CC BY
7
Прикладные задачи
^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн
УДК 517.9
Динамика двухкомпонентных параболических систем шредингеровского типа
С. А. Кащенко
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Россия, 150003 Ярославль, ул. Советская, 14 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Россия, 115409 Москва, Каширское шоссе, 31 E-mail: [email protected] Поступила в редакцию 17.05.2018, принята к публикации 12.07.2018
Предмет исследования. Рассматривается локальная динамика важного для приложений класса двухкомпонентных нелинейных систем параболических уравнений. Эти системы содержат малый параметр, который фигурирует в коэффициентах диффузии и характеризует «близость» исходной системы параболического типа к гиперболической системе. При достаточно естественных условиях на коэффициенты линеаризованного уравнения реализуются критические в задаче об устойчивости стационара случаи. Новизна. Важным является то обстоятельство, что эти критические случаи имеют бесконечную размерность: бесконечно много корней характеристического уравнения стремятся к мнимой оси при стремлении к нулю малого параметра. Специфика всех рассматриваемых критических случаев характерна для систем шредингеровского типа и, в частности, для классического уравнения Шредингера. Эти особенности связаны с расположением корней характеристического уравнения. В статье исследуются три наиболее важных случая. Отметим, что они принципиально отличаются друг от друга. Это отличие в своей основе обусловлено наличием в каждом из рассматриваемых случаев специфических резонансных соотношений. Именно эти соотношения определяют структуру нелинейных функций, входящих в нормальные формы. Методы исследования. Предложен алгоритм нормализации, то есть сведения исходной системы к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для медленно меняющихся амплитуд. Полученные результаты. Выделены ситуации, когда соответствующие системы удается компактно записать в виде краевых задач со специальными нелинейностями. Эти краевые задачи играют роль нормальных форм для исходных параболических систем. Их нелокальная динамика определяет поведение решений исходной системы с начальными условиями из некоторой достаточно малой и не зависящей от малого параметра окрестности состояния равновесия. В качестве важных приложений рассмотрены скалярные комплексные параболические уравнения шредингеровского типа. Выводы. Задача о локальной динамике двухкомпонентных параболических систем шредингеровского типа сводится к изучению нелокального поведения решений специальных нелинейных эволюционных уравнений.
Ключевые слова: динамика, нормальные формы, уравнение Шредингера.
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-5-81-100
Образец цитирования: Кащенко С.А. Динамика двухкомпонентных параболических систем шредингеровского типа // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26, № 5. С. 81-100. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-5-81-100
Dynamics of two-component parabolic systems of Schrodinger type
S.A. Kashchenko
Demidov Yaroslavl state University 14, Sovetskaya, 150003 Yaroslavl, Russia National Research Nuclear University «MEPhI» 31, Kashirskoe shosse, 115409 Moskow, Russia E-mail: [email protected] Received 17.05.2018, accepted for publication 12.07.2018
Issue. The paper considers the local dynamics of important for applications class of two-component nonlinear systems of parabolic equations. These systems contain a small parameter appearing in the diffusion coefficients and characterizing «closeness» of the initial system of a parabolic type to a hyperbolic one. On quite natural conditions critical cases in the problem about balance state stability are realized to linearized equation coefficients. Innovation. An important thing here is the fact that these critical cases have an infinite dimension: infinitely many roots of a standard equation go to the imaginary axis when a small parameter vanishes. The specificity of all considered critical cases is typical of Schrodinger type systems and of a classical Schrodinger equation, in particular. These peculiarities are connected with the arrangement of roots of a standard equation. Three most important cases are stood here. Note that they fundamentally differ from each other. This difference is basically determined by the presence of specific resonance relations in the considered cases. It is these relations that define the structure of nonlinear functions included in normal forms. Investigation methods. A normalization algorithm is offered, that is the reduction of the initial system to the infinite system of ordinary differential equations for slowly changing amplitudes. Results. The situations when the corresponding systems can be compactly written as boundary-value problems with special nonlinearities are picked out. These boundary-value problems play the role of normal forms for initial parabolic systems. Their nonlocal dynamics determines the behavior of the solutions of the initial system with the initial conditions from some sufficiently small and not depending on a small parameter balance state neighborhood. Scalar complex parabolic Schrodinger equations are considered as important applications. Conclusions. The problem about the local dynamics of two-component parabolic systems of Schrodinger type is reduced to the investigation of nonlocal behavior of the solutions of special nonlinear evolutionary equations.
Key words: dynamics, normal forms, Schrodinger equation.
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-5-81-100
Reference: Kashchenko S.A. Dynamics of two-component parabolic systems of Schrodinger type. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2018, vol. 26, no. 5, p. 81-100. https://doi.org/10. 18500/0869-6632-2018-26-5-81-100
Постановка задачи
Рассматривается вопрос о динамических свойствах решений с начальными условиями из некоторой достаточно малой окрестности нулевого состояния равновесия уравнений и систем уравнений параболического типа, близких к уравнениям Шредингера. Наиболее ярким представителем такого класса уравнений является уравнение
ди д2 u du
— = (ido + edi) + (bo + ebi) ^ + (ia° + eai) и + yu|u|2 (1) с периодическими краевыми условиями
u(t, x + 2п) = u(t, x). (2)
Здесь e > 0 - малый параметр, 0 < e ^ 1; коэффициенты d0, bo, a0 вещественны, а для коэффициента d1 выполнено условие
Re d1 > 0,
которое говорит о том, что краевая задача (1), (2) имеет параболический тип. Отметим, что параметры bo и ao здесь можно считать нулевыми, так как они уничтожаются простыми заменами x ^ x + b0t и u ^ u exp (ia0t). Классическое - при e = 0 и при условии Re у = 0 - уравнение Шредингера исследовалось многими авторами (см., напр., [1-5] и библиогр. в [5]). Изучены вопросы интегрируемости, построения точных решений и др.
