ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННОГО ТРУБЧАТОГО СТЕРЖНЯ ПРИ СОЛНЕЧНОМ НАГРЕВЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 59

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3:534.1

Динамическая неустойчивость тонкостенного трубчатого стержня при солнечном нагреве

И.Н. Воробьев

В работе рассмотрена плоская задача динамической неустойчивости тонкостенного трубчатого стержня при солнечном нагреве с учетом внешнего и внутреннего теплоизлучения. Для решения связанной задачи термоупругих колебаний стержня и нестационарной теплопроводности использовался метод конечных элементов. Выполнены расчеты нелинейных термоупругих колебаний и динамической неустойчивости стержня при нестационарном солнечном нагреве.

Ключевые слова: термоупругость; колебания; нелинейная динамика; метод конечных элементов, динамическая неустойчивость.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-08-00577)

Введение

На космических аппаратах (КА) в качестве удлинителей для различных грузов и приборов, а также штанг гравитационной стабилизации, могут использоваться выдвигаемые тонкостенные стержни, изготовленные из предварительно напряженной навитой на барабан металлической ленты. Когда два слоя ленты, сваренных по боковым кромкам, после схода с барабана выгибаются в разные стороны, то получается трубчатый стержень с замкнутым контуром поперечного сечения, близким по форме к окружности. Такие стержни могут иметь большую длину и под воздействием солнечных лучей могут испытывать значительный термоупругий изгиб, вынужденные колебания (при изменении ориентации и освещения) и автоколебания (вследствие динамической неустойчивости, обусловленной влиянием упругих деформаций на углы падения лучей и приток тепла). Вследствие высокой гибкости таких стержней их колебания могут быть геометрическими нелинейными и могут иметь большие амплитуды перемещений и углов поворота. Данные явления могут приводить к серьезным проблемам, таким как «раскачивание» спутника на орбите, вследствие сильных

термоупругих колебаний штанг гравитационной стабилизации и как следствие вывод данного спутника из строя.

Плоская задача изгиба стержня

Рассмотрим изгиб кругового нерастяжимого стержня в своей плоскости (рис. 1). Запишем уравнения равновесия для элементарного участка криволинейного стержня длиной & (рис. 2).

У

Я

х

<3^

йв ^^ ЛГ дЫ

дэ

N -

б

Рис. 1

Рис. 2

Уравнения равновесия записываются в виде:

ёз - ()с1(р + qsds = 0;

д5

— + Жф + = 0;

д8 Чп

^ + + т= 0.

(1)

Здесь ^ , ди , т - распределенные внешние усилия и момент, действующие на стержень, N, Q, М - нормальная, перерезывающая силы и изгибающий момент. Перепишем данные уравнения с учетом того, что ds=Rdв^.

+ о,

ОТ

59 Чп

дМ ~39~

+ + = 0.

тт ди V

Из условия нерастяжимости стержня ( г,л =---= О), получим

дэ К

I

j9j J(ui

v Su dv + и 1

V~ дд И ~ ds + R~ R

г д2 Л

о u u + -

V

302

S3

Используя соотношения (3) и М = Е1—, полагая

&

внешние нагрузки равные нулю, из (2) получим дифференциальное уравнение в перемещениях

U0

d6u „dAu d2u dQ6 dQ4 cB2

(4)

Рис. 3

Решение этого уравнения имеет вид: и = аг +а26 + а3 sin9 + a4 cos9 + a59sin9 + a69cos9; (5)

тогда

v = а2 + а3 cos6-a4sin6 + a5(sin6 + 9cos9) + a6(cos9-9sin9);

dv

— = -a3 sin 9 - a4 cos 9 + a5(cos9 + cos 9 -9sin 9) + a6(-sin 9 - sin 9 -9cos 9);

59

R— = a, - 2a, sin 9 -2a, cos9.

Э9 2 5 6

(6)

где al,a2,a3,a4,a5,a6 - неизвестные коэффициенты.

Пусть в пределах конечного элемента (КЭ) радиус кривизны R меняется незначительно от R0 при 9 = 90 = 0 до R^ при 9 = 9j (рис. 3), тогда

R = R=^-(R0+R1) = const.

Вектор коэффициентов a = а2 a3 a4 a5 a6 ]r

выражается через вектор

обобщенных координат КЭ q(/t) = [Wov^^v^^ с помощью матрицы преобразования

a = A/q

(7)

где

Ax =

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1

1 2

0 0 0 0

R r

i 0i sin 6j cos sin cos

0 1 sin cos

cos 9 j sin

cos sin

1 01 0 0 21 1 21

— cost). --Sin

R Ri R R

где

Потенциальная энергия КЭ стержня записывается в виде:

2о & 2 о дв 2

К(1) _ 9 Е К "213

0 0 0 0 0 0

2 0

0

-а-с)

-5,

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0

-(1- с) 0 0

(01 - 5с)

5,2

0 0

(01 + 51С1)

(10)

Подставляя преобразования (7) в (9), запишем потенциальную энергию криволинейного КЭ при его изгибе в плоскости через вектор обобщенных координат КЭ:

Пк = 1атК«а = ±Ч«ТКкЧ®; Кк =

2

2

(11)

где Кк - матрица жесткости 1- го элемента.

