Динамические процессы в открытых экономических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.67+658.012

Д. В. ЗАЛ1ЗНЮК, А. В. 1ЛЬМАН, В. М. 1ЛЬМАН (ДПТ)

ДИНАМ1ЧН1 ПРОЦЕСИ У В1ДКРИТИХ ЕКОНОМ1ЧНИХ СИСТЕМАХ

Розглянуто зв'язану схему розвитку динамiчних процесiв у вщкритих економiчних системах за визначе-ною iepapxi™, математично динамiчна модель представляеться системою диференцiйних рiвнянь. Наведений приклад коливань активних зaсобiв у вщкритш вiдокpемленiй системi.

Рассмотрено связанную схему развития динамических процессов в открытых экономических системах при определенной иерархической зависимости, математически динамическая модель описывается системой дифференциальных уравнений. Приведен пример колебаний активных средств в открытой обособленной системе.

It is considered the concerned scheme of development of the dynamic processes in the opened economic systems at the certain hierarchical dependence, at the mathematics this dynamic process is describing as a system of the dif-ferentiable equations. There is an example of variations of the active resources at the opened isolated system.

Вступ

Аналiз економiчноi дiяльностi окремих шд-приемств рiзних форм власносп у тому чи^ й залiзничноi галузi показуе, що iх функщону-вання вщбуваеться за складними законами сто-хастичноi динамiки, яю е невiд'емною части-ною поведшки загальноi економiчноi системи. Це обумовлено форс-мажорними обставинами та випадковими характеристиками взаемодш мiж елементами системи, тощо. Зрозумiло, що стохастична поведiнка будь яко! економiчноi системи пов'язана з критичними або особливи-ми станами, в яких може опинитися система шд впливом зовнiшнiх та внутршшх чинникiв -параметрiв. Наприклад, змша податкового на-вантаження на виробничi пiдприемства, змiна ставок кредитування для вггчизняних резиден-тiв, а також iншi змiни внутрiшнiх та зовшшшх чинникiв системи можуть призвести до критичного стану — економiчноi доцшьносп юнуван-ня виробництв або призвести до суттевого зро-стання економiчних показникiв резидентiв. Але регулярна поведшка параметрiв системи також може призводити до нерегулярно!' поведшки систем [1]. Тому при змшах чинниюв економ> чнi системи и слщ розглядати як параметричне сiмейство з позицш стiйкостi коливання, хаосу та шше, тобто дослiджувати !х поведшку на-вколо критичних станiв або дослщжувати стру-ктурну стiйкiсть поведшки систем за !х штучно створеними моделями в залежносп вiд змш па-раметрiв системи.

Вiдомо, що динамша розвитку економiчних систем, супроводжуеться короткими циклами коливання, тривалютю 7—11 рокiв, та глобаль-ними циклами М. Д. Кондрат'ева, тривалютю

48—55 роюв. Виникае питання юнування ци^в коливання в окремих частково iзольованих економiчних пiдсистемах: пiдприемствах, галу-зях, фiрмах тощо. На позитивну вiдповiдь вщ-носно цього питання нам вказують ранiше ви-конаш дослiдження про взаемодiю елементiв системи за двомiрною нелiнiйною параметрич-ною моделлю економiчноi динамiки [2]. За ци-ми дослiдженнями з'ясовано юнування гютере-зисних коливань мiж елементами економiчних пiдсистем, що i дае можливють зробити вщпо-вiдне припущення. Наведенi нижче результати дослiджень частково розглянуто в доповщях конференцii [3].

Моделювання динамики вщокремленот економiчнот системи

Розглянемо деякий об'ект загально! еконо-мiчноi системи держави: пiдприемство, галузь, тощо. На цей об'ект будемо дивитися, як на вщокремлену економiчну пiдсистему S, яка пов'язана через сво! вектори входiв Q i виходiв Ж з шшими об'ектами загально! системи. В свою чергу тдсистема S, як бший ящик скла-даеться з шдроздшв (51,л2,...,лт} — зв'язаних елементiв. В загалi зв'язковiсть у системi S може бути досить великою i складною, тому подальше «безсистемне» моделювання на зв'язках системи приведе також до складних моделей. Спрощення зв'язковостi у системi можна досягти завдяки наведенню певного порядку по зв'язках. Для цього скористуемося iерархiчною пiдпорядкованiстю елеменпв за деякою ознакою або метою. Крiм того введення ознаки (мети) Р призводе до напрямку досл>

дження системи, наприклад, для шдприемства: виробнича, фшансова або шш1 види д1яльност1.

Тепер маемо можливють перейти до побу-дови економшо-математично! модел1 Мр за обраною ознакою Р . Клас динам1чних моделей досить широкий { на даний момент його складно охопити, але досить поширеш в цьому клас прост для застосування матричш модел1 (диви-ся, наприклад, роботу [1]). У сво!х дослщжен-нях ми будемо застосовувати шший шдхщ.

