Динамическое описание температурного режима ствола шахтной вентиляции метрополитена Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.12621.016.4

В. Н. Фоменко, М. А. Шварц

ДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА СТВОЛА ШАХТНОЙ ВЕНТИЛЯЦИИ МЕТРОПОЛИТЕНА

Дата поступления: 26.11.2018 Решение о публикации: 01.12.2018

Аннотация

Цель: Расчет динамического распределения температуры в грунте вблизи ствола шахтной вентиляции метрополитена (далее - ствол). Методы: В основу расчетов положена модель, в которой ствол рассматривается как система двух вложенных друг в друга полых коаксиальных цилиндров длиной 60 м. Внутренний цилиндр заполнен бетоном. Внешний цилиндр моделирует ближнее окружение ствола и наполнен влажным грунтом (грязью). Систему цилиндров окружает цилиндрический блок грунта высотой и радиусом 400 м. Используются методы математического анализа и линейной алгебры, численные методы решения уравнений в частных производных, метод конечных разностей. Результаты: Разработан и применен к модели ствола разностный метод решения временного уравнения теплопроводности. Для случая кусочно-экспоненциальных граничных условий построен оператор эволюции, не зависящий от начальных и граничных условий и позволяющий быстро проводить новый расчет при их изменении. Исследованы спектральные свойства оператора эволюции. Предложена аппроксимация температуры на ограниченном временном интервале. Рассчитана температура в грязевом слое грунта для 12 предыдущих зимних периодов (2005-2017 гг.) при трех значениях удельной теплопроводности бетона: 0,17 и 0,10 Вт/(м-К) (для теплоизоляционного вида бетона); 2,04 Вт/(м-К) (для обычного бетона). Показано, что для первого вида бетона имели место незначительные (до -1,6 °С) замерзания влажного грунта, для второго замерзаний не было вовсе. В то же время последний тип бетона часто и глубоко (до -20 °С) промерзает. Практическая значимость: Полученные результаты позволяют оценить риск повреждения конструкции ствола из-за замерзания влажного грязевого слоя, окружающего его. Вывод из проведенных расчетов: применение теплоизоляционного бетона весьма существенно уменьшает риск аварий вследствие промерзания влажного грунта вблизи ствола.

Ключевые слова: Тепловой поток, оператор эволюции, спектр оператора, полый цилиндр, ствол шахтной вентиляции, метрополитен, замерзание грунта.

*Viktor N. Fomenko, D. Phys. and Math. Sci., professor, vfomenko1943@gmail.com; Mikhail A. Shvarts, Cand. Eng. Sci., associate professor, shvarts4545@mail.ru (Emperor Alexander I Petersburg State Transport University) DYNAMIC DESCRIPTION OF THE TEMPERATURE REGIME OF THE STEM OF MINE VENTILATION OF METROPOLITEN. DOI: 10.20295/1815-588X-2019-1-139-148

Summary

Objective: Determination of dynamic temperature distribution inside the ground near the underground railway ventilation shaft (shaft further on). Calculations are performed within a model where the shaft is treated as system of two co-axial hollow cylinders of a length of 60 m embedded into each other. The inner cylinder is filled by concrete. The outer cylinder simulates the shaft's vicinity and it is filled by wet ground (sludge). The cylinders are surrounded by a ground block with a height and radius of 400 m. Methods: Methods of mathematical analysis and linear algebra, numerical methods of solving partial differential equations, finite-difference methods. Results: A finite-difference approach to solving the time-dependent heat-transfer equation has been developed and applied to the shaft model. An evolution

operator has been constructed for the case of piecewise-exponential boundary conditions. It does not depend on initial and boundary conditions and enables one to easily recalculate data when the conditions changed. The spectral properties of the evolution operator are explored. An approximation of temperature on restricted time interval is suggested. The temperature in the wet ground layer has been computed for 12 preceding winter times (2005-2017) for three values of concrete heat conduction coefficients: 0,17 W/(m-K), 0,10 W/(m-K) (both values relate to heat insulting concrete), 2,04 W/(m-K) (ordinary concrete). It is shown that merely slight freezing of wet ground (down to -1,6 °C) would have occurred several times for the first kind of concrete whereas no freezing at all would have taken place for the second concrete sort. In contrast to this strong freezing (down to -20 °C) happened many times for the last sort of concrete. Practical importance: The results obtained allow estimation of risk of a shaft damage caused by freezing of surrounding sludge layer. Conclusion drawn is that using heat insulting concrete essentially diminishes risk of hazard provoked by wet ground freezing near the shaft.

