Анализ термического режима вентиляционной шахты метрополитена методом разделения переменных Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.12621.1.016.4 В. Н. Фоменко, М. А. Шварц

АНАЛИЗ ТЕРМИЧЕСКОГО РЕЖИМА ВЕНТИЛЯЦИОННОЙ ШАХТЫ МЕТРОПОЛИТЕНА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ФУРЬЕ

Дата поступления: 09.02.2018 Решение о публикации: 13.03.2018

Аннотация

Цель: Расчет распределения температуры в грунте вблизи вентиляционной шахты метрополитена (далее ствол). В основу расчетов положена модель, в которой ствол рассматривается как система вложенных друг в друга полых коаксиальных цилиндров длиной 60 м. Два внутренних цилиндра заполнены бетоном, третий цилиндр - чугунная труба. Внешний цилиндр моделирует ближнее окружение ствола и наполнен влажным грунтом (грязью). Систему цилиндров окружает цилиндрический блок грунта высотой 500 м и радиусом 600 м. Методы: Применены стандартные методы математического анализа, метод разделения переменных Фурье, методы теории цилиндрических функций. Результаты: Обобщен метод разделения переменных Фурье на случай областей с цилиндрическими полостями. Разработан и программно реализован в среде Mathcad алгоритм построения ортонормированного базиса путем введения суперпозиций функций Бесселя 1-го и 2-го рода. Предложен и применен в расчетах метод сопряжения температур и тепловых потоков на границах раздела однородных участков среды, включая предельный случай термической изоляции. Рассчитана температура в грязевом слое грунта как функция глубины в диапазоне 0—60 м при трех значениях удельной теплопроводности бетона: 0,17 Вт/(м-К) (стандартное значение); 0,1 Вт/(м-К) (значение для специального вида бетона); 0,055 Вт/(м-К) (теоретическое значение, исключающее замерзание грязевого слоя грунта). Практическая значимость: Полученные результаты позволяют оценить риск повреждения ствола вследствие замерзания влажного грязевого слоя, окружающего его. Вывод из проведенных расчетов: при длительных морозах с температурой воздуха ниже -20 °С замерзание произойдет при использовании как обычного бетона, так и бетона специального вида. Замерзание начнется на глубине 20-40 м. Оно было бы исключено при удельной теплопроводности бетона ниже 0,055 Вт/(м-К).

Ключевые слова: Уравнение Лапласа, метод Фурье, уравнение Бесселя, полый цилиндр, метрополитен, ствол шахты, замерзание грунта.

*Viktor N. Fomenko, D. Sci. in Physics and Mathematics, professor, vfomenko1943@gmail.com; Mikhail A. Shvarts, Cand. Eng. Sci., associate professor, shvarts4545@mail.ru (Emperor Alexander I Petersburg State Transport University) ANALYSIS OF THERMAL REGIME OF THE UNDERGROUND RAILWAY VENTILATION SHAFT BY FOURIER SEPARATION OF VARIABLES METHOD

Summary

Objective: Determination of temperature distribution inside the ground near the underground ventilation shaft (air feeder further on). Calculations were performed within a model where the air feeder was treated as a system of several co-axial hollow cylinders of a length of 60 m embedded into each other. Two inner cylinders were filled with concrete; the third one was a cast-iron pipe. The outer cylinder simulated the vicinity of the air feeder and it was filled with wet ground (sludge). The set of cylinders was surrounded by a ground block with a height of 500 m and a radius of 600 m. Methods: Standard methods of mathematical analysis, Fourier separation-of-variables method, and theory of cylindrical functions. Results: Fourier separation-of-variables method was generalized for the case of domains

that have cylinder-shaped cavities. The algorithm of constructing an orthonormal basis was developed and implemented in the Mathcad programming environment by introducing superposition of Bessel functions of the 1st and 2nd kind. A method which allows conjugating heat fluxes and temperatures across the surfaces separating homogeneous fragments of medium, including the limiting case of thermic lag, was suggested and used in calculations. Temperature in the sludge ground layer was computed as a function of depth in the range of 0-60 m at three values of concrete heat-conduction coefficient: 0,17 W/(m-K) (standard value); 0,1 W/(m-K) (value for special concrete); 0,055 W/(m-K) (a hypothetic value preventing freezing of the sludge ground layer). Practical importance: The obtained results enable one to assess risks of damage of the air feeder caused by freezing of the surrounding wet sludge layer. One can conclude from the calculations performed that freezing will occur at long duration frost with air temperature under -20 °C independently of the sort of concrete used: conventional or special one. The freezing process will start at a depth of 20-40 m. This process would be avoided at values of heat-conduction coefficient of concrete under 0,055 W/(m-K).