Нехай елементи системи S 1 зв'язки м1ж ними ¡ерарично шдпорядковаш за ознакою Р так, що модел1 ор1ентованих зв'язюв визнача-ються деякими неперервними функщями Ф- (si, ). Дал1 припустимо, що шдроздши sj

системи S характеризуются певними економь чними показниками г, змшними в чаш, \ модел1 Фу- (si, Sj) визначають штенсивтсть змш показ-

ниюв г . Тод1 в систем1 S вщтворюегься динам-чний процес розповсюдження збурень показни-юв г (^) за вибраною 1ерарх1ею. Так як показник елемента si в момент часу I + Аt залежить вщ значення цього ж показника в попереднш момент часу 1 також залежить вщ штенсивностей на зв'язках з сум1жними елементами 1ерархИ, тому процес змш показника г елементу si на час Аt можна записати наступним чином:

к

Г ^ + Аt) = г ^) + X Ф. , ) ¿у ^) Аt, (1)

У=1 ; (1)

i = 1,2,..., т

де г- ^) — функщя, яка враховуе змши показника г- на сум1жному до si елемент Sj; при-

чому И значення, залежност вщ умов, може бути вщ'емним або додатшм.

Вщ квантовано! у час модел1 (1) можна перейти, при Аt ^ 0 , до модел1 Мр розповсю-дження збурень показниюв г^), i = 1,2,...,т системи S

Мг к

-Г = Еф. (, ^) г- (t), i = 1,2,..., т. (2)

М -=1

Наприклад, для дворядно! трьохр1внево! 1е-рарх1чно! системи визначено! на елементах s2, s3, s4,55}, як рознесеш по трьох р1внях: до першого р1вня 54, 55; до другого р1вня s2, s3 та до третього р1вня 51 \ м1ж, якими маються зв'язки з штенсивностями Ф.. за схемою зо-

браженою на рис. 1, можна отримати наступну динам1чну модель: Мг1 М

+Р2 г4 +а2 г5,

■ = ) + (в - Ф21) ^2 + (а1 - Ф31) ¿3 +

Мг2 М

= (П1Ф21 - в1 ) ¿2 - Ф42¿4 - Ф52¿5 ,

Мг, ( )

— = (Р1Ф31 - а1 ) ¿3 - Ф43 ¿4 - Ф53¿5 ,

М

Мгг = (П2(Ф42 + Ф43 + Ф45) -Р2 )¿4 -М

-Ф54¿5 - (1 -Р2Ж,

= (Р2(Ф52 + Ф53 + Ф54) - а2 )¿5 -

М

Ф45 ¿4 - (1 -а2)^2.

(3)

Рис. 1. Нелшшна 1ерарх1чна схема мшелементних зв'язк1в

Де позначки петель на рис. 1 вказують на деяку швидюсть переробки штенсивностей вщ-повщними елементами системи, а коефщ1енти а1, а2 < 1 { Р1,Р2 < 1 визначають частки вщтоку значень показниюв г.

Вводячи у вирази (3) р1зш модифшацн ште-нсивностей зв'язюв ф { збурень ^ можна отримати р1зноман1тн1 модел1 поведшки системи. Зрозум1ло, що при значеннях часток в1дто-ку а2 = Р2 = 1 виходи W1,W2 з системи немож-лив1. Отже маемо замкнену систему.

Дискретна модель поведшки системи (1) до-зволяе, наприклад, виконати дослщження про-цесу збурення в будь який момент часу при вь домих початкових значеннях показниюв г (0) { збурень ^ (0). Так, якщо 1нтенсивност1 ф.^. за-дати постшними елементами а. = Ф,у деяко!

У У

матриц А, то дослщити збурення у системi в цiлi моменти часу можна за допомогою матричного шдходу [1], за яким процес, що почина-еться з елементу si розвиваеться за формулами:

с)=(А),;

г} (г) = г (0) + (Е + Х Ак

(4)

де А - матриця в ступiнi I, а (А ) у - И еле-мент (•) у.

Якщо ж вiдомi функци iнтенсивностей зв'язюв ) i збурень г ^), то процес збурення в системi можна дослщити за результатами розв'язку задачi Кошi для звичайних диферен-цiйних рiвнянь (2).

Звернемося тепер до питання стшкосп по-ведiнки економiчних систем. Взагат питання стiйкостi динамiчних систем пов'язуюеться зi стiйкiстю за Ляпуновим [4], тобто дослiджують поведiнку системи в чаш тд впливом малих змiн початкових значень показникiв елеменпв системи. Але малi змiни показниюв свiдчать про деяку «стабшьшсть» в системi i не дають гарантп того, що економiчна система в сво1й стабiльностi не досягла деяко1 критично! межi, за якою, можливо, вона неспроможна функцю-нувати в загадь Тому введемо деякi необхщш для подальшого визначення.

