Динамические критерии корректности аналитических волновых функций двухэлектронных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.563.5;537.563.3;539.182

МАТВЕЕВ Виктор Иванович, доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, заместитель декана физического факультета по научной работе, директор центра теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 190 научных публикаций

ДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ КОРРЕКТНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ*

В последнее время вновь обращаются к компактным аналитическим волновым функциям атомов. Критерием корректности этих функций является расчет энергии основного состояния, расчет среднего межэлектронного расстояния. Однако такая проверка является по сути своей статической. В данной статье проводится исследование корректности различных простых аналитических волновых функций двухэлектронных систем в динамических процессах, сопровождающих столкновения атома гелия или гелиеподобного иона с быстрыми многозарядными ионами и при взаимодействии с ультракороткими импульсами электромагнитного поля.

Гелиеподобные системы, приближение внезапных возмущений, ультракороткие импульсы, многозарядные ионы, атомные столкновения

Простейшей системой, позволяющей в физике атомных столкновений всесторонне исследовать проблемы двухэлектронной динамики, является атом гелия. Существуют различные подходы к учету межэлектронного взаимодействия при описании внутриатомных процессов. Можно выделить следующие. Это численное решение уравнения Шредингера по методу Хартри-Фока с получением атомных орбиталей [1], различные аналитические аппроксимации атомных орбиталей Хартри-Фока (Слэтера-Зенера, гауссовы и др.) [2]. Отдельно необходимо упомянуть хиллераасов-ские волновые функции (ВФ), имеющие достаточно простой аналитический вид, включающий в качестве аргумента ы = г12 = |г1 - г2| , где г1,г2 - координаты атомных электронов. В своих первых работах Хиллераас использовал [3] трехпараметрическую функцию. Параметры находились вариационным способом. Далее число параметров и вид функций усложнялись, что приводило к более точному расчету, например, энергии основного состояния гелия. На сегодняшний день она известна с точностью до 35 знаков после запятой, при этом число варьируемых параметров и термов превышает 104 [4]. Однако использование таких многопараметрических функций для рас-

* Издание осуществлено при финансовой поддержке фонда РФФИ и Администрации Архангельской области в рамках гранта «Эмиссия наночастиц и больших кластеров при ионной бомбардировке твердого тела» (проект 08-02-98801 -р_север_а, 2008-2009 гг.).

ЕСЕЕВ Марат Каналбекович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 30 научных работ

четов процессов с гелиевыми атомами также затруднительно, как и числовых таблиц Хартри-Фока. Поэтому в последнее время вновь обращаются к компактным аналитическим волновым функциям [4-7]. Критерием корректности этих функций является расчет энергии основного состояния и сравнение его с экспериментальными данными. Кроме того, как было показано еще в работе Барлетта [8] по расчету среднеквадратичного отклонения при определении энергии основного состояния, учет электронных корреляций не является полным для хиллераасовских волновых функций. Данные функции не могут быть точными решениями уравнения Шредингера для атома гелия даже при неограниченном числе варьируемых параметров и имеют сингулярный характер в областях, где г1 ^ 0, г2 ^ 0 или г12 ^ 0. Эти области физически соответствуют двойным и тройным столкновениям электронов и ядра атома гелия. Поэтому волновые функции должны дополнительно удовлетворять условиям Като [9]. Так же обычно проверяются такие параметры, как средние расстояния между электронами и ядром в атоме. Критерием корректности в данном случае служит расчет межэлектронного расстояния - включение корреляций должно увеличить его. Однако такая проверка является по сути своей статической. Таким образом, представляется необходимым сформулировать простой динамический критерий корректности для различных волновых функций основного состояния.

Несмотря на то, что существуют практически точные численные расчеты временного уравнения Шредингера для атома гелия, как волновых функций основного состояния, так и процесса ионизации [10-13], мы предлагаем простой динамический способ проверки корректности аналитических волновых функций двухэлектронных атомов, учитывающих межэлектронные корреляции. Также в работе даны непосредственные рекомендации по использованию конкретных аналитических волновых функций, которые могут быть полезны при простых вычислениях и оценках динамических процессов. Следует подчеркнуть, что целью настоящей работы является проверка корректности волновых функций в таких динамических процессах, сечения (и вероятности) которых выражаются только через волновые функции основного состояния, именно по этой причине в работе мы ограничиваемся расчетами полных (т.е. просуммированных по всем неупругим процессам) сечений и вероятностей. В этом случае мы избегаем проблемы ортогонализации начального и конечных состояний и сложных численных расчетов и неявно учитываем точно межэлек-тронное взаимодействие во всех состояниях возбуждения и ионизации. Подробное обсуждение парциальных сечений и вероятностей на примере однократной и двойной ионизации атома гелия проведено в недавних работах [7], [14], [15].