Keywords: Heat flux, evolution operator, operator spectrum, hollow cylinder, ventilation shaft, underground railway, ground freezing.

Введение

При конструировании вентиляционных шахт ответственных объектов, например метрополитенов, для обеспечения их надежной долговременной работы, особенно в зимний период, важно учитывать изменения температуры по всей глубине шахтного ствола на границе его обделки и окружающего грунта. При колебаниях температуры от положительных значений воздуха в стволе до низких отрицательных (-20 °С и ниже) может происходить промерзание обводненного грунта вокруг обделки на разных глубинах. Это оказывает деформационное воздействие на конструкцию ствола и иногда приводит к его разрушению, что вызывает возникновение аварийной ситуации. Информация об изменении теплового потока по глубине границы грунт-ствол позволяет совершенствовать материал конструкции ствола, улучшать его теплоизоляционные свойства.

Ранее стационарный тепловой процесс для моделей шахтной вентиляции рассматривался в [1, 2]. В настоящей статье исследуется динамическое распределение температуры грунта вблизи ствола шахтной вентиляции метрополитена. Вследствие инерционности и кумулятивности тепловых процессов динамика является важным фактором при принятии обоснованного решения о степени защищен-

ности конструкции ствола от механических повреждений во время морозов.

Расчетная схема

Стенка ствола обменивается теплом с атмосферным воздухом, поступающим внутрь, и с окружающим ствол слоем влажного грунта. Поверхность грунта также находится в тепловом контакте с воздухом.

На рис. 1 представлена модель ствола шахтной вентиляции метрополитена, положенная в основу расчетов данной работы. Отметим, что для сохранения наглядности масштаб на рисунке не соблюдается.

Эта модель является упрощением реального объекта по следующим причинам:

1) предполагается симметрия распределения температуры относительно оси ствола (ось X на рис. 1). Это упрощение не представляется существенным искажением реальности;

2) стенка ствола рассматривается как слой бетона и игнорируется входящая в ее состав чугунная обделка, наличие которой не может существенно влиять на температуру вне ствола из-за высокой теплопроводности чугуна;

3) на торцах ствола предполагается теплоизоляция (на рис. 1 она изображена сплошными толстыми линиями). Геометрия и процессы теплообмена на концах ствола сложны.

Рис. 1. Модель ствола шахтной вентиляции: Я - радиусы цилиндров; И - глубина ствола; Н - нижняя граница грунтового цилиндра

Однако они не могут существенно влиять на температуру в области, достаточно удаленной от его торцов. Именно эта область и представляет наибольший практический интерес.

Пусть T(r,t) - температура в данной точке, вектор r - радиус-вектор точки, t - время. Тогда T(r,t) удовлетворяет системе

div (A,(r )VT (r, t ) ) = c(r )d (r )д T (r, t ),

dt

T (r, t ) = Tb (r, t ) dT (r, t )

r€r,

dn

(1)

= 0,

геГ 2

Т (г, 10) = тш(г ),

в которой ^(г), с(г), с1(г) - коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость и плотность соответственно; Г1 - участок границы, где задана температура Ть(г^) (на рис. 1 тонкие сплошные линии); Г2 - участок теплоизоляции (на рис. 1 жирные сплошные линии); Т» задает температуру в момент времени t0. Отметим, что функции ^(г), с(г), С(г) кусочно-постоянны: они принимают фиксированные значения внутри областей 1, 2, 3 (см. рис. 1).

Дифференциальное уравнение (1) описывает «тепловой баланс» [3, 4], что эквивалент-

но следующему утверждению: для любой замкнутой области V с границей Б исходящий тепловой поток равен количеству тепла, освобождающегося в единицу времени от остывания тела внутри V:

- J c(r)d (r)д T (r, t )dV = J J (r) • n(r)dS, v dt s (2)

J (r) = -X(r)VT (r, t ),

здесь п(г) - внешняя нормаль к поверхности Б; J(г) - плотность теплового потока.