Keywords: Laplace equation, Fourier method, Bessel equation, hollow cylinder, underground railway, air feeder, ground freezing.

1. Введение

Цель настоящей работы - изучение распределения температуры грунта вблизи ствола шахтной вентиляции метрополитена. Актуальность этой задачи обусловлена тем, что в холодные периоды времени атмосферный воздух может замораживать грунт, примыкающий к стволу, и вызывать повреждения последнего. Этот вопрос исследуем в стационарном тепловом режиме, пренебрегая охлаждением грунта на поверхности, что оправдано, если ограничиться коротким по времени процессом охлаждения.

Стационарные тепловые процессы для кусочно-однородной среды описываются уравнением Лапласа

У20( X, у, 2) = 0

с дополнительными условиями сопряжения температур и тепловых потоков или теплоизоляции на границах однородных участков среды.

В п. 2 методом Фурье построено решение уравнения Лапласа, обладающее осевой симметрией, для сплошного и полого цилиндров. В п. 3 предложенный метод применен к модели ствола, который рассматривается как система, состоящая из сплошного и нескольких полых однородных цилиндров. В п. 4 приведены результаты расчетов и сделаны выводы относительно опасности замерзания грунта, примыкающего к стволу.

2. Построение решения уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа в случае решений с осевой симметрией [1, 2] имеет вид

©(Г, + I А@(Г, 2) + 0(Г, 2) = 0,

дг 2 г дг dz2

где г - радиальная переменная; z - осевая переменная.

Это уравнение решается для областей, изображенных на рис. 1, а, б, на которых показаны и граничные условия.

С2(г)

Рис. 1. Сплошной (а) и полый (б) цилиндр: размеры и граничные условия (Я, Я Я2 - радиусы цилиндров, Z Z2 - нижняя и верхняя границы цилиндров и, С С Ь - температурные значения

на границах)

На основе метода разделения переменных Фурье [3-5] будем строить решения уравнения Лапласа. Детали вывода опущены.

В дальнейшем индекс «1» присвоен выравнивающим решениям, а индекс «0» - приведенным. Выравнивающие решения служат для того, чтобы обеспечить нулевые значения приведенных решений на пересечениях цилиндрических и плоских границ цилиндра. Для сплошного цилиндра это два условия, а для полого - четыре.

Решение 0 (г, ¿) для сплошного цилиндра представлено равенствами

0 . U (R) - L( R)f 7Л+Т,т

0 si(r >z) =-7j-(z - Zi>> + L( R>

H

(1)

h

k nr

0 s 0(r •') = S Вск\ТкНя^,(^+

sin И\

L

Kk (Z2 - ZУ

H

+ S DLkJ0 I K kR

sin И\

фт+S DukJo (KkR,

sin И\

к kkz - Z) ~

sin h I

R

(2)

В (1), (2) ^ -функция Бесселя, I -модифицированная функция Бесселя первого рода [6-8], Н - высота цилиндра, Я - радиус цилиндра.

Решение для сплошного цилиндра запишем в виде

0, (r, z ) = 0 s0(r, z ) + 0>, z ). Величины D определяются граничными условиями

С ( z ) -0,i( R z ) = £ Dck sin f

Ь(Г) - 0>, 2,) = £^Л [к ^| ^(г) - 0>, 22) = £ад, [к ^

Решения ©й (г, z) для полого цилиндра представлены равенствами

0м(Г, z) = С + С1о§ 1П(Г ) + CzZ + С1о§ zZ • 1П(Г ).

