CC BY
63
УДК 517.926
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ РИКИТАКИ С
ТРЕНИЕМ *
И.А. Ильин1, 2, Д.С. Нощенко2, А.С. Пережогин1, 2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, c. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул.Пограничная д.4
E-mail: d72156@gmail.ru
В работе представлены результаты численного моделирования фазовых траекторий динамической системы Рикитаки с трением. При заданных параметрах системы и начальных условиях установлены режимы удвоения предельного цикла.
Ключевые слова: динамическая система Рикитаки, фазовые траектории
(с) Ильин И.А., Нощенко Д.С., Пережогин А.С., 2013
MSC 34A34
DYNAMIC OF RIKITAKI’S SYSTEM WITH A
FRICTION
I.A. Il’in1, 2, D.S. Noshchenko2, A.S. Perezhogin1, 2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Kamchatka state university by Vitus Bering, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
E-mail: d72156@gmail.ru
The paper presents the results of numerical modeling of phase trajectories of the dynamical system Rikitake. Parameters of system and initial conditions at the case of doubling cascade mode are showen.
Key words: Rikitaki system, phase portrait
(c) Il’in I.A., Noshchenko D.S., Perezhogin A.S., 2013
*Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» на 2012-2016 гг.
ISSN 2079-6641
Ильин И.А., Нощенко Д.С., Пережогин А.С.
Введение
Инверсии магнитного поля могут быть описаны с помощью модели Рикитаки [1, 3]. В работе [2] динамика модели рассчитывалась при малых временах. Потапов приводит значения устойчивых и неустойчивых точек в фазовом пространстве. Модель Рикитаки в безразмерных переменных представляет в виде [2]:
dXl
~г = — v Xl + У1 ■ X2 dt
dX2
— = — vX2 + У2 ■ Xl dt
d>?l ^
— = —СТ1У1 + 1 — Xl ■ X2 dt
dУ2 _ A
— = —О2У2 + 1 — Xl ■ X2 dt
(1)
(2)
(3)
(4)
В представленной системе 1 переменные Х1,Х2 - безразмерные токи первого и второго диска, у1,у2 - безразмерные угловые скорости дисков, а1, 02 - коэффициенты трения в дисках, V - омическая диссипация.
Рассмотрим основные динамические режимы системы в зависимости от параметров. Параметры системы 01,02, V являются положительными, поэтому можно показать, что дивергенция векторного поля в четырехмерном пространстве отрицательная. Система Рикитаки является диссипативной.
Рис. 1. Примеры удвоения периода предельного цикла. Фазовый портрет (х1,х2,у1)
Для численного моделирования установим параметры 01 = 0.0090, 02 = 0.0009. В зависимости от параметра V получим предельные фазовые траектории при больших временах. При значении V = 0.660 в системе наблюдает единственный предельный цикл. Плавное изменение параметра V приводит к тому, что при значении V = 0.709 в предельном цикле наблюдается удвоение периода. Далее происходит срыв данного режима, и фазовая траектория плотно заполняет ограниченную область в фазовом пространстве (х1,Х2,У1). При достижении значения V = 0.739 фазовая траектория вновь выходит на предельный цикл с удвоением периода. Продолжая изменять параметр V можно получить удвоение предельного цикла. В системе Рикитаки наблюдаются устойчивые предельные циклы с периодом кратным 2. Удвоение периода предельного цикла представлено на рис. 1.
Особенный режим в динамике системы наблюдается при V = 0.790, 01 = 0.0090, 02 = 0.0009. Решения и фазовая предельная фазовая траектория приведены на рис. 2.
Рис. 2. Примеры удвоения периода предельного цикла. Решения системы и фазовый портрет (хЬХ2,У1)
В данном случае динамика системы после хаотического поведения переходит в стационарный режим, где колебания постепенно затухают, и фазовая траектория стремится к одной из устойчивых точек. С точки зрения, описания геомагнитных инверсий подобная динамика системы может описывать суперхроны. То есть хаотический режим переброса магнитного поля сменяется стационарным значением магнитного поля с относительно малыми колебаниями по сравнению с хаотическим режимом.
Заключение
Исследованные динамические режимы системы Рикитаки имеют предельные фазовые траектории, характер которых зависит от омического коэффициента V. При этом переход от одного предельного состояния к другому происходит через хаотические режимы.
Установлен особенный режим, при котором после хаотического поведения, система переходит в устойчивый режим. Подобный режим может описывать суперхроны в инверсии геомагнитного поля Земли.
Библиографический список
1. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС. 2004. 320 с.
2. Потапов В.И. Визуализация фазовых траекторий динамической системы Рикитаки // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 2. С 255-265.
3. Рикитаки Т. Электромагнетизм и внутреннее строение Земли. Л.: Недра. 1968. 332 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 09.11.2013