Для нахождения приближенного решения задачи (1) область {0 < г < Н;0 < г < Я} разбивается на ячейки [5-8]: систему концентрических колец

G k =

К 1 Л

r--Ar < r < r + — Ar,

1 Л 1 л

zk- 2 Azk <z < zk + 2 Azk

(3)

Отрезок [0, Я] разбивается на четыре сегмента точками Я , Я2, Я3, каждый из которых равномерно делится на п/ (/ = 1, ..., 4) частей. Аналогично отрезок [0, Н] разбивается на три сегмента [0, И0], [И0, И], [И, Н], и каждый из них

равномерно делится на п(] (] = 1, 2, 3) частей, к0 - эффективная глубина промерзания грунта (подробнее она обсуждается ниже). Внутри каждой ячейки коэффициент теплопроводности 1(г), удельная теплоемкость с(г) и плотность с1(г) постоянны.

Будем считать, что ячейки О к (см. систему (3)) имеют настолько малую ширину Аг . и высоту Агк, что внутри них температура может быть достаточно точно представлена квадратичной функцией по каждой координате:

Тк (г, 7, г) = %к (г)+ а (г )(г-г)+ + вк (г )(г-г )2 + Пк (г)( ^ —к) + (4)

+ (г)(^ -7к )2

(0к(г) - температура в центре ячейки), величины а.к(г) и Рк(г) определяются следующим образом. Если О к не является ячейкой на границе области постоянства 1, то зависимость по г распространяется на две соседние ячейки и решается следующая система (для упрощения обозначений опускаем зависимость от времени):

а.

+ ßa

а,.

1

л

— Ar + — Ar

i+1

J

\2

— Ar + — Ar

i+1

J

- ^i+1,k fy,k,

(5)

— Ar —Ar

i-1

J

Л2

— Ar + — Ar

i -1

-0м,k ■

Пусть О к - граничная ячейка. Учитывая, что 1 может изменяться только в радиальном направлении, рассматриваем в этом случае четыре ячейки: и Ок с 1=11 и °+1>к и °+2,к с 1 = 12. Для первой и второй пар ячеек принимается разная зависимость от г. Вместо (5) приходим к системе

с

а

1

1

— Ar--Ar ,

V 2 ' 2

( 1 1 Y

+ ß«* ~Ar +-Ar-1 -0;-1,k »

V

а

+1, ii

j

1

( 22 Ar+1 + 2 Ar+2

+ e+1,kI 2Ar+1 +2Ar+2

2

2, k ^'+1, k,

(6)

а ik1 Ar +ß ik

с 1 л2

-ßj+1,kl iAr+1

— Ar V 2 ' j

Y

- ^'+1,k -®i,k,

J

1

ai+1,k 2 Ar+1

^ (aik + ßikAr) - ^2 (ai+1,k - ßi+1,kAr+1) - 0.

В системе (6) два последних уравнения обеспечивают сопряжение температур и тепловых потоков на границе пар ячеек при

г = г+^ лг = г+1 _ ^ лг+1. Параметры П*(0

и Ск(г) определяются аналогично а.к(г) и

Р,(г).

Отметим, что принятый нами второй порядок зависимости температуры от г и г внутри ячейки минимально допустимый. Как видно из уравнения (2), критическим для определения динамики является выходной поток, который слагается из разностей близких величин - потоков на противоположных гранях ячейки. В линейном же приближении плотность теплового потока постоянна, и выходной поток по оси г равен нулю, а по радиальному направлению отличается от нуля только за счет геометрического фактора. Однако имеются особые случаи, когда конкуренция потоков на противоположных гранях отсутствует. Это относится к ячейкам, примыкающим к оси г и/или к теплоизолирующим слоям. Для таких ячеек по соответствующей переменной используем линейное приближение. В разложение (4) не включен квадратичный член ~ (г _ г )(г _ гк ) , так как он не изменяет выходящий тепловой поток ячейки.