Существенно более сложное поведение решений наблюдается у другого уравнения шредингеровского типа
du д2 u du
— = (ido + edi) дХ2 + (bo + ebi) дx + (iao + eai) u +
+ Yiu2 + Y2 u3 + yu|u|2 (Imdo = 0), (3)
которое тоже будем рассматривать с периодическими краевыми условиями (2). Вещественный параметр bo и здесь можно считать равным нулю, а параметр ao уже «убрать» нельзя.
Обратим внимание на весьма важное обстоятельство. Все собственные значения характеристического уравнения для линеаризованных в нуле краевых задач (1), (2) и (3), (2) при e = 0 являются чисто мнимыми. Отсюда, в частности, следует, что в задаче об устойчивости их нулевого состояния равновесия реализуется критический случай бесконечной размерности.
Наиболее общие двухкомпонентные системы, которые будем называть системами шредингеровского типа, имеют вид
rhi д2и rhi
— = (Do + eDi) + (Bo + eBi) — + (Ao + eAi) u + F(u), (4)
u(t, x + 2n) = u(t, x). (5)
Здесь все компоненты в (4) вещественные, u = (ul,u2); Dj, Bj, Aj (j = 0,1) -постоянные 2 x 2-матрицы, а нелинейная вектор-функция F(u) является достаточно гладкой и имеет в нуле порядок малости выше первого. Удобно считать, что
F(u) = F2(u, u) + F3(u, u, u) + o(|u|4),
где вектор-функции Fj (*,..., *) линейны по каждому аргументу. Условие парабо-личности краевой задачи (4), (5) означает, что собственные значения матрицы Do + eDi имеют положительные вещественные части (при 0 < е ^ 1). Отсюда, например, получаем, что собственные значения матрицы Do имеют неотрицательные вещественные части.
Отметим, что краевые задачи вида (4), (5) являются математическими моделями для многих прикладных задач (см., например, [1-11]).
Положим, далее, C(k) = —k2Do + ikB0 + A0 (k = 0, ±1, ±2,...) и пусть Pk(X) = det IC(k) — XI|. Тогда характеристическое уравнение для линеаризованной в нуле системы (4), (5) при e = 0 записывается в виде
Pk(X) = 0 (k = 0, ±1, ±2,...). (6)
В том случае, когда среди собственных значений матриц C(k) найдется собственное значение с положительной вещественной частью, задача о динамике в окрестности uo = 0 становится нелокальной. Важно отметить, что условия отрицательности вещественных частей всех собственных значений всех C(k), вообще говоря, недостаточно для вывода об устойчивости uo. Ниже предполагаем, что среди корней (6) нет корней с положительной вещественной частью и есть корни с нулевой вещественной частью. В том случае, когда оба собственных значения матрицы Do имеют положительные вещественные части, на мнимой оси может быть не более четырех корней (6). Случай, когда Do имеет одно нулевое и одно положительное или два нулевых собственных значения, рассмотрен в [12-18]. Здесь рассматривается случай, когда матрица Do имеет пару чисто мнимых собственных значений. Это обстоятельство и определяет «шредингеровость» краевой задачи (4), (5). Таким образом, без потери общности можно считать, что
Do = d( —1 1) (d > 0). (7)
Отметим, что при этом условии краевая задача (4), (5) является сингулярно возмущенной. При e = 0 меняется ее тип - она перестает быть параболической.
Относительно матрицы Bo из наложенных выше условий следует, что ее собственные значения вещественные. Поскольку в результате замены x ^ x + bot матрица Bo переходит в матрицу Bo — boI, то можно так подобрать параметр bo, что собственные значения Bo — boI будут отличаться друг от друга только знаком. Сформулированные выше условия на корни (6) приводят к выводу о том, что собственные значения матрицы Ao имеют неположительные вещественные части. Бесконечно много корней (6) могут иметь нулевую вещественную часть только при условии, когда SpAo = 0 и det Ao ^ 0. Ниже предполагаем, что выполнены условия невырожденности: матрицы Bo и Ao не имеют присоединенных векторов.
Таким образом, для Б0 и Л0 получаем представление
Бо = (Ь1 Ь) , Ло = Ь аЛ ,
\0з -Ь\) \аэ -а\)
где
Ь2Ьз > -Ь\, а2аз < -а\. (8)
Таким образом, уравнение (6) не имеет корней с положительной вещественной частью и имеет бесконечно много корней с нулевой вещественной частью, то есть краевая задача (4), (5) имеет шредингеровский тип.
Итак, ставится задача исследования при всех достаточно малых е динамических свойств (то есть поведения при Ь ^ ж, х € [0, 2п]) всех решений краевых задач (1), (2), (3), (2) и (4), (5) с начальными условиями из некоторой достаточно малой по норме соответственно Ш2 и Щ22 (К2) (и не зависящей от е) окрестности нулевого состояния равновесия.
Изложим здесь основную схему исследования, базирующуюся на результатах [13-18], применительно к краевой задаче (4), (5). Ее реализации будут посвящены следующие разделы.
Введем несколько обозначений. Через ±Хк (КеХк = 0) обозначим собственные значения матрицы С (к), а через сх(к) и с2(к) - собственные векторы, отвечающие собственным значениям Хк и -Хк, соответственно.