В формуле (3) параметры С, С1о^ Cz, C1ogz легко вычисляются по граничным условиям. Приведенное решение для полого цилиндра имеет вид

(3)

©/>, Z ) = Х D

C1k

k=1

k nr 1 vH J Ko( k nr 1 vH J

k nR21 H J Ko ^ k nR21 H J

k nR J Ko V k nR J

k nR21 H J Ko V k nR21 H J

k nr H Ko| í k nr V H J

. Í kn(Z - Z,) i

sin I —--l— l +

V H J

+ X DC 2k

k=1

Io| V k nR J Ko( 'k nR J

lo V .H J Ko( , H J

lo if j Ko i H

. í kn(Z - Z,) i

sin I —--— l +

V H J

sin h

+ Ë DLkZo ßk, Kk-^T

k=1 V Ri.

ÍK k ( Z 2 - Z ) i

Ri

sin h

ÍK H i

Ri

(4)

sin h

+ S DUkZo ßk , Kk —

k=1 V Ri

ÍK k ( Z - Zi) 1

Ri

sin h

к kH Ri

в котором K - модифицированная функция Бесселя второго рода [6-8].

Решение для полого цилиндра дается формулой

0, ( г, z) = 0 ho(r, Z ) + 0 hi(r, z ),

где введена новая функция Бесселя [9] как суперпозиция функций Бесселя первого и второго рода:

Z o(ß, х) = (1 -ß) Jo( x) + ß70( x).

(5)

Пусть к(Р) - n-й в порядке возрастания корень функции (5). Величина в в формуле (5) выбирается как решение уравнения

К n+k (Р, ) = R

Кn(Рк) R

при некотором значении n. В уравнении (4) к, = Kn (в,). Функция Z0 (в,, Kk_r/R1) имеет к - 1 корень внутри промежутка (R1, R2).

Величины D определяются граничными условиями

Q(z) - 0,i(Ri, z) = £DCi, sinfkH Zl)j,

C2(z)-0hi(R2,z) = £De2k sinf kz-Zl)^

k=1

H

т-0й1(г,гх) = хад рк,к,- ,

к=1 V К1)

( Г

и(г) -0й1(г, г2) = Хад рк,Кк-

к=1 V К1 3. Анализ теплового режима ствола шахтной вентиляции

Рассчитываем распределение температуры в грунте вокруг ствола шахтной вентиляции. На рис. 2 показано осевое сечение модели ствола. Ствол представляет собой полый, наполненный атмосферным воздухом цилиндр, отделенный от окружающего его грунта цилиндрической многослойной стенкой. Описание каждого слоя дается в таблице.

Характеристика слоев стенки воздуховода

Слой Размеры, м Материал Коэффициент теплопроводности, Вт/(К-м)

1 2,25-2,55 Бетон 0,1/0,17

2 2,55-2,71 Бетон-уплотнитель 0,1/0,17

3 2,71-2,74 Чугун 30

4 2,74-2,84 Увлажненный грунт 1,94

В расчетах стенка рассматривается как однородный цилиндр [10] с эффективным коэффициентом теплопроводности А :

. _ ln(r5/ ri)

эфф 4 1

1п(г+1/ г)

/=1 Л,,

где г. и г - радиусы /-го слоя, а X. - коэффициент его теплопроводности.

стенка воздуховода

сф)

Рис. 2. Схема системы «ствол-грунт», использованная в расчетах: 1-5 - блоки системы

Длина ствола составляет 23 - 22 = 60 м, а внешний диаметр равен 2Я2 = 5,7 м. Размеры участка грунта вокруг ствола подобраны так, чтобы на периферии системы можно было пренебречь его влиянием на температуру грунта и получить возможность наложить граничное условие. В расчетах принято, что 23 - 21 = 500 м и 2Я3 = 1200 м. Расчеты показали, что влияние ствола на температуру на границе системы пренебрежимо мало.

Система «ствол-грунт» разбита на 5 блоков: 4 полых цилиндра и один сплошной (на рис. 2 они пронумерованы). Опишем границы блоков схемы:

1) на границе заданы температуры функциями [(г), и(г), С^), С2(£) (сплошные тонкие линии);

2) термоизоляция на торцах воздуховода (сплошные жирные линии);

3) сопряжение температур и плотностей тепловых потоков по обе стороны от границы (пунктирные линии).

Реальный ствол имеет на входе и выходе сложную геометрию. Чтобы применить метод Фурье, требующий осевой симметрии, вводим упрощение в форме термоизоляции на торцах модельного ствола.

