CC BY
20
УДК 533.6
В.М. Пасконов, С.Б. Березин, Е.С. Корухова ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВИЗУАЛИЗАЦИИ
ДЛЯ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ КОМПЬЮТЕРОВ С ОБЩЕЙ ПАМЯТЬЮ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ1
(кафедра математической физики факультета ВМиК МГУ,
e-mail: paskonov@cs.msu.su; sJberezin@cs.msu.su)
Архитектура и общая характеристика возможностей динамической системы визуализации. В работе [1] показана возможность численного моделирования процесса перехода трехмерного нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в канале квадратного сечения от ламинарного течения к многовихревому течению, изменяющемуся по времени и в пространстве. Сравнение результатов этих расчетов с результатами лабораторных натурных экспериментов [2, 3] показало возможность моделирования турбулентных течений в рамках модели Навье-Стокса при использовании в расчетах разностных сеток с очень большим количеством узлов (до нескольких сотен по каждому пространственному измерению и времени), что непосредственно связано со сложной структурой турбулентного течения. Это приводит к очень большому объему данных (несколько десятков или сотен гигабайт) для каждого вычислительного эксперимента на суперкомпьютере. Архивация данных при помощи общеизвестных алгоритмов, таких, как ZIP, уменьшает объем данных, но незначительно. Для визуализации результатов расчетов на рабочей станции необходимо было рационально решить проблему транспорта данных с суперкомпьютера на рабочую станцию и обратно с рабочей станции на суперкомпьютер. Эта проблема была решена с использованием фильтрации результатов расчетов, полученных на суперкомпьютере, без потери точности для визуализации.
К настоящему моменту разработано много мощных пакетов программ для научной визуализации. Среди самых известных можно назвать Advanced Visual Systems (AYS) [4] и IBM Open Data Explorer [5]. Оба пакета предоставляют большой набор алгоритмов для визуализации данных и специализированные средства для создания сложных сценариев визуализации. К сожалению, данные пакеты не содержат средств для эффективной работы с данными большого объема. Эта причина привела к созданию новой динамической системы визуализации научных расчетов на базе компонентной системы визуализации [6]. Интеграция подсистемы доступа к данным и подсистемы визуализации данных позволяет получить значительную экономию при обработке данных большого размера. Например, в зависимости от ракурса и экранного размера отображаемого объекта можно значительно сократить объем загружаемых в память рабочей станции данных без существенного изменения детализации и качества изображения, а при фильтрации данных с учетом градиентов функций, без потери точности.
Еще раз подчеркнем, что решаемые задачи нестационарны и время в них является полноправным четвертым измерением; первые три — пространственные переменные. Для лучшего исследования и понимания структуры турбулентного течения необходимо рассматривать весь набор данных как один четырехмерный массив, размеры которого зачастую превосходят объем оперативной памяти рабочей станции.
Данные для одного вычислительного эксперимента могут иметь объем в несколько гигабайт и манипулировать данными такого объема затруднительно, поэтому более рационально хранить данные непосредственно на суперкомпьютере, производящем расчеты, а на рабочую станцию загружать только ту часть данных, которая непосредственно используется для визуализации. Предложена и реализована архитектура доступа к научным данным, в которой данные хранятся на суперкомпьютере и загружаются на рабочую станцию для обработки лишь частично.
В данной статье рассматривается обработка результатов расчетов, выполненных на суперкомпьютере IBM (16-процессорный сервер с общей памятью) с использованием технологии ОрепМР [7]. Для визуализации результатов расчетов использовалась рабочая станция (персональный компьютер
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 05-07-90378, 04-01-00332, 07-01-00288).
под управлением Microsoft Windows ХР). Чтобы избежать проблем при обмене данными между разными аппаратными платформами и операционными системами был применен расширяемый язык разметки XML [8], предназначенный для организации межплатформенного обмена структурированными данными. Для передачи команд от рабочей станции к суперкомпьютеру применялся протокол Web-служб, позволяющий успешно взаимодействовать программному обеспечению на любых платформах. Информация о каждом вычислительном эксперименте, который предполагается проводить на суперкомпьютере, записывается в библиотеку расчетов, которую организует пользователь непосредственно на своей рабочей станции. Эта информация должна содержать: имя расчета, значения параметров моделирования, количество и величину шагов по времени и по пространству, имена файлов с результатами расчета, которые после переносятся в файл описания набора данных, хранящийся на суперкомпьютере. Для записи этой информации применяется язык XML. На сервере данных развернута Web-служба каталога данных, предоставляющая доступ к XML-документам, в каждом из которых находится описание набора данных для одного расчета. В каталоге данных можно просмотреть краткую информацию о всех проведенных вычислительных экспериментах, времени проведения эксперимента, а затем можно загрузить документ с описанием интересующего набора данных на рабочую станцию. Служба каталога данных реализована на языке программирования С++ при помощи пакета подпрограмм gSOAP [9]. Применение протокола Web-служб и языка XML позволили сделать документы с описаниями наборов данных для проведенных расчетов доступными с любой платформы.