В настоящей работе динамическими выбраны неупругие процессы, сопровождающие столкновения атома гелия с быстрыми многозарядными ионами и процессы взаимодействия с ультракороткими импульсами электромагнитного поля. Под ультракороткими импульсами в данной работе понимаются импульсы, длительность которых меньше характерных периодов времени для атома-мишени. Такие импульсы могут иметь различное происхождение (см., например, ссылки в работах [16, 17]), но могут быть и полями движущихся с релятивистской или ультрарелятивистской скоростью высокозаряженных тяжелых ионов. Поэтому в настоящей работе на характеристики поля не налагаются ограничения, связанные с применением теории возмущений, и используются непертур-бативные подходы.

Приведем исследуемые простые аналитические волновые функции основного состояния атома гелия. Во-первых, это волновая функция без учета электронных корреляций как симметризованное произведение водородоподобных функций:

2 3е-2( Г1+Г2 )

¥0 (г1 , г2 ) = ^0,0,0 (Г1 Д , 0>1 К,0,0 (г2 A, ^2 ) = -------------------, (1)

ж

где 2 = 2 - заряд голого ядра атома гелия (см., например, [18]). Если использовать модель экранировки, то получим [19] волновую функцию (ВФ), построенную из водородоподобных, без

полного учета электронных корреляций с введением эффективного заряда ядра 2^ =2 — 5/16. В этом случае волновая функция не учитывает электронные корреляции, не сводящиеся к приближению среднего поля.

Для учета электронных корреляций в атоме гелия можно воспользоваться трехпараметрической хиллераасовской волновой функцией основного состояния [3]:

где 5 = Г + г2, t = г1 — г2

и = г1 — г2 =

¥0 (г1, г2) = Ае 25 (1 + а1и + а2?2),

(2)

индексы 1 и 2 нумеруют сферические координаты первого и второго электронов, варьируемые параметры: А = 1,32135, 2 = 1,816, а1 = 0,3, а2 = 0,13 .

Также приведем шестипараметрическую хиллераасовскую волновую функцию основного состояния [20]:

¥0 (г1, г2) = Ае 2 (1 + а1и + а212 + а35 + а452 + а5и2)

(3)

где варьируемые параметры: А = 1,38189, 2 = 1,818, а1 = 0,353 , а2=0,28, а3 = —0,101,

а4 = 0,033, а5 = —0,032.

Приведем теперь предложенные в последнее время простые аналитические волновые функции, описывающие атом гелия. Достоинство этих функций в сравнительной простоте учета меж-электронного взаимодействия без большого числа варьируемых параметров. Мы будем рассматривать компактные волновые функции, предложенные в [4]:

¥0 г2) = А1е

-25

^ +1 и \е -0б8“ (]

11 + 0,255и + 0,15?2 — 0,02125и2),

(4)

¥0 (rl, г2) = А2е"

1 1 I

1 + — и \е 2

(1 + 0,21195и + 0,1406?2 — 0,003и2).

(5)

Здесь нормирующий множитель, А1 = 2,4142, А2 = 3,5064. Отличие последних приведенных функций в точности расчета энергии основного состояния (= —2.9006; — 2.9012 а.е.). Кроме того, мы будем сравнивать эти ВФ с простой аналитической функцией, предложенной в [5]:

¥0 ^ г2) = Ае~

. 1 — 1 + — ие , 2

(cosh(Лr1) + со$^Аг2) + Ы2)

(6)

где X = 0,68, а = 0,17, Ь = 0,06. Нормирующий множитель А равен 0,7024. В работе [5] приведены также коэффициенты для гелиеподобных ионов с зарядом ядра Z = 1, 3, 4, 5.

Данные волновые функции позволяют вычислить энергию основного состояния с несколько меньшей точностью, чем многопараметрические хиллераасовские ВФ, но более корректно описывают поведение системы в особых точках г1 ^ 0, г2 ^ 0 или г12 ^ 0, что соответствует двойным и тройным столкновениям электронов и ядра.

Рассмотрим также ВФ двухэлектронных систем с произвольным зарядом ядра, т.е. гелия и гелиеподобных ионов [6, 7]:

—1.013и

(8)

ч 25 +1 — е-&

уп(5,и)= ---------------

Лв\ * } 25

Же (5, и)

Здесь нормирующие множители NАка, Мат, коэффициенты с, с^2, 5 выбираются с учетом заряда ядра 2.