Величины 0[к(Г>, ВС2к(2\ В^, ВС2к(4), В[к(5) - коэффициенты разложения для выравненных граничных условий (верхний индекс указывает на номер блока). Например, для блока 1

да ( г ^

[(г)-0/Чг,71) = ХВ[кт20 Рк,, Я <г <Я,.

к=1 ^ Я1)

Выравнивающее решение для этого блока имеет вид

0м(1) (r, z) _ С(1) + Clog(1) ln(r) + Cz(1) z + Clog z(1)z • ln(r),

где

C

(D _ TB - TA - (L(R2) -L(R))

C (!) _ TA L(R1)

7 - 7

2

(72 -7i)ln

— Cinri

R2 ]

l Ri J

(i)

ln( Ri),

C,

(i) _

L( R2) - L( Ri)

ln

' R2 ^

- C

(i)

7i,

Ri

v-1 ч j

С(1) = L(R) - Cz(1)Z, - Clog(1) 1n(R,) - Clogz(1)Z, 1ЦЯД

Здесь TA и TB - температуры на окружностях (r = R,, z = Z2) и (r = R2, z = Z2), расположенных на пересечении полых четырех цилиндрических блоков (окружности пересекают плоскость рис. 2 в точках A, A, и B, B,). Величины

D (1) _ D (11) D (3) _ D (33) D (3) _ D (3-3-) D (2) _ D (4) _ D (24) ^Uk - Uk ■> Lk ~ Uk ■> ^Uk - Uk ■> ^Uk - Lk ~ Uk ■>

D (i) _ D (2) _ D (i2) D (3) _ D (4) _ D (34) ^C2k ~ ^Cik ~ k 5 ^C2k ~ ^Cik ~ ^k >

D (1) _ D (5) _ D (15) D (5) _ D (55) ^Cik _ Ck ~ ^k J ^Uk ~ ^k

(6)

задают разложения на границах блоков, где наложены условия сопряжения температур и потоков или термоизоляции. Переменные (6) являются свободными, так же как и температуры ТА и Т,

Пусть пг1 - число членов в разложении на торцах блоков 1 и 3, пг2 - аналогичная величина для блоков 2 и 4, пг3 относится к блоку 5, п и п2 - для цилиндрических границ групп блоков (1, 2, 5) и (3, 4) соответственно. Объединим переменные Б^, Б/15>, Бк(24\ Б/33), Б/3'3'), Бк(34), Бк(55), Т и Тв в вектор Бк длины N = 3пг1 + пг2 + пг3 + 2пг1 + п2 + 2. Компоненты Бк выбираются из условия равенства плотности потоков на границах сопряжения блоков или равенства потоков нулю на границах термоизоляции. Пусть Р (г , z , ф ) - совокупность М точек на поверхностях между блоками и Г1т, Г2т - номера примыкающих к точке Р т двух блоков (Г1т < Г2т, случай сопряжения) или одного блока (Г1т = Г2т, случай термоизоляции). Тогда Бк получаются как решение задачи

M

min ^ ■

ID,

k m_i

X A© (rim) -X A© (r2m)

^ дП h ЛГ ^ дП h

[i-5(Пт -Г2т )] +

A© (rim) dz ©h

5(rim -r2m ) ^ Wm,

где

— = — для границ 1 - 2 и 3 - 4,

dn dr

z

д д л „ _ . — = — для границ 1 - 3 и 2 - 4. дп дх

Величины w - весовые коэффициенты, подбором которых следует добиться равномерного выполнения условий сопряжения и термоизоляции на границах блоков.

Очевидно, температура и ее производные в фиксированной точке - линейные функции Б),. Поэтому

(ч. £ ^' 2т ^ ^ 2™} ^ -§(Г1™ -Г2^ )] +

д N

+ -©/Пт)5(Г1т -Г2т ) = Ст0 +Х ^.

д^ ,=1

Обозначим через А фрагмент матрицы СТС, из которой удалены левый столбец и верхняя строка, а через В - левый столбец без верхнего элемента:

м м

а ,(к = X Ст,Ст, , Ъг = X Ст,Ст0, К , = Ъ - • ■ , N.

