, which remains practically undisturbed as the wave manifests itself only in a slight radial displacement of the light liquid column relative to the cavity axis. The interface velocity is determined by the ratio of the gravity acceleration to the centrifugal acceleration - the dimensionless amplitude Г . In a threshold way, a wave of another type is excited on the interface; this is accompanied with an abrupt change of the interface velocity. The role of the following parameters is considered: the ratio of liquids viscosities and relative occupancy of the liquids.

Keywords: two liquids system, rotation, interface, inertial waves, mean flow.

184