Пронумеруем последовательно пары индексов, задающих рабочие ячейки (все ячейки, кроме лежащих внутри ствола), числами, образующими множество Пусть Г - подмножество номеров для граничных ячеек, а 5 содержит номера внутренних ячеек, т. е. ячеек, для которых требуется вычислить температуру. Далее и (Ь) обозначим множество номеров рабочих ячеек, соседних с ячейкой Ь. Если [/, к] = Ь, то гь = г. и 2Ь = 2к, иными словами, большой нижний индекс относится к ячейке. Будем использовать аналогичные обозначения и для других переменных.

Применяя соотношение (2) к ячейке ОЬ, получаем

2%rL ArL AzLcLdL

дt (7)

= 2пХ ь дг, (а ь + 2Гь ф ь + С ь %

где в левой части учтен только ведущий член 6г

После подстановки в уравнение (7) решений системы (5) или (6) приходим к уравнению

dT(t) dt

= A •т (t)

(8)

где

fei(t) ^ Г ei(t) >

T(t) = e2(t) = » e2(t)

leM (t) у leN (t) )

М- число внутренних ячеек; N - число рабочих ячеек. Было принято правило, что внутренние ячейки получают первые номера из всех рабочих ячеек. Матрица А обладает свойством

N

X A, = 0, q = 1,..., M.

(9)

k=1

Свойство (9) означает, что правая часть уравнения (8) не зависит от начала отсчета тем-

пературы, так же как от него не зависят тепловые потоки. Мы не приводим здесь элементы матрицы А в явном виде для экономии места.

Пусть Дt достаточно малый временной шаг. Делая в (8) замену

дМ)

дt Дt '

получаем уравнение эволюции для вектора термического состояния

T(t + Дt) = Т(/) + А -Т(t) -Д* . (10)

Уравнение (10) следует дополнить начальными и граничными условиями

Ь еП; 6ь(to) = Тш(г,,2,), Ь еГ; б,(t) = Ть(г,,t).

Отметим, что «температурным представителем» ячейки Ь условно считаем параметр 0Ь, т. е. температуру на окружности (г = гЬ;

2 = 2ь).

Интересно рассмотреть частный случай граничных условий вида

Ь еГ; 6,(t) = В, exp(yьt).

Нетрудно проверить, что в пределе Дt ^ 0

Т ^+Дt) = Т (t)+А -Т (t) -Д* , (11)

где А - матрица, содержащая N строк и N столбцов, которая получается из А добавлением в нее снизу N - М строк с элементами

Гу т , если Ь = Ь', АТТ.=ГЬ Ь еГ; Ь'е О.

[ 0, если Ь ф Ь',

Соотношение (11) можно записать следующим образом:

Т ^+Дt) = (е+А • дt) • Т О1),

здесь Е - единичная матрица. Тогда, если Дt достаточно мало,

T(t) = (E + A • At) At • T(t0). Из (12) следует, что

T(to + А) = U(A)T(to),

д

U (А) =(E + A • At) М.

(12)

(1З)

Öl (tl + 0)

e L (tl - 0) 0, если L Ф L'.

если L = L ' ,

Спектральные свойства оператора эволюции

Переход к пределу Дt ^ 0 в формуле (13) дает

U(A) = exp( A -А). Очевидно, имеет место свойство U(Aj) - U(A 2) = U (А).

Пусть W =

(1) (2) ( N )

V , V ,..., V

, где V(k) -

Таким образом, и(Д) - оператор эволюции или оператор временного сдвига на величину Д термического состояния системы. Отметим, что и(Д) зависит не от начального состояния, а от граничных условий только через параметры у£. В частности, оператор и(Д) имеет универсальный вид для стационарных граничных условий. Это позволяет легко пересчитывать динамику распределения температур для новых начальных и граничных условий. Важно также, что объем вычислений оператора и(Д) медленно (логарифмически) увеличивается с ростом временного шага Д.

Процедуру вычислений с оператором эволюции можно применить и в случае кусочно-постоянных граничных условий. Если граничные условия меняются в момент времени t1, то

Т&) = Щ2 - О • D • и^ -

где Б - диагональная матрица с элементами

собственный вектор операторов А и и (Д) с собственными значениями ^ и ехр(цкД) соответственно [9]. Отметим, что операторы А и и(Д) не являются самосопряженными, поэтому их собственные векторы, вообще говоря, не ортогональны. Пусть М - диагональная матрица с элементами ехр(цкД) . Тогда для оператора эволюции получаем выражение

и(Д) = W • М • W-1.