Рассмотрим формальный ряд
и = 5к (Ь)сх(к) ехр (гкх + ХкЬ) +
те
+ Пк(Ь)с2(к) ехр (гкх - ХкЬ) +
+ сс + и,2(Ь,Х, т) + из(Ь,Х, т) +---- (9)
Здесь «амплитуды» - неизвестные функции 5к и Пк - таковы, что, во-первых, являются достаточно малыми и, во-вторых, их производные тоже достаточно малы (при |е| + |5| + |п| ^ 0). Вектор-функции и,2 и из периодичны по х, почти периодичны по Ь и являются соответственно квадратными и кубическими формами относительно элементов и п', а через многоточие в (9) обозначены слагаемые порядка 0(|5|4 + |п|4 + е2(|5|2 + |п|2) + е2(|5| + |п|)), запись сс означает, что повторяются все предыдущие слагаемые со знаком комплексного сопряжения. Подставим (9) в (4) и будем последовательно собирать коэффициенты при одинаковых степенях е и , П'. Тогда из условий разрешимости соответствующих уравнений относительно и,2 и из (в указанных классах функций) приходим к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения 5к и Пк. Эта система имеет вид
^к ь , , аПк (10)
— = еак 5к + ¡к; -гт = ерк Пк + 9к, (10)
аЬ аЬ
где
ак = -к2 (Охскх, Нк\) + гк (Б^х, Нкх) + (Л1ск1, Нкх),
вк = —к2 (В1вк2, Нк2) + ik (Вс2, ^2) + (Лгг^, Ьк2),
векторы ^к1 и Нк2 - собственные для матрицы С*(к), причем (ск1, Ь,к\) = (ск2, ^2) = = 1. Нелинейные функции ¡к и дк зависят от ^±1,?±2,---; По,П±1,П±2,--- и являются суммой форм второго и третьего порядка по всем переменным. Систему (10), вообще говоря, упростить не удается. Главная задача настоящей работы - выделить такие ситуации, когда все-таки возможно бесконечную систему (10) записать в удобной и компактной форме.
В разделе 1 эта задача решается в предположении, что в (4), (5) отсутствуют квадратичные слагаемые, то есть
^2 = 0 (11) и для некоторого значения параметра о выполнены соотношения
Ао = оБо и Во = 0. (12)
В качестве приложения полученных результатов будут приведены соответствующие утверждения для краевой задачи (1), (2) и для краевой задачи (4), (5) при Бо =0.
В разделе 2 упрощающее предположение основано на том, что матрицы в (4) таковы:
Бо = Ао = 0. (13)
Тогда можно считать, что
Во = 01 -01 .
Отметим, что, как будет показано ниже, случаи (12) и (13) отличаются друг от друга принципиальным образом. Дело в том, что в разделе 1 построения основаны на том, что отсутствуют младшие резонансы. Для этого будут наложены еще некоторые незначительные ограничения на параметр а. А в разделе 2, наоборот, при соответствующем рассмотрении имеет место бесконечное множество младших резонансных соотношений.
Построения раздела 3 касаются краевой задачи (3), (2). В плане наличия резонансных соотношений эта краевая задача занимает промежуточное место между ситуациями, описанными в разделах 1 и 2. Здесь возникает существенно более узкое по сравнению с разделом 2 бесконечное множество довольно специфичных резонансных соотношений.
Сделаем одно замечание. На первый взгляд, условия (12) и (13) сильно ограничительны. Тем не менее они важны, так как во-первых, имеют особую прикладную значимость и, во-вторых, по-видимому, исчерпывают те ситуации, когда систему вида (10) можно представить в компактной форме.
1. Динамика краевой задачи (4), (5) при условиях (11), (12)
При выполнении равенства (12) имеем \к = i (о — к2), Ск1 = Ск2 = е = = со1ои(1^). Из условия положительности вещественных частей собственных значений матрицы Бо + еБ1 вытекает, что
(11 = (Б1е,е) > 0. (14)
Роль формального ряда (9) играет ряд
и = л/ё I е ^ (т) ехр ^кх + i (о — к2) г) + сс I + е3/2и3 + ..., (15)
\ к=-ж /
где т = еЬ, а через сс обозначена величина, комплексно сопряженная к предыдущей. Бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения амплитуд ^к(т), аналогичную системе (10), можно записать в виде
= ак 1к + ¡к • (16)
(т
Здесь ак = —11к2 + Ьк + а1, Ь1 = (£1 е,е), а1 = (А1е,е),
Т 2п
¡к = Нш — — ^з (Я, Я, Я) х ехр (^(кх + i (о — к2) Ь))йхИ,
Т^ж 1 ] 2П J
оо
Я = е ^ ^(т) ехр (г,]х + i (о — ¿) + сс.
Сделаем еще одно упрощающее предположение. Пусть выполнены условия общности положения
о = 0, ±1, ±2,.... (17)
Они устраняют резонансы 1:3. Это означает, что система уравнений
к1 + к2 = к, о — к2 + о — к2 = о — к2
не разрешима в целых числах к, к1, к2, а система
к1 + к2 + к3 = к, о — к2 + о — к2 — о + к2 = о — к2
имеет только такие целочисленные решения, для которых два из трех значений к1, к2, к3 противоположны по знаку, а третье равно к.
Тем самым из условия (17) следует, что система (16) имеет вид
(Г = ак1к + д\к |2 £ &12 — |^к|2| , к = 0, ±1, ±2,..., (18)
у ] = -<х
где д = (^3(е, е,е) + ^3(е,ё, е) + ^3(е, е, е)).
