CC BY
50
УДК519: 816
Г
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ИСТИННЫХ КОРТЕЖЕЙ ПАРЕТО В ЗАДАЧАХ ГИПЕРВЕКТОРНОГО РАНЖИРОВАНИЯ СИСТЕМ
В. В. Сафронов
Введение
Усложнение систем различного назначения приводит к необходимости при их анализе и синтезе решать задачи гипервекторного ранжирования (ГВР) [1-5],частным случаем которых являются задачи однокритериальной оптимизации, многокритериального и многовекторного ранжирования.
В работах [4, 6] осуществлены постановки задач ГВР, рассмотрены характерные особенности такого класса задач, дан метод решения, основанный на методе «жесткого» ранжирования.
В [7-10] сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие подтвердить корректность решения задачи гипервекторного ранжирования при использовании в качестве опорного метода «жесткого» ранжирования. Предложен метод построения истинных кортежей Парето при применении иных методов многокритериального ранжирования, изначально приводящих к получению псевдокортежей Парето. Применение сформулированного и доказанного критерия построения истинного кортежа Парето позволяет получать только эффективные решения.
Вместе с тем новые прикладные задачи вызывают необходимость рассмотрения особенностей примененияуказанного метода. К числу таких задач, например,относятся:
- задачи мониторинга состояния автоматического космического аппарата на различных участках полета, формирования возможных вариантов реконфигурации систем (подсистем) и выбора наилучшего по принятой совокупности критериев варианта [11, 12]. Задача предварительно решается на Земле (начальный этап) и затем в полете (текущие этапы);
- задача выбора места (мест) для совершения десантирования на планету (спутник) [2]. Задача предварительно решается на Земле (начальный этап) и затем при приближении к планете с учетом реальной обстановки, которая в общем случае отличается от модели, принятой на Земле;
- задача мониторинга состояния объектов, подвергшихся действию стихийных бедствий (пожары, наводнения, штормовой ветер и т.п.), формирования возможных вариантов ликвидации последствий [13, 14]. Задача предварительно решается в Региональном центре МЧС России (начальный этап) и затем на реальной местности (текущие этапы).
Особенностью перечисленных и иных подобных задач является необходимость принятия решений за ограниченное время при изменении первоначальной обстановки.
С этой целью строится истинный кортеж Парето на начальном этапе и истинные кортежи Парето в «динамике».
В настоящей статье:
- рассмотрена постановка задачи гипервекторного ранжирования на начальном и текущих этапах;
- разработаны алгоритмы решения задачи, учитывающие различные варианты обстановки;
- дано решение численного примера.
1. Постановка задачи гипервекторного ранжирования. Введем необходимые в дальнейшем обозначения:
£ = {£и,а = 1, п\ - множество допустимых систем, сгенерированных на начальном этапе
(в стационарных условиях). Для таких систем в зависимости от их специфики выполняются некоторые дисциплинирующие условия: неравенства, равенства, логические условия и т.п.;
£у={£уи, а = 1, пу} - множество допустимых систем, информация о которых получена на у-м этапе, у = 1, Г, где Г - число этапов;
К/ (£и), К/ (£уи) - г'"й скалярный критерий /-й векторной компоненты, которая входит в
многовекторную компоненту с номером £, (/ = 1, Е, / = 1, г£, 1 = 1, г/). Критерии соответственно
определены на начальном и у-м этапах. Здесь Е - число многовекторных компонент; г£ - число векторных компонент в многовекторной компоненте с номером; г£/ - число скалярных критериев
в/-й векторной компоненте, которая, в свою очередь, входит в многовекторную компоненту с номером £ ;
К/ («)={*/ (и), 1 = Ц/}, К£(£а)={К£/ (£а), / = 1Г£}, К (£а)={К£(£а), £ = 17Е} - соответственно множество скалярных, векторных и многовекторных компонент, характеризующих систему £а е £;
К£/ (£уа)={К£/г (а)1 = 1,Г£/ }, К£(£уа)={К£/ (а) У = 1 г} , К (£уа ) = {К£ (£уа ) £ = 1, Е} -
соответственно множество скалярных векторных и многовекторных компонент, характеризующих систему £уа е £у . Критерии определены (уточнены) на у-м этапе;
А/ = {а£/1, 1 = 1, г£/ }, А = {а£/., / = 1, г£}, А = {а£, £ = 1, е} - соответственно множество коэффи-
Е
циентов важности скалярных, векторных и многовекторных компонент, причем ^а£ = 1,
£=1
Г Г£/ _ _
^ а£/ = 1, ^ а£/1 = 1, / = 1, г£, £ = 1, Е . Не исключено, что значения коэффициентов важности ска-
/=1 1=1
лярных, векторных и многовекторных компонент на у-м этапе будут уточнены;
Р = {£0,£02,...,£0^ } - упорядоченное множество эффективных систем (кортеж Парето), построенное на начальном этапе; элементы кортежа ранжированы в соответствии с решающими правилами так, что выполняется условие £0 У £0 У ... У £0 У ... У £0, где «У » - знак отношения
доминирования, к1 е{1,2,...,п}. Длина кортежа равна п" .