Разложим вектор термического состояния системы по собственному базису:

N

T(to) = z Ck Vk.

k=1

Тогда

N

T(t) = £Ck exp[^(t-t0)]V4. (14)

k=i

Далее ограничимся случаем стационарных граничных условий: yl = 0 (см. уравнение (11)).

Из (14) и ограниченности T(t) следует, что цk < 0 . Рассмотрим асимптотический случай t ^да, когда

N

Т(да) = lim T(t) = X CkVk . (15)

k=1

fck =o)

Состояния (15) - это состояния оператора U (А) с собственным значением 1 и оператора A с собственным значением, равным 0. Действительно,

Aim (E + A• At)At • T(t0) = exp (A • a) T(t0), и оператор эволюции приобретает вид

U(A) lim U(t )T(t0) = lim U(A)U(t )T(t0) =

t ^œ t^œ

= lim U(A +1 )T(t0 ) = lim U(t )T(t0 ).

Итак, (15) - это стационарные состояния, которые зависят от граничных и не зависят от начальных условий для внутренних ячеек. Построим базис ядра оператора А [9], выбирая в качестве «затравочных» состояния

т (i) =

0

0 1 0

V 0 )

Т (2) =

0

0 0 1

V 0 )

( N-M ) _

0

0

0 0 0

V1)

(16)

Из (16) видно, что граничные условия (нижние N - М строк) линейно независимы, а начальные условия для М внутренних ячеек выбраны для определенности нулевыми. Рассмотрим стационарные состояния вида

= lim U(A) -Т0

( q)

Т( q)

(q = 1,.,N -M).

(17)

Покажем, что состояния (17) образуют базис ядра А . Пусть Т - произвольное стационарное состояние. Рассмотрим состояние

N-M

T' = T + X D T

(q)

(18)

q=1

и, используя линейную независимость граничных условий, выберем коэффициенты Б* так, чтобы Т ' - стационарное состояние с нулевыми граничными условиями имело вид

t

1

M

T ' = 0 0

V 0 )

В этом случае из-за выравнивания температур для внутренних ячеек получаем, что ^ = t2 =... = tM = 0. То есть Т ' - нулевой вектор. Тогда, в силу (18), состояния (17) формируют базис ядра оператора А .

Представление термического состояния в виде (14) дает возможность его аппроксимации на том или ином временном интервале. Упорядочим собственные значения по величине 0 >ц1 >ц2 > ... . Тогда при ^ < t < t2 получаем приближенное равенство

Т(*^) « с* + йч ехр(ц^),

если |цк| » 1 и |цк_1t^ « 1, т. е. если рк отделено от соседних собственных чисел достаточным интервалом.

Детали и результаты расчетов

Расчеты температуры проводились на сетке ячеек, описанной ранее. Параметры разбиения по переменным г и 2 были выбраны следующим образом:

пг = (10,5,5,50), п2 = (3,20,30). (19)

Граничные условия заданы функцией Ть (г, 2, t) (см. формулу (10))

Тъ (r, zt) = <

ТА ^), если (г = Я1 л 2 < И) V

V (2 = 0 л Я3 < г < Я),

Тс (2), если (2 = Н л г < Я) V

V (2 < Н л г = Я),

где ТА({) - температура атмосферного воздуха; Т0(£) - температура грунта на глубине 2 вдали от шахты. Если 2 выражено в метрах, то

Тс (2) = [6 + 0,12] °С.

Размеры модели шахты приведены на рис. 1. Необходимо, однако, добавить, что слой грунта, прилегающий к дневной поверхности толщиной к0 = 2 м («слой промерзания»), рассматривается особо: он разбивается по высоте чаще, чем более глубокие слои грунта (см. формулу (19)):

к0 к - к0 Н - к

— <-0 < .

И21 п~ п2 3

21 2 2 2 3

Разбиение на ячейки по переменной X тем мельче, чем сильнее зависит от нее температура на данном участке. Вблизи дневной поверхности зависимость температуры от глубины сильная из-за прямого контакта с атмосферой. Аналогичное правило действует в случае разбиения по радиусу.