Расчет полных вероятностей неупругих процессов при столкновении многозарядного иона с атомом гелия. Общей основой [21, 22] для непертурбативного рассмотрения сечений неупругих процессов при столкновениях быстрых тяжелых ионов высоких зарядов с атомами и при взаимодействии с ультракороткими импульсами электромагнитного поля является использование приближения внезапных возмущений [22], тесно связанного [21] с приближением эйконала [18]. Причем большой заряд быстрой налетающей частицы 2 позволяет в этом случае применить сравнительно простой способ расчета сечений неупругих процессов, основанный на механизме внезапной передачи импульса атомным электронам и развитый в [23], успешно использованный в работах [24-26] в расчетах различного рода неупругих процессов, сопровождающих столкновения быстрых ионов высоких зарядов со сложными атомами. Механизм внезапной передачи импульса позволяет описывать [16,17] неупругие процессы и при взаимодействии с ультракороткими импульсами электромагнитного поля.

В соответствии с механизмом внезапной передачи импульса вероятность перехода атома гелия из начального состояния |0) в произвольное конечное Щ в результате столкновения с быстрым многозарядным ионом выражается через неупругий атомный форм-фактор и имеет вид

где q - переданный импульс, г. - координаты атомных электронов. При ионизации в конечном состоянии необходимо выбрать волновые функции электронов непрерывного спектра. Здесь и далее используется атомная система единиц (е = Н = те =1). Непосредственный расчет по формуле (9) вероятностей каких-либо неупругих процессов затруднен сложностью учета электронных корреляций в возбужденных и ионизованных состояниях. Эту сложность можно обойти, если ограничиться вычислением Winel - полной вероятности всевозможных неупругих процессов

(включая одно-, двукратную ионизацию и возбуждения), которую можно рассчитать, суммируя вероятность (9) по всем возможным п, исключая п = 0. В результате

В этом случае мы избегаем проблемы ортогонализации начального и конечных состояний и сложных численных расчетов и неявно учитываем точно межэлектронное взаимодействие во всех состояниях возбуждения и ионизации. Также, в отличии от работы [15], мы явно учитываем корреляции в начальном состоянии атома гелия. Таким образом, исследуя зависимость полной

вероятности неупругих процессов от переданного импульса q для различных волновых функций

основного состояния атома гелия, можно выявить чувствительность этих функций к межэлектрон-

(9)

(10)

ному взаимодействию в динамическом процессе столкновения. Логично было бы ожидать увеличения этой вероятности при включении корреляций за счет взаимного отталкивания электронов.

Зная вероятность ЖПе1 (ч) , можно также рассчитать полное сечение неупругих процессов при столкновении движущегося со скоростью V иона с неподвижным атомом гелия так [23]:

Ош = ^ (Ч), (11)

v 4 я

пределы интегрирования я0 ~2Z2alv и я1 ~ 22р2а/V (2а- заряд ядра атома) определяются [23] из условия применимости данного подхода.

Отметим, что аналитически вычисляются интегралы в выражениях для вероятностей и сечений только в случае водородоподобных ВФ (1). Во всех остальных случаях численные расчеты проводились с использованием пакета МаШетайса 6.0, многократные интегралы, не вычисляющиеся аналитически, рассчитаны по методу Монте-Карло.

Полученные результаты показывают, что учет электронных корреляций существенно повышает вероятность ионизации и возбуждения атома гелия в достаточно большом интервале переданных импульсов для ВФ (2)-(3), (6) и практически не влияет на результат для ВФ (5). Среднее эффективное поле, учтенное в ВФ (1), также значительно увеличивает вероятности неупругих процессов. Приведем также относительную поправку учета корреляционных эффектов, рассчитанную по выражению:

Е (Я) =

ш Г - Жо Уо

где ЖПог - вероятности неупругих процессов, рассчитанные с использованием волновых функций (1) с зарядом 2 ^ =2 - 5/16 (учет корреляций в нулевом приближении) и волновых функций (2)-(6) (полный учет корреляций), Ш - вероятности неупругих процессов, рассчитанные полностью без учета корреляций и среднего эффективного поля с использованием волновой функции (1) (2 = 2). Результаты расчета представлены на рис. 1. Очевидно, что учет межэлектронного взаимодействия в основном увеличивает сечения неупругих процессов, что естественно объясняется отталкивающим взаимодействием электронов. Можно также отметить, что учет межэлек-тронного взаимодействия только за счет модели экранировки и среднего поля в ВФ (1) дает меньшие вероятности неупругих процессов, чем ВФ (2), (3), (6). Однако компактные ВФ (4), (5) дают вероятности неупругих процессов еще меньше, чем ВФ (1) с эффективным зарядом. При этом использование ВФ (5) дает такой же результат, как неэкранированная ВФ (1), не учитывающая межэлектронные взаимодействия. Это явно свидетельствует о некорректном описании атома гелия с помощью волновой функции (5).