Визначення 1. Динамiчну поведiнку еконо-мiчноi системи, за якою економiчний показник Г > 0 стае меншим, нiж його критичне значен-

ня (межа) г.' назвемо банкрутством системи за цим показником.

Визначення 2. Систему 5 назвемо збанкру-тшою, якщо 1! поведшка призведе до банкрутс-тва системи за вшма 11 показниками г , . = 1, т .

Зрозумiло, щоб не допустити банкрутства системи необхiдно щоб 11 поведшка не виходи-ла за меж областi г > г0 > 0 Межа цiеi обласп Г = г° визначае межу банкрутства системи 5. Таким чином динамiчний процес поведшки системи в межах обласп В = {г; г > г.', / = 1,т} вщповщае стiйкостi системи 5 за Лагранжем. Тому доцiльно дослiджувати процес розповсю-дження збурень в економiчних системах при таких значеннях параметрiв системи, котрi б не призводили до виходу значень 11 показниюв на межу банкрутства або дослщжувати вплив значень параметрiв системи на процес виходу системи на межу банкрутства. Очевидно, досль

дження систем за другим варiантом передбачае попередне знання показникiв банкрутства г0.

Перейдемо тепер до розгляду конкретного прикладу i розглянемо його за запропонованою схемою дослiджень динамiчних процесiв в еко-номiчнiй система

Динамiка активних засоб1в у видшенш системi

Розглянемо просту динамiку активних засо-бiв у деякiй вщокремленш системi 5, яка скла-даеться з трьох елементiв {^0,51,52}, наприклад: s0- активш засоби,51- ресурс i s2- активнi операцii. Припустимо, що зв'язки мiж елемен-тами системи лшшш i представляються однорядною трьохрiвневою iерархiчною схемою, як показано на рис. 2. Передбачаеться, що еконо-мiчна система 5 iнвестуеться з постшною ш-тенсивнiстю Q i вiдбiр активних засобiв iз системи вщбуваеться з iнтенсивнiстю Ж .

Рис. 2. 1ерарх1чна схема активних засоб1в.

Зрозумiло, що схема зображена на рис.2 е частковим випадком схеми представлено1 на рис.1, де для нашого випадку штенсившсть змiн показникiв активiв визначено наступним чином ф10 = ф0(г0), ф21 =ф21(г1) i збурення ви-значенi на елементах 51 та s2 задаш як г1 = г1 (I), г2 = г2 ^), а величини п1, П2 е коефь щентами переробки потокiв активiв вщповщ-ними елементами системи. Обернений зв'язок на схемi рис. 2 вказуе на виведену частку акти-вiв, яка повертаеться в оби системи.

Якщо через а < 1 позначити долю активiв в оборон системи, тодi частка грошових коштiв,

к=1

що вилучаються 1з об1гу може бути шдрахова-на за формулою:

W = (1 -а)( Р^ +Р2 т2).

Динам1чну модель (3) за схемою рис. 2 те-пер можливо переписати наступним чином:

Мг

~Т = Я -Ф10г1 +а(в1г1 + Р2Г2), М

Мг- = (П1Ф10 -в1)г1 Ф21 г2, М

= (П2 Ф21 Р2 )г2.

М

(5)

а г' = ЯП1

1 - , А А = 0 ;

РД1 -ап1)

г02- задовольняе наступному р1внянню:

Ф10(г02) =

Я + авг12 (1 -аП1П2) г12

е розв'язком р1вняння Ф21 (г12) = — \ остан-

П2

не значення -

г2 = П2 бП + (аП1 (1 - П2) - 1)в1г1 г2 _ '

Р2

1 -аП1П2

Для подальшого параметричного анал1зу поведшки системи виконаемо деяю перетво-рення в модел1 (5).

Тому введемо таю позначення:

г г г

Р^ = т, -0-р2 = X, р2 = у р2 = 7; 2 Я 2 Я Я

тод1 система (5) в нових позначеннях прийме вигляд:

Мх ГФ10

Попереднш анал1з модел1 (5) показуе, що система S нелшшна (штенсивносп Ф залежать вщ грошових показниюв г) { замкнена при зна-ченнях параметр1в п1 =П2 = 1, Р1 = Р2 = 1, а = 1; W = 0, Я = 0. При значеннях параметр1в П1,П2 < 1, та Р1,Р2 < 1 1 0 < а< 1 система за рис. 2 вщкрита.