Потенциальная энергия всего стержня получается путем суммирования по всем КЭ.

к=1

(12)

Кинетическую энергию системы запишем в форме метода сосредоточенных масс, учитывая дополнительно приведенные к узлам моменты инерции:

1 п

т = - + Л й2 + 2^, А в к + 2БУк*к й к "

2 к= 0

где т , £ к, £ к, ^ - приведенные к к-му сечению сосредоточенная масса, статические моменты относительно оси х и у и массовый момент инерции.

(13)

Задача нестационарной теплопроводности при солнечном нагреве стержня

Представим безразмерную температуру в виде, ограничиваясь в разложение в ряд Фурье только двумя слагаемыми:

Т = Т0 +^008 0 (14)

Выражение для температуры входит в уравнение теплопроводности [6] в четвертой степени:

0

0

2

5

х4 = То + 4xgx2 cos2 0 + х4 cos4 0 + 4xqXj cos0 + 2x2x!2 cos2 0 + 4x13xo cos3 0 = x4 + 4t2t12 ^ Cos 20 +1 j- x4 ^ Cos 40 + 4cos 20 + 3^+ 4x3xj cos 0 +

2t2xÍ ^ <os20 + 1^+ 4xjx0 ^ <os30 + 3 cos 0^ Пренебрегая слагаемыми с cos 20, cos 30, cos 40, получим

3 Л >

x4+3x2xj2+-x4 + ф:-^+3tN0 3°s®

(16)

В возмущенном движении выражение для коэффициентов x^Tj представляется в

виде:

т =х°+х1-

l0 t0 "Г t0,

Tj = х° + х|.

(17)

где - значения коэффициентов, полученные при решении статической задачи

термоупругого изгиба стержня; х|,,х| - неизвестные температурные коэффициенты,

обусловленные колебаниями стержня.

Подставим выражения (15) в (14) и вычислим его с точностью до линейных членов:

X4 (18)

где

Л) =Т0 +Зт0 Т1 +-т1 , А =4т0 Т1 +Зт0т1 ,

о

F1 =4Т°3+6x°x°2- F1 =-х°3+6т°2х°-

1 00 ^L0 J 1 01 2 1 о L1 '

Fl =Зх°3+12x°2x°- Fl =4x°3+9x°x°2

(19)

Тогда с учетом полученных соотношений линеаризованные уравнения теплопроводности в возмущениях для к-го сечения записывается в виде:

. ! П2Х

Хп,к ~

Хп,к +"

Сп

г~ср срЫОО

gnq

ге +

4п2е' Л 4и2 -s!

х1

i ni),к L0,к

+ F1 х1 =

т 1 п\,к L1 ,к >

>

cos(Y-^) + ^sin(Y-^)

(20)

срЫ00°

(и = 0, \-,к = \,....,Ы)

где р , с, Л - плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала оболочки; 8е, 8! - коэффициент черноты внешней и внутренней поверхности оболочки; г, к - радиус и толщина оболочки, д* = 11?, - коэффициент поглощения внешней

поверхности стержня; S0 =1400 Вт/м2; L0 =149 -10б км - среднее расстояние от Земли до

Солнца; L [тем] - расстояние от объекта до Солнца.

<§о 7г' Si 2'

2

-СОБ

ПК

при п> 2;

(21)

(П2-1)71 2

Эти уравнения должны решаться совместно с линеаризованными уравнениями колебаний стержня, которые получаются на основе уравнения Лагранжа в обобщенных координатах. В формуле (9) для потенциальной энергии КЭ необходимо использовать выражения для изгибающего момента для нагретого тонкостенного стержня:

M = E/к (22)

1

где к = р

du d u Ra Y I Z I T i

m de3 r

кривизна стержня.

Таким образом, связанная задача термоупругих колебаний стержня описывается

системой уравнений для векторов

q= f1v1V2v232...wsvAl и Т =

P,

[Mq + Dq + Kq-Sx = 0; I т + Рт- Nq = 0.

_аШУЕ1_ k ~ rR2

0

2

0 0

Ав0 -2(-1 + ск)

АК

0 0 0 0 0

0

0

2

0 0

-2(ckA$°k-sk) АК

-2(-l + ck+skAS°k)

А

ск =cos(et)5 ^=sm(6,), А&°к=&°к-&1,.

сфт°

<

. 3 , Г о о 2 Х0 ,к +6^0,к\к 5

V

3 О 3 . г О 2 О I !