В начальный момент температура во всех ячейках приравнивается температуре грунта Т0(т) (см. уравнение (10)). Влияние начальных условий на распределение температуры быстро нивелируется с течением времени. Поэтому, в разумных границах, они могут задаваться произвольно.

На торцах шахты наложены условия термоизоляции (рис. 1). В расчетах термоизоляция обеспечивается тем, что тепловой поток через соответствующую грань ячейки полагается равным нулю.

Нами были проведены расчеты термического режима системы ствол-грунт для 12 зимних периодов с 20 октября по 19 марта, начиная с 2005/2006 и заканчивая 2016/2017 годом. Данные о температуре атмосферы взяты на сетевом ресурсе [10]. Они содержат результаты измерений температуры воздуха через каждые 3 ч.

В расчетах использовались значения физических характеристик, приведенные в табл. 1. Для бетона приведены два значения коэффициента теплопроводности, которыми обладают современные сорта теплоизолирующего бетона.

Таблица 2 содержит основные результаты проведенных расчетов: периоды замерзания влажного грунта и их характеристики, которые произошли бы в прошедшие годы. Если какой-либо зимний период из диапазона 2005-2017 гг. отсутствует в таблице, то это означает, что замерзания в ту зиму не было. Данные относятся к глубине 35 м. С одной стороны, при меньшей глубине грунт, окружающий ствол, как правило, довольно мягок и образующийся лед деформирует грунт, а не конструкцию ствола. На глубине 35 м и ниже грунт обладает существенно более высокой плотностью, поэтому при образовании льда возникают большие механические напряжения, которые могут вызвать деформацию и разрушение конструкции. С другой стороны, из-за существующего общего тренда на большей глубине температура грунта выше и риск промерзания ниже.

Данные в табл. 2 получены при коэффициенте теплопроводности теплоизоляционно-

ТАБЛИЦА 1. Физические константы, использованные в расчетах

Материал Плотность, кг/м3 Удельная теплоемкость, Дж/(Ккг) Удельная теплопроводность, Вт/(Км)

Бетон 850 880 0,17/0,10

Увлажненный грунт 1700 800 2,0

Грунт 1500 800 1,94

ТАБЛИЦА 2. Периоды замерзания влажного грунта на глубине 35 м при значении X, = 0,17 Вт/(Км)

г бетона 7 4 '

Период Средняя температура, °С Минимальная температура, °С Длительность, ч Общая длительность, ч

05/06 -0,76 -0,50 -1,17 -0,74 96 114 210

09/10 -0,64 -0,25 -1,02 -0,37 162 54 216

10/11 -0,86 -1,59 231 231

11/12 -0,29 -0,52 126 126

15/16 -0,44 -0,65 105 105

Рис. 2. Температуры атмосферы и влажного грунта зимой 2010/2011 года: -----Хб = 0,10 Вт/(К-м);-----Хб = 0,17 Вт/(К-м)

бетон бетон

го бетона 0,17 Вт/(К-м). При альтернативном значении коэффициента 0,10 Вт/(К-м) замерзания не было вовсе.

Детальное поведение во времени температур атмосферного воздуха и влажного грунта в течение зимы 2010/2011 года приведено на рис. 2.

При реконструкции вентиляционных шахт с использованием бетона без специальных теплоизоляционных свойств с коэффициентом теплопроводности X = 2,04 Вт/(К-м) процессы теплопередачи протекают относительно быстро, и замерзание грунта на глубине 35 м наступает уже при температуре атмосферы -2 0С.

Заключение

Были проведены расчеты температурного режима вентиляционной шахты для 12 прошедших зимних периодов. Они показали, что на глубине, критической с точки зрения риска аварии (35 м), замерзание увлажненного грунта наступило бы 7 раз при теплопроводности бетона X = 0,17 Вт/(К-м) и ни разу при X = 0,10 Вт/(К-м). Минимальная температура влажного грунта не опускалась бы ниже -1,6 °С. В то же время при применении обычного бетона (X = 2,04 Вт/(К-м)) замерзания имели место каждую зиму и температуры грунта достигали значения -20 °С. Это озна-

чает, что использование теплоизоляционного бетона очень существенно уменьшает риск аварии во время морозов.