Типичный сценарий исследования научных данных состоит из следующих шагов: выбор набора данных из каталога данных; выбор объекта для визуализации из набора данных; выбор способа визуализации на основе типа объекта; отображение и исследование выбранного объекта. В качестве объектов визуализации рассматриваются векторные поля в двумерном и трехмерном пространствах, поля значений искомых функций и их производных по пространственным переменным и по времени. Разработана и реализована система для визуализации научных данных, реализующая некоторые детали описанного выше сценария исследования научных данных.
После выбора объекта для визуализации и метода визуализации необходимо передать на рабочую станцию данные для построения изображения выбранного объекта. Для трехмерного векторного поля в эти данные входят трехмерный массив векторов и информация об узлах пространственной сетки. Для выбранного объекта система визуализации формирует запрос к Web-службе доступа к данным, развернутой на суперкомпьютере, указывая в запросе имя объекта. В ответ на запрос служба доступа к данным возвращает список файлов с данными объекта, доступных по стандартному протоколу передачи данных. Система визуализации скачивает указанные файлы на рабочую станцию и загружает их в память, формируя объект для визуализации. Отметим, что такая архитектура системы не требует введения новых протоколов передачи данных и может быть легко развернута практически на любой платформе.
Зачастую размеры массивов результатов расчета превосходят разрешение экрана в пикселях на рабочей станции и при отображении всего векторного поля достаточно отображать только каждый п-й из векторов, поэтому при визуализации нет необходимости в передаче всей информации. Каждый запрос системы визуализации к службе доступа к данным может быть дополнен фильтром, позволяющим извлекать данные на прореженной сетке или в ограниченной области трехмерного пространства. Применение фильтрации позволяет значительно уменьшить объем передаваемой информации между клиентом визуализации и сервером.
В процессе исследования отображаемая область пространства может рассматриваться в разных ракурсах; возможно приближение или удаление исследуемого объекта к наблюдателю. При приближении к объекту может возникнуть необходимость отображения векторного поля с шагом, меньшим используемого в настоящий момент. В этом случае система визуализации формирует новый запрос к службе доступа к данным с новыми параметрами фильтрации. Для того чтобы экономить время исследователя и не нарушать интерактивность визуализации, этот запрос выполняется в фоновом режиме. В фоновом же режиме происходит получение новых данных, и только после получения данных тот же объект отображается на экране с новой степенью детализации.
Помимо отображения всего векторного поля исследователю может потребоваться детальное изучение некоторых областей расчетной области. Такая возможность предоставляется инструментами визуализации. Инструмент визуализации применяется к существующему объекту визуализации и в результате его применения получается новый объект нового типа, к которому также могут быть применены методы и инструменты визуализации. Реализован инструмент для выполнения сечения
векторного поля плоскостями, параллельными координатным, и инструмент для вычисления ротора векторного поля. В результате применения инструмента для построения сечений трехмерного векторного поля получается двумерное векторное поле проекций векторов в плоскости сечения на эту плоскость. Инструмент визуализации может иметь один или несколько параметров, изменение которых приводит к изменению результата применения инструмента визуализации. Например, инструмент для выполнения сечений имеет в качестве параметра координату плоскости сечения (ж, у или z = const). Имеется возможность провести изменение координаты сечения с помощью указателя на шкале, отображающей выбранную пространственную координату, для представления последовательности рисунков сечений по этой координате. Изменение этой координаты приводит к изменению значений векторного поля в сечении и к автоматической перерисовке изменившихся объектов. В некоторых случаях результат применения инструмента к исходному объекту, т.е. массиву, вычисляется на сервере, что позволяет значительно уменьшить объем передаваемых данных. Например, для отображения сечения трехмерного массива плоскостью алгоритму визуализации достаточно знать лишь два двумерных подмассива, ближайших к плоскости сечения, а это уменьшает объем обрабатываемых данных в сотни раз. Также реализована операция построения массива большей размерности из нескольких существующих массивов меньшей размерности, что позволяет рассматривать несколько трехмерных массивов на различных слоях времени как один четырехмерный массив с равноправными измерениями.
