CC BY
46
106
ИТО Марий Эл - 2011
Динамическая схема для иллюстрации аналитического
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
Попов Александр Александрович (apopov@vvoi.ru)
Федоров Дмитрий Сергеевич (st060557@gmail.com)
ГОУВПО «Марийский государственный университет», г. Йошкар-Ола
Получено аналитическое решение дифференциального уравнения в виде массива строк языка Java. Реализован алгоритм, когда каждый символ аналитического решения последовательно добавляется к выведенным ранее формулам. Предложено указанный алгоритм считать динамической схемой для иллюстрации аналитических преобразований в рассмотренной задаче.
С развитием компьютерных технологий появилась возможность использовать при иллюстрации той или иной задачи, так называемые динамические схемы [1; 2], которые представляют набор статических схем, сменяющих друг друга на одном поле. При иллюстрации аналитических преобразований в математике к каждой статической схеме добавляется по одному символу, пока текущая страница не окажется заполненной. Далее часть промежуточных формул делается невидимыми, и на их месте выводятся последующие символы, пока не будет получено окончательное решение. Подобная иллюстрация процесса решения более предпочтительна в сравнении с решением на доске, поскольку его компьютерная реализация допускает возврат к началу, а сгенерированное дифференциальное уравнение выбирается из нескольких сотен и даже тысяч различных уравнений. И, наконец, намного проще нажимать на одну и ту же клавишу при выводе формулы, добавляя к ней очередной символ, нежели мелом многократно заполнять символами доску.
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью являются одними из немногих уравнений, для которых решение может быть получено без процесса интегрирования. Общее решение однородного уравнения строится на основе информации, полученной при решении характеристического уравнения. Частное решение неоднородного уравнения строится путем подбора с помощью метода неопределенных коэффициентов, а общее решение неоднородного уравнения складывается из суммы указанных решений. Рассматриваемое дифференциальное уравнение и его решение имеют вид: y’’+py’+qy = f(x), y = Y + z [3].
Здесь Y - общее решение однородного уравнения, z - частное решение неоднородного уравнения. Существуют различные варианты решений Y и z. В зависимости от корней характеристического уравнения А,2 + рА, + q = О возможны три варианта решения Y. Существуют также различные варианты правых частей, каждая из которых содержит многочлен без сомножителей, или многочлены с сомножителями в виде экспоненциальной функции или тригонометрическими функциями.
При нахождении частного решения неоднородного уравнения z при всех вариантах правой части используется метод неопределенных коэффициентов. Данный метод здесь иллюстрируется при специальной правой части, выбранной в виде: f(x) = A0 + A1x + A2x2 + ... + Anxn. Частное решение неоднородного уравнения определяется формулой z = xr(A0 + A1x + A2x2 + ... + Anxn), в которой Bi (i = 0, ..., n) - неопределенные коэффициенты. Показатель степени r равен количеству корней характеристического уравнения, равных 0. Несмотря на то, что два корня характеристического уравнения могут равняться 0, но этот случай для использования метода неопределенных коэффициентов тривиален, поскольку дифференциальное уравнение, соответствующее такому характеристическому уравнению имеет вид: y’’=f(x) и решается путем двукратного интегрирования по переменной х. Решение с неопределенными коэффициентами подставляется в исходное дифференциальное уравнение, далее приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях x. В итоге получается система линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов Bi. Матрицы системы являются ленточными. Их значащие элементы расположены на главной диагонали и вблизи нее. Причем при r = 0 элементы занимают 3 ряда, а при r = 1 - два ряда. Последняя
строка матрицы имеет только один значащий элемент, т. е. коэффициент Bn может быть найден сразу. Далее система решается путем последовательного исключения найденных коэффициентов Bi.
Алгоритм нахождения общего решения (Y) однородного дифференциального уравнения и частного решения (z) неоднородного уравнения реализован в виде приложения на языке Java [4]. Решение получено в виде массива строк класса String. Каждый символ сформированного решения имеет две позиции: номер строки и номер элемента в строке. Положение каждой строки на экране заранее задано. Для организации посимвольного вывода строк решения учитывается, что текущая конфигурация символов состоит из нескольких полных строк и неполной строки, длина которой изменяется на один символ при нажатии, например, клавиши «Enter». Неполная строка переменной длины вырезается из строки решения. Промежуточные формулы, ставшие на текущий момент ненужными делаются невидимыми, а на их место выводятся новые символы. Ряд строк делаются невидимыми ни только тогда, когда экран заполнен символами, но и когда следует акцентировать внимание на текущих формулах.
у1'- 5у‘+ 4у= - 34+ 4 Ох- 38х2+ 8х3 y=Y+z Y=C1e“+C2e4x z= В0+ B^+ В2х2+ В3х3 z,= B1 + 2B2x+3B3x2 z"=2B2+6B3x
2В2+6В3х- 5( В1 + 2В2х+ 3 В3х2)+ 4(В0+ В^+ В2х2+ В3х3)=
= - 34+ 40х- 38х2+ 8х3 4В0-5В1 + 2В2+4В1х-10В2х+6В3х+4В2х2- 15В3х2+4В3х3=
= - 34+ 40х- 38х2+ 8х3
4В0-5В1 + 2В2=-34 4Вг10В2+6В3=40 4В,-15ВЧ=-38 4В3=8
Окно иллюстрирующей программы с текущим содержимым
На рисунке представлен фрагмент решения, когда из системы линейных алгебраических уравнений находятся неизвестные коэффициенты. Электронное решение имеет неоспоримое преимущество, состоящее в том, найденные числовые значения могут быть последовательно подставлены в формулу для частного решения с неопределенными коэффициентами.
В составленной программе каждый вариант для получения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения помещен в отдельный класс, т. е. программа допускает обобщение на другие варианты частных решений, каждому из которых будет соответствовать свой дополнительный класс.
При программировании аналитических преобразований, пусть разработка иллюстрирующей программы, обучающей программы или программы-тренажера, ключевым звеном является составление эталонного решения с заранее известным расположением символов на экране. В настоящей работе задача получения эталонного решения реализована применительно к иллюстрации метода неопределенных коэффициентов для дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
Литература
1. Попов А. А. Динамические схемы для иллюстрации лекций по программированию // Вестник Московского городского педагогического университета. - 2008. - № 1 (11). - С. 105-107.
2. Попов А. А. Динамические схемы для иллюстрации основных операций с двоичными деревьями // Новые информационные технологии в образовании: материалы конференции. - Екатеринбург: РГППУ, 2009. - С. 163-165.
3. Овчинников П. В., Лисицын Б. М., Михайленко В. М. Высшая математика: учеб. пособие. - К.: Выша шк., 1989. - 679 с.
4. Ноутон Н., Шилдт Г. JavaTM2: пер. с англ. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 1072 с.