т=1 т=1

Решение задачи (6) дается формулой

Б = -А_1В.

4. Распределение температуры вблизи ствола

Рассмотрим результаты расчетов распределения температуры вблизи ствола при граничных условиях (в °С):

• и(г) = 6, Я2 < г < Я3 - температура на поверхности;

• С2^) = 6 + 0,1 (2Ъ - ¿) - нагрев грунта с увеличением глубины погружения;

• Ь(г) = 56, 0 < г < Я3 - температура на глубине 500 м;

• С^) = -20 - температура воздуха внутри воздуховода.

Цель расчетов - определить температуру грунта, непосредственно примыкающего к стенке ствола, где опасность замерзания грунта наиболее велика. В расчетах пренебрегаем остыванием грунта на поверхности земли. Это оправдано тем, что скорость промерзания грунта на поверхности земли и вблизи стенки ствола на любой глубине - величины одного порядка. Ограничимся рассмотрением распределения температуры в слое вокруг ствола толщиной порядка 10 см. Поэтому промерзание грунта на такую глубину на поверхности не повлияет заметно на температуру, если погружение составляет несколько метров и более.

В расчетах число точек, в которых проводилось сопряжение или термоизоляция, равно 1200 (по 150 точек на каждом из 8 участков). Число членов в разложении Фурье и Бесселя-Фурье принималось равным 20.

На рис. 3 приведена зависимость температуры на внешней границе увлажненного грунта (см. таблицу) от глубины. Расчеты сделаны для трех величин коэффициента теплопроводности бетона и бетона-уплотнителя. Значение 0,17 Вт/(К-м) уже достигнуто для специального вида бетона. Видимо, реально довести в будущем теплопроводность до 0,1 Вт/(К-м). Из рис. 3 видно, что в обоих случаях замерзание грунта возможно при достаточной продолжительности

10

8 б 4 2

Л,фф=0,068 (Äger0II =0,055)

ОД)

-2 --4 --6 --8 --10--

/г . м

0,17)

Рис. 3. Температура на внешней границе увлажненного грунта как функция глубины

морозов. Пунктирная кривая получена для предельно большого коэффициента теплопроводности бетона, когда замерзание грунта не произойдет.

5. Заключение

В работе в предположении осевой симметрии в стационарном тепловом режиме рассчитана температура грунта вблизи ствола в условиях холодного атмосферного воздуха. Для ствола введена упрощенная модель, являющаяся системой, составленной из одного сплошного и четырех полых цилиндров. Расчеты проведены для трех значений коэффициента теплопроводности бетона, входящего в состав стенки ствола. Показано, что при длительных морозах замерзание грунта произойдет для видов бетона, применяемого в настоящее время.

Так как расчеты проводились в стационарном режиме, они не дают ответа на вопрос, как скоро наступит фактическое промерзание грунта. Для этого требуется применить временное уравнение теплопроводности.

Отметим, что изложенный метод может быть обобщен и на случай, когда не предполагается осевая симметрия для решения и граничных условий.

Библиографический список

1. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики : учеб. пособие для ун-тов. - 4-е изд., испр. / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М. : Наука, 1972. - 735 с.

2. Шварц Л. Математические методы для физических наук / Л. Шварц с участием Д. Юэ ; пер. с фр. Ф. В. Широкого. - М. : Мир, 1965. - 412 с.

3. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. А. Коддингтон, Н. Ле-винсон ; пер. с англ. Б. М. Левитана. - М. : Изд-во иностр. лит., 1958. - 474 с.

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики : для мех.-мат. и физ.-мат. факультетов гос. ун-тов и втузов : в 3 т. / В. И. Смирнов. - М. : Наука, 1967. - Т. 2. - 655 с.

5. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление : учебник для физ. и физ.-мат. факультетов ун-тов / Л. Э. Эльсгольц. - М. : Едиториал УРСС, 2002. - 319 с.

6. Балакин А. Б. Три лекции по теории функций Бесселя : учеб.-метод. пособие к курсу «Методы математической физики. Специальные функции» / А. Б. Балакин. - Казань : Казанск. гос. ун-т, 2009. - 39 с.