Интересно также проанализировать зависимости относительной поправки к вероятности от переданного при столкновении импульса для различных коррелированных ВФ по отношению к волновой функции с эффективным зарядом (1):

Шсог - Ш

Ес(я> = Ш ’ (12) где Шсог - вероятности неупругих процессов, рассчитанные с полным учетом корреляций с использованием волновых функций (2)-(6), Ш - вероятности неупругих процессов, рассчитанные с учетом корреляций в нулевом приближении с использованием ВФ (1).

В таблице 1 приведены значения относительной поправки (12) для различных коррелированных ВФ при типичном значении импульса. Далее были проведены оценки полных сечений неуп-

ругих процессов по выражению (11). Корреляционные поправки полных сечений неупругих процессов, рассчитанные с использованием ВФ (2)-(6) к полному сечению, рассчитанному при учете межэлектронного взаимодействия за счет среднего поля в ВФ (1), вычислены по следующему выражению и приведены в таблице 1.

Рис. 1. Зависимость относительной поправки учета электронных корреляций по отношению к расчету с неэкра-нированной ВФ (1) от переданного импульса. Жирная сплошная линия - расчет с использованием ВФ (1) в модели экранировки, тонкая серая сплошная - ВФ (1) в модели экранировки, точки, помеченные белыми кружками, приведены по расчетам с ВФ (2), треугольниками - ВФ (3), черными кружками - ВФ (4), белыми квадратиками - ВФ (5), черными квадратиками - ВФ (6).

Еа = . (13)

^0

Здесь а0 - полное сечение неупругих процессов, рассчитанное с использованием ВФ (1) в модели экранировки, а. - полные сечения неупругих процессов, определенные с использованием ВФ (2)-(6). '

Для сравнения определим относительные отклонения в статистическом методе проверки волновых функций по расчету энергии основного состояния:

Е0= , (14)

Є0

где Є0 - энергия основного состояния, рассчитанная с использованием ВФ (1) в модели экранировки, Є. - энергия основного состояния, определенная с использованием ВФ (2)-(6). Значения энергии є0, Єі взяты из [4], [5], [19]: є0 = -(2 - 5/16)2 = -2,84765625,

е{ = -2,90244; - 2,90324; - 2,9006; - 2,9012; - 2,9026

для ВФ (2)-(6) соответственно. Знак минус в таблице указывает на то, что вероятности и сечения занижаются при использовании ВФ (4), (5) по отношению к расчету с ВФ (1) зарядом Zef =2 - 5/16 . Так как результаты динамической проверки указывают на существенное занижение вероятностей и сечений неупругих процессов при использовании ВФ (4), (5), то есть основание для сомнений в целесообразности использования данных ВФ при расчете динамических процессов. Ведь взаимодействие электронов должно в среднем увеличивать полные вероятности неупругих процессов и сечения. Согласованные результаты дает и оценка полных сечений неупругих процессов по выражению (11).

Таблица 1

Относительные поправки на межэлектронное взаимодействие к вероятностям, сечениям неупругих процессов и энергии основного состояния атома гелия

Поправки Волновая функция вида

(2) (3) (4) (5) (6)

Ес(с), (12) q = 0,6 а.е. 0,1003 0,109 -0,091 -0,241 0,091

С? ьЕ 0,034 0,05 -0,03 -0,08 0,04

Ео, (14) 0,0192 0,0195 0,0184 0,0188 0,0193

Из сопоставления относительных поправок очевидно, что статистический расчет энергии основного состояния менее чувствителен к степени учета электронных корреляций в волновых функциях, чем динамический расчет вероятностей и полных сечений неупругих процессов. Физические причины этого, очевидно, заключаются в том, что межэлектронные взаимодействия играют существенную роль при возбуждении и ионизации атома гелия в различных неупругих процессах. При этом стоит заметить, что в статистическом методе расчета энергии основного состояния мы учитываем корреляции только в основном состоянии. В динамическом методе при расчете вероятностей и полных сечений неупругих процессов учтены корреляции в начальном и в неявном виде во всех конечных состояниях.

Переизлучение гелиеподобным атомом ультракоротких импульсов электромагнитного поля. Еще одним динамическим процессом, в котором можно непосредственно оценить корректность волновых функций основного состояния двухэлектронных систем, является переизлуче-ние ультракороткого импульса электромагнитного поля. Пусть ультракороткий импульс электромагнитного поля гауссовой формы взаимодействует с гелиеподобным атомом. Напряженность электрического поля импульса зададим выражением [16]:

( ( кг ^2 ^

Е(г,t) = Е0ехр - а2 t-— х cos(ю0t - к0г), (15)

II Ю0 ))

где а - параметр затухания в гауссовом импульсе, так что длительность импульса т ~ а 1, ю0 - круговая частота, к0 - волновой вектор такой, что | к0 |= ю0/с, Е0 - амплитуда напряженности поля в ультракоротком электромагнитном импульсе.