-\к + 6то,к \к Iе

4е'

4-4е'

(

т" +12т°, т°

>

шоо°

О,к "\,к J ?

CrJ

se +-

48'

4 -4е'

(^0 3 п_0 2 0

xu + 12x<U v J.

(23)

(24)

(25)

Nk =

0 0 0 0

g о q* cpM00'

-sm(y-^)

sm(y-^)

(26)

срМ00°

Для исследования устойчивости системы однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (25), ее можно свести к системе уравнений первого порядка, если наряду с вектором обобщенных координат q рассматривать в качестве

6

T

0

c

о

e

неизвестных вектор обобщенных скоростей р = —. Тогда получим матричное уравнение в

йг

блочном виде

А—+ Сг = 0.

А

~М 0 0"

А = 0 Е 0 ; с =

0 0 Е

£> К -£0 0 -Ы 0 Р

; г =

= Ъ-е

XI

(27)

(28)

Е - единичная матрица.

Решение уравнения (29) ищется в виде г(?) = ZeA/ и сводится к проблеме собственных значений пары матриц [АА + С\Ъ = 0, которая может быть решена с помощью стандартных компьютерных программ.

Собственные значения этой проблемы или действительные числа Ау = ау или

комплексно-сопряженные Ау = ау + 7соу , Ау = ау - /соу . Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть осу > 0, то система неустойчива по форме 2Х . При ау > 0 и соу ^ 0 имеет место динамическая неустойчивость. На границе динамической неустойчивости а^Оию^О, т.е. А.у = +7'соу, = —/соу.

Пример расчета

пУ

до

/

\W\5f

Рис. 4

В качестве примера рассмотрим термоупругие колебания и динамическую неустойчивости стержня в плоскости падения солнечных лучей. Для расчета выберем следующие значения параметров: I = 35 м, г = 0,025 м, И = 0.0001 м, материал стержня алюминиевый сплав, Ь0 = 149 • 10б км - среднее

расстояние от Земли до Солнца, Ь |л/ - расстояние от объекта до Солнца, А3=0.5-коэффициент поглощения внешней поверхности стержня, Ь0!Ь — 1, 100°А = 5-103 Вт/м, 100°а = 1.Ъ10~3 , 8е =г'=0.025 , т^ЫО"7 , у = -Ю° -30° -60° -80° - угол падения солнечных лучей.

X

При проведении расчетов стержень разбивался на 50 КЭ (Ы = 50).

Для уменьшения времени расчета и «плавности» решения, так как наличие в системе продольного перемещения накладывает эффект «дрожания» на результат решения, задача решалась в линейной постановке.

На рис. 5 приведены графики изменения поперечного прогиба на конце стержня ум (V) при различных углах падения солнечных лучей.

у=-60° у=-80°

Расчеты на устойчивость колебаний стержня показали, что явления динамической неустойчивости возникают при углах падения солнечных лучей у=-10° и у=-30°. При углах падения у = — 60°,-80° колебания стержня устойчивые. В таблице 1 приведены собственные значения соответствующие 5-ти формам колебаний , по которым происходит потеря устойчивости.

Таблица 1

V Y=-10 m0 y=-30

1 11654417.53 16175014.97

2 11276832.18 0.035 + 2068i

3 8489056.44 3.06e-06 + 2095i

4 2.9e-07 + 1993i 8.3e-05 + 2107i

5 4.7e-06 + 2038i 1.76e-04 + 2118i

Метод перебора углов падения солнечных лучей у, был найден «критический» угол у « —36° после которого динамической неустойчивости не возникает.

Библиографический список

1. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Нелинейные и параметрические колебания упругих систем.. - М.: МАИ, 1993, 68 с..

2. Гришанина Т.В. Задачи по теории колебаний упругих систем. М.: Изд-во МАИ, 1998, 48 с.

3. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамика упругих управляемых конструкций. -М.: Изд-во МАИ, 2007. - 328 с.

4. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Связанная задача термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня при солнечном нагреве// МТТ 2000, №6, с. 161-166.

5. Воробьев И. Н., Гришанина Т.В, Шклярчук. Ф. Н. Нелинейные колебания спутника с упругим тонкостенным стержнем при солнечном нагреве// Вестник МАИ 2012, т. 19, №3, с. 160-170.

6. Марченко В.М. Температурные поля и напряжения в конструкциях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1965. 298 с.

7. Florio F.A., Hobls R.B.Jr. An analytical representation of temperature distribution in gravity gradient rods // AIAA J. 1968. V. 6. No. 1. P. 99-102.

Сведения об авторах

ВОРОБЬЕВ Илья Николаевич, аспирант Московского авиационного института (национального исследовательского университета).

МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993; e-mail: ivorobyev@inbox.ru