Библиографический список

1. Фоменко В. Н. К анализу теплового режима длинного воздуховода / В. Н. Фоменко, М. А. Шварц, В. В. Кондратенко // Труды Нац. науч.-метод. конференции «Математика в ВУЗе и школе». - СПб. : ПГУПС, 2017. - С. 126-131.

2. Фоменко В. Н. Анализ термического режима вентиляционной шахты метрополитена методом разделения переменных Фурье / В. Н. Фоменко, М. А. Шварц // Изв. Петерб. ун-та путей сообщения. -СПб. : ПГУПС, 2018. - Т. 15, вып. 2. - С. 261-270.

3. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики : учеб. пособие для ун-тов. - 4-е изд., испр. / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М. : Наука, 1972. -735 с.

4. Самарский А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. - М. : Еди-ториал УРСС, 2003. - 784 с.

5. Самарский А. А. Теория разностных схем. -3-е изд., испр. / А. А. Самарский. - М. : Наука, 1989. - 616 с.

6. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. - М. : Наука, 1978. - 592 с.

7. Самарский А. А. Аддитивные схемы для задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Ва-бищевич. - М. : Наука, 2001. - 319 с.

8. Калиткин Н. Н. Численные методы / Н. Н. Ка-литкин. - М. : Наука, 1978. - 512 с.

9. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. ; пер. со 2-го амер. перераб. изд. И. Г. Ара-мановича, А. М. Березина, И. А. Вайнштейна, Л. З. Румшиского, Л. Я. Цлафа ; под ред. И. Г. Ара-мановича. - М. : Наука, 1974. - 831 с.

10. Сайт «Расписание Погоды», rp5.ru (дата обращения : 28.08.2018).

References

1. Fomenko V. N., Shvarts M. A. & Kondraten-ko V. V. K analizu teplovogo rezhima dlinnogo vozduk-

hovoda [A contribution to analysis of thermal regime of long air duct]. Trudy Nats. nauch.-metod. konferencii "Matematika v VUZe i shkole" [Proc. of Nationalsci.-method. conference"Mathematics in university and school"]. Saint Petersburg, Petersburg State Transport University Publ., 2017, pp. 126-131. (In Russian)

2. Fomenko V. N. & Shvarts M. A. Analiz termi-cheskogo rezhima ventiliatsionnoi shakhty metropolite-na metodom razdeleniia peremennykh Fur'e [Analysis of thermal regime of metro system's ventilation shaft by the Fourier variable separation method]. Izvestiya Peterb. universiteta putei soobshcheniia [Proc. of Petersburg Transport University]. Saint Petersburg, Petersburg State Transport University Publ., 2018, vol. 5, issue 2, pp. 261-270. (In Russian)

3. Tikhonov A. N. & Samarskii A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Mathematical physics equations]. Textbook for universities. 4th rev. ed. Moscow, Nauka Publ., 1972, 735 p. (In Russian)

4. Samarskii A. A. & Vabishchevich P. N. Vychis-litel'naia teploperedacha [Computational heat transfer]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2003, 784 p. (In Russian)

5. Samarskii A. A. Teoriia raznostnykh skhem [Difference scheme theory]. 3rd rev. ed. Moscow, Nauka Publ., 1989, 616 p. (In Russian)

6. Samarskii A. A. & Nikolaev E. S. Metody reshe-niia setochnykh uravnenii [Methods for solving finite-difference equations]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 592 p. (In Russian)

7. Samarskii A.A. & Vabishchevich P. N. Additivnye skhemy dlia zadach matematicheskoi fiziki [Additive schemes for mathematical physics problems]. Moscow, Nauka Publ., 2001, 319 p. (In Russian)

8. Kalitkin N. N. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 512 p. (In Russian)

9. Korn G. & Korn T. Spravochnik po matema-tike [Korn G.& Korn T. Manual of Mathematics]. Ed. by I. G. Aramanovich. Moscow, Nauka Publ., 1974, 831 p. (In Russian)

10. Sait "Raspisaniepogody" [' Weather timetable' website]. URL: rp5.ru (accessed: 28.08.2018). (In Russian)

*ФОМЕНКО Виктор Николаевич - д-р физ.-мат. наук, профессор, vfomenko1943@gmail.com; ШВАРЦ Михаил Александрович - канд. техн. наук, доцент, shvarts4545@mail.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).