Следуя [16], будем считать длительность ультракороткого импульса такой, что применимо приближение внезапных возмущений. Тогда, согласно [16], спектр испускания фотона в единицу телесного угла Ок с одновременным переходом N-электронного атома из состояния (р во все возможные конечные состояния рп (полный набор) в результате действия ультракороткого импульса имеет вид (здесь и ниже мы приведем несколько необходимых нам формул из работы [16], представив их в удобной для нас форме):

d2W d2Ж d2W7

________ = _____1 +_______2 (16)

dшdQ к dшdQ к dшdQ к ’

где (см. [16]) первое слагаемое пропорционально числу атомных электронов N и описывает некогерентную часть спектра, второе слагаемое пропорционально NN - 1) и описывает когерентную и некогерентную части спектра, с - частота испущенного атомом фотона, dQк - элементарный телесный угол, в который вылетает этот фотон, к - его волновой вектор.

Если рассматривать двухэлектронные атомы или ионы и использовать водородоподобные ВФ

(1), то спектр получается в аналитическом виде, доступном для непосредственного анализа каждого из слагаемых в правой части формулы (16). В этом случае выражение для первой части спектра после интегрирования по углам вылета фотона имеет вид [16]:

dW „21

dс 3п с с

( „2 і Л

1 +

с 1

(17)

здесь f0 (ю) - функция, возникающая вследствие гауссовой формы налетающего импульса:

/о И = —

2а

(і <2 ( \2\

( с-с0 ) (с+с0 )

+ е

Расчет второй части спектра может быть проведен аналитически так же, только с водородоподобными ВФ (1) в модели экранировки. Приведем аналитические выражения для спектра dW2,

da

полученные в [16] для водородоподобных ВФ (1). После интегрирования по углам вылета углового d 2Ж2

распределения--------^спектр примет вид:

йасЮ к

= NN -1) Ъ 1 |/о (с)2 Е01(р), (18)

dс Ъп с с

р = с 1(р) =8(5 + 2р(5 + 40)) б

где р = _ 2 2 , I\р)-------------------------ть-, причем, при больших частотах I(р) ^ 0, при малых

2С 7е// 15(1 + 2р)

частотах I(р) ^ 8/3.

Таким образом, общее выражение для полного спектра (16) после интегрирования по углам вылета фотонов представляется в виде:

е

dW

21

da Зж c3a

I/о (a)1 El

N

І +

a

2 1г - 31 (P) + N2-1 (p) c2 ZI 8 8

Из последнего выражения можно сделать вывод о том, что в высокочастотной части спектра присутствует в основном некогерентное излучение. В низкочастотной части спектра - когерентное излучение.

Учет корреляций в ВФ (2)-(8) приводит к необходимости численного расчета соответствующих матричных элементов. После интегрирования по углам вылета переизлученного фотона получим для любых ВФ основного состояния частотный спектр первой части излучения:

^ = N^^Ч&М2Е0Г1 + {<Ро|г12 sm2вl соэЧ\?о) 1 (20)

аа 3ж сю' ^ с ' 1 )

где г1, в1, <р1 - сферические координаты любого из электронов в атоме гелия, (р0 - ВФ основного состояния многоэлектронной системы.

Матричный элемент Мс = (ф0 |г12 зт2^ со82 <Рх |^0) может быть рассчитан численно для всех ВФ, учитывающих электронные корреляции, и использован при расчете первой части спектра с ВФ

(2)-(8).

Приведем данные расчетов по второй части спектра (16). При использовании ВФ, учитывающих корреляции (2)-(8), аналитически проинтегрировать по углам вылета фотона не удается, поэтому приведем выражения для второй части спектра в виде:

d W2 (N -1) 1

dadQk (2ж)2 c3a

/о (a 12 E0 {(і - sin2 в cos2 p\Ро |cos S ро

sinвcosвcospp0|sin S •(r1 sinв1 cosp1 - r2 sinв2 cosp2 )p0

+

(21)

+

— I |cosS •(r1 sinв1 cosp1 • r2 sinв2 cosp2 )p0

где в, Ф - сферические углы вылета переизлученного атомом фотона,

S = a {r1 (sinвsinв1cos(p- p1) + cos в cos в1 - cos в )-

- r2 (sin в sin в2 cos(p - p2) + cos в cosв2 - cos в2)}.