Ру ={£0к1, £^к2,..., £0к - кортеж Парето, построенный на у-м этапе; элементы кортежа ранжированы в соответствии с решающими правилами так, что выполняется условие £0к1 У £0к2 У... У £0к. У... У £0к%, к е {1,2,..., пу }. Длина кортежа равна пуп .
Постановка задачи ранжирования на начальном этапе Допустим, известны множества А, А£, А/, £, К£/ (£и), К£(£и), К (£и), решающие правила а = 1,п; £ = 1, Е; / = 1, г£). Требуется найти кортеж Парето Р, для элементов которого справедливо
К(£0 ) = штК(£и), £0 е Р . (1)
Постановка задачи ранжирования на у-м этапе (у = 1, г)
На у-м этапе известны множества А, А, Л^, 5у, Ке]- (<■$«), К (<■$«), решающие пра-
вила (а = 1,п; £ = 1, Е; ] = 1, гЕ). Требуется найти кортеж Парето Ру , для элементов которого спра-
ведливо
К
)= ™пК (у), ^ е Ру. (2)
Для решения задачи (1), (2) разработаны метод гипервекторного ранжирования [7,8], метод построения истинных кортежей Парето [8-10].
2. Алгоритм решения задачи построения кортежей Парето на у-м этапе.
Введем обозначения:
Nl - множество номеров систем, учитываемых на начальном этапе;
Ы2у - множество номеров систем из множества Nl, имеющихся на у-м этапе;
N3у - множество номеров систем, которые появились на у-м этапе, но которые отсутствовали при подготовке информации на начальном этапе (не входят в множество Nl).
Возможные ситуации:
1. Номера систем, их число на начальном этапе и на у-м этапе совпадают:
П = Пу , N = N2 у , ^у=0 . (3)
2. Число систем на у-м этапе меньше, чем учитывалось на начальном этапе, новые системы не появились:
п > Пу,|Щ > Nу|, ^у = 0. (4)
3. Число систем на у-м этапе больше, меньше или равно числу систем, учитываемых на начальном этапе. Имеются системы, которые принимались во внимание на начальном этапе, а также вновь появившиеся:
п > пу или п < пу,N Ф , ^у Ф 0,Ф 0 . (5)
4. Число систем на у-м этапе больше, меньше или равно числу систем, учитываемых на начальном этапе. Все системы появились на у-м этапе:
п >пу или п <пу, ^ у = 0, N3уФ0. (6)
Алгоритм решения задачи.
1. Если выполняется условие (3), то для реализации принимается система, которая стоит на первом месте в кортеже Р, полученном на начальном этапе.
2. При выполнении условия (4) из кортежа Р удаляются все системы, номера которых указаны в множестве Nl / ^у . Получим кортеж Р^, первый элемент которого является искомым.
3. При выполнении условия (5) на основе анализа систем, номера которых указаны в множестве N2у и N3у, строится кортеж Р2у, первый элемент которого является искомым.
4. При выполнении условия (6) на основе анализа систем, номера которых указаны в множестве N3у , строится кортеж Р3у , первый элемент которого является искомым.
3. Численный пример. Допустим, на начальном этапе имеем пять допустимых систем, каждая из которых характеризуется:
- одной многовекторной компонентой ( К1 );
- девятью векторными компонентами (КП...К16, К2, К3, К4);
- двадцатью тремя скалярными критериями.
Рассмотрим следующий сценарий: на первом этапе для дальнейшего анализа остаются системы $2, 54, 55 ; на втором этапе остается система 55 и добавились системы 56...59 ; на третьем этапе имеются только новые системы 510...512 .