В результате построена система визуализации, позволяющая выбирать из документа с результатами расчетов интересующие элементы данных, загружать требуемые данные с сервера и различными способами отображать их на экране. Доступные исследователю способы отображения включают отображение трехмерного векторного поля и ротора данного поля при помощи маркеров, отображение сечений трехмерного векторного поля плоскостями, параллельными координатным, отображение значений и направлений векторов вдоль заданных прямых. Такие способы отображения позволили эффективно изучать большие объемы расчетных данных с целью обнаружения вихревых зон.
Моделирование турбулентных течений вязких жидкостей на основе уравнений Навье— Стокса. В работах [1, 6] был предложен и реализован метод численного исследования течений вязкой несжимаемой жидкости в рамках классической модели Навье-Стокса на основе системы уравнений, сохраняющих прямую и обратную связь динамических уравнений и уравнения энергии и при численных расчетах, обеспечивающих высокую точность выполнения закона сохранения массы. В качестве примера приведем процесс обработки результатов расчетов по численному исследованию трехмерного нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в канале квадратного сечения. В качестве характерного линейного размера примем высоту канала, а его длину положим равной 1 (рис. 1).
dz 1
Рис. 1. Трехмерный канал
Предполагается, что в начальный момент времени канал находится в затопленном пространстве и заполнен такой же жидкостью. Течение в канале возникает за счет инжекции такой же жидкости при х = 0. В качестве характерной скорости выбрана максимальная скорость инжектируемой жидкости при х = 0. При этом предполагается, что по всему входному сечению скорость и тем-
пература (давление) постоянны и поддерживаются в течение всего нестационарного процесса расчета.
Для расчетов использовалась система уравнений, полученная из полной системы уравнений Навье-Стокса для вязкого, сжимаемого, теплопроводного, совершенного газа, записанной в безразмерных величинах [10-13], где плотность, давление и температура относятся к соответствующим величинам в инжектируемом потоке. При этом предполагается, что коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности постоянны, массовые силы отсутствуют, плотность постоянна и равна 1, что приводит к линейной связи температуры и давления. Полная система уравнений в безразмерных величинах, состоящая из трех уравнений количества движения и уравнения энергии, которое применяется для определения давления (в силу линейной связи температуры и давления), дает возможность определить решение поставленной задачи, используя уравнения неразрывности в качестве контрольного соотношения. Таким образом, для расчетов использовалась система уравнений:
дТ
ди ди ди дги дЬ дх ду дг
дх Не
д2и д2и д2и
ду ду ди ду дТ 1
дЬ дх ду дг ду Яе
диз диз диз диз дТ 1
дЬ дх ду дг ду Яе
дх2 д2»
ду2 д2-
дг2 д
V о V о V дх2 ду2 дг2
из
дх2
+
д2
из
ду2
+
д2
из
дТ дТ дТ дТ у (д2Т
——Ь и—--Ь V——Ь из —— = -
от дх ду дг Рг Яе \ дхг
+
д2Т д2Т +
Ф = 2
ди дх
+
ду ду
+
дю\'
~д7)
+
ди ду ду дх
ду2 2
+
дг2
+ +
дг2 7-11
7
Ф,
ди дги\ дг дх)
Де
ду диз дг ду
(1) (2)
(3)
(4)
ди ду дги дх ду дг '
р = Т.
- компоненты вектора скорости температура; Ф — диссипатив-
Здесь введены общепринятые обозначения: £ — время; и, у, из соответственно по координатным осям х, у, г] р — давление; Т -ная функция; параметр подобия — число Рейнольдса Яе = У'Ь'/у'] число Прандтля и показатель адиабаты взяты для воздуха: Рг = 0,72, у = с' /с'ю = 1,4. Штрихованные величины относятся к инжектируемому потоку при х = 0.