7. Ватсон Дж. Н. Теория бесселевых функций / Дж. Н. Ватсон ; пер. со 2-го англ. изд. В. С. Бермана ; под ред. Г. Шилова. - М. : Изд-во иностр. лит., 1949. - Ч. 1. - 799 с.

8. Янке Е. Специальные функции : формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, М. Леш ; под ред. Л. И. Седлова. - 3-е изд. - М. : Наука, 1977. - 342 с.

9. Титчмарш Э. И. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка : в 2 т. / Э. И. Титчмарш ; пер. с англ. В. Б. Лидского ; под ред. Б. М. Левитана. -М. : Изд-во иностр. лит., 1960. - Т. 1. - 278 с. ; 1961. - Т. 2. - 555 с.

10. Фоменко В. Н. К анализу теплового режима длинного воздуховода / В. Н. Фоменко, М. А. Шварц,

B. В. Кондратенко // Труды Нац. науч.-метод. конференции «Математика в ВУЗе и школе». - СПб., 2017. -

C. 126-131.

References

1. Tikhonov A. N. & Smarskiy A. A. Uravneniya matematycheskoy phyziky [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1972, 735 p. (In Russian)

2. Shvarts L. Matematycheskiye metody dlya phyzicheskykh nauk [Mathematical methods for physics sciences]. L. Shvarts with participation of D. Yue; tr. from French by F. V. Shirokiy. Moscow, Mir Publ., 1965, 412 p. (In Russian)

3. Coddington E.A. & Levinson N. Teoriya obyknovennykh differentsialnykh uravneniy [Theory of ordinary differential equations]. Tr. from Eng. by B. M. Levitan. Moscow, Izd-vo inostr. lit. (Foreign Lit.) Publ., 1958, 474 p. (In Russian)

4. Smirnov V. I. Kurs vysshey matematyky: dlya mekh.-matem. iphiz.-matem. fakultetovgos. un-tov i vtuzov [A course in higher mathematics: for faculties and colleges of mechanics and mathematics and physics and mathematics]: in 3 vol. Moscow, Nauka Publ., 1967, vol. 2, 655 p. (In Russian)

5. Elsgoltz L. E. Differentsialniye uravneniya i variatsionnoye ischisleniye: uchebnik dlya phyz. i phyz.-mat. fakultetov un-tov [Differential equations and variational calculus: a tutorial for the faculties of physics and mathematics and physics]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2002, 19 p. (In Russian)

6. Balakyn A. B. Tri lektsiipo teorii funktsiy Besselya [Three lectures on the theory of Bessel functions]. Kazan, Kazan Federal University Publ., 2009, 39 p. (In Russian)

7. Watson G. N. Teoriya Besselevykh funktsiy [A treatise on the theory of Bessel functions]. Tr. form the 2nd Eng. ed. by V. S. Berman; ed. by G. Shylov. Moscow, Izd-vo inostr. lit. (Foreign Lit.) Publ., 1949, vol. 4.1, 799 p. (In Russian)

8. Yanke Y., Emde F. & Lesh M. Spetsialniye funktsii: Formuly, grafiky, tablitsy [Special functions: Formulas, graphs, tables]. Ed. by L. I. Sedlov, 3d ed. Moscow, Nauka Publ., 1977, 342 p. (In Russian)

9. Titchmarsh E. C. Razlozheniyapo sobstvennym funktsiyam, svyazanniye s differentsialnymy uravneni-yamy vtorogo poryadka [Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations]. Tr. from Eng. by V. B. Lidskoy; ed. by B. M. Levitan. Moscow, Izd-vo inostr. lit. (Foreign Lit.) Publ., 1960, vol. 1, 278 p.; 1961, vol. 2, 555 p. (In Russian)

10. Fomenko V. N., Shvarts M.A. & Kondratenko V. V. K analyzu teplovogo rezhyma dlinnogo vozdukhovoda [On the analysis of thermal condition of a long air line]. Proceedings of the National research and methodological conference "Mathematics in college and school". Saint Petersburg, 2017, pp. 126-131. (In Russian)

ФОМЕНКО Виктор Николаевич - д-р физ.-мат. наук, профессор; vfomenko1943@gmail. com; *ШВАРЦ Михаил Александрович - канд. техн. наук, доцент, shvarts4545@mail.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).