У трьохм1рному простор! показниюв (г0, г1, г2) вщкрита система за моделлю (5)

мае дв1 точки р1вноваги (г1, г11, г1) 1 (г02, г12, г22), для яких: г) - знаходиться за розв'язком р1вняння

Ф10 (г1)=П П1

= 1 + а^ - -ца)у, а т р2

Мт ^ Р2 • Р2

^ = (П2 ^ - 1) г; М т Р2

(6)

де М = Р1 /Р2 .

Динам1чна система (5) визначена не менше як в п'ятим1рному параметричному с1мейств1 й !! поведшка суттево залежить вщ значень цих параметр1в, так при штенсивносп Ф21 меншш за вщношення Р2/ п2 активш операци в систем1 знижуються.

Рис. 3. Процес коливань в замкненш система

Дал1 система (6) дослщжувалася чисельно, коли штенсивносп показниюв х { у задаш експоненцшно-стабшзуючими функщями [2].

Зокрема !х вибрано у такому вигляд1

^ = М ((а + а1х + а2 х2)^ +1);

Р2 Фи Р2

= с((Ь + ¿1 у + Ь2 у2 + Ьъ у 3)е-уу +1).

Рис. 4. Процес усталених коливань.

Наведемо деяю сценари результатiв дослiджень за моделлю (5). На рис.3 наведена ци^чна по-ведiнка фазово! траекторп замкнено! системи при d = 5, a = -1, c = 1.8, b = -1, b1 = 5 = y = l i at = a2 = b2 = b3 = 0 ; за якою маемо зростання активiв по ресурсах i активним операщям.

19 16 14 1? 10

.2 -1-1-1-1-;-;-

«г ю го зо ю за во тр

Рис. 5. Усталеш коливання по показниках x,у .

На рис.4 i рис. 5 наведено динамшу поведш-ки частково вщкрито1 системи при значениях параметрiв: d = 5.1, a = -1, c = 2, Ь = -1, Ь1 =5 = у = 1, п1 = 0.9, п2 = 0.8, а = 0.85, ц = 1.5 i а1 = a2 = Ь2 = Ьз = 0 . Як видно з цих рисункiв економiчна система в чаш стабшзу-еться i в данiй системi виникають перюдичш коливання. При iнших значеннях параметрiв процес стабiлiзацii може бути бшьш тривалим, типiчна поведiнка фазових траекторш для таких випадкiв наведена на рис. 6.

6 г

ь.. з.

О J Ч 10

5 ю

о _ 5

'0 .10

Рис. 6. Титчний процес коливань. Висновки

Чисельний аналiз впливу параметрiв еконо-мiчноl системи, за схемою зображеною на рис. 2, на li поведiнку показав наступне:

1) зменшення значень коефiцiентiв пере-робки потоюв активiв призводе до зниження активних операцiй в системi, при !х зниженнi приблизно на п'ятдесят вщсотюв коливання в системi зникають, що призводе до банкрутства системи за показником активних операцш r2;

2) вщкрита економiчна система досить чу-тлива до змiн параметрiв вiдтоку ß1 i ß2, так збшьшення вiдтоку активiв приблизно на п'ять - десять вщсотюв, в залежносп вiд значень ш-ших параметрiв, знижуе коливальнi процеси в системi i може призвести до банкрутства системи по показниках ресуршв та активних операцш;

3) так як банкрутство в системi за показником r2 вщбуваеться з деяким зашзненням, тому краще збiльшувати вiдтiк за параметром ß2, нiж за параметром ß1;

4) як правило, коливальний процес у вщ-критш системi спочатку вiдбуваеться хаотично, а поим через деякий час наближаеться до регулярного, але в систем може виникати коливання за схемою дивного атрактора, про що свщ-чить наявшсть у моделi (5) системи двох рiвно-важних станiв;

5) коливання у замкненш економiчнiй сис-темi призводять до «розiгрiву» ii активних за-собiв;

6) зникнення процесiв коливання у вщо-кремленiй економiчнiй ^CT^i пiд впливом внутрiшнix параметрiв призводе до часткового банкрутства або загального банкрутства систе-ми.

Б1БЛЮГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Черемных Ю.Н. Анализ поведения троекторий динамики народнохозяйственных моделей. -М.: Наука, 1982.

2. 1льман А.В., 1льман В.М. Моделювання деяких особливостей поведшки економ1чних систем // Проблеми економ1ки транспорту: Матер1али п'ято! наук. конф. - Д.: ДНУЗТ, 2006. - С. 3132.

3. Зал1знюк Д.В., 1льман В.М. Моделювання коливань активних засоб1в у ввдкритих економ1чних системах. // Проблеми економ1ки транспорту: Матер1али шосто! наук. конф. - Д.: ДНУЗТ, 2007. - С. 174.

4. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. - 384 с.

Надшшла до редколегл 31.05.07.