Как было определено выше, в начальный момент времени £ = 0 канал заполнен покоящейся вязкой несжимаемой жидкостью. Течение в канале возникает и поддерживается за счет инжекции такой же жидкости при х = 0 по всему начальному сечению канала: и = 1, у = из = О, Т = р = 1 для £ ^ 0. В качестве граничных условий на стенках канала использовались условия прилипания и = у = из = Ои условие теплоизоляции для температуры (которые для давления также имеют естественную физическую интерпретацию):
дТ
= 0, — =0.
У=0,у=1
дТ ду
дг
г=0,г=1
'мягкие граничные условия для всех
В плоскости выходного сечения канала х = Ь использовались искомых функций:
(Ри_дЧ_ дЧз_ _ д2Т дх2 дх2 дх2 дх2 Для численного решения сформулированной выше задачи применялся широко известный вычислительный метод покоординатного расщепления [14] для системы уравнений (1)-(4). При этом дис-сипативная функция представлялась в виде
п(ди *- = \тх
+
ф = фж + фу + фг, \ 2 /о \ 2
ду дх
диз\^ дуди диз ди дх) дх ду дх дг'
Ф — ^у ~
( ( ^ ди ду ^ ди] ду
ду
\ду
+
ду
ду дх ду дг'
/Зи\2 / ЗгЛ2 / ЗиЛ 2 ди дю ду дю * \дг) \дг) \ дг) дг дх дг ду
Процесс расчета при переходе от предыдущего временного слоя к последующему осуществлялся в три этапа на дробных временных слоях: на первом из них решалась система четырех уравнений разностным методом для "ж-расщепления", на втором этапе — соответствующая система "у-расщеп-ления" и на третьем этапе — на следующем временном слое — "^-расщепления". На каждом из этих этапов проводились итерации по нелинейности с использованием уже полученных значений на предыдущем дробном шаге.
В результате на следующем временном слое получалось только первое приближение решения. Окончательное решение на временном слое достигалось с помощью последующих "глобальных" итераций, содержащих внутри все три этапа расщепления со своими внутренними итерациями. Следует отметить, что число "глобальных" итераций по нелинейности всегда превышало число итераций на дробных шагах. Точность решения проверялась путем вычисления максимума модуля интеграла от дивергенции вектора скорости по объему каждой ячейки трехмерной сетки.
Процедура исследования результатов численного расчета. Процесс анализа результатов расчетов с использованием программных инструментов динамической системы визуализации для многопроцессорных компьютеров с общей памятью будет показан на примере исследования численного решения сформулированной выше математической задачи для трехмерных нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в каналах квадратного сечения.
В качестве примера была рассмотрена задача течения вязкой несжимаемой жидкости в канале квадратного сечения размера 1x1, длины 1, при следующих параметрах задачи: число Рейнольдса Де = 500; величина шага сетки по пространственным переменным ¿х = ¿у = ¿г = 0,02; величина шага по времени сИ = 0,001.
Структура данных представляется в виде четырехмерных массивов для каждой искомой функции системы уравнений (1)-(4) в каждой точке равномерной сетки, определяемой величинами шагов ¿х, йу, йг и величиной N X сИ интервала времени, через который сохраняются данные в памяти суперкомпьютера при расчете. Следует заметить, что трехмерная ячейка сетки для этой задачи в общем случае будет представлять параллелепипед, что необходимо учитывать при вычислении производных от искомых функций.
Первый шаг в исследовании результатов расчетов связан с необходимостью понять структуру развития течения по времени и по трехмерному пространству. Для этого можно воспользоваться инструментом представления поля вектора скорости по трехмерному пространству для различных моментов времени. Как уже отмечалось, размеры массивов результатов расчета превосходят разрешение экрана в пикселях на рабочей станции. Каждый запрос системы визуализации к службе получения данных дополняется фильтром. На рис. 2 представлены в трехмерном пространстве векторные поля скорости во всей области расчета при фильтрации, когда по каждому пространственному направлению оставлено: 50% (рис. 2, а); 25% (рис. 2,5); 10% (рис. 2, в) точек.
На рисунке цвет каждого вектора меняется от черного, соответствующего максимальному значению модуля, до наиболее светлого, соответствующего минимальному значению модуля. При фильтрации 50% точек изображение на мониторе будет визуально привлекательным, но малоинформативным. При фильтрации 25% точек изображение будет более информативным. При 10%-й выборке, когда из общего количества точек сетки 1 миллион точек выброшено, получена иллюстрация поведения векторов скорости вблизи центра канала, где видно отклонение вектора скорости от оси канала, что, возможно, связано с образованием винтового течения в центре канала. Для этого следует проанализировать поведение компонент вектора скорости.
На рис. 3 показаны поверхности продольной составляющей и вектора скорости в различные моменты времени в центральном сечении канала (при х = 0,5). Можно заметить, что с течением времени уменьшается область максимальных значений в центре квадратного сечения канала. С течением времени "купол" максимальных значений уменьшается. На рис. 3, е, г показаны значения продольной компоненты скорости в различных сечениях по оси у.
На рис. 4 показана поверхность поперечной составляющей скорости т вектора скорости в момент времени £ = 0,5 в центральном сечении канала (при х = 0,5). Отметим, что с течением времени колебания распространяются вглубь канала, при этом увеличивается значение поперечной компоненты скорости т. На рис. 4, а показаны значения поперечной компоненты скорости т в различных сечениях
Рис. 2. Поле векторов скорости в расчетной области
Рис. 3. Продольная компонента скорости и: £ = 0,5 при х = 0,5 (а, в); £ = 1,0 при ж = 0,5 (б, г); у = 0,1 (1); у = 0,2 (2); у = 0,25 (5)
Рис. 4. Поперечная компонента скорости ю при £ = 0,5 (а); х = 0,5 (б)] у = 0,1 (1); у = 0,2 (2); у = 0,5 (3)
Рис. 5. Векторные поля поперечных компонент скорости и и ш при £ = 0,5; ж = 0,5 (а); х = 1,0 (<5)
по оси у. При этом точки с максимальными значениями поперечной компоненты скорости с течением времени отходят от боковых стенок канала и приближаются к центральной оси канала, которая является центром симметрии распространяющихся колебаний. Отметим также, что поперечные компоненты скорости V т ио симметричны относительно центральной оси канала. Они получаются друг из друга путем поворота на 90°.
На рис. 5 показаны векторные поля поперечных компонент скорости и и и в момент времени £ = 0,5 в сечении х = 0,5 (рис. 5, а) и х = 1,0 (рис. 5,6). Векторы изображены в виде вытянутых треугольников, цвет которых меняется от белого (минимальное значение величины вектора) до черного (максимальное значение). Наблюдается четкая симметрия поля относительно двух диагоналей квадрата. При £ = 0,5, х = 0,5 (рис. 5, а) точки максимума находятся на одинаково удаленном расстоянии от центра и сторон квадрата сечения канала, минимальные — вблизи стенок канала, при этом возмущения от стенок канала до его центра пока не дошли. К выходному сечению канала (рис. 5, б) максимальные значения перемещаются в центр квадратного сечения, и увеличивается область малых
Рис. 6. Векторные поля поперечных компонент скорости V и ю при £ = 1,0: х = 0,5 (а); х = 1,0 (б)
Рис. 7. Векторы скорости потока вдоль продольной оси канала
величин векторов вблизи стенок и особенно в углах, откуда перемещаются по линиям диагоналей квадрата вихревые зоны ближе к центру. Вихревые зоны образуются еще в центральном сечении канала (при х = 0,5) и представлены зонами "разлета" (в левом нижнем и в правом верхнем углах) и зонами типа "фокуса" (в правом нижнем и в левом верхнем углах). При этом векторы полной скорости (как видно на рис. 3 и 4) имеют общее направление вдоль канала. Похожие вихревые структуры образуются и вблизи центральной точки канала. При £ = 0,5, х = 0,5 (рис. 5, а) возникает четыре вихревые зоны в центре канала, которые взаимодействуют с вытянутыми вдоль стенок канала вихрями.
Рис. 8. Модуль вектора ротора
На рис. 6 показаны векторные поля поперечных компонент скорости и и и в момент времени £ = 1,0 в сечении х = 0,5 (рис. 6, а) и х = 1,0 (рис. 6, б).
Для исследования развития структур течения вдоль канала удобно применять инструмент визуализации "игла", который позволяет, используя результаты расчетов, сохраняющиеся в процессе изменения времени для фиксированного значения времени, пронзить канал одной или несколькими иглами, параллельными оси канала, как, например, показано на рис. 7. В пяти точках укола при х = 0 с координатами (у = 0,5; г = 0,5), (у = 0,25; г = 0,25), (у = 0,25; г = 0,75), (у = 0,75; г = 0,25), (у = 0,75; г = 0,75) представлено направление полного вектора скорости в канале в момент времени £ = 0,5 (рис. 7, а) и £ = 1,0 (рис. 7, 5). В центре канала при £ = 0,5 скорость прямолинейна и максимальна, при £ = 1,0 в конце канала наблюдается небольшое падение скорости. В четырех симметричных уколах направления векторов указывают на возникновение винтового прерывистого движения при £ = 0,5 с существенным уменьшением продольной составляющей скорости при £ = 1,0.
На рис. 8 показан модуль вектора ротора при £ = 1,0 для различных значений х: х = 0,2 (рис. 8, а); х = 0,5 (рис. 8,6); х = 0,8 (рис. 8,е); х = 1,0 (рис. 8, г). При входе в канал максимальные значения модуля ротора Цго^^Ц достигаются вблизи стенок канала, которые оказывают наибольшее влияние на дальнейшее развитие течения вдоль канала. В центре канала (рис. 8,6) Цго^^Ц несколько уменьшается, при этом вблизи стенок конфигурация поверхности Цго^^Ц такова, что непосредственно в угловых точках Цго^^Ц = 0, а вдоль боковых стенок Цго^^Ц ф 0. При приближении к выходу из канала наблюдается смещение максимального значения модуля ротора к центру канала. При х = 1 максимальное значение Цго^^Ц достигается в окрестности центральной точки. Таким образом, можно судить о сложности картины вихревого течения, возникающего вдоль канала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Березин С. Б., Пас конов В.М. Численное исследование нестационарного трехмерного течения вязкой несжимаемой жидкости в канале квадратного сечения на основе модели Навье-Стокса // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2006. № 1. С. 16-23.
2. Корнилов В. И. Пространственные пристенные турбулентные течения в угловых конфигурациях. Новосибирск: Наука, 2000.
3. Трехмерные турбулентные пограничные слои. М.: Мир, 1985.
4. http://www.avs.com
5. http://www.opendx.org
6. Березин С. Б., Пасконов В.М. Компонентная система визуализации результатов расчетов на многопроцессорных вычислительных системах // Труды конференции "Высокопроизводительные вычисления и их приложения". Черноголовка, 2000. С. 202-203.
7. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.
8. Гарольд Э., Мине С. XML: Справочник. М.: Символ-Плюс, 2002.
9. Ньюкомер Э. Веб-сервисы для профессионалов. СПб.: Питер, 2003.
10. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Ч. 1. М.: Наука, 1991.
11. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.
12. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.
13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Т. 6. М.: Наука, 1986.
14. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
Поступила в редакцию 07.05.07
УДК 517.44
К.А. Карцев
ЗАДАЧА ДОПЛЕРОВСКОЙ ТОМОГРАФИИ В СЛУЧАЕ КУСОЧНО-ПОСТОЯННОГО ПОЛЯ
(кафедра математической физики факультета ВМиК МГУ, e-mail: konstantin.kartsev@gmail.com)
1. Введение. Рассмотрим следующую задачу восстановления двумерного векторного поля [1]. Пусть D — выпуклая, ограниченная область на плоскости, V(x,y) = {vi(x,y),v2(x,y)} — векторная функция, определенная на всей плоскости, вне D тождественно равная нулю.
Рассмотрим на плоскости семейство прямых L(p,íp): \р\ < оо, 0 ^ <~р < 27т, заданных параметрически:
х = х (р, (р, s) = р COS ip — s sin (fi, y = y(p,(p,s) = p sin ip> + S COS ip>, |s| < oo.
Обозначим через к единичный вектор, определяющий направление прямой L(p,íp): к = = {— sin (/р, cos На прямой L(p,íp) введем функцию W(p, (р, s), представляющую собой скалярное произведение векторной функции V(x(p, ¡p>, s), у(р, ¡p>, s)) на к:
W(p,<p,s) = -(smip)v1(x(p,ip,s),y(p,ip,s))+ (cos tp)v2(x(p,tp,s),y(p,tp,s)). (1)
Пусть S(p,ip>,uj) — множество точек прямой L(p,íp), принадлежащих области D, для которых выполнено неравенство W(p, ¡p>, s) ^ и. Обозначим через М(р, íp,uj) линейную меру Лебега множества S(p,<p,u).