Используя эту формулу, мы получали dWJda численно. Далее, считая dWJdrn, dWJda известными, выделим в полном спектре когерентную dWc /da и некогерентную dWnc /da части, руководствуясь тем, что когерентная часть пропорциональна числу электронов N2, а некогерентная пропорциональна N [16]:

dWc _ dW1 1 dW2

da

da N -1 da

dWcog _ dW2

+ -

(22)

(23)

аа аа N -1 аа

Соответствующие многомерные интегралы были вычислены с использованием численного

2

интегрирования по методу Монте-Карло. Для численного расчета нами были выбраны следующие параметры для поля (15) ультракороткого импульса: длительность импульса т = 10 -18 с и напряженность поля Е0 = 2 а.е. При этом, если за данное время в цуге совершается порядка трех полных колебаний, то круговая частота ультракороткого импульса в атомных единицах будет равна со0 = 455,952 а.е. (о0 = бя/т).

Сравнение некогерентной и когерентной части полного спектра для различных волновых функций при данных значениях ультракороткого импульса представлено на рис. 2. Данные расчетов спектров с различными ВФ нормированы на значение соответствующего спектра с Вф (1) и зарядом 2еЛ =2 - 5/1 б при частоте о = о0. Очевидно, что учет корреляций в ВФ (3), (б) уменьшает вероятности вылета переизлученных фотонов когерентной части спектра, при использовании ВФ (4), (5) вероятность вылета, напротив, увеличивается по отношению к расчету с ВФ (1) эффективным зарядом. Некогерентная часть спектра пропорционально увеличивается соответственно для ВФ (3), (б) или уменьшается для ВФ (4), (5) по отношению к водородоподобной ВФ (1) в модели экранировки.

(а)

Рис. 2. Зависимость некогерентной

(а) и когерентной

dW^

о

(б)

(б) частей спектра от частоты. Жирная

dю dю

кривая - результат расчета с ВФ (1) в модели экранировки, тонкая сплошная - ВФ (6), точками обозначен расчет с ВФ (3), пунктирная кривая - ВФ (4), штрихпунктирная кривая - ВФ (5). Частота ультракороткого импульса (О0 = 455,95 а.е. и напряженность электрического поля Е0 = 2 а.е.

В последнее время значительный интерес вызывают исследования электронных корреляций в гелиеподобных ионах высокого заряда [27, 28]. Вычислим отношение вероятностей излучения фотонов когерентной части к полной вероятности излучения (19) для гелиеподобных ионов:

W

J = _^ = Ит

dm

W

х^0

dm

dm

Использование водородоподобных ВФ с эффективным зарядом позволяет получить выражение:

3

1

/И !(№<»

х И

да 1

1И /. (ю)2

х И

1 +

И

Л

чч

с2 г2

3

+ (N -1)-I(8)

О

Л

(25)

Несмотря на то, что оба представленных интеграла в формулах (24) и (25) расходятся на нижнем пределе, эта (логарифмическая) расходимость одинакова в числителе и знаменателе (при малых частотах в полном спектре присутствует только когерентная часть) и сокращается в отношении. В области малых зарядов ядра отношение 3 невелико, в области больших 2 отношение 3 стремится к единице. Физически такая ситуация понятна из следующих рассуждений. Учет отталкивающего взаимодействия между электронами приводит к увеличению доли некогерентного излучения по отношению к когерентному. Однако увеличение заряда ядра приводит к усилению электрон-ядерного притяжения и доминирования его над электрон-электронным отталкиванием. В соответствии с этим доля когерентного излучения должна увеличиваться по отношению к некогерентному с увеличением заряда ядра. Наиболее сильно этот эффект должен проявляться при полном учете электронных корреляций в ВФ хиллераасовского типа. Будем использовать ВФ (7), (8), учитывающие электронные корреляции в двухэлектронных системах с произвольным зарядом ядра. Сравним отношение вероятностей (24, 25) в зависимости от заряда ядра с учетом корреляций. Непосредственный расчет с использованием формул (20), (21), (22), (23), сводящийся к численному интегрированию по частотам и углам вылета, был проделан по методу Монте-Карло. Вычисления отношения с использованием водородоподобной ВФ (1) проведены с использованием эффективного заряда 2е/ = 2 - 5/16 [29]. Результаты расчета представлены в таблице 2.