Для того чтобы бесконечную систему (18) записать в компактной форме, введем еще несколько обозначений. Пусть w(x) - некоторая 2п-периодическая функция, и ее ряд Фурье -
ж
w(x) = ^ Wj exp(ijx).
3=-ж
Тогда через М(ад) обозначим «среднее» значение w(x)
2п
М = — w(x)dx, 2п )
а через N (w) обозначим бесконечномерный вектор
N= (..., w_2 ехр (—2ix), w_1 ехр , Wl ехр ехр (2гх),...).
Условимся считать, что умножение векторов покоординатное. Например,
N(w)N= (..., ^_2\2, \w_\_\2, |wo|2, \w-\_\2,...), а для скалярного произведения получаем формулу
те
2 _ Л/Т (\„..\2
(N(w), NМ) = £ \ wi \2 = М (\ w \2)
^ \
3 = _те
Положим Е(р) = N(^),N(р)ЛТ(р)). Отметим, что
те d те ^2
Eikwk ехр(гкх) = —— и > —к2wк ехр (гкх) = ——^.
dx ^ dx2
к=_те к=_те
Учитывая введенные обозначения, систему (18) для функции
те
р(т,х) = £ рк(т) ехр ^кх) (19)
к=_те
можно записать в виде комплексного параболического уравнения
др д 2р д р
дт = dl ^ + ах + а1р + + 2^М (\ р \ 2) (20)
с 2п-периодическими краевыми условиями
р(т, х + 2п) = р(т,х). (21)
Обратим внимание, что элементы рк в (19) те же, что и в (15) и (18), но искомую функцию и(Ь, х, е) через р(т, х) выразить нельзя. Можно лишь утверждать, что
и(2пп,х, е) = л/ё (ер(е2пп, х) ехр(ш2лп) +
+ ёр(е2лп, х) ехр(—ш2лп)) + О (е3/2) , п = 0,1, 2,....
Процесс построения уравнений для «амплитуд» рк главной части асимптотического представления решений (формулы (10), (15)) называют нормализацией, а соответствующие уравнения для нахождения рк - нормальной формой. Основной результат этого раздела состоит в том, что в рассматриваемом случае краевая задача (20), (21) играет роль нормальной формы для (4), (5). Напомним, что из неравенства (14) следует параболичность краевой задачи (20), (21).
Таким образом, установлено следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (12), (14), (17). Пусть некоторое решение Ь0(т, х) краевой задачи (20), (21) определено и ограничено при всех т ^ т0, x € [0,2п] и пусть Ьк(т) - коэффициенты Фурье этой функции. Тогда бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений для Ьк(т) (k = 0, ±1, ±2,...), полученная из подстановки Ь0(т,х) в (20), (21), совпадает с системой (18).
Пример 1. Рассмотрим краевую задачу (1), (2). Как уже отмечалось, после замены пространственной переменной х — х + bot приходим к уравнению
ди д2п ди
— = (ido + edi)—i2 + ebi— + (iao + eai)u + yu|u|2. (22)
dt дх2 дх
Очевидно, условия (12) и (14) выполнены. В силу специфики нелинейности в (22) условия отсутствия резонансов тоже выполнены. Поэтому аналогом нормализованного уравнения для (22) служит уравнение
д Ь д2р дЬ
дт = diдх2 + bi дх + aiЬ + Yb (ЗМ (|Ь|2) + 2ВД) (23)
с периодическими краевыми условиями
Ь(т, х + 2п) = Ь(т,х). (24)
По коэффициентам Фурье Ьк (т) разложения решения этой краевой задачи находим главную часть асимптотического представления для решения исходной краевой задачи (1), (2):
/ те
2) Л i ^
u(t, х, e) = y/e I Ьк(т) exp (ikх + i (a0 - d0k2) t) + cc I + O (e3/2)
\к=-те /
2. Динамика краевой задачи (4), (5) при условиях (13)
В случае (13) все собственные значения матрицы С(к) = iкB° равны ±ik (к = 0, ±1, ±2,...), а соответствующие собственные векторы равны в\ = (1, 0) и е2 = (0,1), соответственно. Линейная краевая задача
ди ди
дк = В° дх7 и(Ь* + 2п) = и(£,х) (25)
имеет совокупность периодических решений Ьке1 ехр ^к(х + ¿)) и ще2 ехр ^к(х — £)). Введем в рассмотрение формальный ряд
и = Ь(т, х + {)е1 + п(т, х — ¿)е2 + и2(т, х, ¿) + из(т, х, ¿) +
+ О (е2 (|£| + |п|) + 8 (|Ь|2 + |Л|2) + (|Ь|4 + |п|4)) . (26)
те те
Здесь Ь(т, г) = ^ (т) ехр iкz, п(т, г) = ^ щ(т)ехр ikz, т - «медленное»
к=-те к=-те
время, то есть при е^0 и |Ь|+|п|^0 имеем ^/М=о(1), вектор-функции и^(т, х, ¿) -
2п-периодичны по второму и третьему аргументам и являются соответственно квадратичной и кубической формами по р, п. Обратим внимание, что, в отличие от ситуации предыдущего раздела, здесь не указаны конкретные асимптотические зависимости от е амплитуд р и п, а также связь т с 1
Сразу отметим простой факт: система уравнений вида
ди ди
т = во дх + ф1(х + + ф2(х — t),
где ф1 и ф2 - некоторые 2п-периодические функции, разрешима в классе 2п-перио-дических по £ и х функций тогда и только тогда, когда (ф1,е1) = (ф2,е2) = 0. Отсюда следует, что, подставляя (26) в (4), с «помощью» функций и2 и и3 можно «уничтожить» только некоторые из квадратичных и кубических слагаемых. Так, для определения 2п-периодической по Ь и х функции и,2 приходим к системе уравнений
£ = вод? + рп / — М(р>/1 (0) п — (0)
+ (р2 — М (р2)) /3 (^ + (п2 — М (п2)) /4 , (27)
где
(/2)=- )(0М 0))+ч (0 (,)0)).
/3=(« ((0) ■ (0)М0)) ■ /4=(« ((0М0)) ■ (
Удобно и2 искать в виде
и2 = Vl(í + х)У2(Ь — х^^ + + х)У4(Ь — х) +
+ ь5(г + х) ф + ь6(г — х) , где Vj - скалярные функции. Для их нахождения получаем равенства
V V = 2/1п [р — М(р)] , vзV4 = 2/2р [п — М(п)] .
те
Введем еще одно обозначение. Пусть v(x) = ^ vk ехр ^кх). Оператор «ин-
к=_те
тегрирования» функций с нулевым средним , введем по правилу
те
, (V — М(V)) = ^ (ik)_1vk ехр^кх).
к=_те,к=0
Используя оператор ,, получаем выражения для Vj
Vl = 2 /1, (р — М (р)), V2 = п, V3 = р, V4 = 2 /2, (п — М (п)),
V5 = 2/3, (р2 — М (р2)) , ^ = 2/4, (п2 — М (п2)) .
Таким образом, и2 = со1оп(и21,и22), где
и21 = 2/щ3(р — М(р)) + 2/4, (п2 — М (п2)) и22 = 2/2р,(п — М(п)) + 2/3, (р2 — М (р2))
Для р и п получаем тогда итоговую систему уравнений
др дт
=е
(¿110 + 0611 дх + + Р1р2 + /4М (п2) + /1рМ(п) +
+ 911р3 + 912р2М(п) + qlзрM (п2) + /1Р1рМ(п)3 (р — М(р)) + + 2Р3/3р3 (р2 — М (р2)) + 1 /1Р3М (п2) 3 (р — М (р)) +
+ /3Р4М(п)3 (р2 — М (р2)) , (28)
= е (¿22 дхп + 622 и + «22п) + Р2п2 + /3М (р2) + /2пМ(р) + + ?21п3 + ^22п2М(р) + 523пМ (р2) + р5/4М(р)3 (п2 — М (п2)) + + /4п3 (п2 — М (п2)) + /2М (р2) 3 (п — М (п)) +
+ Р2/2пМ(р)3 (п — М (п)) (29)
с периодическими краевыми условиями
р(т, х + 2п) = р(т, х), п(т, х + 2п) = п(т, х). Здесь приняты обозначения
(30)
¿11 = А
611 = В1
й11 =
¿22 = А
622 = В1
а22 =
Р1
+ ^2
+
+
+
Отметим, что после нормирующих замен Ь ^ еЬ и р, п ^ ер, еп уравнения (28), (29) с точностью до слагаемых порядка О(е) принимают более простой вид
др = ¿110 + 6111 + °11р + Р1р2 + /4М (п2) + /1рМ(п). |п = ¿22 0 + 622 дх + °22п + Р2п2 + /3М (р2) + /2пМ(р).
Сформулируем итоговый результат.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (13) и пусть краевая задача (28)-(30) имеет ограниченное вместе с производной по пространственной переменной при т — ж, х € [0,2п] решение р°(т, х, е), п°(т, х, е). Тогда краевая задача (4), (5) имеет асимптотическое по невязке с точностью до о (|р| + |п|) при е — 0 решение и(^ х, е), для которого
и(г,х, е) = 1°(г,х, е) (0) + П°(1,х, е) .
В плане обсуждения полученных здесь утверждений рассмотрим для сравнения известные [13,14,16] результаты о локальной динамике краевой задачи (4), (5) при условии Do = Bo = 0. Пусть Aoa = iaa (а > 0), а вектор b - собственный вектор сопряженной к Ao матрицы - такой, что A*b = —iab и (a,b) = 1. Условия на собственные значения Х^ матрицы C(k) состоят, в частности, в том, что при всех z ^ 0 все собственные значения семейства матриц Ao — z2Di имеют отрицательные вещественные части и выполнено условие невырожденности Re (Dia, b) > 0. Тогда роль нормальной формы для краевой задачи (4), (5) играет скалярное комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
д Р ß2p дР
дТ = (Dia, b)дх2 + (Bia, b)x + (Aia, b)p + o|p|2p (31)
с периодическими краевыми условиями р(т, x + 2п) = р(т, x) и т = et (значение коэффициента o приведено в [13,14,16]).
При e = 0 все собственные значения матриц C(k) = Ao равны ±ia. Тем самым здесь тоже реализуется бесконечномерный критический случай с бесконечным множеством резонансов в задаче об устойчивости uo = 0. И здесь для определения амплитуд р(т, x) возникает система двух параболических уравнений (для Rep и Imp). Решения исходной краевой задачи (4), (5) связаны непосредственно, в отличие от изученной выше ситуации, с решениями (31) формулой
u = л/ё (a exp (iat)p + cc) + O(e).
Отметим, что возможны случаи, когда все собственные значения семейства матриц Ao — zDo при всех z > 0 и z = zo > 0 имеют отрицательные вещественные части, а при z = zo есть собственное значение с нулевой вещественной частью. Этот случай рассмотрен в [13,14].
Замечание 1. К условиям (13) иногда удобнее подойти иначе. Для этого вместо (4) рассмотрим уравнение
ди В2u , 1 „ \ ди . .
« = dW2 + ЧBo + XBi) дХ + Au + F(u),
где X - большой параметр: e = X_i ^ 1. Тогда после замены t —у Xt получим уравнение
ди д2и ди
т = DX2 + (Bo + eBi) дХ +eAu +eF (u),
для линейной части которого выполнены условия (13). Таким образом условие (13) можно интерпретировать как условие большой адвекции.
3. Динамика краевой задачи (3), (2)
Сначала удобно нормировать время t так, чтобы коэффициент id0 при д2и/дх2 стал равен i, и после замены пространственной переменной считаем, что bo = 0. Линеаризованная в нуле краевая задача (3), (2) имеет совокупность периодических решений pk exp (ikx + i (a0 — к2) t) (k = 0, ±1, ±2, ...). Для дальнейшего удобно исключить из рассмотрения нулевую гармонику, то есть к = 0.
Согласно идеологии метода нормализации введем в рассмотрение формальный
ряд
и=
те
k=-^,k=0
pk(т) exp (ikx + i (a0 — k2) t) +
+U2(t, t, x) + из(т, t,x) + ..., (32)
где т - медленное время, то есть dт/dt = о(1) при е ^ 0, а и2 и и3 периодичны по х и почти периодичны по Ь, причем и2 является формой второго порядка по Рк, а и3 - третьего, а через ... обозначены слагаемые более высокого порядка малости по е и |рк|. Для построения нормализованной системы, то есть системы уравнений относительно Рк, выражение (32) подставим в (3) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях е, при одинаковых гармониках и одинаковых степенях ^. Эта нормализованная система существенно зависит от арифметических свойств параметра а0. Например, при условии
ао = 2п (п = 0, ±1, ±2,...) (33)
отсутствуют все резонансы второго и третьего порядка, поэтому слагаемые ^и2 и д2и3, фигурирующие в (3), не вносят никакого вклада в нормализованную систему вплоть до слагаемых порядка О (|и|3). Таким образом в случае (33) соответствующая нормализованная система совпадает с краевой задачей (23), (24), то есть та же, что и для (1), (2). Нарушение условия (33) может привести к появлению в нормализованной системе квадратичных и кубических по ^ слагаемых специального вида. Здесь рассмотрим наиболее важный и интересный случай, когда
ао = 0. (34)
Поскольку квадратичные слагаемые и при этом условии отсутствуют, удобно в (32) осуществить нормировочные замены. Имея это в виду, соответствующий формальный ряд представим в виде
те
и = л/ё ^ Рк (т) ехр (гкх — гк2Ь) +
к=-те,к=0
+еи2(т, Ь, х) + е3/2и3(т, Ь,х) + О (е2) , (35)
где т = еЬ. Подставим (35) в (3) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях е. На втором шаге тогда приходим к уравнению
2
ди2 ,д2ио I , 2
+ 9i ( ^ Pk(т) exp (ikx — ik2t)
t x2
. k=—те,k=0
Отсюда находим, что
1
и2 = 2 д
ЕРт Рп ехр (i(m + п)х — i (ш2 + и2) ¿)
■ т 4 \ / /
im ■ т
п,т=—оо
— — ^^
у п,т=° )
На третьем шаге, собирая коэффициенты при е3/2, из условий разрешимости уравнения относительно из приходим к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения рк
—р
= ак рк + Фк + Фк, (36)
(т
те
где ак = —-1к2 + гк&1 + а1, Фк = урк Е |Рз |2,
3=—те, 3=°
2п 2п те
Фк = ^^ I 1( ртехр (i(m+n+p)x—i(m2+n2+p2)t)j х
П ° ° ^т,п,р=—те 1П '
т,п,р=°
х ехр (—ikx + ik2t)-x-t. (37)
Исследуем выражение (37). Фиксируем произвольно номер к = 0. Требуется определить все такие целые ш, п и р, для которых выражение Фк имеет ненулевые слагаемые, содержащие произведения р m, рn, рр. Тем самым необходимо определить все такие целые ненулевые ш, и и р, для которых система алгебраических уравнений
т + и + р = к, (38)
ш2 + п2 + р2 = к2 (39)
разрешима в целых числах. Возведем левую и правую части (38) в квадрат и учтем (39). В итоге получим соотношение
т(п + р) = —пр.
Положим п + р = А. Тогда пр = —А, а значит, п и р являются корнями квадратного уравнения
г2 — Аг — шА = 0.
Отсюда п, р = (1/2) (А ± уА" + 4шА I и для некоторого целого г имеем А2 + 4шА = г2. Рассматривая последнее равенство как квадратное уравнение относительно А, находим, что
А = —2ш ± \/4ш2 + г2.
Из этого равенства вытекает, что для некоторого целого р > 0 и ш1 = 2ш выполнено соотношение
ш2 + г2 = г2. (40)
Решения уравнение (40) хорошо известны (см., например, [19]). Их можно представить в виде
т1 = 2yws, г = (у2 — w2) в, г = (у2 + и!2) в,
где у, и, в - произвольные целые ненулевые числа. Отсюда, возвращаясь к переменным т, п и р, получаем, что
т = уив, п = у(у — и)в, р = и(и — у)в. (41)
Таким образом, при условиях (41) (т + п+р)2 = т2 + п2 + р2, а значит, реализуется резонанс третьего порядка на модах с номерами т + п + р = (у2 + и2 — уи) в. Введем еще несколько обозначений. Для произвольного целого к (к = 0) и произвольной
те
периодической функции р(х) = ^ р3- ехр (г^х) положим
3 = -те
з=о
(р) = (..., р-2к ехр (—2гкх), р-к ехр (—гкх), 0, рк ехр (гкх), р2к ехр (2гкх),...). Пусть, далее,
те
Яу(р) = ^ (Щи(1)ИУ{У-Ш)(Р)^т{т-у}(Р)) +
т=у+1
(у+1)
(т-у }(Р))
т=-те
и, наконец,
те
н (р) = 2^ Яу (р).
у=1
Введем в рассмотрение краевую задачу
Ж Я2р Яр
Ят = * Ях2+61 ^+^+[ЗЕ(р)+2М (|р|2)] +
д
+12^Н(Р) + 24гд2^ (Н (/(р))), (42)
р(т,х + 2п) = р(т, х), М (Р) = 0. (43)
Из самого построения этой краевой задачи вытекает следующее утверждение.
Лемма 1. Бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье рк(т) решений краевой задачи (42), (43) совпадает с системой (36).
Сформулируем основной результат.
Теорема 3. Пусть краевая задача (42), (43) имеет ограниченное при т -ж, х € [0,2п] вместе со своей второй производной по пространственной переменной
решение р0(х, x) и пусть p0(x,x) = ^ рк0(т) exp (ikx). Тогда краевая
к=—ж
задача (3), (2) имеет асимптотическое по невязке с точностью до О(е) решение u0(t,x, е), для которого
<х
uo(t, x, е) = у/г ^ Pjo(t) exp (ijx - ij2t).
j=-^,j=0
Отметим, что u0(2nn, x, е) = л/е%0(е2^п, x).
Библиографический список
1. Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. Philadelphia: SIAM, 1981. 435 p. (SIAM Studies in Applied Mathematics; 4).
2. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.
3. Naumkin P.I. Solution asymptotics at large times for the non-linear Schrodinger equation // Izvestiya. Mathematics. 1997. Vol. 61, no. 4. P. 757-794.
DOI: 10.1070/im1997v061n04ABEH000137.
4. Hayashi N., Naumkin P.I. Asymptotics of odd solutions for cubic nonlinear Schrodinger equations // Journal of Differential Equations. 2009. Vol. 246, no. 4. P. 17031722. DOI: 10.1016/j.jde.2008.10.020.
5. Naumkin P.I. The dissipative property of a cubic non-linear Schrodinger equation // Izvestiya. Mathematics. 2015. Vol. 79, no. 2. P. 346-374.
DOI: 10.1070/IM2015v079n02ABEH002745.
6. Shatah J.Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1985. Vol. 38, no. 5. P. 685-696. DOI: 10.1002/cpa.3160380516.
7. Gourley S.A., Sou J.W.-H., Wu J.H.Nonlocality of reaction-diffusion equations induced by delay: Biological modeling and nonlinear dynamics // Journal of Mathematical Sciences. 2004. Vol. 124, no. 4. P. 5119-5153.
DOI: 10.1023/B:JOTH.0000047249.39572.6d.
8. Haken H.Brain Dynamics: Synchronization and Activity Patterns in Pulse-coupled Neural Nets with Delays and Noise. Berlin: Springer Verlag, 2007. 257 p. (Springer Series in Synergetics).
9. Kuang Y Delay Differential Equations : With Applications in Population Dynamics. Boston : Academic Press, 1993. 410 p. (Mathematics in science and engineering; 191).
10. Kuramoto Y Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Berlin: Springer Verlag, 1984. 164 p. (Springer Series in Synergetics; 19). DOI: 10.1007/978-3-642-69689-3.
11. Marsden J.E., McCracken M.F. The Hopf Bifurcation and Its Applications. New York: Springer, 1976. 421 p. (Applied Mathematical Sciences; 19).
DOI: 10.1007/978-1-4612-6374-6.
12. Bokolishvily I.B., Kaschenko S.A., Malinetskii G.G., et al. Complex ordering and stochastic oscillations in a class of reaction-diffusion systems with small diffusion // Journal of Nonlinear Science. 1994. Vol. 4, no. 1. P. 545-562.
DOI: 10.1007/BF02430645.
13. Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // Доклады Академии наук СССР. 1988. Т. 299, № 5. С. 10491052.
14. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 1093-1109. DOI: 10.1142/S021812749600059X.
15. Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A., et al. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1999. Vol. 125, no. 1/2. P. 123-141.
DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00196-1.
16. Kaschenko I.S., Kaschenko S.A. Local dynamics of the two-component singular perturbed systems of parabolic type // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015. Vol. 25, no. 11. P. 1550142.
DOI: 10.1142/S0218127415501424.
17. Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Dynamics of the Kuramoto equation with spatially distributed control // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. May. Vol. 34. P. 123-129. DOI: 10.1016/j.cnsns.2015.10.011.
18. Kaschenko S.A. Bifurcational features in systems of nonlinear parabolic equations with weak diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3595-3606.
DOI: 10.1142/S0218127405014258.
19. Courant R., Robbins H. What is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods / rev. by I. Stewart. 2nd ed. New York: Oxford University Press, 1996. 591 p.
20. Кащенко С.А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара имени И.Г. Петровского. М., 1991. Вып. 15. С. 128-155.
21. Кащенко С.А. Нормальная форма для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса // Доклады Академии наук. 2016. Т. 468, № 4. С. 383-386.
DOI: 10.7868/S0869565216160052.