Значения критериев для различных вариантов систем на перечисленных этапах приведены в табл. 1-3. Необходимо: построить истинные кортежи Парето, используя в качестве опорных методы «жесткого» ранжирования, анализа иерархий с нелинейной сверткой критериев, равномерной оптимальности, справедливого компромисса.
Таблица 1
Значения критериев на начальном Ы1 = 1,5 и первом Ж21 = 2,4,5 этапах
Критерии Система
¿4 ¿5
К„ 2.25 2.12 2,5.15 2,5.15 1,2.5
К12 28.38 22.29 10.14 10.14 30.35
К13 10.30 10.30 10.30 10.30 50.60
К14 0,03... 0,04 0,05.0,3 0,01.0,2 0,01.0,2 0,03.0, 1
К15 0,05...2 0,05.2 0,1.2,5 0,1.2,5 0,05.0, 15
К16 1,2.2 1,2.2 1,2.2 1,2.2 3.4
К21 2 3 3 3 3
К22 2 3 2 3 2
К23 2 3 2 3 2
К24 2 3 5 3 4
К25 10 10 10 10 10
К26 2 1 2 1 2
К31 2 2 2 2 2
К41 1 3 2 2 2
К42 1 1 2 2 2
К43 2 2 3 3 2
Таблица 2
Значения критериев на втором этапе, = 5, N32 = 6,7,8,9
Критерии Система
¿5 ¿6 ¿7 ¿8 ¿9
К„ 1,2.5 7.15 7.15 7.65 7.27
К12 30.35 65.75 17.18 17.18 17.18
К13 50.60 80.100 10.30 10.30 10.30
К14 0,03.0,1 7.10 0,1.2 0,1.2 0,1.2
К15 0,05.0,15 1.2,5 1.2,5 1.2,5 1.2,5
К16 3.4 1,2.2 1,2.2 1,2.2 1,2.2
К21 3 1 3 3 3
К22 2 3 1 1 1
К23 2 1 2 2 2
К24 4 4 5 5 5
К25 10 10 10 10 10
К26 2 2 2 2 2
К31 2 2 2 2 2
К41 2 1 2 2 1
К42 2 1 3 3 3
К43 2 1 3 3 3
Таблица 3
Значения критериев на третьем этапе, N 23 = 0, N33 = 10,11,12
Критерии Система
£10 £11 £12
кп 7.150 7.150 7.65
К12 65.75 170.180 17.180
К13 8... 100 10.30 10.30
К14 0,07... 0,1 0,2.0,3 0, 1.0, 2
*15 0,1.0,25 0,1.0,25 0,01.0,25
К16 1,2.2 1,2.2 1,2.2
К21 1 3 3
К22 3 1 1
К23 1 2 2
К24 5 5 5
К25 7 7 7
К26 2 2 2
К31 3 3 3
К41 1 2 2
К42 1 2 2
К43 2 3 3
Решение задачи.
1. Определяем коэффициенты важности критериев. С этой целью используем модифицированный метод анализа иерархий Т. Саати [15].
Исходная информация, полученная от экспертов, представлена в табл. 4, а результаты решения - в табл. 5.
Таблица 4
Степени важности
Критерии К К2 *3 К4 *11 К12 К13
Степени важности 1 1 1/2 1/2 1 1/3 1/3
Критерии К14 *15 К16 К21 К22 К23 К24
Степени важности 1/3 1 1/3 1 1/5 1 1
Критерии К25 К26 К31 К41 К42 К43
Степени важности 1 1/9 1 1 1/3 1/3
Таблица 5
Коэффициенты важности критериев
1 а1 а11 а21 а31 а41
1 0,167 0,0714 0,0555 1 0,1429
2 0,167 0,2143 0,2778 0,4286
3 0,333 0,2143 0,0555 0,4286
4 0,333 0,2143 0,0555
5 0,0714 0,0555
6 0,2143 0,500
2. На основе методов гипервекторного ранжирования [8-10] строим истинные кортежи Па-рето. Результаты решения сведем в табл. 6.
Таблица 6
Результаты решения задачи гипервекторного ранжирования
Применяемый метод Истинные кортежи Парето, Р Истинные кортежи Парето, Рц Истинные кортежи Парето, Р22 Истинные кортежи Парето, Р33
«Жесткого» ранжирования S5 S7,^
Анализа иерархий S5 S5, ^ S7
Равномерной оптимальности S5 S5, ^ S7
Справедливого компромисса S5 S5, ^ S7 ^2, ^0
Таким образом, на начальном, первом и втором этапах наилучшей по совокупности крите-риевявляется система , на третьем этапе - система ^12 . Для решения задачи на первом этапе используем известный кортеж Парето Р, на втором этапе необходимо решать задачу ранжирования для систем 55, S6,..., S9; на третьем этапе - для систем 510,..., 512. [16, 17].