Таблица 2

Отношение вероятностей вылета фотонов когерентной части спектра к вышету фотонов полного спектра для двухэлектронных систем с учетом и без учета корреляций

8

1

Z J

1 (Н ) ) ( ) ( 10 ( ) 20 (Са1Ъ+) 30 (2п™+) 40 (2г38+) 50 (5П48+)

ВФ (1) 0,00139 0,03810 0,47976 0,83724 0,95805 0,98136 0,98953 0,99331

ВФ (3) - 0,03111 - - - - - -

ВФ (4) - 0,05351 - - - - - -

ВФ (5) - 0,08093 - - - - - -

ВФ (6) 0,00057 0,03053 0,46916 - - - - -

ВФ (7) 0,00105 0,03180 0,46673 0,83410 0,95721 0,98072 0,98939 0,99326

ВФ (8) 0,00108 0,03249 0,46943 0,83451 0,95751 0,98085 0,98943 0,99327

Видно, что учет корреляций заметно уменьшает отношение спектров при малых зарядах ядра и почти не меняет отношение при больших зарядах ядер. Для больших зарядов ядер отношение близко к 1. Результаты расчетов с ВФ (3), (6), (7) и (8) дают согласованные результаты. Учет корреляций значительно уменьшает долю когерентного излучения, по отношению к расчету с ВФ (1). ВФ (4), (5), напротив, увеличивают долю когерентного излучения, плохо учитывая, тем самым, электронные корреляции. Заметно также существенное возрастание доли когерентного излучения при увеличении заряда ядра.

Заключение. Из анализа табличных данных и представленных графиков по полным вероятностям неупругих процессов и полным спектрам переизлучения можно сделать следующие выводы:

- учет электронных корреляций заметно увеличивает сечения и вероятности неупругих процессов при столкновении атома гелия с быстрыми заряженными частицами для большинства представленных ВФ;

- расчет с представленными в [4] компактными волновыми функциями (4), (5) свидетельствует о явно заниженных вероятностях и сечениях даже по отношению к данным расчета с ВФ (1) с учетом межэлектронного взаимодействия в нулевом приближении за счет введения эффективного среднего поля ядра и одного из электронов. Это свидетельствует о некорректном описании динамических процессов с использованием ВФ (4), (5). При этом показательно, что энергия основного состояния, рассчитанная с этими ВФ, отличается незначительно, а вот вероятности неупругих процессов, как видно из приведенных графиков, отличаются значительно;

- расчет с представленными в [5-7] аналитическими волновыми функциями (6)-(7) и хилле-раасовскими ВФ (2), (3) дает согласованные результаты по полным вероятностям неупругих процессов. Если принять во внимание тот факт, что ВФ (6)-(8) корректно описывают состояние двухэлектронной системы в особых точках двойных и тройных электрон-электронных и электрон-ядерных столкновений, то несомненна целесообразность использования данных ВФ для расчета динамических процессов возбуждения и ионизации двухэлектронных систем;

- приближение внезапных возмущений позволяет проводить сравнительно простую и эффективную динамическую проверку волновых функций с помощью расчета форм-фактора (0|ехр{-щ2 г. }|0) (см. (9)) для многоэлектронных атомов с целью выяснения возможностей учета межэлектронных взаимодействий, динамическая проверка оказывается более чувствительной к учету корреляций;

- учет электронных корреляций заметно меняет полный спектр переизлученных фотонов в динамическом процессе переизлучения фотонов при взаимодействии атома гелия с ультракоротким импульсом электромагнитного поля;

- когерентная часть спектра уменьшается при включении корреляций, а некогерентная увеличивается. Это происходит вследствие того, что корреляции «расталкивают» электроны, уменьшая вероятность их согласованного излучения в поле ультракороткого электромагнитного импульса. Расчет спектра с используемыми в работе волновыми функциями позволяет сделать выводы об их корректности, соответствующие изложенным выше;

- важно отметить, что расчет спектров переизлучения ультракоротких импульсов электромагнитного поля двухэлектронным атомом сводится в конечном случае к усреднению по основному состоянию атома гелия. Это позволяет исследовать непосредственно ВФ основного состояния;

- когерентная часть излучения увеличивается по отношению к некогерентной также при увеличении заряда ядра. Это происходит вследствие того, что усиление поля ядра приводит к сближению электронов и более согласованному их излучению;

- анализ отношения когерентной и некогерентной части полных спектров для гелиеподобных

ионов и атомов позволяет сделать выводы о значительном влиянии электронных корреляций для систем с малым зарядом ядра. Для расчета полных вероятностей и спектров для оценок можно использовать водородоподобные BФ с эффективным зарядом, более точный расчет предполагает использование BФ (б), (7), (8), корректно учитывающих корреляции в рассмотренных нами динамических процессах;

- предложенный способ расчета может использоваться для оценок полных вероятностей неупругих процессов и спектров переизлучения многоэлектронными атомами с произвольным числом электронов.