References
1. Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. Philadelphia: SIAM, 1981. 435 p. (SIAM Studies in Applied Mathematics; 4).
2. Novikov S.P., Manakov S.V., Pitaevskii L.P., et al. Theory of Solitons: The Inverse Scattering Method. New York: Springer US, 1984. 287 p. (Contemporary Soviet Mathematics).
3. Naumkin P.I. Solution asymptotics at large times for the non-linear Schrodinger equation. Izv. Math., 1997, vol. 61, no. 4, pp. 757-794.
DOI: 10.1070/im1997v061n04ABEH000137.
4. Hayashi N., Naumkin P.I. Asymptotics of odd solutions for cubic nonlinear Schro-dinger equations. J. Differential Equations, 2009, vol. 246, no. 4, pp. 1703-1722. DOI: 10.1016/j.jde.2008.10.020.
5. Naumkin P.I. The dissipative property of a cubic non-linear Schrodinger equation. Izv. Math., 2015. vol. 79, no. 2. pp. 346-374.
DOI: 10.1070/IM2015v079n02ABEH002745.
6. Shatah J. Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations. Comm. PureAppl. Math., 1985, vol. 38, no. 5, pp. 685-696. DOI: 10.1002/cpa.3160380516.
7. Gourley S.A., Sou J. W.-H., Wu J.H. Nonlocality of reaction-diffusion equations induced by delay: Biological modeling and nonlinear dynamics. J. Math. Sci. (N.Y.), 2004, vol. 124, no. 4, pp. 5119-5153.
DOI: 10.1023/B:J0TH.0000047249.39572.6d.
8. Haken H. Brain Dynamics: Synchronization and Activity Patterns in Pulse-Coupled Neural Nets with delays and noise. Berlin: Springer Verlag, 2007. 257 p. (Springer Series in Synergetics).
9. Kuang Y. Delay Differential Equations: With Applications in Population Dynamics. Boston: Academic Press, 1993. 410 p. (Mathematics in science and engineering; 191).
10. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves, and turbulence. Berlin: Springer Verlag, 1984. 164 p. (Springer Series in Synergetics; 19). DOI: 10.1007/978-3-642-69689-3.
11. Marsden J.E., McCracken M.F. The Hopf Bifurcation and Its Applications. New York: Springer, 1976. 421 p. (Applied Mathematical Sciences; 19). DOI: 10.1007/978-1-4612-6374-6.
12. Bokolishvily I.B., Kashchenko S.A., Malinetskii G.G., et al. Complex ordering and stochastic oscillations in a class of reaction-diffusion systems with small diffusion. J. Nonlinear Sci., 1994, vol. 4, no. 1, pp. 545-562. DOI: 10.1007/BF02430645.
13. Kashchenko S.A. Quasinormal forms for parabolic equations with small diffusion. Dokl. Akad. Nauk., 1988, vol. 299, no. 5, pp. 1049-1052 (in Russian).
14. Kashchenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion. Int. J. of Bifurc. and Chaos, 1996, vol. 6, no. 6, pp. 1093-1109. DOI: 10.1142/S021812749600059X.
15. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback / E.V. Grigorieva, H. Haken, S.A. Kashchenko, [et al.]. Physica D., 1999, vol. 125, no. 1/2, pp. 123-141. DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00196-1.
16. Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Local Dynamics of the Two-Component Singular Perturbed Systems of Parabolic Type. Int. J. Bifurcation Chaos, 2015, vol. 25, no. 11, pp. 1550142. DOI: 10.1142/S0218127415501424.
17. Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Dynamics of the Kuramoto equation with spatially distributed control. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2016, vol. 34, pp. 123129. DOI: 10.1016/j.cnsns.2015.10.011.
18. Kashchenko S.A. Bifurcational Features in Systems of Nonlinear Parabolic Equations with Weak Diffusion. Int. J. Bifurcation Chaos, 2005, vol. 15, no. 11, pp. 35953606. DOI: 10.1142/S0218127405014258.
19. Courant R., Robbins H. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods / rev. by I. Stewart. 2nd ed. New York: Oxford University Press, 1996. 591 p. ISBN 0195105192.
20. Kashchenko S.A. A study of the stability of solutions of linear parabolic equations with nearly constant coefficients and small diffusion. J. Sov. Math., 1992, vol. 60, no. 6, pp. 1742-1764. DOI: 10.1007/BF01102587.
21. Kashchenko S.A. Normal form for the KdV-Burgers equation. Dokl. Math., 2016, vol. 93, no. 3, pp. 331-333. DOI: 10.1134/S1064562416030170.
Кащенко Сергей Александрович - родился в Ярославле (1953), окончил Ярославский государственный университет (1975). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в ННГУ (1976) и доктора физико-математических наук в МГУ (1989) в области теории нелинейных колебаний. Профессор, заведующий кафедрой математического моделирования, первый проректор ЯрГУ. Профессор НИЯУ «МИФИ». Автор монографий «Модели волновой памяти» (совместно с В.В. Майоровым) и «Релаксационные колебания в лазерах» (совместно с Е.В. Григорьевой). Опубликовал более 250 научных работ и 8 монографий. Как член авторского коллектива монографии «Управление риском», стал лауреатом и получил медаль ВВЦ. Приказом Министерства образования и науки награжден нагрудным знаком «Почетный работник высшего профессионального образования». Главный редактор ряда научных журналов, а также научной серии монографий «Синергетика».
150003 Ярославль, ул. Советская, д. 14
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова 115409 Москва, Каширское шоссе, 31
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». E-mail: [email protected]