Заключение
1. Раскрыт новый класс задач системного анализа, который предполагает осуществлять построение кортежей Парето на начальном этапе и в «динамике» на текущих этапах. Осуществлена математическая постановка задачи гипервекторного ранжирования с учетом отмеченных особенностей.
2. Рассмотрены возможные ситуации при проведении реконфигурации систем:
- номера и число реконфигурируемых систем на начальном этапеи на у-м этапе совпадают;
- число реконфигурируемых систем на у-м этапе меньше, чем учитывалось на начальном этапе, новые системы, которые следует реконфигурировать, не появились;
- число реконфигурируемых систем на у-м этапе больше, меньше или равно числу реконфигурируемых систем, учитываемых на начальном этапе. Имеются системы, которые принимались во внимание на начальном этапе, а также вновь появившиеся;
- число реконфигурируемых систем на у-м этапе больше, меньше или равно числу систем, учитываемых на начальном этапе. Все реконфигурируемые системы появились на у-м этапе.
3. Рассмотрен алгоритм решения задачи для каждой из возможных ситуаций. В его основе лежит метод построения истинных кортежей Парето. Предполагается, что исследователь знает, какой метод (методы) следует принять в качестве опорного (опорных), например, метод анализа иерархий.
4. Численный пример продемонстрировал особенности предлагаемого подхода к решению рассмотренного класса задач.
Список литературы
1. Воронов, Е. М. Многокритериальное комплексирование облика сложной системы управления на основе гипервекторного выбора / Е. М. Воронов, А. А. Карпунин // Интеллектуальные системы : тр. Х Между -нар. симп. / под ред. К. А. Пупкова. - М. : РУСАКИ, 2012. - С. 338-342.
2. Методика выбора эффективных вариантов систем десантирования на планеты Солнечной системы / В. А. Воронцов, Г. С. Говоренко, К. М. Пичхадзе [и др.] // Вестник НПО им. Лавочкина. - 2014. -№ 3 (24). - С. 119-124.
3. Клеванский, Н. Н. Основные концепции реализации задач формирования расписаний / Н. Н. Клеванский // Образовательные ресурсы и технологии. - 2014. - № 2 (5). - С. 9-21.
4. Сафронов, В. В. Гипервекторное ранжирование сложных систем / В. В. Сафронов // Информационные технологии. - 2003. - № 5. - С. 23-26.
5. Сафронов, В. В. Метод построения эффективных моделей разработки программного обеспечения /
B. В. Сафронов, О. Н. Федорец // Информационные технологии. - 2010. - № 1. - С. 34-39.
6. Сафронов, В. В. Основы системного анализа: методы многовекторной оптимизации и многовекторного ранжирования : моногр. / В. В. Сафронов. - Саратов : Научная книга, 2009. - 329 с.
7. Сафронов, В. В. Применение метода идеальной точки в пространстве критериев для решения задачи гипервекторного ранжирования / В. В. Сафронов // Труды Междунар. симп. Надежность и качество. -2010. - Т. 1. - С. 12-14.
8. Сафронов, В. В. Сравнительная оценка методов «жесткого» ранжирования, справедливого компромисса и равномерной оптимальности в задаче гипервекторного ранжирования систем / В. В. Сафронов // Информационно-управляющие системы. - 2011. - № 3. - С. 2-8.
9. Сафронов, В. В. Сравнительная оценка методов «жесткого» ранжирования и анализа иерархий в задаче гипервекторного ранжирования систем / В. В. Сафронов // Информационные технологии. - 2011. - № 7. -
C. 8-13.
10. Сафронов, В. В. Построение истинных кортежей Парето в задачах гипервекторного ранжирования систем / В. В. Сафронов // Надежность и качество сложных систем. - 2014. - № 4 (8). - С. 11-18.
11. Барановский, А. М. Система контроля и диагностирования бортового оборудования малого космического аппарата / А. М. Барановский, А. Е. Привалов // Известия вузов. Приборостроение. - 2009. - Т. 52, № 4. - С. 51-56.
12. Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов / В. В. Кульба, Е. А. Микрин, Б. В. Павлов, В. Н. Платонов ; под ред. Е. А. Микрина. - М. : Наука, 2006. -579 с.
13. Макиев, Ю. Д. Современные тенденции природных бедствий и развитие системы мониторинга бедствий и катастроф в России / Ю. Д. Макиев // Стратегия гражданской защиты: проблемы и исследования. -2012. - Т. 2, вып. 1. - С. 64-69.
14. Тертышников, А. В. Основы мониторинга чрезвычайных ситуаций : учеб. пособие / А. В. Тертышников. -М. : ИПГ, 2011. - 261 с.
15. Ногин, В. Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев /
B. Д. Ногин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 7. -
C. 1259-1268.
16. Сафронов, В. В. Динамическое построение истинных кортежей Парето в задачах гипервекторного ранжирования систем / В. В. Сафронов // Труды Междунар. симп. Надежность и качество. - 2015. - Т. 1. -С. 42-45.
17. Выбор эффективных вариантов средств моделирования элементов бортовых систем управления летательных аппаратов методами гипервекторного ранжирования / В. В. Сафронов, А. А. Северов, И. А. Ба-траева, А. Н. Попов, Д. П. Тетерин // Труды Междунар. симп. Надежность и качество. - 2015. - Т. 1. -С. 150-154.
Сафронов Валерий Васильевич доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, Открытое акционерное общество «Конструкторское бюро Электроприбор» (410065, Россия, г. Саратов, 2-й Красноармейский тупик, 3) E-mail: svv@kbep.ru
Аннотация. Раскрыт новый класс задач системного анализа, который предполагает осуществлять построение кортежей Парето на начальном этапе и в «динамике» на текущих этапах. Осуществлена математическая постановка задачи гипервекторного ранжирования, которая сводится к задаче гипервекторного ранжирования. Рассмотрены возможные ситуации при проведении реконфигурации систем: число и номера реконфигурируемых систем на начальном и текущих этапах совпадают; число ре-конфигурируемых систем на текущих этапах меньше, чем учитывалось на начальном этапе, новые системы, которые следует реконфигурировать, не появились; число реконфигурируемых систем на те-
Safronov Valeriy Vasil'evich
doctor of technical sciences, professor,
senior research manager,
Open joint stock company «KB Electropribor»
(410065, 3 second Krasnoarmeiskytupic street,
Saratov, Russia)
Abstract. A new group of system analysis tasks is revealed, which proposes to fulfil the building of Pareto tuples in an initial stage and in «dynamic way» during the current stages. The mathematical definition of hy-pervector ranging problem is realized, which is reduced to the task of hypervector ranging. The possible situations during the systems reconfiguration are considered: the quantity and numbers of reconfiguring systems in an initial and current stages coincide; the quantity of reconfiguring systems in the current stages is not so many as it was taken into account in an initial stage, the new systems which should be reconfigured did not appear; the quantity of reconfiguring systems in the current stages is more, less or equal with the number of recon-
кущих этапах больше, меньше или равно числу реконфигурируемых систем, учитываемых на начальном этапе. Имеются системы, которые принимались во внимание на начальном этапе, а также вновь появившиеся; число реконфигурируемых систем на текущих этапах больше, меньше или равно числу систем, учитываемых на начальном этапе. Все ре-конфигурируемые системы появились на текущих-этапах. Рассмотрен алгоритм решения задачи для каждой из возможных ситуаций. В его основе лежит метод построения истинных кортежей Парето. Метод может найти применение при исследовании технических, экономических, социальных систем. Приведен численный пример.
Ключевые слова: гипервекторное ранжирование, критерии, истинные кортежи Парето.
figuring systems taken into account in an initial stage. There are systems taken into account in an initial stage, as well as newly appeared; the quantity of reconfiguring systems in the current stages is more, less or equal with the number of systems taken into account in an initial stage. All reconfiguring systems appeared in the current stages. The problem solution algorithm for each of the possible situations has been considered. It is based on the method of building the true Pareto tuples. This method could be used in the study of the technical, economical and social systems. The numerical example is given.
Key words: hypervector ranging, criteria, the true Pareto tuples.
УДК 519: 816
Сафронов, В. В.
Динамическое построение истинных кортежей Парето в задачах гипервекторного ранжирования систем / В. В. Сафронов // Надежность и качество сложных систем. - 2015. - № 3 (11). - С. 45-52.