Таким образом, можно говорить о том, что приближение внезапных возмущений дает возможность осуществить сравнительно простую и эффективную динамическую проверку волновых функций для двухэлектронных атомов и ионов как при расчете полных вероятностей неупругих процессов в столкновениях с многозарядными ионами, так и при определении спектров переизлу-чения во взаимодействиях с ультракороткими электромагнитными импульсами.

Несомненно то, что динамическая проверка приближенных волновых функций многоэлектронных систем позволяет уточнить их аналитическую структуру и выяснить степень учета межэлек-тронных корреляций.

Список литературы

1.ДавыдовА.С. Квантовая механика. М., І97З.

2. МинкинВ.И., СимкинБ.Я., МиняевР.М. Теория строения молекул. Ростов н/Д, І997.

3. HylleraasЕ.А. // Zeit. fur Phys. І928. V 48. Р. 4б9.

4. David C. W // Phys. Rev. А. 74. 200б. P. 0І450І; P. 059904.

5. Sech C.Le. // Journal of Physics. B: Atomic, Molecular and Optical Physic. І997. V. З0. P. L47.

6. RodriguezK.V., Gasaneo G.,MitnikD.M. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2007. V. 40. P. З92З.

7.AncaraniL. U., RodriguezK.V, Gasaneo G. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2007. V 40. P. 2б95.

8. Bartlett J.H., Gibbons J.J., Dunn C.G. // Phys. Rev. І9З5. V. 47. P. б79.

9. Kato T. // Commun. Pure Appl. Math. І957. V10. P. І5І.

10. Parker J.S., MehargK.J., McKenna G.A. etal. //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2007. V. 40. P. І729.

11. Parker J.S., Glass D.H., Moore L.R. et al. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2000. V ЗЗ. P. L239.

12. Parker J.S., Moore L.R., Smyth E.S. et al. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2000. V. 33. P. І057.

13. Fernley J.A., Taylor K.T., Seaton M.J. et al. // J. Phys. B: At. Mol. Phys. І987. V. 20. P. б457.

14. ДрукаревЕ.Г. // УФН. 2007. Т. І77. С. 877.

15. Лобанова Е., Шейнерман С., Герчиков Л. // ЖЭТФ. 2007. Т. І32. С. 55І.

16. МатвеевВ.И. // ЖЭТФ. 2003. Т. І24. С. І023.

17.МатвеевВ.И., ГусаревичЕ.С., ПашевИ.Н. // ЖЭТФ. 2005. Т. І27. С. ІІ87.

18. ЛандауЛ.Д., ЛифщицЕ.М. Квантовая механика. М., І989.

19. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. ГИФМЛ, М., І9б0.

20. GreenL.C., MulderM.M., MilnerP.C. //Phys. Rev. І953. V 9І. P. 35.

21. Eichler J. // Phys. Rev. A. І977. V. І5. P. І85б.

22. Дыхне А.М., Юдин ГЛ. // УФН. І978. Т. І25. C. 377.

23. Матвеев В.И. // Элементарные частицы и атомное ядро. І995. Т. 2б. С. 780.

24. Matveev V.,., RakhimovKh.Yu., MatrasulovD.U. //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. І999. V 32. P. 3849.

25. МатвеевВ.И., ГусаревичЕ.С. // ЖЭТФ. 2003. Т. І23. С.42.

26. Matveev V.,., Gusarevich E.S., Matrasulov D. U. et al. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 200б. V. 39. P. І447.

27. ЕсеевМ.К., Матвеев В.И. Исследование корреляционных эффектов при переизлучении атомом гелия ультракоротких импульсов электромагнитного поля // Оптика и спектроскопия. 2008. Т. І04. N° б. С. 891-900.

28. Quantum Tests in the Highest Electric Fields [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www-linux.gsi.de/ ~stoe_exp/research/research.htm. Проверено 28.03.2008.

29. Slater J.C. // Phys. Rev. І930. V Зб. P. 57.

Eseev Marat, Matveev Viktor

DYNAMIC CORRECTNESS CRITERIA FOR ANALYTICAL WAVE FUNCTIONS

OF TWO-ELECTRONIC SYSTEMS

Recently compact analytical wave functions of atoms have been referred to again. A correctness criterion for these functions is the ground state energy calculation, average inetrelectronic distance calculation. However such verification is virtually static. This article is devoted to studying correctness of different simple analytical wave functions of two-electronic systems in dynamic processes accompanying collisions of helium atom or helium-like ion with fast multicharged ions and when interacting with ultrashort pulses of electromagnetic field.

Рецензент - Воробьев В.А., доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова